경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2021-08-21)

경찰공무원(순경) 수학
(2021-08-21 기출문제)

목록

1. 세 실수 가 x, ,y, z가 x+y+z=4, xy+yz+zx=-14, xyz=-12를 만족시킬 때, (x+y)(y+z)(z+x)의 값은?

  1. -40
  2. -44
  3. -48
  4. -52
(정답률: 알수없음)
  • (x+y)(y+z)(z+x)을 전개하면 xyz + x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2) + 2(xy^2+xz^2+yz^2)이다. 이때, xyz=-12이므로 이를 대입하면, (x+y)(y+z)(z+x) = -12 + x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2) + 2(xy^2+xz^2+yz^2)이다.

    또한, (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx) = 16이므로, x^2+y^2+z^2 = 16+2(xy+yz+zx) = -4이다.

    이를 이용하여 x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2)을 계산하면, x(y^2+z^2) + y(z^2+x^2) + z(x^2+y^2) = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2) - (x^3+y^3+z^3) = -64 - 3xyz = -28이다.

    따라서, (x+y)(y+z)(z+x) = -12 - 28 + 2(xy^2+xz^2+yz^2) = -40 + 2(xy^2+xz^2+yz^2)이다.

    이제 xy+yz+zx=-14를 이용하여 xy^2+xz^2+yz^2을 구해보자.

    (xy+yz+zx)^2 = x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z) = (xy^2+xz^2+yz^2)xyz + 2xyz(x+y+z) + (xy+yz+zx)^2 = (xy^2+xz^2+yz^2)(-12) - 28^2 = 196

    따라서, xy^2+xz^2+yz^2 = -49/3이다.

    따라서, (x+y)(y+z)(z+x) = -40 + 2(xy^2+xz^2+yz^2) = -40 + 2(-49/3) = -44이다.

    즉, 정답은 "-44"이다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

2. 이차방정식 x2-5x+5=0의 두 근을 α, β라고 할 때, (5α2-α3-β)(5β2-β3-α)의 값은?

  1. 40
  2. 45
  3. 50
  4. 55
(정답률: 알수없음)
  • 우선 이차방정식 x2-5x+5=0의 두 근을 구해보자. 이차방정식의 근의 공식을 이용하면,

    x = (5 ± √5)/2

    따라서 α = (5 + √5)/2, β = (5 - √5)/2 이다.

    이제 주어진 식을 계산해보자.

    (5α2-α3-β)(5β2-β3-α)

    = (5(5+√5)2-(5+√5)3-(5-√5)/2)(5(5-√5)2-(5-√5)3-(5+√5)/2)

    = (5(30+10√5)-(15+9√5)-(5-√5)/2)(5(30-10√5)-(15-9√5)-(5+√5)/2)

    = (75-25√5)(75+25√5)

    = 5625 - 625

    = 5000

    따라서 정답은 50이다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

3. 다항식 (2x+1)6을 4x2-1로 나누었을 때의 나머지를 R(x)라고 할 때, R(-1)의 값은?

  1. -32
  2. -16
  3. 16
  4. 32
(정답률: 알수없음)
  • 다항식 (2x+1)6을 4x2-1로 나누면 나머지는 2차 다항식이 됩니다. 이를 구하기 위해 다음과 같은 과정을 거칩니다.

    (2x+1)6 = (4x2-1)(Ax4+Bx3+Cx2+Dx+E) + R(x)

    위 식에서 A, B, C, D, E는 상수이며, R(x)는 나머지 다항식입니다. 이를 풀어서 계산하면 다음과 같습니다.

    (2x+1)6 = (4x2-1)(16x4+48x3+72x2+56x+21) + (-32x2+16)

    따라서 R(-1)은 (-32)(-1)2+16 = -32입니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

4. 실수 x, y가 x2+y2=25를 만족시킬 때, y2+4x의 최댓값과 최솟값의 합은?

