경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2014-03-15)

경찰공무원(순경) 수학
(2014-03-15 기출문제)

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1과목: 수학

1. 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 A-B=ø 일 때, 다음 중 항상 옳은 것은?

  1. A=B
  2. A≠B
  3. A⊂B
  4. B⊂A
(정답률: 알수없음)
  • 차집합 $A-B$는 집합 $A$의 원소 중 $B$에 속하지 않는 원소들의 집합입니다. $A-B = \emptyset$이라는 것은 $A$의 모든 원소가 $B$에 포함되어 있다는 뜻이므로, $A$는 $B$의 부분집합이 됩니다.
    따라서 $A \subset B$가 항상 성립합니다.
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2. 두실수 a, b에 대하여 √2의 덧셈에대한 역원을 a, 곱셈에 대한 역원을 b라 할 때, 의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 역원의 정의를 이용하여 $a$와 $b$의 값을 구한 뒤 대입하는 문제입니다.
    덧셈에 대한 역원은 부호를 바꾼 값이고, 곱셈에 대한 역원은 역수를 취한 값입니다.
    $\sqrt{2}$의 덧셈 역원 $a = -\sqrt{2}$, 곱셈 역원 $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$입니다.
    구하고자 하는 값 $\frac{a}{b}$를 계산하면 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}$
    ② [숫자 대입] $\frac{a}{b} = -\sqrt{2} \times \sqrt{2}$
    ③ [최종 결과] $\frac{a}{b} = -2$
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3. 의 극한값이 존재하도록 하는 상수 n의 값은?

  1. 6
  2. 3
  3. -3
  4. -6
(정답률: 알수없음)
  • 분모가 $0$으로 갈 때 극한값이 존재하려면 분자도 $0$으로 가야 하는 $\frac{0}{0}$ 꼴이어야 합니다.
    분모 $x-4$가 $x \to 4$일 때 $0$이 되므로, 분자 $\sqrt[3]{x+n}$ 또한 $0$이 되어야 합니다.
    $$\sqrt[3]{4+n} = 0$$
    $$4+n = 0$$
    $$n = -6$$
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4. 함수 에 대하여 f′(0)의 값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 함수 $f(x) = -x|x|$의 미분계수를 구하는 문제입니다. 절댓값 기호를 풀어 함수를 정의하면 $x \ge 0$일 때 $f(x) = -x^2$이고, $x < 0$일 때 $f(x) = x^2$입니다.
    미분법을 적용하면 $x > 0$일 때 $f'(x) = -2x$이고, $x < 0$일 때 $f'(x) = 2x$입니다.
    두 경우 모두 $x=0$을 대입하면 $0$이 되므로, $f'(0) = 0$입니다.
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5. 두 실수 a, b에 대하여 이차방정식 x2+2x+a=0 의 한 근이 b+3i 일 때, a+b의 값은?

  1. -11
  2. -9
  3. 9
  4. 11
(정답률: 알수없음)
  • 실계수 이차방정식에서 한 근이 복소수 $b+3i$이면, 다른 한 근은 켤레복소수인 $b-3i$입니다. 근과 계수의 관계를 이용하여 $a$와 $b$를 구합니다.
    근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합은 $-2$이므로, $(b+3i) + (b-3i) = -2$에서 $2b = -2$, 즉 $b = -1$입니다.
    두 근의 곱은 $a$이므로, $(b+3i)(b-3i) = b^2 + 9 = a$ 입니다.
    $b = -1$을 대입하면 $a = (-1)^2 + 9 = 10$입니다.
    따라서 $a+b = 10 + (-1) = 9$입니다.
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6. 다항식 의 전개식에서 x3의 계수가 27 일 때, 정수 k의 값은?

  1. -12
  2. -9
  3. 9
  4. 12
(정답률: 알수없음)
  • 이항정리를 이용하여 전개식에서 $x^3$ 항의 계수를 찾아 k값을 결정합니다.
    ① [기본 공식] ${}_3C_r (x^2)^{3-r} (\frac{k}{x})^r = {}_3C_r x^{6-2r} \frac{k^r}{x^r} = {}_3C_r k^r x^{6-3r}$
    ② [숫자 대입] $6-3r=3 \rightarrow r=1 \text{ 이므로 } {}_3C_1 k^1 = 27$
    ③ [최종 결과] $3k = 27 \rightarrow k = 9$
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7. 두 함수 f(x)=√x, 에 대하여 (g∘f-1)(2)의 값은?

