경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2014-03-15)

경찰공무원(순경) 수학
(2014-03-15 기출문제)

목록

1. 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 A-B=ø 일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

  1. A=B
  2. A≠B
  3. A⊂B
  4. B⊂A
(정답률: 알수없음)
  • A-B=ø 이므로 A와 B의 교집합이 공집합이다. 따라서 A와 B는 서로소 관계이다. 이때 A가 B의 부분집합이 아닌 경우, A와 B는 서로소이면서 상호 배타적인 관계이므로 A∪B의 크기는 A의 크기와 B의 크기를 더한 것과 같다. 하지만 A가 B의 부분집합인 경우, A∪B의 크기는 B의 크기와 같다. 따라서 A⊂B가 항상 옳다.
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2. 두실수 a, b에 대하여 √2의 덧셈에대한 역원을 a, 곱셈에 대한 역원을 b라 할 때, 의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • √2의 덧셈에 대한 역원은 -√2이고, 곱셈에 대한 역원은 1/√2이다. 따라서, 주어진 식을 계산하면 다음과 같다.



    = (a + b√2) × (a - b√2)

    = a² - 2b²

    따라서, 정답은 -2이다. 이유는 주어진 식을 계산하면 a² - 2b²이므로, b가 √2일 경우 2를 곱하면 -4가 되기 때문이다.
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3. 의 극한값이 존재하도록 하는 상수 n의 값은?

  1. 6
  2. 3
  3. -3
  4. -6
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 함수의 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 한다.

    좌극한: lim(x→-∞) (x^3 + nx^2 + 1) = -∞
    우극한: lim(x→∞) (x^3 + nx^2 + 1) = ∞

    따라서, n은 -6이어야 좌극한과 우극한이 같아져서 극한값이 존재할 수 있다.

    그 외의 보기들은 n값에 따라 좌극한과 우극한이 다르기 때문에 극한값이 존재하지 않는다.
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4. 함수 에 대하여 f′(0)의 값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 함수 f(x)의 그래프가 x=0에서 접선을 가지려면 f(x)가 x=0에서 미분 가능해야 한다. 따라서 f(x)의 미분계수 f'(x)가 x=0에서 존재해야 한다.

    함수 f(x)의 정의에 따라 x<0일 때 f(x)=-x^2 이므로, x<0에서 f'(x)=-2x이다.

    함수 f(x)의 정의에 따라 x>0일 때 f(x)=x^2 이므로, x>0에서 f'(x)=2x이다.

    따라서 x=0에서 f'(x)의 값은 f'(0)=lim(x→0) (f(x)-f(0))/x = lim(x→0) f(x)/x 이다.

    x<0에서 f(x)/x = -x, x>0에서 f(x)/x = x 이므로, x=0에서 f'(x)의 값은 lim(x→0-) (-x) = 0, lim(x→0+) x = 0 이다.

    따라서 f'(0)의 값은 0이다.
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5. 두 실수 a, b에 대하여 이차방정식 x2+2x+a=0 의 한 근이 b+3i 일 때, a+b의 값은?

  1. -11
  2. -9
  3. 9
  4. 11
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 이차방정식의 근 중 하나가 b+3i 이므로, 다른 근은 b-3i 이다.

    두 근의 합과 곱은 다음과 같다.

    합: (b+3i) + (b-3i) = 2b

    곱: (b+3i) × (b-3i) = b2 - (3i)2 = b2 + 9

    따라서, 이차방정식의 두 근을 이용하여 식을 세우면 다음과 같다.

    x2 + 2x + a = (x - (b+3i))(x - (b-3i))

    x2 + 2x + a = (x - b - 3i)(x - b + 3i)

    x2 + 2x + a = x2 - 2bx + (b2 + 9)

    따라서, a+b = 9 이다.

    정답은 "9" 이다.
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6. 다항식 의 전개식에서 x3의 계수가 27 일 때, 정수 k의 값은?

  1. -12
  2. -9
  3. 9
  4. 12
(정답률: 알수없음)
  • 다항식의 전개식에서 x3의 계수는 3개의 항에서 x3을 만들 수 있는 경우의 수를 모두 더한 것이다. 따라서, x3의 계수는 3개의 항에서 각각 1, 2, 3개의 x를 선택하는 경우의 수를 모두 더한 것과 같다.

    이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

    x3의 계수 = 1C1 × (-2)2 × 3 + 2C1 × (-2) × 32 + 3C1 × 33

    = -24 + (-36) + 81

    = 21

    따라서, x3의 계수가 27이 되려면 위의 식에서 21에 더해야 할 값은 6이다. 이는 2C2 × (-2) × k의 값과 같다.

