경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2014-08-30)

경찰공무원(순경) 수학
(2014-08-30 기출문제)

목록

1. 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 연산 ◉를 A◉B=(A∪B)∩(A∩B)c로 정의할 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

  1. A ◉ A = ø
  2. B ◉ ø = B
  3. B ◉ U = ø
  4. A ◉ B = Ac ◉ Bc
(정답률: 알수없음)
  • 정답은 "B ◉ U = ø"이다.

    연산 ◉는 두 부분집합 A, B를 입력으로 받아서 새로운 부분집합을 출력하는 연산이다. 연산 ◉의 정의에 따라 A ◉ B = (A∪B)∩(A∩B)c이므로, B ◉ U = (B∪U)∩(B∩U)c이다.

    여기서 B∪U = U이고, B∩U = B이므로, (B∪U)∩(B∩U)c = U∩Bc = Bc이다. 따라서 B ◉ U = Bc이다.

    따라서 "B ◉ U = ø"는 옳지 않다. Bc와 ø는 다른 부분집합이기 때문이다.
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2. 집합 A={a-1, a+2, 5}, B={1, 3, a+5}에 대하여 A∩B={5}일 때, A∪B의 원소의 합은?

  1. 10
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • A∩B={5} 이므로 A와 B의 공통 원소는 5 하나이다. 따라서 A∪B의 원소는 {a-1, a+2, 5, 1, 3, a+5} 이다. 이들의 합을 구하면 a-1+a+2+5+1+3+a+5=2a+15 이다. 따라서 정답은 10이 아니라 2a+15이다.
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3. 조일 때, an(단, n≥2))은?

  1. n+2
  2. 2n-1
  3. 3n-2
  4. 2n+1
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 수열의 항들을 살펴보면, 첫 번째 항은 1이고, 두 번째 항부터는 이전 항에 2를 곱한 후 1을 더한 값이 된다. 즉, a2=2a1+1, a3=2a2+1, a4=2a3+1, ... 이므로, 일반항은 an=2an-1+1이 된다. 이를 식으로 정리하면 an=2n-1+1이 된다. 따라서, an의 값은 2n-1이 된다. 따라서, 정답은 "2n-1"이다.
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4. α=1-2i, β=1+3i일 때, 의 값은? (단, 는 α, β의 켤레복소수이고, i=√-1이다.)

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, α와 β의 켤레복소수를 구해보면:

    α의 켤레복소수: 1+2i
    β의 켤레복소수: 1-3i

    따라서, 주어진 식을 대입하면:

    |α-β|^2 = |(1-2i)-(1+3i)|^2
    = |-5i|^2
    = 25

    따라서, 정답은 5이다.
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5. 이 실수가 되도록 하는 정수 x의 개수는?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림에서 x가 되려면, 가로줄과 세로줄에 각각 홀수 개의 점이 있어야 합니다. 따라서, 가능한 x의 위치는 (1,1), (1,5), (3,3), (5,1), (5,5)입니다. 이 중에서 (3,3)은 이미 점이 차있기 때문에, 가능한 x의 개수는 4개 중에서 1개를 제외한 3개입니다. 따라서 정답은 "3"입니다.
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6. x에 대한 다항식 x3+ax+b를 x2-x+1로 나눈 나머지가 3x-2일 때, a-b의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • x3+ax+b를 x2-x+1로 나눈 나머지가 3x-2이므로, 다음과 같은 식이 성립한다.

    x3+ax+b = (x2-x+1)(x)+3x-2

    위 식에서 좌변과 우변의 x의 계수와 상수항을 비교하면 다음과 같다.

    좌변: x3+ax+b
    우변: (x2-x+1)(x)+3x-2

    따라서, a = -1, b = -2가 된다.

    따라서, a-b = -1-(-2) = 1+2 = 3이므로, 정답은 "3"이다.
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7. 다항식 f(x)가 임의의 실수 x, y에 대하여 f(x)f(y) = f(x+y)+f(x-y), f(1)=-1을 만족시킬 때, f(0)+f(2)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 우선 f(0)을 구해보자.
    f(0)f(0) = f(0+0) + f(0-0) = 2f(0)
    따라서 f(0) = 0 또는 f(0) = 2가 된다.

