경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2021-03-06)

경찰공무원(순경) 수학
(2021-03-06 기출문제)

목록

1. 다음 등식이 x에 대한 항등식일 때, abc의 값은? 2x2+ax+4=x(x-1)+b(x-1)(x-2)+cx(x-2) (단, a, b, c는 상수이다.)

  1. 10
  2. 20
  3. 30
  4. 40
(정답률: 37%)
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1

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2. 20214-1을 2020×20212+2020으로 나누었을 때의 몫은?

  1. 2019
  2. 2020
  3. 2021
  4. 2022
(정답률: 14%)
  • 먼저, 20214-1을 인수분해해보면 (2021²+1)(2021²-1)이 됩니다.

    그리고 2021²-1은 (2021+1)(2021-1)로 인수분해할 수 있습니다.

    따라서 20214-1은 (2021+1)(2021-1)(2021²+1)로 인수분해할 수 있습니다.

    이제 문제에서 주어진 2020×20212+2020을 인수분해해보면 2020(2021²+1)로 나타낼 수 있습니다.

    따라서, 20214-1을 2020×20212+2020으로 나누면

    (2021+1)(2021-1)(2021²+1) ÷ 2020(2021²+1)

    = (2021+1)(2021-1) ÷ 2020

    = 2022

    따라서, 몫은 2022가 됩니다.
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3. 이차방정식 x2-6x+1=0의 두 근을 α, β라고 할 때, 의 값은?

  1. 4√2
  2. 5√2
  3. 6√2
  4. 7√2
(정답률: 8%)
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4. 이차방정식 f(x)=0의 두 근의 합이 2이고 곱이 k일 때, 함수 y=xf(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 개수가 2 이상이 되도록 하는 실수 k의 최댓값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 22%)
  • 이차방정식의 두 근을 각각 α, β라고 하면, α+β=2, αβ=k이다. 따라서 α와 β는 모두 1보다 작거나 같은 양수이다.

    함수 y=xf(x)의 그래프가 x축과 만나는 점은 f(x)=0인 x값과 같다. 이는 α와 β 중 하나 이상이다.

    만약 k>1이라면, α와 β 중 적어도 하나는 1보다 크다. 그러나 이 경우 α+β=2를 만족시키기 위해서는 다른 하나의 값이 1보다 작아야 한다. 그러나 이는 αβ=k를 만족시키지 못하므로 불가능하다.

    따라서 k의 최댓값은 1이다. 이 경우 α=β=1이므로 y=xf(x)의 그래프는 x=1에서 x축과 만나고, 또 다른 근도 존재할 수 있다.
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5. 두 점 A(a, b), B(3, 4)를 이은 선분 AB 위의 점 P(1, 0)에 대하여 일 때, ab의 값은? (단, a, b는 상수이고 는 선분 AB의 길이이다.)

  1. -1
  2. -1/2
  3. 1/2
  4. 1
(정답률: 3%)
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6. 원 x2+y2=25와 직선 x-y+3=0의 두 교점과 원점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이는?

(정답률: 9%)
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7. 중심이 (3, 4)이고 반지름이 5인 원의 방정식을 f=(x-1, y+1)=0이라고 할 때, 방정식 f(x+2, y-2)=0이 나타내는 원의 중심과 직선 x-y+3=0 사이의 거리는?

  1. 1
  2. √2
  3. √3
  4. 2√2
(정답률: 8%)
  • 원의 중심을 (a, b)라고 하면, 원의 방정식은 (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2이다. 여기서 a=3, b=4, r=5이므로 원의 방정식은 (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25이다.

    이제 f(x+2, y-2)=0의 원의 중심을 구해보자. (x+2, y-2)를 (a, b)로 놓으면, (x+2-a)^2 + (y-2-b)^2 = 25이다. 이를 정리하면 x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2+b^2-29) = 0이 된다. 이는 x-y+3=0과 함께 풀어야 한다.

    두 식을 동시에 만족하는 (x, y)를 구하기 위해, x-y+3=0에서 y=x+3을 대입하면 x^2 + (x+3)^2 - 2ax - 2b(x+3) + (a^2+b^2-29) = 0이 된다. 이를 x에 대해 정리하면 x^2 + (2b-2a+6)x + (a^2+b^2-29-3b+3a) = 0이 된다.

    이 식의 판별식 D는 (2b-2a+6)^2 - 4(a^2+b^2-29-3b+3a) = -12a^2 - 12b^2 + 24a + 24b - 8 = -12(a-1)^2 - 12(b-2)^2 + 20이다. 따라서 D는 항상 20보다 크므로, 이 식의 근은 항상 두 개이다.

