경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2014-08-30)

경찰공무원(순경) 수학 2014-08-30 필기 기출문제 해설

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경찰공무원(순경) 수학
(2014-08-30 기출문제)

목록

1과목: 수학

1. 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 연산 ◉를 A◉B=(A∪B)∩(A∩B)c로 정의할 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

  1. A ◉ A = ø
  2. B ◉ ø = B
  3. B ◉ U = ø
  4. A ◉ B = Ac ◉ Bc
(정답률: 알수없음)
  • 연산 $A \text{◉} B = (A \cup B) \cap (A \cap B)^c$는 두 집합의 대칭차집합 $A \triangle B$와 동일한 정의입니다.
    대칭차집합은 두 집합 중 어느 한쪽에만 속하는 원소들의 집합입니다.
    B ◉ U는 $B$와 전체집합 $U$의 대칭차집합이므로, $U$에서 $B$를 제외한 여집합 $B^c$가 되어야 합니다. 따라서 $\emptyset$이라는 설명은 옳지 않습니다.

    오답 노트
    A ◉ A: 동일 집합의 대칭차집합은 $\emptyset$이므로 옳음
    B ◉ $\emptyset$: 공집합과의 대칭차집합은 자기 자신 $B$이므로 옳음
    A ◉ B = $A^c$ ◉ $B^c$: 여집합끼리의 대칭차집합은 원래 집합의 대칭차집합과 같으므로 옳음
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1

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2. 집합 A={a-1, a+2, 5}, B={1, 3, a+5}에 대하여 A∩B={5}일 때, A∪B의 원소의 합은?

  1. 10
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • 교집합 $A \cap B = \{5\}$이므로, 두 집합의 공통 원소는 5뿐이며 나머지 원소들은 서로 달라야 합니다.
    집합 $A$에서 $a-1=5$ 또는 $a+2=5$여야 합니다.
    1) $a-1=5 \Rightarrow a=6$일 때: $A=\{5, 8, 5\}=\{5, 8\}$, $B=\{1, 3, 11\}$. 교집합은 $\{5\}$가 아니므로 모순입니다.
    2) $a+2=5 \Rightarrow a=3$일 때: $A=\{2, 5, 5\}=\{2, 5\}$, $B=\{1, 3, 8\}$. 교집합은 $\{5\}$가 아니므로 모순입니다.
    3) $A$의 5가 $B$의 원소와 같아야 하므로, $B$에서 $1=5$ (불가), $3=5$ (불가), $a+5=5 \Rightarrow a=0$일 때: $A=\{-1, 2, 5\}$, $B=\{1, 3, 5\}$. 이때 $A \cap B = \{5\}$를 만족합니다.
    따라서 합집합 $A \cup B = \{-1, 1, 2, 3, 5\}$이며 원소의 합은 다음과 같습니다.
    $$Sum = -1 + 1 + 2 + 3 + 5$$
    $$Sum = 10$$
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1

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3. 조일 때, an(단, n≥2))은?

  1. n+2
  2. 2n-1
  3. 3n-2
  4. 2n+1
(정답률: 알수없음)
  • 수열의 합 $S_n$이 주어졌을 때, 일반항 $a_n$은 $S_n - S_{n-1}$의 관계를 이용하여 구할 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $a_n = S_n - S_{n-1}$
    ② [숫자 대입] $a_n = (n^2 + 3) - ((n-1)^2 + 3)$
    ③ [최종 결과] $a_n = 2n - 1$
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4. α=1-2i, β=1+3i일 때, 의 값은? (단, 는 α, β의 켤레복소수이고, i=√-1이다.)