    이제 f(2)를 구해보자.
    f(1)f(1) = f(1+1) + f(1-1) = 2f(2)
    따라서 f(2) = -1/2가 된다.

    따라서 f(0) + f(2) = 0 - 1/2 = -1/2이다.
    따라서 정답은 "2"가 아닌 "1"이 된다.
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8. 이차방정식 (k-2)x2+2kx+1=0 이 서로 다른 부호의 실근을 갖는 실수 k의 범위는?

  1. k ＜ -2
  2. k ＞ -2
  3. k ＜ 2
  4. 0 ＜ k ＜ 2
(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식의 판별식 D는 D = 4k2 - 4(k-2) = 8k - 4k2 이다.

    서로 다른 부호의 실근을 갖으려면 D > 0 이어야 한다.

    8k - 4k2 > 0

    4k(2-k) > 0

    k(2-k) > 0

    k > 0 이거나 k < 2 이어야 한다.

    하지만 k > 0 이면 이차방정식의 계수가 모두 양수이므로 실근이 서로 같은 부호가 된다.

    따라서 k < 2 여야만 서로 다른 부호의 실근을 갖는다.

    정답은 "k ＜ 2" 이다.
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9. x에 대한 방정식 xn-10xn-1+x2-x+1=0이 n개의 근 α1, α2, α3, …, an을 가질 때, (10-α1)(10-α2)(10-α3)…(10-αn)의 값은?

  1. 91
  2. 92
  3. 93
  4. 94
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 방정식에서 x=10을 대입하면 0=0이 되므로 10은 항상 이 방정식의 근이다. 따라서 (10-α1)(10-α2)...(10-αn)은 상수항이며, 이 값은 방정식의 상수항인 1과 같다. 따라서 (10-α1)(10-α2)...(10-αn)=1이다. 따라서 정답은 91이다.
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10. 어느 지구대의 두 조기축구팀 A, B는 친선 경기를 하면서, 5번의 경기를 하여 두 팀 A, B 중에서 어느 한 팀이 먼저 3번을 이기면 승리하는 것으로 하였다. 이전에 두 팀 간의 경기 결과, 한 경기에서 A팀이 이길 확률은 2/3이고, B팀이 이길 확률은 1/3이다. 이와 같은 상황에서 두 팀 A, B가 친선 경기를 할 때, 5번째의 경기에서 승리팀이 결정될 확률은?

  1. 5/9
  2. 8/27
  3. 17/31
  4. 19/43
(정답률: 알수없음)
  • 두 팀 중 어느 한 팀이 먼저 3번을 이기면 승리하는 것이므로, 5번째 경기에서 승리팀이 결정되지 않았다면, 이전까지의 4번의 경기에서 A팀과 B팀이 각각 2번 이겼다는 뜻이다.

    따라서 5번째 경기에서 A팀이 이길 확률은 (2/3) x (2/3) x (1/3) x (1/3) = 4/81 이고, B팀이 이길 확률도 (1/3) x (1/3) x (2/3) x (2/3) = 4/81 이다.

    하지만 이번에는 무승부가 될 수도 있으므로, 무승부 확률도 계산해야 한다. 무승부가 되려면 A팀과 B팀이 각각 2번 이겼을 때, 나머지 1번의 경기에서 A팀과 B팀이 각각 이길 확률이 같아야 한다. 이는 각각 (2/3) x (1/3) = 2/9 이므로, 무승부 확률은 (2/9) x (2/9) = 4/81 이다.

    따라서 5번째 경기에서 승리팀이 결정될 확률은 4/81 + 4/81 = 8/81 이고, 이는 보기 중에서 "8/27"과 일치한다. 이유는 8/81을 3으로 나누면 8/27이 되기 때문이다.
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11. x3-1=0의 한 허근을 ω라 할 때, ω5+ω4+ω3의 값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 우선 x3-1=0은 (x-1)(x2+x+1)=0으로 인수분해할 수 있고, 따라서 x=1 또는 x2+x+1=0이다.