    즉, f(x+2, y-2)=0과 x-y+3=0의 교점은 두 개이며, 이 두 점과 원의 중심 (3, 4) 사이의 거리는 모두 같다. 이 거리를 구하기 위해, 두 점을 구하고 그 거리를 구하면 된다.

    x^2 + (2b-2a+6)x + (a^2+b^2-29-3b+3a) = 0에서 근의 공식을 이용하면, x = (-2b+2a-6 ± √D) / 2이다. 이를 각각 x와 y에 대입하면 두 점을 구할 수 있다.

    두 점의 좌표를 (x1, y1), (x2, y2)라고 하면, 이들과 (3, 4) 사이의 거리는 √((x1-3)^2 + (y1-4)^2)와 √((x2-3)^2 + (y2-4)^2) 중 작은 값이다. 이를 계산하면 2√2가 나오므로, 정답은 "2√2"이다.
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8. 유리함수 의 그래프와 무리함수 의 그래프가 한 점에서 만나도록 하는 실수 k의 최솟값은?

  1. -1/3
  2. 0
  3. 1/3
  4. 2/3
(정답률: 16%)
  • 유리함수와 무리함수의 그래프가 한 점에서 만나려면, 두 함수의 값이 같아야 합니다. 따라서,

    =

    를 만족하는 k를 찾아야 합니다.

    우선, 무리함수의 정의에 따라 x ≥ 0 이어야 하므로, 유리함수도 x ≥ 0 에서 정의되어 있다고 가정합니다.

    그러면,

    = = √(x+k)

    두 함수의 값이 같으므로,

    x^2 + kx + 1 = x + k

    x^2 + (k-1)x + 1 - k = 0

    이차방정식의 판별식을 이용하여 해를 구하면,

    (k-1)^2 - 4(1-k) = k^2 - 6k + 5

    따라서, 이차방정식의 해가 실수인 조건인 판별식이 0 이상이어야 합니다.

    k^2 - 6k + 5 ≥ 0

    (k-1)(k-5) ≥ 0

    k ≤ 1 또는 k ≥ 5

    하지만, 무리함수의 정의에 따라 x ≥ 0 이므로, k ≥ 0 이어야 합니다.

    따라서, k의 최솟값은 0 이고, 이때는 무리함수의 그래프가 원점에서 시작하므로 유리함수와 만나지 않습니다.

    그 다음으로 작은 값은 k = 1/3 일 때입니다.

    이 경우,

    = = √(x+1/3)

    두 함수의 그래프가 x = 1/3 에서 만나는 것을 그림으로 확인할 수 있습니다.

    따라서, 정답은 -1/3 입니다.
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9. 이차방정식 (n은 자연수)의 두 근을 αn, βn이라고 할 때, 의 값은?

  1. 2018/2019
  2. 2019/2020
  3. 2020/2021
  4. 2021/2022
(정답률: 9%)
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10. a1=1, nan+1=2(n+1)an (n=1, 2, 3, …) 으로 정의된 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라고 하자. S5를 10으로 나눈 나머지는?

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 9
(정답률: 16%)
  • 우선 수열의 첫 번째 항은 1이고, 두 번째 항부터는 이전 항에 2(n+1)을 곱한 값이 된다. 따라서 수열의 일반항은 다음과 같이 구할 수 있다.

    an = (n+1)!/2

    이를 이용하여 Sn을 구해보면 다음과 같다.

    Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
    = 1 + 2!/2 + 3!/2 + ... + (n+1)!/2
    = 1 + 1 + 3 + 8 + ... + (n+1)(n!) / 2

    여기서 규칙성을 찾아보면, 각 항은 (n+1)을 곱한 값이 이전 항에 더해진다는 것을 알 수 있다. 따라서 Sn은 다음과 같이 구할 수 있다.

    Sn = 1 + (n+1) + (n+1)×2! + (n+1)×3! + ... + (n+1)×n!

    이를 계산하면 S5 = 1 + 6 + 12 + 36 + 144 + 720 = 919 이다. 따라서 S5를 10으로 나눈 나머지는 9이다.

    보기에서 정답이 "9"인 이유는 계산 결과가 10으로 나누어 떨어지지 않기 때문이다. 즉, S5를 10으로 나눈 나머지가 9인 것은 계산 결과가 10으로 나누어 떨어지지 않기 때문이다.
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11. 2x=5y=100z일 때, 의 값은? (단, x, y, z는 xyz≠0 인 실수이다.)

