소방공무원(공개) 수학 필기 기출문제복원 (2018-10-13)

소방공무원(공개) 수학
(2018-10-13 기출문제)

목록

1. x+y=2, xy=-1 일 때, x2+y2의 값은?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 90%)
  • 우선 x와 y를 구해보자.

    x+y=2에서 y=2-x이므로, xy=-1에 대입하면 x(2-x)=-1이 된다.

    이를 풀면 x2-2x-1=0이 되고, 이는 (x-1)2=2의 형태로 변형할 수 있다.

    따라서 x-1=±√2이므로 x=1±√2이다.

    y=2-x를 이용하여 y도 구할 수 있으므로,

    x2+y2=(1+√2)2+(1-√2)2=6이다.

    따라서 정답은 "6"이다.
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2. 두 실수 x, y에 대하여 등식 (1+i)x+(1-i)y-4i-2=0 을 만족시키는 x, y의 곱 xy의 값은?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 등식을 정리하면 (1+i)x+(1-i)y=4i+2가 된다. 이를 복소수 형태로 나타내면 x+yi = (4/2)(1-i)/(1+i) = 2(1-i)이다. 따라서 x=2, y=-2이다. 따라서 xy=-4이므로 정답은 -3이 아닌 -4이다. 따라서 이 문제에서 정답이 "-3"인 보기는 오답이다.
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3. 함수 의 그래프가 점 P(a, b)에 대하여 대칭일 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 80%)
  • 함수의 그래프가 점 P(a, b)에 대하여 대칭이라는 것은, 점 P를 중심으로 그래프의 모양이 대칭이라는 것을 의미한다. 따라서, P를 중심으로 x축에 대하여 대칭인 점은 (2, b)이다. 이때, a와 2의 차이는 |a-2|이므로, a+b와 (2+b)의 차이는 |a-2|이다. 따라서, a+b와 (2+b)는 대칭이므로, a+b=2+b=4이다. 따라서, 정답은 "4"이다.
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4. 수열 {an}에 대하여 a1=3, 일 때, 의 값은?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 73%)
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1

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5. 두 실수 a, b가 3a/2=2, 23b=1/27 을 만족시킬 때, 의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 8
  4. 9
(정답률: 50%)
  • 우선 3a/2=2 에서 양변에 로그를 취하면 a/2=log32 이므로 a=2log32 이다.

    또한 23b=1/27 에서 양변에 로그를 취하면 3blog22=-3 이므로 b=-1이다.

    따라서 의 값은 2a+b=22log32-1=2log34-1=8 이다.

    따라서 정답은 "8" 이다.
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6. 임의의 실수 x에 대하여 이차부등식 x2-2(k-2)x+k＞0 이 성립하도록 하는 모든 정수 k의 값의 합은?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 이차부등식은 판별식을 이용하여 (k-2)²-k<0으로 변형할 수 있다. 이를 다시 정리하면 k²-4k+4-k<0이 되고, 이를 인수분해하면 (k-2)²-k<0이 된다. 이차함수의 그래프를 생각해보면, (k-2)²의 최솟값은 0이므로 k<0 또는 k>4일 때 (k-2)²-k<0이 된다. 따라서 k가 0, 1, 2, 3, 4일 때 이차부등식이 성립하므로, 정답은 0+1+2+3+4=5이다.
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7. 두 실수 a, b에 대하여 일 때, a-b의 값은?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 64%)
  • 주어진 식을 정리하면 a-b = 2a - 2b - (a+b) = a+b - 2b = 10 - 2b 이다. 따라서 b가 5일 때 a-b의 값은 5가 된다.
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8. 직선 3x-2y-2=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 직선을 l이라 하자. 직선 l이 원 (x-1)2+(y-5)2=1 의 넓이를 이등분할 때, 상수 a의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 70%)
  • 먼저, 직선 3x-2y-2=0을 x축의 방향으로 1만큼, y축의 방향으로 a만큼 평행이동한 직선 l의 방정식을 구해보자. 이를 위해 원래의 직선을 y에 대해 풀면 y=(3/2)x-1이다. 이제 이 직선을 x축으로 1만큼, y축으로 a만큼 이동시키면 새로운 직선의 방정식은 y=(3/2)(x-1)+a=(3/2)x-(3/2)+a이다.

    다음으로, 이 직선과 원 (x-1)2+(y-5)2=1의 교점을 구해보자. 이를 위해 위에서 구한 직선의 방정식을 원의 방정식에 대입하면 (x-1)2 + ((3/2)x-(3/2)+a-5)2 = 1이 된다. 이 식을 정리하면 (13/4)x2 - (15-6a)x + (a-7)2 = 0이 된다.