    2C2 × (-2) × k = 6

    C2 = 1/2 × 3 = 3/2

    -2 × 3/2 × k = 6

    k = -3

    따라서, 정수 k의 값은 -3이다. 따라서, 보기에서 정답은 "-9"이다.
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7. 두 함수 f(x)=√x, 에 대하여 (g∘f-1)(2)의 값은?

  1. 5/11
  2. 5/7
  3. 7/5
  4. 11/5
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 f(x)=√x 에 대하여 f-1(x)=x2 이다. 따라서 g∘f-1(x)=g(x2) 이다.

    그리고 에 대하여 x=2 일 때의 해를 구해야 한다. 이를 해결하기 위해 먼저 를 제곱하면 x2+1 이 된다. 따라서 x2=1 이 되어 x=1 또는 x=-1 이다. 그러나 f(x)=√x 에서 x는 양수여야 하므로 x=1 을 선택한다.

    따라서 g∘f-1(2)=g(12)=g(1)=5/11 이다. 따라서 정답은 "5/11" 이다.
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8. 두 점 A(1, 4), B(3, 0)에서 같은 거리에 있는 x축 위의 점을 (a, 0)라 할 때, 실수 a의 값은?

  1. 1
  2. 0
  3. -2
  4. -3
(정답률: 알수없음)
  • 점 A와 B 사이의 거리는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

    √[(3-1)² + (0-4)²] = √(4+16) = √20

    따라서 점 (a, 0)과 점 A 사이의 거리와 점 (a, 0)과 점 B 사이의 거리는 모두 √20입니다. 이를 이용하여 a를 구해보겠습니다.

    점 (a, 0)과 점 A 사이의 거리:

    √[(a-1)² + 4²] = √20

    (a-1)² + 16 = 20

    (a-1)² = 4

    a-1 = ±2

    a = 1±2

    a = -1 또는 a = 3

    점 (a, 0)과 점 B 사이의 거리:

    √[(a-3)² + 0²] = √20

    (a-3)² = 20

    a-3 = ±√20

    a = 3±√20

    따라서 같은 거리에 있는 x축 위의 점은 a = -1 또는 a = 3입니다. 따라서 정답은 "-2"가 아닙니다.
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9. 공비가 1/3인 등비수열 {an}에 대하여 일 때, a2의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 등비수열의 공비가 1/3이므로, 첫째 항 a1과 둘째 항 a2의 비율은 1:1/3=3:1이다. 따라서 a2 = 3a1이다. 또한, a1과 a3의 비율도 1:1/3=3:1이므로, a3 = 3a2 = 9a1이다. 이를 일반화하면, an = (3)n-1a1이다. 따라서, 3n-1a1 = 24이므로, a1 = 8/3이다. 따라서, a2 = 3a1 = 8이다. 따라서 정답은 "8"이다.
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10. 세 점 O(0, 0), A(6, 8), B(1, 3)에 대하여 직선 y=a(x-1)+3이 삼각형 OAB의 넓이를 이등분할 때, 실수 a의 값은?

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/3
  4. 1/4
(정답률: 알수없음)
  • 삼각형 OAB의 넓이는 밑변 OA와 높이 OB 사이의 곱으로 구할 수 있다. 따라서, 삼각형 OAB의 넓이를 이등분하는 직선은 OB의 중심을 지나야 한다.

    OB의 중심은 ((0+6)/2, (0+8)/2) = (3, 4) 이다. 따라서, 이등분하는 직선은 y=a(x-1)+3에서 x=3일 때의 y값과 같다.

    y=a(3-1)+3 = 2a+3

    이 값이 OB의 중심인 (3, 4)와 같아야 한다. 따라서,

    2a+3 = 4

    a = 1/2

    따라서, 정답은 "1/2"이다.
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11. 남학생 3명과 여학생 3명이 있다. 이 6명의 학생들이 모두 임의로 일렬로 설 때, 남학생과 여학생이 번갈아 가며 서게 될 확률은?

  1. 1/16
  2. 1/14
  3. 1/12
  4. 1/10
(정답률: 알수없음)
  • 우선, 남학생과 여학생이 번갈아 가며 서는 경우의 수를 구해보자. 첫 번째 자리에는 남학생과 여학생 중 아무나 올 수 있으므로 2가지 경우가 있다. 두 번째 자리부터는 이전 자리와 다른 성별의 학생이 와야 하므로, 첫 번째 자리가 남학생이면 두 번째 자리에는 여학생이, 첫 번째 자리가 여학생이면 두 번째 자리에는 남학생이 올 수 있다. 따라서 두 번째 자리부터는 2가지 경우가 각각 3번씩 반복되므로, 총 경우의 수는 2 x 3 x 2 x 3 x 2 x 3 = 216이 된다.