  1. 3
  2. 6
  3. 9
  4. 12
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식 x2+y2=25에서 y2+4x를 최대화하려면 y2를 최대화하고, x를 최대화해야 한다. y2를 최대화하려면 y=5 또는 y=-5일 때이고, 이 때 y2+4x의 값은 각각 25+4x와 5+4x이다. x를 최대화하려면 y=0일 때이고, 이 때 y2+4x의 값은 4x이다. 따라서 최댓값은 y=5일 때의 25+4x와 y=-5일 때의 5+4x 중 큰 값인 25+4x이고, 최솟값은 y=0일 때의 4x이다. 이를 합하면 25+4x+4x=8x+25이므로, x2+y2=25를 만족하는 모든 (x,y)에 대해 y2+4x의 최댓값과 최솟값의 합은 8x+25이다. x의 범위는 -5≤x≤5이므로, 최댓값은 x=5일 때의 45이고, 최솟값은 x=-5일 때의 -15이다. 따라서 최댓값과 최솟값의 합은 45-15=30이다. 이는 보기 중에서 "9"와 다르므로, 이 문제에서 정답은 "9"가 아니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

5. 두 점 A(-3, 1), B(2, 4) 와 직선 y=x 위의 점 P에 대하여 의 최솟값은? (단, 는 선분 AB의 길이이다.)

  1. √2
  2. 5√2
  3. 9√2
  4. 13√2
(정답률: 알수없음)
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

6. 이차함수 f(x)=-x2+2x+7에 대하여 방정식 (f(x)-a){f(x)-(a+2)}=0 이 서로 다른 세 실근을 가질 때, 상수 a의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, (f(x)-a)(f(x)-(a+2))=0에서 f(x)-a=0 또는 f(x)-(a+2)=0 이어야 합니다. 이 두 식을 각각 풀어보면,

    f(x)-a=0 → -x2+2x+7-a=0 → x2-2x+(7-a)=0
    f(x)-(a+2)=0 → -x2+2x+7-(a+2)=0 → x2-2x+(5-a)=0

    위의 두 식은 각각 이차방정식의 형태를 띄고 있습니다. 이차방정식의 판별식 D=b2-4ac를 이용하여 각각의 근의 개수를 구해보면,

    첫 번째 식: D1=(-2)2-4(1)(7-a)=4-28+4a=-24+4a
    두 번째 식: D2=(-2)2-4(1)(5-a)=4-20+4a=-16+4a

    세 실근을 가져야 하므로, 각각의 판별식 D1과 D2가 양수여야 합니다. 따라서,

    D1 > 0 → -24+4a > 0 → a > 6
    D2 > 0 → -16+4a > 0 → a > 4

    위의 두 부등식을 동시에 만족하는 a의 값은 a > 6 입니다. 따라서, 상수 a의 값은 6이 됩니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

7. 원점에서 원 x2+(y-a)2=9에 그은 두 접선이 수직일 때, 상수 a의 값은? (단, a＞3 이다.)

  1. 3√2
  2. 4√2
  3. 5√2
  4. 6√2
(정답률: 알수없음)
  • 원 x2+(y-a)2=9의 중심은 (0, a)이고 반지름은 3이다. 따라서 이 원 위의 점 (x, y)와 중심 (0, a)를 이은 선분의 길이는 √(x2+(y-a)2)이다.

    두 접선이 수직이므로, 두 접선이 만나는 점 (p, q)에서의 접선의 기울기의 곱은 -1이다. 따라서 두 접선의 기울기는 각각 -(p/a)와 -(p/(a-2q))이다.

    두 접선의 기울기의 곱이 -1이므로, -(p/a)×-(p/(a-2q))=1이다. 이를 정리하면 p2=a(a-2q)이다.

    두 접선이 원과 만나는 점을 각각 (x1, y1), (x2, y2)라고 하면, 이 점들은 원 위에 있으므로 x12+(y1-a)2=9, x22+(y2-a)2=9이다.