    여기서 x2+x+1=0의 해는 x=(-1±√3i)/2이다. 이 중에서 ω=(-1+√3i)/2를 한 허근으로 정했으므로, ω2+ω+1=0이 성립한다.

    따라서 ω3=1/ω, ω4=ω/ω2=-ω2, ω5=ω/ω2=-ω2를 이용하여

    ω5+ω4+ω3=-ω2-ω2+1/ω

    = -2ω2+1/ω

    = -2(ω2+ω+1)+3/ω

    = -2(0)+3/ω

    = 0

    따라서 정답은 0이다.
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12. x＞0, y＞0이고 일 때, x+y의 최솟값은?

  1. 1
  2. √2
  3. √3
  4. 2√3
(정답률: 알수없음)
  • 우선 제곱근 안에 있는 식을 정리해보면, (x+y)^2 - 4xy = (x-y)^2 이 됩니다. 이를 다시 정리하면 x+y = (√3)(√(x^2-xy+y^2)) + (x-y) 입니다. 이때 (√3)(√(x^2-xy+y^2)) 은 항상 0보다 크므로, x-y를 최소화하는 것이 x+y를 최소화하는 것과 같습니다. 따라서 x=y가 되어야 x+y가 최소가 됩니다. 이때 x=y를 대입하면, x^2-xy+y^2 = x^2-x^2+x^2 = x^2 이므로, x+y = 2√3 이 됩니다. 따라서 정답은 2√3입니다.
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13. 5개의 변량 2, 3, 4, x, y의 평균과 분산이 각각 4, 2일 때, xy의 값은?

  1. 20
  2. 30
  3. 40
  4. 54
(정답률: 알수없음)
  • 평균과 분산의 공식을 이용하여 다음과 같은 식을 세울 수 있다.

    (2+3+4+x+y)/5 = 4 -> x+y = 15
    [(2-4)^2 + (3-4)^2 + (4-4)^2 + (x-4)^2 + (y-4)^2]/5 = 2 -> (x-4)^2 + (y-4)^2 = 8

    두 식을 이용하여 xy를 구해보자.

    (x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 225 -> x^2 + y^2 + 2xy = 225
    (x-4)^2 + (y-4)^2 = 8 -> x^2 + y^2 - 8x - 8y + 32 = 8
    -> x^2 + y^2 - 8x - 8y + 24 = 0

    위의 두 식을 연립하여 풀면,

    2xy = 225 - x^2 - y^2 = 225 - (8x + 8y - 24) - y^2
    -> x^2 + 6x + y^2 + 6y - 201 = 0

    여기서 x+y=15를 이용하여,

    x^2 + 6x + y^2 + 6y - 201 = (x+y)^2 + 6(x+y) - 216 = 0
    -> (x+y+18)(x+y-12) = 0

    x+y=15 이므로 x+y-12=3 이다. 따라서,

    x+y+18=33 이고, xy = (x+y)(x+y-3) = 15 × 12 = 180

    따라서 정답은 180/2 = 30 이다.
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14. 직선 (2k-1)x+(k+1)y+2-k=0 이 k의 값에 관계없이 정점을 지날 때, 이 정점의 좌표는?

  1. (-1, -1)
  2. (-1, 1)
  3. (1, -1)
  4. (1, 1)
(정답률: 알수없음)
  • 직선이 정점을 지날 때, 해당 점은 직선과 수직인 선분의 중점이 된다. 따라서, 직선의 기울기는 -1/((2k-1)/(k+1)) = -(k+1)/(2k-1) 이다. 이 기울기와 점 (2-k, k)를 지나는 직선의 기울기 -1이 같으므로,

    -(k+1)/(2k-1) = -1

    k+1 = 2k-1

    k = 2

    따라서, 정점의 좌표는 (2-2, 2) = (0, 2) 이다. 하지만 이 점은 보기에 없으므로, 다시 직선의 방정식에 대입하여 y값이 -1이 되는 x값을 찾으면 된다.

    (2k-1)x + (k+1)(-1) + 2-k = 0

    (2k-1)x - k - 3 = 0

    x = (k+3)/(2k-1)

    x = (2+3)/(2*2-1) = 1

    따라서, 정점의 좌표는 (1, -1) 이다.
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15. sinθ + cosθ = √2일 때, 의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 우선 주어진 식에서 양변에 제곱을 취해보자.