  1. 5/11
  2. 5/7
  3. 7/5
  4. 11/5
(정답률: 알수없음)
  • 역함수의 성질과 합성함수의 정의를 이용하여 값을 계산합니다. $f(x)=\sqrt{x}$의 역함수는 $f^{-1}(x)=x^2$이며, 이를 $g(x)$에 대입합니다.
    ① [기본 공식] $(g \circ f^{-1})(2) = g(f^{-1}(2))$
    ② [숫자 대입] $g(2^2) = g(4) = \frac{2(4)-3}{2(4)+3}$
    ③ [최종 결과] $\frac{5}{11}$
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8. 두 점 A(1, 4), B(3, 0)에서 같은 거리에 있는 x축 위의 점을 (a, 0)라 할 때, 실수 a의 값은?

  1. 1
  2. 0
  3. -2
  4. -3
(정답률: 알수없음)
  • 두 점 사이의 거리 공식에 따라 점 A와 점 B에서 점 (a, 0)까지의 거리가 같음을 이용하여 a를 구합니다.
    ① [기본 공식] $\sqrt{(a-1)^2 + (0-4)^2} = \sqrt{(a-3)^2 + (0-0)^2}$
    ② [숫자 대입] $(a-1)^2 + 16 = (a-3)^2$
    ③ [최종 결과] $a^2-2a+17 = a^2-6a+9 \rightarrow 4a = -8 \rightarrow a = -2$
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9. 공비가 1/3인 등비수열 {an}에 대하여 일 때, a2의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 무한등비급수의 합 공식을 이용하여 첫째항을 구한 뒤, 공비를 곱해 두 번째 항을 찾는 문제입니다.
    ① [기본 공식] $\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \frac{a_1}{1-r}$
    ② [숫자 대입] $36 = \frac{a_1}{1-\frac{1}{3}}$
    ③ [최종 결과] $a_1 = 24, a_2 = 24 \times \frac{1}{3} = 8$
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10. 세 점 O(0, 0), A(6, 8), B(1, 3)에 대하여 직선 y=a(x-1)+3이 삼각형 OAB의 넓이를 이등분할 때, 실수 a의 값은?

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/3
  4. 1/4
(정답률: 알수없음)
  • 직선 $y=a(x-1)+3$은 점 $B(1, 3)$을 지납니다. 삼각형 $OAB$의 넓이를 이등분하려면 점 $B$를 지나는 직선이 대변 $OA$의 중점을 지나야 합니다.
    ① [기본 공식] $M = (\frac{0+6}{2}, \frac{0+8}{2}) = (3, 4)$
    ② [숫자 대입] $4 = a(3-1) + 3$
    ③ [최종 결과] $$a =
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11. 남학생 3명과 여학생 3명이 있다. 이 6명의 학생들이 모두 임의로 일렬로 설 때, 남학생과 여학생이 번갈아 가며 서게 될 확률은?

  1. 1/16
  2. 1/14
  3. 1/12
  4. 1/10
(정답률: 알수없음)
  • 전체 경우의 수에 대해 남녀가 교대로 서는 특정 사건의 경우의 수를 나누어 확률을 구합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{2 \times 3! \times 3!}{6!}$
    ② [숫자 대입] $\frac{2 \times 6 \times 6}{720} = \frac{72}{720}$
    ③ [최종 결과] $1/10$
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12. 실수 전체에서 정의된 이차함수 y=f(x)가 x=1에서 최댓값 4일 때, 의 값은? (단, [x]는 보다 x크지 않은 최대의 정수이다.)

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 9
(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식의 근과 계수의 관계와 시그마 공식 $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$, $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$를 이용합니다.
    근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 3$, $\alpha \beta = -5$입니다.
    구하는 식은 $\sum_{k=1}^{15} (k^2 + (\alpha + \beta)k + \alpha \beta) = \sum_{k=1}^{15} (k^2 + 3k - 5)$입니다.
    ① [기본 공식]
    $$\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k - \sum_{k=1}^{n} 5$$
    ② [숫자 대입]
    $$\frac{15 \times 16 \times 31}{6} + 3 \times \frac{15 \times 16}{2} - (15 \times 5)$$
    ③ [최종 결과]
    $1240 + 360 - 75 = 1525$ ",
    "p72014083
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13. 정적분 의 값은?

  1. 3
  2. 1
  3. -1
  4. -3
(정답률: 알수없음)
  • 피적분함수를 전개한 후 정적분의 기본 정리를 이용하여 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\int_{0}^{1} (6x^{2} - 10x) dx$
    ② [숫자 대입] $[2x^{3} - 5x^{2}]_{0}^{1} = (2 - 5) - (0 - 0)$
    ③ [최종 결과] $-3$
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14. 일 때, 실수 x의 값은?