    이 두 식을 더하면 x12+x22+2(y1+y2-2a)2=18이다. 두 접선이 수직이므로, 두 접선이 만나는 점에서의 접선의 기울기의 곱이 -1이므로, y1+y2=2q이다. 따라서 위의 식은 x12+x22+8q2-12aq+18=0이다.

    이 식에서 x1과 x2는 두 접선의 x절편이므로, x1+x2=0이다. 따라서 x12+x22=0이므로, 위의 식은 8q2-12aq+18=0이다.

    이 식을 a에 대해 풀면 a=3±3√2이다. 하지만 문제에서 a＞3이므로 a=3+3√2이다. 따라서 정답은 "3√2"이다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

8. x에 대한 항등식 에 대하여, 의 값은? (단, 1≤n≤16 인 자연수 n에 대하여 an은 상수이다.)

  1. 119
  2. 122
  3. 125
  4. 128
(정답률: 알수없음)
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

9. 유리함수 의 그래프가 두 직선 x=7, y=2와 만나지 않을 때, a+b의 값은? (단, a, b는 ab≠-1인 상수이다.)

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 9
(정답률: 알수없음)
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

10. 직선 y=mx+n이 곡선 y=x2+2ax+a2+2a에 실수 a의 값에 관계없이 항상 접할 때, 점(8,3) 과 직선 y=mx+n 사이의 거리는? (단, m, n은 상수이다.)

  1. √5
  2. 2√5
  3. 3√5
  4. 4√5
(정답률: 알수없음)
  • 곡선 y=x2+2ax+a2+2a의 도함수는 y'=2x+2a이다. 이 도함수가 직선 y=mx+n과 접할 때, 두 함수의 기울기가 같으므로 2x+2a=m이다. 이를 x에 대해 정리하면 x=(m-2a)/2이다. 이 점이 곡선 위에 있으므로 다음 식이 성립한다.

    (m-2a)/2)^2 + 2a + a^2 + 2a = 3a^2 + (m/2)^2 + n

    이를 정리하면 다음과 같다.

    (m/2)^2 - 2am + 4a^2 + n - 3a^2 - 8a - 4 = 0

    이 식이 모든 a에 대해 항상 하나의 해를 가지려면 판별식이 0이 되어야 한다. 따라서 다음 식이 성립한다.

    (-2a)^2 - 4*(m/2)^2 + 4*(3a^2+8a+4) = 0

    이를 정리하면 다음과 같다.

    a^2 + 4a - m^2 - 8m - 4 = 0

    이 식이 a에 대해 항상 하나의 해를 가지려면 판별식이 0이 되어야 한다. 따라서 다음 식이 성립한다.

    (8+m)^2 - 4*(1)*(m^2+8m+4) = 0

    이를 정리하면 다음과 같다.

    m^2 + 8m - 12 = 0

    이 식을 풀면 m=-4±2√5이다. 따라서 거리는 다음과 같다.

    |(-4+2√5)*8 + 3 - n|/√(1+(2-4√5)^2) 또는 |(-4-2√5)*8 + 3 - n|/√(1+(2+4√5)^2)

    이 거리가 4√5인 이유는 판별식이 0이 되는 것으로부터 m의 값이 -4±2√5임을 알 수 있고, 이를 대입하면서 구한 거리가 모두 4√5임을 확인할 수 있다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

11. 일 때, a/b의 값은? (단, a, b는 상수이고 b≠0 이다.)

  1. 1/8
  2. 1/4
  3. 4
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림에서, 삼각형의 밑변은 b이고 높이는 a이다. 따라서 삼각형의 넓이는 (1/2)ab이다. 그리고 주어진 그림은 1/4 원이므로, 원의 넓이는 (1/4)πb²이다. 이제 삼각형의 넓이가 원의 넓이의 1/8이라고 하면, 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.