    이제, 직선 l이 원의 넓이를 이등분할 때, 직선 l이 원과 만나는 두 점을 잇는 선분이 원의 지름이 되어야 한다는 점을 이용하자. 이 지름의 길이는 (2√2)이므로, 위에서 구한 교점의 거리가 √2가 되어야 한다.

    따라서, 위에서 구한 이차방정식의 판별식 D를 구하면 D = (15-6a)2 - 4(13/4)(a-7)2 = -39a2 + 390a - 936 = -39(a-6)2 + 72이다. 여기서 D가 0이 되도록 하는 a의 값은 a=6이다. 따라서, 상수 a의 값은 6이어야 한다.
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9. 방정식 x3-3x2+3=k 가 서로 다른 세 개의 실근을 갖도록 하는 모든 정수 k의 개수는?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 60%)
  • 주어진 방정식은 x3-3x2+3=k 이므로, x3-3x2+3-k=0 으로 변형할 수 있다.

    이때, 서로 다른 세 개의 실근을 갖기 위해서는 그래프가 아래로 볼록한 형태인 f(x)=x3-3x2+3-k 의 근이 세 개 있어야 한다.

    그래프가 아래로 볼록한 형태인 경우는 최소값과 최대값 사이에 근이 있을 때이므로, f'(x)=3x2-6x=3x(x-2)=0 인 x=0, 2에서 최소값과 최대값을 가진다.

    따라서, k가 f(0)보다 작거나 f(2)보다 크면 그래프가 아래로 볼록한 형태가 되어 세 개의 실근을 갖게 된다.

    f(0)=3-k, f(2)=1-k 이므로, k가 1보다 작거나 3보다 크면 세 개의 실근을 갖게 된다.

    따라서, 정답은 "3"이다.
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10. 확률변수 X는 정규분포 N(10, 22)을 따르고 확률변수 Y는 정규분포 N(m, 42)을 따른다. P(X≤14)=P(Y≤12) 일 때, 상수 m의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 70%)
  • 두 확률변수 X와 Y는 각각 평균이 10과 m이고 표준편차가 2와 4인 정규분포를 따른다. P(X≤14)는 X가 14보다 작거나 같은 확률을 나타내므로, 표준정규분포에서 Z=(14-10)/2=2인 경우의 확률과 같다. 따라서 P(X≤14)=P(Z≤2)=0.9772이다.

    P(Y≤12)는 Y가 12보다 작거나 같은 확률을 나타내므로, 표준정규분포에서 Z=(12-m)/4인 경우의 확률과 같다. 이를 P(X≤14)와 같은 값인 0.9772와 같게 하려면, Z=(12-m)/4=2인 경우의 m을 찾아야 한다. 따라서 12-m=8이므로, m=4이다. 따라서 상수 m의 값은 4이다.
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11. 다항식 P(x)=x3-kx+6이 x-2로 나누어떨어지도록 하는 상수 k의 값은?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 7
(정답률: 55%)
  • x-2로 나누어떨어지려면, P(2)=0 이어야 합니다.

    P(2) = 23 - k(2) + 6 = 8 - 2k + 6 = 14 - 2k

    따라서, 14 - 2k = 0 이어야 합니다.

    이를 풀면, k = 7 이 됩니다.

    따라서, 정답은 "7" 입니다.
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12. 두 집합 A={x|x는 6의 약수}, B={x|x는 12의 약수}에 대하여 A⊂X⊂B 를 만족시키는 집합 X의 개수는?

  1. 1
  2. 2
  3. 4
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • A={1,2,3,6}, B={1,2,3,4,6,12} 이므로 A⊂X⊂B 를 만족하는 집합 X는 다음과 같다.

    1. A={1,2,3,6}
    2. A={1,2,3,4,6}
    3. A={1,2,3,4,6,12}
    4. A={2,3,4,6}

    따라서 X의 개수는 4개이다.
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13. 좌표평면 위의 두 점 A(-2, a), B(b, 4)에 대하여 선분 AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표가 (0, 1)일 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. -2
  2. -4
  3. -6
  4. -8
(정답률: 60%)
  • 선분 AB를 2:1로 내분하는 점의 좌표가 (0, 1)이므로, 내분점의 x좌표는 (2b-2)/3=0 이다. 이를 풀면 b=1이다. 내분점의 y좌표는 (2a+4)/3=1 이므로, 이를 풀면 a=-1이다. 따라서 a+b=-1+1=0이다. 따라서 정답은 "-4"가 아니라, 보기에 없는 값인 "0"이다.
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14. 두 사건 A, B에 대하여 P(A)=1/3, P(B|A)=3/4 일 때, P(A∩B) 의 값은?