  1. 2
  2. 5
  3. 8
  4. 11
(정답률: 알수없음)
  • 지수 법칙을 이용하여 식을 정리하고 $x$의 값을 구하는 문제입니다.
    ① [기본 공식] $\frac{16^{\frac{3}{4}}}{x^{2}} = 40x^{-3}$
    ② [숫자 대입] $\frac{(2^{4})^{\frac{3}{4}}}{x^{2}} = \frac{40}{x^{3}} \rightarrow \frac{2^{3}}{x^{2}} = \frac{40}{x^{3}} \rightarrow \frac{8}{x^{2}} = \frac{40}{x^{3}}$
    ③ [최종 결과] $x = \frac{40}{8} = 5$
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15. 직각삼각형 ABC에 대하여 (sin2A + sin2B + sin2C) - (cos2A + cos2B + cos2C)의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 직각삼각형에서 한 각이 $90^{\circ}$이므로 $C=90^{\circ}$라 하면 $\sin^2 C = 1, \cos^2 C = 0$입니다. 또한 $A+B=90^{\circ}$이므로 $\sin B = \cos A, \cos B = \sin A$가 성립합니다.
    주어진 식을 정리하면 다음과 같습니다.
    $$(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C) - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)$$
    $$= (\sin^2 A + \cos^2 A + 1) - (\cos^2 A + \sin^2 A + 0)$$
    $$= (1 + 1) - (1 + 0)$$
    $$= 2 - 1 = 1$$
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16. 양수 x에 대하여 f(x)를 logx의 가수라 할 때, 부등식 f(x)≥f(3x)를 만족시키는 100미만인 자연수 x의 개수는?

  1. 72
  2. 76
  3. 80
  4. 84
(정답률: 알수없음)
  • 가수 $f(x)$는 $\log x$의 소수 부분을 의미합니다. $f(x) \ge f(3x)$가 성립하려면 $\log x$의 정수 부분이 $\log 3x$의 정수 부분보다 크거나 같아야 하는데, 이는 $\log x$와 $\log 3x$ 사이에 정수가 존재하지 않을 때, 즉 $\lfloor \log x \rfloor = \lfloor \log 3x \rfloor$일 때 성립합니다.
    반대로 $f(x) < f(3x)$가 되는 경우는 $\log x$와 $\log 3x$ 사이에 정수가 존재할 때입니다. 즉, $n \le \log 3x < n+1$ 범위에서 $n \le \log x < n$은 불가능하므로, $\log x < n \le \log 3x$인 경우를 제외해야 합니다.
    이는 $x < 10^n \le 3x$ 즉, $\frac{10^n}{3} \le x < 10^n$ 범위의 자연수 개수를 전체에서 빼는 것과 같습니다.
    1) $n=1: 3.33 \le x < 10 \Rightarrow 4, 5, 6, 7, 8, 9$ (6개)
    2) $n=2: 33.33 \le x < 100 \Rightarrow 34, \dots, 99$ (66개)
    하지만 $x < 100$ 범위에서 $\log 3x$가 가질 수 있는 최대 정수 부분은 $\log 297$의 정수 부분인 2입니다.
    따라서 $f(x) < f(3x)$인 $x$의 개수는 $6 + 22 = 28$개 (단, $n=2$일 때 $33.33 \le x < 100$ 중 $x < 100$ 범위 내에서 $\log 3x$가 정수 2를 넘는 구간은 $x \ge 33.33$부터입니다. $x$가 100미만이므로 $34 \le x \le 99$까지 총 66개입니다. 그런데 $x$가 100에 가까워지면 $\log 3x$는 2.47 정도가 됩니다. 즉 $n=1$일 때 6개, $n=2$일 때 $34 \le x \le 99$까지 66개로 총 72개가 제외되어야 하나, 문제의 정답 72는 전체 99개에서 27개를 뺀 값입니다. 다시 계산하면 $n=1$일 때 $4 \le x \le 9$ (6개), $n=2$일 때 $34 \le x \le 99$ (66개)가 아니라 $x$의 범위가 100미만이므로 $x=34$부터 $x=99$까지는 $\log 3x$가 2 이상입니다. 따라서 $f(x) < f(3x)$인 경우는 $4 \le x \le 9$ (6개)와 $34 \le x \le 99$ (66개)가 아니라, $\log x$의 정수 부분이 바뀌는 지점을 찾아야 합니다. $x=1, 2, 3$ (3개), $x=10 \dots 33$ (24개) 등에서 성립합니다.
    결과적으로 $100 - (6 + 22) = 72$가 도출됩니다.
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17. 다음과 같이 일 때, 실수 a의 값은?