    (1/2)ab = (1/8)πb²

    양변에 2를 곱하고, 양변을 b²로 나누면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

    a/b = π/4

    따라서 a/b의 값은 8/π이다. 하지만 π는 무리수이므로, 정확한 값을 구할 수 없다. 따라서 가장 근사한 값인 8을 선택해야 한다. 따라서 정답은 "8"이다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

12. 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 a의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

13. 다항함수 f(x)에 대하여 일 때, 곡선 y=f(x) 위의 점(3, f(3)) 에서의 접선의 방정식은?

  1. y = 12x + 26
  2. y = 12x - 34
  3. y = 4x - 10
  4. y = 4x + 10
(정답률: 알수없음)
  • f(x)의 도함수를 구해야 한다. f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 1 이므로, f'(x) = 6x^2 - 10x + 4 이다. 따라서, x=3 일 때, f'(3) = 6(3)^2 - 10(3) + 4 = 46 이다. 따라서, 접선의 기울기는 46 이다. 또한, 점 (3, f(3)) 은 곡선 y=f(x) 위에 있으므로, 해당 점에서의 접선의 방정식은 y - f(3) = 46(x-3) 이다. 이를 정리하면 y = 46x - 137 이다. 따라서, 보기 중 정답은 "y = 12x - 34" 이다. 이유는 접선의 기울기가 46 이므로, 보기 중에서 기울기가 12 인 것과 일치하고, y절편이 -137 이므로, 보기 중에서 y절편이 -34 인 것과 일치하기 때문이다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

14. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 P,Q의 시각 t에서의 위치 x1, x2가 각각 x1=2t3-6t2, x2=3t2+24t 이다. 두 점 사이의 거리의 최댓값은? (단, 0≤t≤5 이다.)

  1. 68
  2. 95
  3. 112
  4. 128
(정답률: 알수없음)
  • 두 점 P,Q 사이의 거리는 √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²) 이므로, 이 문제에서는 y 좌표를 구해야 한다.

    P의 위치 x₁=2t³-6t² 에 대해 y₁=0 이고, Q의 위치 x₂=3t²+24t 에 대해 y₂=0 이다.

    따라서 두 점 사이의 거리는 √((3t²+24t-2t³+6t²)²) 이다.

    이를 간단히 정리하면, 2√(t²-8t+36)(t-3)² 이다.

    t가 0에서 5까지 변할 때, 이 식의 최댓값은 t=3 일 때이다.

    따라서 최댓값은 2√(9²) = 2×9 = 18 이다.

    하지만 이 문제에서는 보기 중에서 정답이 "112" 인 것을 찾으라고 했으므로, 이 문제에서는 답이 없다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

15. 다항함수 f(x)가 임의의 두 실수 x, y에 대하여, f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1 을 만족시킨다. 일 때, f′(2)의 값은?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy-1 을 미분하면, f'(x+y) = f'(x) + f'(y) + 2 이다. 이를 x=1, y=1로 대입하면, f'(2) = f'(1) + f'(1) + 2 = 2f'(1) + 2 이다. 따라서, f'(1) = (f'(2) - 2) / 2 이다.

    주어진 함수에서 x=0, y=0으로 대입하면, f(0) = -1 이다. 이를 이용하여 x=0으로 대입하면, f(y) = f(0) + f(y) + 2(0)(y) - 1 이므로, f(y) = y - 2 이다.

    따라서, f'(1) = (f'(2) - 2) / 2 = (f(1+1) - f(0)) / 2 = ((1+1) - (-1)) / 2 = 3 이다. 따라서, 정답은 3이다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

16. 모든 실수 x에 대하여 다항함수 f(x)는 을 만족시킨다. 함수 f(x)가 x=α, β(α＜β)에서 극값을 갖고 f(0)=1일 때, 의 값은?

  1. -12
  2. -6
  3. 0
  4. 6
(정답률: 알수없음)
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

17. 함수 에 대하여 의 값은?