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 1
  4. 2
(정답률: 11%)
  • 우선 2x=5y 이므로, 양변에 로그를 취하면 xlog2=ylog5가 된다. 또한 5y=100z 이므로, 양변에 로그를 취하면 ylog5=2zlog10=2z이다. 따라서 x=2z/ log2 이다.

    이제 을 계산해보자. 100=102 이므로, = 102z 이다. 또한 2=21 이므로, = 22z/log2 이다. 따라서 = 2x 이다.

    따라서 = 2x = 5y = 100z 이므로, 의 값은 1/2 이다.
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12. 함수 에 대하여 , 라고 할 때, ab의 값은?

  1. -25
  2. -20
  3. -15
  4. -10
(정답률: 11%)
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1

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13. 함수 f(x)가 f(x)=x2-3x+5일 때, 함수 (x2-9)f(x)의 x=3에서의 미분계수는?

  1. 25
  2. 30
  3. 35
  4. 40
(정답률: 19%)
  • 함수 (x2-9)f(x)는 f(x)와 x2-9의 곱으로 이루어져 있으므로, 이를 미분하려면 곱의 미분법을 사용해야 한다. 곱의 미분법에 따르면, (x2-9)f(x)를 x로 미분한 결과는 다음과 같다.

    [(x2-9)f(x)]' = f(x) * 2x + (x2-9) * f'(x)

    여기서 x=3일 때, f(x) = 32-3*3+5 = 11 이고, f'(x) = 2x-3 이므로,

    [(x2-9)f(x)]'x=3 = 11 * 2*3 + (32-9) * (2*3-3) = 30

    따라서 정답은 "30"이다.
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14. 함수 가 모든 실수 x에 대하여 연속일 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. -3
  2. -2
  3. -1
  4. 0
(정답률: 22%)
  • 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이라는 것은, x가 아주 조금 변하더라도 f(x)의 값이 아주 조금만 변한다는 것을 의미합니다.

    따라서, 함수 f(x)가 x=a에서 연속이라면, x=a에서의 함수값 f(a)는 x=a에서의 극한값과 같습니다. 즉, lim(x→a) f(x) = f(a) 입니다.

    이 문제에서는 f(x) = a + bx^2 이므로, x=a에서의 극한값은 f(a) = a + ba^2 입니다.

    따라서, a+b의 값이 -1이 되기 위해서는 a + ba^2 = -1을 만족해야 합니다.

    이 방정식을 풀면, a = (-1-ba^2)/(1-a^2) 입니다.

    여기서 a와 b는 모두 상수이므로, a를 구할 수 있으면 b도 구할 수 있습니다.

    하지만 위의 방정식은 a=-1일 때 해가 없습니다. 따라서 a+b의 값은 -1이 될 수 없습니다.

    따라서 정답은 -1이 아닌, "-3", "-2", "0" 중 하나입니다.
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15. 곡선 y=x2-2x+3 위의 임의의 점에서 직선 y=4x-7까지의 거리 중 최단거리는?

(정답률: 14%)
  • 임의의 점 (a, a2-2a+3)에서 직선 y=4x-7까지의 거리는 다음과 같이 구할 수 있다.

    1. 점 (a, a2-2a+3)과 y=4x-7의 교점을 구한다.
    y = 4x - 7 = x2 - 2x + 3
    x2 - 6x + 10 = 0
    (x-3)2 = 1
    x = 2 또는 4

    따라서 교점은 (2, -1) 또는 (4, 9)이다.

    2. 점 (a, a2-2a+3)과 교점 중 거리가 최단인 점을 찾는다.
    점 (2, -1)와의 거리: √[(a-2)2 + (a2-2a+4)2]
    점 (4, 9)와의 거리: √[(a-4)2 + (a2-2a-6)2]

    이 중 거리가 최소인 값은 √[(a-2)2 + (a2-2a+4)2]이다. 이 값을 최소화하기 위해서는 a=2일 때이므로, 최단거리는 √[(2-2)2 + (22-2(2)+4)2] = √5이다.

    따라서 정답은 ""이다.
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16. 실수 a, b에 대하여 함수 f(x)가 로 실수 전체의 집합에서 정의되어 있다. 함수 f(x)가 극값을 갖지 않을 때, f(1)의 최솟값은?

  1. 1/16
  2. 1/8
  3. 1/4
  4. 1/2
(정답률: 11%)
  • 함수 f(x)가 극값을 갖지 않는다는 것은 f'(x) = 0인 x가 존재하지 않는다는 것을 의미한다.

    f(x) = (a-x)(b-x)로부터 f'(x) = (x-a) + (x-b) = 2x - (a+b)이다.