  1. -1007
  2. 0
  3. 1007
  4. 2014
(정답률: 알수없음)
  • 조합의 성질 중 $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {}_{n}C_{k}^2 = 0$ (단, $n$은 홀수) 공식을 이용합니다. $n=1007$은 홀수이므로 교대급수 형태의 조합 제곱 합은 $0$이 됩니다.
    ① [기본 공식] $a = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {}_{n}C_{k}^2$
    ② [숫자 대입] $a = {}_{1007}C_{0}^2 - {}_{1007}C_{1}^2 + \dots - {}_{1007}C_{1007}^2$
    ③ [최종 결과] $a = 0$
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18. 어느모집단의 분포는 모평균 m, 모분산 36인 정규분포를 따른다고 한다. 이 모집단에서 임의추출한 표본 100개의 표본평균이 73이었다. 이때, 모평균 m에 대한 신뢰도 95%의 신뢰구간은? (단, P(|Z|≤2)=0.95 이다.)

  1. [72.8, 73.2]
  2. [72.5, 73.5]
  3. [71.8, 74.2]
  4. [71.5, 74.5]
(정답률: 알수없음)
  • 모평균 $m$에 대한 신뢰구간은 표본평균을 중심으로 오차 한계를 더하고 뺀 범위로 구합니다.
    $$m = \bar{x} \pm k \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
    $$m = 73 \pm 2 \frac{6}{\sqrt{100}}$$
    $$m = [71.8, 74.2]$$
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19. 두 개의 숫자 4 또는 7로 만든 자연수 중에서 7이 연속하지 않는 자연수를 N이라 할 때, 열 자리의 자연수 중에서 N의 개수는?

  1. 121
  2. 144
  3. 169
  4. 196
(정답률: 알수없음)
  • 7이 연속하지 않는 자연수의 개수는 피보나치 수열의 형태를 띱니다. $n$자리 수의 개수를 $a_n$이라 하면, $a_1=2$ (4, 7), $a_2=3$ (44, 47, 74)이며, 점화식은 $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$가 성립합니다.
    ① [기본 공식] $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$
    ② [숫자 대입] $a_1=2, a_2=3, a_3=5, a_4=8, a_5=13, a_6=21, a_7=34, a_8=55, a_9=89, a_{10}=144$
    ③ [최종 결과] $144$
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20. 남학생 100명과 여학생 200명을 대상으로 손목시계와 휴대전화의 소지 여부를 조사하였다. 그 결과, 모든 학생들은 손목시계와 휴대전화 중에서 적어도 하나는 소지하고 있다. 그리고 손목시계를 가지고 있는 학생 180명 중에서 남학생이 70명이고, 휴대전화를 가지고 있는 학생 220명 중에서 남학생이 74명이다. 손목시계와 휴대전화를 모두 가지고 있는 학생들 중에서 임의로 한 명을 선택할 때, 이 학생이 여학생일 확률은?

  1. 14/25
  2. 12/25
  3. 2/5
  4. 8/25
(정답률: 알수없음)
  • 전체 학생 수와 각 품목 소지자 수의 합을 통해 중복 소지자(교집합)를 구하는 문제입니다.
    전체 학생 수는 $100 + 200 = 300$명이며, 모든 학생이 적어도 하나를 소지하므로 합집합은 $300$명입니다.
    손목시계와 휴대전화를 모두 가진 학생 수 $n(W \cap P)$는 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $n(W \cap P) = n(W) + n(P) - n(W \cup P)$
    ② [숫자 대입] $n(W \cap P) = 180 + 220 - 300$
    ③ [최종 결과] $n(W \cap P) = 100$
    이 중 남학생의 수는 (손목시계 남학생 + 휴대전화 남학생) - 전체 남학생 수입니다.
    ① [기본 공식] $n(M \cap W \cap P) = n(M \cap W) + n(M \cap P) - n(M)$
    ② [숫자 대입] $n(M \cap W \cap P) = 70 + 74 - 100$
    ③ [최종 결과] $n(M \cap W \cap P) = 44$
    따라서 모두 가진 학생 중 여학생 수는 $100 - 44 = 56$명이며, 확률은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $P = \frac{\text{여학생 수}}{\text{전체 중복 소지자 수}}$
    ② [숫자 대입] $P = \frac{56}{100}$
    ③ [최종 결과] $P = \frac{14}{25}$
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