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식 $\alpha \bar{\alpha} + \bar{\alpha} \beta + \alpha \bar{\beta} + \beta \bar{\beta}$는 공통인수로 묶어 $(\alpha + \beta)(\bar{\alpha} + \bar{\beta})$로 인수분해됩니다.
    $\alpha + \beta = (1-2i) + (1+3i) = 2+i$이고, 그 켤레복소수인 $\bar{\alpha} + \bar{\beta} = 2-i$ 입니다.
    따라서 최종 값은 다음과 같습니다.
    $$ (2+i)(2-i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5 $$
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5. 이 실수가 되도록 하는 정수 x의 개수는?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 제곱근 내부의 값이 0 이상이어야 실수가 됩니다.
    $$\sqrt{-(x^2-1)(x^2+100)}$$ 에서 $x^2+100$은 항상 양수이므로, $-(x^2-1) \ge 0$ 즉, $x^2-1 \le 0$이어야 합니다.
    이를 풀면 $x^2 \le 1$이므로 $-1 \le x \le 1$ 입니다.
    이 범위를 만족하는 정수 $x$는 $-1, 0, 1$로 총 3개입니다.
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6. x에 대한 다항식 x3+ax+b를 x2-x+1로 나눈 나머지가 3x-2일 때, a-b의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 다항식의 나눗셈 원리에 따라 몫을 $x+1$로 설정하여 식을 세우면 $x^3+ax+b = (x^2-x+1)(x+1) + 3x-2$가 됩니다.
    우변을 전개하면 $x^3+1 + 3x-2 = x^3+3x-1$이 됩니다.
    좌변과 우변의 계수를 비교하면 $a=3, b=-1$ 입니다.
    따라서 구하는 값은 다음과 같습니다.
    $$a-b = 3-(-1) = 4$$
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7. 다항식 f(x)가 임의의 실수 x, y에 대하여 f(x)f(y) = f(x+y)+f(x-y), f(1)=-1을 만족시킬 때, f(0)+f(2)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 함수 방정식 $f(x)f(y) = f(x+y)+f(x-y)$에 특정 값을 대입하여 $f(0)$과 $f(2)$를 구합니다.
    1. $x=1, y=1$ 대입: $f(1)f(1) = f(2)+f(0)$ $\rightarrow$ $(-1)^{2} = f(2)+f(0)$ $\rightarrow$ $f(2)+f(0) = 1$
    따라서 $f(0)+f(2)$의 값은 1입니다.
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8. 이차방정식 (k-2)x2+2kx+1=0 이 서로 다른 부호의 실근을 갖는 실수 k의 범위는?

  1. k ＜ -2
  2. k ＞ -2
  3. k ＜ 2
  4. 0 ＜ k ＜ 2
(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식이 서로 다른 부호의 실근을 갖기 위해서는 두 근의 곱이 0보다 작아야 합니다. 이차방정식 $ax^{2}+bx+c=0$에서 두 근의 곱은 $\frac{c}{a}$입니다.
    ① [기본 공식] $\frac{c}{a} < 0$
    ② [숫자 대입]- $\frac{1}{k-2} < 0$
    ③ [최종 결과] $k < 2$
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9. x에 대한 방정식 xn-10xn-1+x2-x+1=0이 n개의 근 α1, α2, α3, …, an을 가질 때, (10-α1)(10-α2)(10-α3)…(10-αn)의 값은?

  1. 91
  2. 92
  3. 93
  4. 94
(정답률: 알수없음)
  • 다항식 $f(x) = x^{n}-10x^{n-1}+x^{2}-x+1$의 근이 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \dots, \alpha_{n}$일 때, $f(x)$는 $f(x) = (x-\alpha_{1})(x-\alpha_{2})\dots(x-\alpha_{n})$으로 인수분해됩니다. 따라서 구하고자 하는 값은 $f(10)$의 값과 같습니다.
    ① [기본 공식] $f(10) = 10^{n}-10(10)^{n-1}+10^{2}-10+1$
    ② [숫자 대입] $f(10) = 10^{n}-10^{n}+100-10+1$
    ③ [최종 결과] $f(10) = 91$
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10. 어느 지구대의 두 조기축구팀 A, B는 친선 경기를 하면서, 5번의 경기를 하여 두 팀 A, B 중에서 어느 한 팀이 먼저 3번을 이기면 승리하는 것으로 하였다. 이전에 두 팀 간의 경기 결과, 한 경기에서 A팀이 이길 확률은 2/3이고, B팀이 이길 확률은 1/3이다. 이와 같은 상황에서 두 팀 A, B가 친선 경기를 할 때, 5번째의 경기에서 승리팀이 결정될 확률은?