    (sinθ + cosθ)² = 2

    sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 2

    1 + sin2θ = 2

    sin2θ = 1

    따라서, 의 값은 2이다.

    이유는 sin2θ의 값이 1이 되는 경우는 θ가 45도일 때이며, 이때 의 값은 2가 된다.
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16. 행렬 에 대하여 A3-3A2+6A는?

(정답률: 알수없음)
  • A3-3A2+6A를 계산하기 위해서는 먼저 A2을 계산해야 합니다.

    A2 = × =

    그리고 A3을 계산합니다.

    A3 = A2 × A = × =

    따라서,

    A3-3A2+6A = - 3 × + 6 × =

    따라서, 정답은 ""입니다.
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17. 극한 의 값은?

  1. 7/9
  2. 11/23
  3. 15/31
  4. 17/43
(정답률: 알수없음)
  • 극한 값은 분모와 분자의 차수가 가장 높은 항의 계수로 나눈 값이 된다. 이 식에서는 분모와 분자의 차수가 모두 2이므로, 각각의 최고차항의 계수인 5로 나누어 준다. 따라서, 분자는 (5x^2 - 3x + 1)/5, 분모는 (2x^2 - 5x + 3)/5 가 된다. 이제 x에 무한대 값을 대입해보면, 분자의 가장 큰 항과 분모의 가장 큰 항이 서로 상쇄되어 결국 15/31이 된다. 따라서, 정답은 "15/31"이다.
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18. 함수 f(x)에서 x=2의 미분계수 f′(2)=9일 때, 의 값은?

  1. 0
  2. 3
  3. 6
  4. 9
(정답률: 알수없음)
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19. 두 곡선 y=3x2, y=x3+2x로 둘러싸인 부분의 넓이를 S라 할 때, 2S의 값은?

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/3
  4. 1/4
(정답률: 알수없음)
  • 우선 두 곡선이 만나는 지점을 찾아야 한다. y=3x2와 y=x3+2x가 만나는 지점은 x=0 또는 x=1이다. 따라서 이 두 지점을 기준으로 적분을 해야 한다.

    x=0에서의 y값을 구하면 y=0, y=2이다. 따라서 x=0에서 y=0부터 y=2까지의 적분을 해야 한다.

    x=1에서의 y값을 구하면 y=3, y=3이다. 따라서 x=1에서 y=3부터 y=3까지의 적분을 해야 한다.

    따라서 S = ∫01 (x3+2x - 3x2) dx = 1/4

    따라서 2S = 1/2 이므로 정답은 "1"이다.
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20. 어느 범죄 연구 기관에서 어떤 특정 범죄의 피해자들을 대상으로 금전적 피해 여부를 조사하였다. 임의로 피해자 100명을 표본 추출한 결과 피해액 평균이 220, 표준편차 50 이었다. 피해자 전체의 피해 금액에 대한 평균 m을 신뢰도 95%로 추정할 때, m에 대한 신뢰구간은? (단, Z가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(|Z|≤1.96)=0.95 이다. 단위는 만원이다.)

  1. [210.1, 229.9]
  2. [210.2, 229.8]
  3. [210.3, 229.7]
  4. [210.5, 229.5]
(정답률: 알수없음)
  • 표본의 크기가 100으로 크기 때문에 중심극한정리에 따라 표본평균은 대략적으로 정규분포를 따른다고 가정할 수 있다. 따라서, 표본평균의 표준오차는 표준편차를 표본의 제곱근으로 나눈 값인 5이다.

    신뢰도 95%로 추정할 때, 양측 검정을 하기 때문에 유의수준은 0.025이다. 이때, 표준정규분포에서 Z값이 1.96인 경우의 확률은 0.025이다.

    따라서, 신뢰구간은 표본평균 ± (Z값 × 표준오차)로 구할 수 있다. 여기서 Z값은 1.96이고, 표준오차는 5이므로,

    신뢰구간 = 220 ± (1.96 × 5) = [210.2, 229.8]

    따라서, 정답은 "[210.2, 229.8]"이다.
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