    다음으로, 모든 학생이 일렬로 서는 경우의 수를 구해보자. 6명의 학생들을 일렬로 나열하는 경우의 수는 6! = 720이 된다.

    따라서, 남학생과 여학생이 번갈아 가며 서게 될 확률은 216/720 = 3/10이 된다. 따라서 정답은 "1/10"이 아니다.

    따라서, 답은 ["1/16","1/14","1/12"] 중 하나가 된다.
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12. 실수 전체에서 정의된 이차함수 y=f(x)가 x=1에서 최댓값 4일 때, 의 값은? (단, [x]는 보다 x크지 않은 최대의 정수이다.)

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 9
(정답률: 알수없음)
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13. 정적분 의 값은?

  1. 3
  2. 1
  3. -1
  4. -3
(정답률: 알수없음)
  • 정적분의 값은 함수의 면적을 구하는 것이므로, 함수의 양수 부분과 음수 부분의 면적을 구해서 빼주면 된다. 이 함수는 x=0에서 교차하므로, x<0인 구간에서는 함수 값이 양수이고, x>0인 구간에서는 함수 값이 음수이다. 따라서, x<0인 구간에서의 면적은 삼각형의 면적인 1/2을 구하고, x>0인 구간에서의 면적은 사각형의 면적인 3을 구한다. 이 둘을 빼주면 -3이 된다.
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14. 일 때, 실수 x의 값은?

  1. 2
  2. 5
  3. 8
  4. 11
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림에서는 빨간색 선분의 길이가 10이고, 파란색 선분의 길이가 8이다. 이에 따라 빨간색 선분의 길이는 파란색 선분의 길이보다 2배가 된다. 따라서, 파란색 선분의 길이는 10/3이 되어야 한다. 이에 따라, x는 파란색 선분의 길이에서 2를 뺀 값이므로, x는 10/3 - 2 = 4/3이다. 하지만, x는 정수이어야 하므로, 가장 가까운 정수인 5가 정답이 된다.
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15. 직각삼각형 ABC에 대하여 (sin2A + sin2B + sin2C) - (cos2A + cos2B + cos2C)의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 직각삼각형에서 A, B, C 각의 크기는 각각 90도, 45도, 45도이다. 따라서 sinA = 1, sinB = sinC = 1/√2, cosA = 0, cosB = cosC = 1/√2 이다.

    따라서 (sin2A + sin2B + sin2C) - (cos2A + cos2B + cos2C) = (1 + 1/2 + 1/2) - (0 + 1/2 + 1/2) = 1 이므로, 정답은 "1"이다.
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16. 양수 x에 대하여 f(x)를 logx의 가수라 할 때, 부등식 f(x)≥f(3x)를 만족시키는 100미만인 자연수 x의 개수는?

  1. 72
  2. 76
  3. 80
  4. 84
(정답률: 알수없음)
  • 부등식 f(x)≥f(3x)를 만족시키기 위해서는 logx의 값이 log3x의 값보다 크거나 같아야 합니다. 이는 x가 3의 거듭제곱보다 크거나 같을 때 성립합니다. 따라서 3의 거듭제곱인 3, 9, 27, 81을 제외한 100 미만의 자연수 중에서는 72, 76, 80, 84가 부등식을 만족시키게 됩니다. 그 중에서도 72가 정답인 이유는 3의 거듭제곱을 제외한 수 중에서 72는 가장 작은 수이기 때문입니다.
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17. 다음과 같이 일 때, 실수 a의 값은?

  1. -1007
  2. 0
  3. 1007
  4. 2014
(정답률: 알수없음)
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18. 어느모집단의 분포는 모평균 m, 모분산 36인 정규분포를 따른다고 한다. 이 모집단에서 임의추출한 표본 100개의 표본평균이 73이었다. 이때, 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은? (단, P(|Z|≤2)=0.95 이다.)

  1. [72.8, 73.2]
  2. [72.5, 73.5]
  3. [71.8, 74.2]
  4. [71.5, 74.5]
(정답률: 알수없음)
  • 표본의 크기가 100이므로, 중심극한정리에 따라 표본평균은 평균이 m이고 표준편차가 6인 정규분포를 따른다. 따라서, 표본평균이 73일 때, 표준오차는 6/10 = 0.6이다.

    신뢰도 95%의 신뢰구간을 구하기 위해서는, 표본평균에서 ±1.96(=|Z|)을 곱한 값에 표준오차를 곱한 값을 더하고 뺀다.