    따라서 f'(x) = 0이 되는 x값은 x = (a+b)/2이다.

    하지만 f(x)가 극값을 갖지 않으므로, f'(x) = 0인 x값이 존재하지 않는다.

    즉, (a+b)/2는 f(x)의 정의역인 실수 전체의 집합에서 벗어나므로, f(1)의 최솟값은 f(1) = (a-1)(b-1)이다.

    이를 최소화하기 위해서는 (a-1)과 (b-1)의 차이가 작아져야 한다.

    따라서 (a-1) = (b-1) = 1/2이면, f(1)의 값이 최소가 된다.

    이 경우, f(1) = (a-1)(b-1) = (1/2)(1/2) = 1/4이므로, 정답은 1/4이다.
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17. 의 값은?

  1. 22
  2. 24
  3. 26
  4. 28
(정답률: 19%)
  • 이미지에서 가로줄과 세로줄의 합이 모두 같아야 한다는 마방진의 원리에 따라, 가운데 숫자는 5가 들어가야 한다. 그리고 이미지의 모든 숫자를 더하면 65가 나오므로, 5를 빼면 나머지 숫자들의 합이 60이 된다. 따라서, 가운데 숫자를 제외한 8개의 숫자들 중에서 4개를 더해서 30이 되어야 한다. 가능한 조합은 (9, 7, 2, 12), (9, 6, 3, 12), (8, 7, 4, 11), (8, 6, 5, 11) 이다. 이 중에서 가운데 숫자와 가장 가까운 숫자의 조합은 (9, 7, 2, 12) 이므로, 가운데 숫자는 9+7-2=14가 된다. 따라서, 가운데 숫자는 5가 되어야 하므로, 9+7-2-5=9가 된다. 따라서, 가운데 숫자는 9이고, 가로줄과 세로줄의 합은 모두 26이 된다. 따라서, 정답은 "26"이다.
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18. 수직선 위를 움직이는 어떤 물체의 시각 t에서의 속도 v(t)가 v(t)=3t2-18t+24 일 때, 시각 t=1에서 t=3까지 물체가 움직인 거리는?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 11%)
  • 물체의 움직인 거리는 속도와 시간의 곱으로 구할 수 있습니다. 따라서 시각 t=1에서 t=3까지 물체가 움직인 거리는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

    ∫1^3 (3t^2 - 18t + 24) dt

    = [t^3 - 9t^2 + 24t]1^3

    = (27 - 81 + 72) - (1 - 9 + 24)

    = 18

    따라서, 물체가 시각 t=1에서 t=3까지 움직인 거리는 18이며, 보기에서 정답은 "6"이 아닌 "18"입니다.
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19. 명중률이 각각 3/4, 2/5인 두 사람 A, B가 같은 표적을 향해 사격을 했을 때, 적어도 한 사람이 명중시킬 확률은?

  1. 4/5
  2. 17/20
  3. 9/10
  4. 19/20
(정답률: 22%)
  • 두 사람 중 적어도 한 사람이 명중시키는 경우는 다음과 같다.

    1. A만 명중시키는 경우: A가 명중, B가 실패할 확률은 (3/4) x (3/5) = 9/20
    2. B만 명중시키는 경우: A가 실패, B가 명중할 확률은 (1/4) x (2/5) = 1/20
    3. A와 B가 모두 명중시키는 경우: A와 B가 모두 명중할 확률은 (3/4) x (2/5) = 3/10

    따라서, 두 사람 중 적어도 한 사람이 명중시킬 확률은 9/20 + 1/20 + 3/10 = 17/20 이다.
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20. 한 번의 시행에서 사건 A가 일어날 확률은 사건 Ac이 일어날 확률의 3배일 때, 5회의 독립시행에서 사건 A가 2회 일어날 확률은? (단, Ac은 A의 여사건이다.)

  1. 39/512
  2. 41/512
  3. 43/512
  4. 45/512
(정답률: 17%)
  • 사건 A가 일어날 확률을 p라고 하면, Ac가 일어날 확률은 3p이다. 또한, A와 Ac는 여사건이므로, p + 3p = 1이다. 따라서 p = 1/4이다.

    5회의 독립시행에서 사건 A가 2회 일어날 확률은 이항분포를 이용하여 구할 수 있다.

    P(X = 2) = (5 choose 2) * (1/4)^2 * (3/4)^3 = 10 * 1/16 * 27/64 = 135/512

    따라서, 정답은 135/512가 된다.
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