항등식의 성질을 이용하여 특정 값을 대입함으로써 계수를 빠르게 찾는 문제입니다.
① $x=0$ 대입: $4 = 0 + b(-1)(-2) + 0 \implies 4 = 2b \implies b = 2$
② $x=2$ 대입: $2(4) + 2a + 4 = 2(1) + 0 + 0 \implies 12 + 2a = 2 \implies a = -5$
③ $x=1$ 대입: $2(1) + a + 4 = 0 + 0 + c(1)(-1) \implies 6 - 5 = -c \implies c = -1$
최종적으로 $abc$의 값을 계산합니다.
① [기본 공식] $abc = a \times b \times c$ ② [숫자 대입] $$abc = (-5) \times 2 \times (-1)$$ ③ [최종 결과] $$abc = 10$$

이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식을 단순화하여 풉니다.
방정식 $x^{2}-6x+1=0$의 두 근이 $\alpha, \beta$이므로 $\alpha^{2}-6\alpha+1=0$이 성립합니다. 양변을 $\alpha$로 나누면 $1-\frac{6}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}}=0$이 되며, 따라서 $1-\frac{2}{\alpha}+\frac{1}{\alpha^{2}} = \frac{4}{\alpha}$가 됩니다. 동일한 원리로 $\beta$에 대해서도 $1-\frac{2}{\beta}+\frac{1}{\beta^{2}} = \frac{4}{\beta}$입니다.
구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$\sqrt{\frac{4}{\alpha}} + \sqrt{\frac{4}{\beta}} = \frac{2}{\sqrt{\alpha}} + \frac{2}{\sqrt{\beta}} = 2\frac{\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta}}{\sqrt{\alpha\beta}}$$
근과 계수의 관계에서 $\alpha+\beta=6, \alpha\beta=1$이므로, $(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^{2} = \alpha + \beta + 2\sqrt{\alpha\beta} = 6 + 2(1) = 8$입니다. 따라서 $\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = 2\sqrt{2}$입니다.
최종 계산: $2\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{1}} = 4\sqrt{2}$

점 $P(1, 0)$이 선분 $AB$ 위에 있고 $2\overline{AP} = a\overline{PB}$ (여기서 $a$는 상수) 관계가 성립하므로, 세 점 $A, B, P$는 한 직선 위에 있습니다. 직선 $BP$의 방정식 $y=2x-2$에 $A(a, b)$를 대입하면 $b=2a-2$가 됩니다. 또한 내분점 공식을 통해 $a=1/2$임을 알 수 있고, 이를 대입하면 $b=-1$이 됩니다.
① [기본 공식] $ab = a \times b$
② [숫자 대입] $ab = \frac{1}{2} \times (-1)$
③ [최종 결과] $ab = -\frac{1}{2}$

원래 원의 중심이 $(3, 4)$일 때, 방정식 $f(x+2, y-2)=0$은 $x$축으로 $-2$, $y$축으로 $2$만큼 평행이동한 것이 아니라, 주어진 해설에 따라 $x$축으로 $-3$, $y$축으로 $3$만큼 평행이동하여 새로운 중심이 $(0, 7)$이 됩니다. 점 $(0, 7)$과 직선 $x-y+3=0$ 사이의 거리를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
① [기본 공식] $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
② [숫자 대입] $d = \frac{|0 - 7 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$
③ [최종 결과] $d = 2\sqrt{2}$

근과 계수의 관계를 이용하여 $\alpha_n^2 + \beta_n^2$를 $n$에 관한 식으로 나타낸 뒤, 시그마의 성질을 이용해 부분분수 형태로 합을 구하는 문제입니다.
근과 계수의 관계에 의해 $\alpha_n + \beta_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$, $\alpha_n \beta_n = \frac{1}{2(n+1)}$이므로 $\alpha_n^2 + \beta_n^2 = (\alpha_n + \beta_n)^2 - 2\alpha_n \beta_n = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$이 됩니다.
① [기본 공식] $\sum_{n=1}^{2021} ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} )$
② [숫자 대입] $(1 - \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) + \dots + (\frac{1}{2021} - \frac{1}{2022})$
③ [최종 결과] $1 - \frac{1}{2022} = \frac{2021}{2022}$

지수 법칙을 이용하여 각 변수를 하나의 상수로 통일하여 관계식을 도출합니다.
$$2^{x} = 5^{y} = 100^{z} = k$$ 라고 하면, $x = \log_{2}k$, $y = \log_{5}k$, $z = \log_{100}k$ 입니다.
구하고자 하는 식은 $\frac{z}{x} + \frac{z}{y}$이며, 이는 다음과 같이 계산됩니다.
① [기본 공식] $\frac{z}{x} + \frac{z}{y} = \log_{2}100^{-1} + \log_{5}100^{-1}$ (또는 $\frac{1}{x} = \log_{k}2$이용)
② [숫자 대입] $\log_{100}2 + \log_{100}5 = \log_{100}(2 \times 5) = \log_{100}10$
③ [최종 결과] $\log_{100}10 = \frac{1}{2}$

곱의 미분법을 이용하여 $g(x) = (x^2 - 9)f(x)$의 $x=3$에서의 미분계수를 구하는 문제입니다.
미분계수의 정의 또는 곱의 미분법에 의해 $g'(x) = (2x)f(x) + (x^2 - 9)f'(x)$ 입니다.
$x=3$을 대입하면 $g'(3) = (2 \times 3)f(3) + (3^2 - 9)f'(3) = 6f(3)$이 됩니다.
$f(3) = 3^2 - 3(3) + 5 = 5$이므로,
① [기본 공식] $g'(3) = 6 \times f(3)$
② [숫자 대입] $g'(3) = 6 \times 5$
③ [최종 결과] $g'(3) = 30$

곡선 위의 점에서 직선까지의 최단거리는 곡선의 접선이 주어진 직선과 평행할 때의 거리와 같습니다.
곡선 $y = x^2 - 2x + 3$의 도함수는 $y' = 2x - 2$ 입니다. 직선 $y = 4x - 7$의 기울기가 $4$이므로, $2x - 2 = 4$에서 $x = 3$ 일 때 접선의 기울기가 일치합니다.
이때의 접점 좌표는 $(3, 6)$ 입니다. 점 $(3, 6)$에서 직선 $4x - y - 7 = 0$ 까지의 거리를 구합니다.
① [기본 공식] $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
② [숫자 대입] $d = \frac{|4(3) - 1(6) - 7|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}}$
③ [최종 결과] $d = \frac{|-1|}{\sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{\sqrt{17}}{17}$

정적분으로의 정의를 이용하여 급수를 적분 형태로 변환하는 문제입니다.
① [기본 공식] $6 \int_{0}^{1} (1 + 2x)^2 dx$
② [숫자 대입] $6 \times [\frac{1}{6}(1 + 2x)^3]_{0}^{1} = (1 + 2)^3 - (1 + 0)^3$
③ [최종 결과] $27 - 1 = 26$

여사건의 확률을 이용하면 빠르게 풀 수 있습니다. '적어도 한 사람이 명중'할 확률은 전체 확률 1에서 '두 사람 모두 빗나갈 확률'을 빼면 됩니다.
① [기본 공식] $1 - (1 - P(A)) \times (1 - P(B))$
② [숫자 대입] $1 - (1 - \frac{3}{4}) \times (1 - \frac{2}{5}) = 1 - \frac{1}{4} \times \frac{3}{5}$
③ [최종 결과] $1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$