  1. 5/9
  2. 8/27
  3. 17/31
  4. 19/43
(정답률: 알수없음)
  • 5번째 경기에서 승리팀이 결정되려면, 4번째 경기까지 A팀과 B팀이 각각 2승 2패를 기록하고 5번째 경기에서 어느 한 팀이 이겨야 합니다.
    4경기까지 2승 2패가 될 확률: $${}_4C_2 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$$
    이 상태에서 5번째 경기를 하면 반드시 어느 한 팀이 3승을 달성하여 승리팀이 결정되므로, 확률은 $\frac{8}{27} \times 1 = \frac{8}{27}$ 입니다.
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11. x3-1=0의 한 허근을 ω라 할 때, ω5+ω4+ω3의 값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • $x^3 - 1 = 0$의 허근 $\omega$는 $\omega^3 = 1$과 $\omega^2 + \omega + 1 = 0$을 만족합니다. 이를 이용하여 차수를 낮추어 계산합니다.
    $$\omega^5 + \omega^4 + \omega^3 = \omega^2 \cdot \omega^3 + \omega \cdot \omega^3 + \omega^3$$
    $$\omega^3 = 1$ 대입 $\implies \omega^2 + \omega + 1$$
    $\omega^2 + \omega + 1 = 0$이므로 최종 값은 0입니다.
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12. x＞0, y＞0이고 일 때, x+y의 최솟값은?

  1. 1
  2. √2
  3. √3
  4. 2√3
(정답률: 알수없음)
  • 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 $x+y$의 최솟값을 구합니다. 주어진 조건 $\frac{3}{xy} = 1$에서 $xy = 3$ 임을 알 수 있습니다.
    ① [기본 공식]
    $$x + y \ge 2\sqrt{xy}$$
    ② [숫자 대입]
    $$x + y \ge 2\sqrt{3}$$
    ③ [최종 결과]
    $$x + y = 2\sqrt{3}$$
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13. 5개의 변량 2, 3, 4, x, y의 평균과 분산이 각각 4, 2일 때, xy의 값은?

  1. 20
  2. 30
  3. 40
  4. 54
(정답률: 알수없음)
  • 평균과 분산의 정의를 이용하여 미지수 $x, y$를 구합니다.
    평균 공식: $\frac{2+3+4+x+y}{5} = 4 \implies x+y = 11$
    분산 공식: $\frac{(2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (x-4)^2 + (y-4)^2}{5} = 2$
    $$\implies 4 + 1 + 0 + (x-4)^2 + (y-4)^2 = 10 \implies (x-4)^2 + (y-4)^2 = 5$$
    $x+y=11$을 대입하여 풀면 $\{x, y\} = \{5, 6\}$이 도출됩니다.
    따라서 $xy$의 값은 다음과 같습니다.
    $$xy = 5 \times 6$$
    $$xy = 30$$
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14. 직선 (2k-1)x+(k+1)y+2-k=0 이 k의 값에 관계없이 정점을 지날 때, 이 정점의 좌표는?

  1. (-1, -1)
  2. (-1, 1)
  3. (1, -1)
  4. (1, 1)
(정답률: 알수없음)
  • k의 값에 관계없이 항상 성립하려면 k에 대한 항등식이어야 합니다. 식을 k에 대해 정리하여 k의 계수 합이 0이 되는 지점을 찾습니다.
    $$(2x + y - 1)k + (-x + y + 2) = 0$$
    두 식을 동시에 만족하는 연립방정식을 풉니다.
    $$2x + y = 1$$
    $$-x + y = -2$$
    위 식을 계산하면 $x = 1, y = -1$이므로 정점의 좌표는 (1, -1)입니다.
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15. sinθ + cosθ = √2일 때, 의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식을 제곱하여 $\sin\theta \cos\theta$의 값을 구한 뒤, 구하고자 하는 식을 통분하여 계산합니다.
    $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 2$에서 $1 + 2\sin\theta \cos\theta = 2$이므로 $\sin\theta \cos\theta = 1/2$ 입니다.
    ① [기본 공식] $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta \cos\theta}$
    ② [숫자 대입] $\frac{1}{1/2}$
    ③ [최종 결과] $2$
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16. 행렬 에 대하여 A3-3A2+6A는?