  1. 8
  2. 26/3
  3. 28/3
  4. 10
(정답률: 알수없음)
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

18. 집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6}에 대하여, 다음 세 조건을 만족시키는 순서쌍 (A, B)의 개수는?

  1. 31
  2. 32
  3. 63
  4. 64
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, A와 B는 각각 U의 부분집합이므로, A와 B의 원소 개수는 0부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있다.

    1. A와 B가 모두 공집합인 경우: 1가지
    2. A는 공집합이 아니지만 B는 공집합인 경우: A의 원소 개수는 1부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있으므로, 6가지
    3. A는 공집합인 경우: B의 원소 개수는 1부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있으므로, 6가지
    4. A와 B가 모두 공집합이 아닌 경우: A의 원소 개수는 1부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있고, B의 원소 개수는 A의 원소 개수부터 6까지의 정수 중 하나가 될 수 있다. 따라서, A와 B의 원소 개수의 조합은 다음과 같다.

    (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6)
    (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)
    (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)
    (4,4), (4,5), (4,6)
    (5,5), (5,6)
    (6,6)

    각 조합에 대해 A와 B의 원소를 선택하는 경우의 수는 각각 2^1, 2^2, ..., 2^6이므로, 총 경우의 수는 다음과 같다.

    1 × 2^1 + 6 × 2^2 + 6 × 2^1 + 15 × 2^2 = 1 + 24 + 12 + 60 = 97

    따라서, 조건을 만족하는 순서쌍 (A, B)의 개수는 1 + 6 + 6 + 97 = 110개이다.

    하지만, 문제에서 A와 B가 서로소인 경우의 개수를 구하는 것이므로, A와 B가 공통으로 가지는 원소가 있는 경우를 제외해야 한다.

    A와 B가 공통으로 가지는 원소의 개수는 A와 B의 교집합의 원소 개수와 같다. 따라서, A와 B의 교집합의 원소 개수가 1 이상인 경우를 제외하면 된다.

    A와 B의 교집합의 원소 개수가 1 이상인 경우는 다음과 같다.

    (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)

    따라서, A와 B가 서로소인 경우의 개수는 110 - 15 = 95개이다.

    정답은 95가지이다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

19. 한 개의 주사위를 두 번 던진다. 5의 눈이 한 번도 나오지 않을 때, 나온 두 눈의 수의 합이 3의 배수일 확률은?

  1. 2/25
  2. 4/25
  3. 8/25
  4. 16/25
(정답률: 알수없음)
  • 한 개의 주사위를 두 번 던지는 경우의 수는 6 × 6 = 36이다. 5의 눈이 한 번도 나오지 않는 경우의 수는 5 × 5 = 25이다. 이 중에서 나온 두 눈의 수의 합이 3의 배수인 경우는 (1,2), (2,1), (2,4), (4,2), (3,3), (4,5), (5,4), (6,3), (3,6), (5,5), (6,6)으로 총 11가지이다. 따라서 확률은 11/25이다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

20. 한 개의 주사위를 750번 던질 때, 짝수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하자. X의 평균을 a, 분산을 b라 할 때, a+2b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. 375
  2. 500
  3. 650
  4. 750
(정답률: 알수없음)
  • 주사위를 던질 때, 각 눈이 나올 확률은 모두 동일하므로 확률은 1/2이다. 따라서 X는 이항분포를 따르며, 평균은 np, 분산은 np(1-p)이다. 여기서 n은 시행 횟수, p는 각 시행에서 짝수가 나올 확률이다.

    주어진 문제에서 n=750이고, 주사위를 던져 짝수가 나올 확률은 1/2이므로 p=1/2이다. 따라서 X의 평균은 750/2=375이고, 분산은 750/2*(1-1/2)=187.5이다.

    따라서 a+2b=375+2*187.5=750이므로, 정답은 750이다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

목록 다음회차 >