  1. 1/8
  2. 1/4
  3. 3/8
  4. 1/2
(정답률: 70%)
  • P(A∩B) = P(B|A)P(A) = (3/4)(1/3) = 1/4

    P(B|A)는 사건 A가 일어난 경우에만 B가 일어날 확률을 의미하므로, P(A∩B)는 A와 B가 동시에 일어날 확률을 의미한다. 따라서 P(A∩B) = P(B|A)P(A)로 계산할 수 있다. 따라서 정답은 "1/4"이다.
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15. 두 함수 f(x)=x-a, g(x)=x2+1에서 (g∘f)(1)=2a 일 때, 모든 실수 a의 값의 합은?

  1. 3
  2. 7/2
  3. 4
  4. 9/2
(정답률: 70%)
  • (g∘f)(1)은 g(f(1))과 같으므로, f(1)를 구하고 그 값을 g에 대입하여 계산한다.

    f(1) = 1 - a

    g(f(1)) = g(1 - a) = (1 - a)2 + 1 = a2 - 2a + 2

    따라서, (g∘f)(1) = a2 - 2a + 2 = 2a

    a2 - 4a + 2 = 0

    a = (4 ± √8)/2 = 2 ± √2

    따라서, 모든 실수 a의 값의 합은 (2 + √2) + (2 - √2) = 4 이다.
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16. 일 때, p+q의 값은? (단, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

  1. 21
  2. 31
  3. 41
  4. 51
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림은 피타고라스 정리를 이용한 직각삼각형을 나타내고 있다. 따라서 a^2 + b^2 = c^2 이 성립한다. 여기서 a와 b는 서로소인 자연수이므로, a^2과 b^2은 각각 서로소인 자연수이다. 따라서 c^2은 서로소인 두 자연수의 합으로 이루어진 수이다. 이때, 31은 5^2 + 2^2로 나타낼 수 있으며, 21, 41, 51은 각각 서로소인 두 자연수의 합으로 나타낼 수 없다. 따라서 p+q의 값은 31이다.
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17. 함수 f(x)=x2-6x+12(x≥3)의 역함수를 y=g(x)라 할 때, 함수 y=f(x)의 그래프와 함수 y=g(x)의 그래프가 만나는 두 점 사이의 거리는?

  1. √2
  2. 2
  3. 2√2
  4. 4
(정답률: 55%)
  • 함수 f(x)는 x=3 이상에서만 정의되므로, 역함수 g(x)는 y=3 이상에서만 정의된다. 또한, 함수 f(x)는 x=3에서 최솟값을 가지므로, 역함수 g(x)는 y=3에서 최댓값을 가진다.

    함수 y=f(x)의 그래프와 함수 y=g(x)의 그래프가 만나는 두 점은 (3,3)과 (4,2)이다. 이 두 점 사이의 거리를 구하면 √2가 된다.

    이유는 두 점 (3,3)과 (4,2)를 이은 직선이 y=x 대각선과 수직이기 때문이다. 따라서 두 점 사이의 거리는 직각삼각형의 빗변의 길이인 √2가 된다.
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18. 함수 가 x=1 에서 미분가능할 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. -2
  2. 0
  3. 2
  4. 4
(정답률: 60%)
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19. 함수 f(x)=3x2+ax+b가 다음 조건을 만족시킨다.

의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. 12
  2. 16
  3. 20
  4. 24
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 f(1) = 3 + a + b = 4, f(2) = 12 + 2a + b = 7, f(3) = 27 + 3a + b = 10 이므로, 이를 연립방정식으로 풀면 a = -5, b = 6 이다. 따라서 f(4) = 3(4^2) - 5(4) + 6 = 24 이므로 정답은 24이다.
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20. 남자 n명, 여자 3명이 일렬로 설 때, 여자끼리 이웃하여 서는 경우의 수는 720가지이다. 이때 자연수 n의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 여자 3명이 일렬로 서는 경우의 수는 3! = 6이다. 이 중에서 여자끼리 이웃하여 서는 경우의 수는 2! * 3! = 12이다. 따라서, 남자 n명이 일렬로 서는 경우의 수는 720 / 12 = 60이다. 이를 만족하는 자연수 n은 4이다.
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