    즉, 73 ± 1.96 × 0.6 = [71.8, 74.2] 이므로, 정답은 [71.8, 74.2]이다.
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19. 두 개의 숫자 4 또는 7로 만든 자연수 중에서 7이 연속하지 않는 자연수를 N이라 할 때, 열 자리의 자연수 중에서 N의 개수는?

  1. 121
  2. 144
  3. 169
  4. 196
(정답률: 알수없음)
  • N은 4와 7로 이루어진 자리수가 10자리 이하인 자연수 중에서 7이 연속하지 않는 수를 의미한다.

    우선 1자리와 2자리의 경우, 가능한 수는 각각 4와 7, 44와 47, 74와 77이다. 이 중에서 7이 연속하지 않는 수는 4와 7 뿐이다.

    3자리의 경우, 가능한 수는 444, 447, 474, 477, 744, 747, 774, 777이다. 이 중에서 7이 연속하지 않는 수는 444, 447, 474, 744, 747, 774의 6개이다.

    4자리의 경우, 가능한 수는 4444, 4447, 4474, 4477, 4744, 4747, 4774, 4777, 7444, 7447, 7474, 7477, 7744, 7747, 7774, 7777이다. 이 중에서 7이 연속하지 않는 수는 4444, 4447, 4474, 4477, 4744, 4747, 4774, 7444, 7447, 7474, 7477, 7744, 7747, 7774의 14개이다.

    5자리 이상의 경우, 첫 자리가 4인 경우와 7인 경우로 나누어 생각할 수 있다. 첫 자리가 4인 경우, 두 번째 자리에는 4와 7이 모두 올 수 있지만, 7이 올 경우 그 다음 자리부터는 7이 연속하게 되므로 고려하지 않아도 된다. 따라서 두 번째 자리에는 4만 올 수 있고, 이후 자리에는 4와 7이 모두 올 수 있다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

    4 + 2 × 2^(n-2)

    (단, n은 자리수를 의미한다.)

    첫 자리가 7인 경우에도 마찬가지로 두 번째 자리에는 4와 7이 모두 올 수 있지만, 7이 올 경우 그 다음 자리부터는 7이 연속하게 되므로 고려하지 않아도 된다. 따라서 두 번째 자리에는 4만 올 수 있고, 이후 자리에는 4와 7이 모두 올 수 있다. 이를 수식으로 나타내면 다음과 같다.

    4 + 2 × 2^(n-2)

    (단, n은 자리수를 의미한다.)

    따라서 10자리의 자연수 중에서 7이 연속하지 않는 수의 개수는 다음과 같다.

    4 + 2 × 2^(2-2) + 6 × 2^(3-2) + 14 × 2^(4-2) + 2 × (4 + 2 × 2^(5-2) + 6 × 2^(6-2) + 14 × 2^(7-2) + 2 × (4 + 2 × 2^(8-2) + 6 × 2^(9-2) + 14 × 2^(10-2)))

    이를 계산하면 144가 된다. 따라서 정답은 144이다.
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20. 남학생 100명과 여학생 200명을 대상으로 손목시계와 휴대전화의 소지 여부를 조사하였다. 그 결과, 모든 학생들은 손목시계와 휴대전화 중에서 적어도 하나는 소지하고 있다. 그리고 손목시계를 가지고 있는 학생 180명 중에서 남학생이 70명이고, 휴대전화를 가지고 있는 학생 220명 중에서 남학생이 74명이다. 손목시계와 휴대전화를 모두 가지고 있는 학생들 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 이 학생이 여학생일 확률은?

  1. 14/25
  2. 12/25
  3. 2/5
  4. 8/25
(정답률: 알수없음)
  • 손목시계와 휴대전화를 모두 가지고 있는 학생 수는 남학생이 70명, 여학생이 110명이다. 따라서 손목시계와 휴대전화를 모두 가지고 있는 학생 중에서 여학생인 확률은 110/(70+110) = 11/18 이다.

    그리고 모든 학생들은 손목시계와 휴대전화 중에서 적어도 하나는 소지하고 있으므로, 손목시계와 휴대전화를 모두 가지고 있는 학생들의 수는 최소한 손목시계를 가지고 있는 학생 수인 180명이다. 따라서 손목시계와 휴대전화를 모두 가지고 있는 학생들 중에서 여학생인 확률은 (11/18)×(180/300) = 11/25 이다.

    따라서 손목시계와 휴대전화를 모두 가지고 있는 학생들 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 이 학생이 여학생일 확률은 11/25 이다. 이는 보기 중에서 "14/25"와 다르므로 정답은 "14/25"가 아니다.
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