(정답률: 알수없음)
  • 케일리-해밀턴 정리를 이용하여 고차 행렬식을 저차식으로 변환하여 계산합니다.
    행렬 $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$의 특성방정식은 $A^2 - (2+1)A + (2 \cdot 1 - 3 \cdot (-1))I = 0$이므로 $A^2 - 3A + 5I = 0$ 입니다.
    ① [기본 공식] $A^3 - 3A^2 + 6A = A(A^2 - 3A + 5I) + A$
    ② [숫자 대입] $A(0) + A = A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$
    ③ [최종 결과]
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17. 극한 의 값은?

  1. 7/9
  2. 11/23
  3. 15/31
  4. 17/43
(정답률: 알수없음)
  • 정적분의 정의를 이용하여 급수를 정적분으로 변환하여 계산합니다.
    분모의 최고차항인 $n^4$으로 분자 분모를 나누어 $\frac{1}{n}$ 형태의 $dx$를 만듭니다.
    ① [기본 공식] $\frac{4}{5} \int_{1}^{2} x^3 dx / \int_{1}^{2} x^4 dx$
    ② [숫자 대입] $\frac{4}{5} \times \frac{[\frac{1}{4}x^4]_{1}^{2}}{[\frac{1}{5}x^5]_{1}^{2}} = \frac{4}{5} \times \frac{\frac{15}{4}}{\frac{31}{5}}$
    ③ [최종 결과] $\frac{15}{31}$
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18. 함수 f(x)에서 x=2의 미분계수 f′(2)=9일 때, 의 값은?

  1. 0
  2. 3
  3. 6
  4. 9
(정답률: 알수없음)
  • 미분계수의 정의를 이용하여 주어진 극한식을 $f'(2)$의 형태로 변형하여 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2-h)}{3h} = \frac{2}{3} \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h} = \frac{2}{3} f'(2)$
    ② [숫자 대입] $= \frac{2}{3} \times 9$
    ③ [최종 결과] $= 6$
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19. 두 곡선 y=3x2, y=x3+2x로 둘러싸인 부분의 넓이를 S라 할 때, 2S의 값은?

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/3
  4. 1/4
(정답률: 알수없음)
  • 두 곡선의 교점을 찾아 적분 구간을 설정하고, 위쪽 곡선에서 아래쪽 곡선을 빼서 넓이를 구합니다.
    교점은 $3x^2 = x^3 + 2x$에서 $x^3 - 3x^2 + 2x = 0$, 즉 $x(x-1)(x-2) = 0$이므로 $x = 0, 1, 2$ 입니다.
    ① [기본 공식] $S = \int_{0}^{1} (x^3 + 2x - 3x^2) dx + \int_{1}^{2} (3x^2 - x^3 - 2x) dx$
    ② [숫자 대입] $S = [\frac{1}{4}x^4 - x^3 + x^2]_{0}^{1} + [x^3 - \frac{1}{4}x^4 - x^2]_{1}^{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$
    ③ [최종 결과] $2S = 1$
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20. 어느 범죄 연구 기관에서 어떤 특정 범죄의 피해자들을 대상으로 금전적 피해 여부를 조사하였다. 임의로 피해자 100명을 표본 추출한 결과 피해액 평균이 220, 표준편차 50 이었다. 피해자 전체의 피해 금액에 대한 평균 m을 신뢰도 95%로 추정할 때, m에 대한 신뢰구간은? (단, Z가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(|Z|≤1.96)=0.95 이다. 단위는 만원이다.)

  1. [210.1, 229.9]
  2. [210.2, 229.8]
  3. [210.3, 229.7]
  4. [210.5, 229.5]
(정답률: 알수없음)
  • 표본평균과 표준편차를 이용하여 모평균 $m$의 신뢰구간을 구하는 문제입니다.
    ① [기본 공식] $m = \bar{x} \pm z \frac{s}{\sqrt{n}}$
    ② [숫자 대입] $m = 220 \pm 1.96 \frac{50}{\sqrt{100}}$
    ③ [최종 결과] $m = [210.2, 229.8]$
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