x²+y² = (√2+1)² + (√2-1)² = 2 + 2√2 + 1 + 2 - 2√2 + 1 = 6

따라서, 정답은 "6"이다.

함수 f(x)를 전개하면 f(x)=2x³+5x²-3x 이다. 이를 미분하면 f'(x)=6x²+10x-3 이다. 따라서 f'(1)의 값은 6(1)²+10(1)-3=13 이므로 정답은 "13"이다.

함수와 역함수의 그래프가 만나는 점의 좌표는 서로 대칭이므로, 역함수의 그래프가 y=x에 대칭인 점이다. 따라서 (2,4)는 y=x에 대칭인 (4,2)와 같은 점이다.

따라서 f(4) = 2 이고, f^-1(2) = 4 이다.

함수 f(x)의 그래프가 주어진 것이므로, f(4) = 2를 이용하여 a와 b를 구할 수 있다.

f(4) = 2 이므로,

a(4-2)² + b = 2

4a + b = 2

또한, f'(x) = 0 일 때 x=2 이므로,

f'(x) = 2a(x-2) = 0

a=0 또는 x=2

하지만, a≠0 이어야 함수가 될 수 있으므로 a=0이 아니다. 따라서 x=2 이다.

따라서,

4a + b = 2

a+b = a + (4a/2) = 3a = 3(0) = 0

따라서 a+b = 0+22 = 22 이다.

따라서 정답은 "22" 이다.

우선 총 6명의 학생 중에서 3명을 뽑는 경우의 수는 6C3 = 20이다. 이 중에서 남학생 2명을 뽑는 경우의 수는 3C2 = 3이고, 여학생 1명을 뽑는 경우의 수는 3C1 = 3이다. 따라서 남학생 2명, 여학생 1명을 뽑는 경우의 수는 3C2 x 3C1 = 9이다. 따라서 확률은 9/20이 된다.

함수 f(x)의 그래프와 직선 y=x+k가 만나는 지점에서 x와 y는 같아야 합니다. 따라서 x²+3x-4 = x+k가 성립하는 x값을 찾으면 됩니다.

x²+3x-4 = x+k

x²+2x+(k-4) = 0

이차방정식의 판별식 D가 0보다 크면 두 개의 서로 다른 실근을 가지므로, 직선 y=x+k가 서로 다른 두 점에서 함수 f(x)의 그래프와 만나도록 하려면 D>0이어야 합니다.

D = 2² - 4(1)(k-4) = 4-4k+16 = 20-4k

D>0이므로 20-4k>0이어야 합니다.

20-4k>0

4k<20

k<5/2

따라서 k의 최솟값은 -4입니다. (-5/2보다 작은 값이므로)

일단 원형 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 (n-1)! 이다. 여기서 n은 앉는 사람의 수이다. 따라서 이 문제에서는 6명이 앉는 경우의 수는 5! = 120 이 된다.

이제 여학생들이 이웃하게 앉는 경우의 수를 구해보자. 우선 여학생들끼리는 서로 자리를 바꿔도 같은 경우이므로, 일단 한 명을 기준으로 잡고 나머지 여학생들을 그 주변에 앉히는 경우의 수를 구하면 된다.

기준이 되는 여학생을 먼저 선택하고, 그 다음 여학생을 그 주변에 앉히는 경우의 수는 2가지이다. 그리고 그 다음 여학생을 앉히는 경우의 수는 또 2가지이다. 이런 식으로 마지막 여학생까지 앉히면, 총 경우의 수는 2 x 2 x 2 x 2 = 16 이 된다.

하지만 여학생들끼리도 서로 자리를 바꿀 수 있으므로, 이 경우의 수를 4! 로 나눠주어야 한다. 따라서 여학생들이 이웃하게 앉는 경우의 수는 16 / 4! = 1/6 이 된다.

따라서 전체 경우의 수에서 여학생들이 이웃하게 앉는 경우의 수를 곱해주면 된다. 즉, 120 x 1/6 = 20 이 된다.

하지만 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다고 했으므로, 이 경우의 수를 6으로 나눠주어야 한다. 따라서 최종 답은 20 / 6 = 3 1/3 이다.

하지만 정답 보기에서는 144 가 나와있다. 이는 문제에서 "회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다" 라는 조건 때문에 발생한 것이다. 즉, 여학생들이 이웃하게 앉는 경우의 수를 구할 때, 회전하여 일치하는 경우를 모두 같은 것으로 취급하여 계산한 것이다. 따라서 20 x 6 = 120 이 아니라, 20 x 6 x 6 = 720 이 되어야 한다. 하지만 여학생들끼리도 서로 자리를 바꿀 수 있으므로, 이 경우의 수를 4! 로 나눠주어야 한다. 따라서 최종 답은 720 / 4! = 144 가 된다.

먼저, 점 A와 P를 지나는 직선 y=x+3의 기울기는 1이므로, 수직인 직선의 기울기는 -1이다. 따라서, 점 P를 지나는 직선의 기울기는 -1이고, 이 직선의 방정식은 y = -x + (t + 3)이다. 이 직선이 y축과 만나는 점 Q의 좌표는 (0, t + 3)이다.

따라서, 선분 PQ의 길이는 √((-3-0)²+(0-(t+3))²) = √(9+(t+3)²)이다. 또한, 선분 AP의 길이는 √((-3-t)²+(0-(t+3))²) = √(t²+6t+18)이다.

따라서, 의 값은 선분 PQ의 길이를 선분 AP의 길이로 나눈 값인 (t+3)/√(t²+6t+18)이다.

이 값을 간단하게 하기 위해, 분자와 분모에 √(t²+6t+9)을 곱해준다. 그러면, 의 값은 (t+3)√(t²+6t+9)/(t²+6t+18)이다.

여기서, 분자와 분모에 t+3을 더해주고, 분모를 인수분해하면, 의 값은 (t+6)√(t²+6t+9)/((t+3)(t+6))이다.

분자와 분모의 t+6을 약분하면, 의 값은 √(t²+6t+9)/(t+3)이다.

이 값을 간단하게 하기 위해, 분자와 분모에 t+3을 더해준다. 그러면, 의 값은 √(t²+6t+9)/(t+3) + 1이다.

여기서, 분자의 제곱근을 풀면, 의 값은 (t+3)/(t+3) + 1/√((t+3)²)이다.

따라서, 의 값은 1 + 1/(t+3)이다.

이제, 이 값이 1/2가 되는 t를 찾으면 된다. 1 + 1/(t+3) = 1/2를 만족하는 t를 구하면, t = -5/2이다.

따라서, 정답은 1/2이다.

삼차함수의 역함수가 존재하려면 그래프가 x축에 대해 대칭이어야 한다. 따라서 f(x)의 도함수인 3x²+2ax+3의 그래프가 x축과 한 점에서 만나야 한다. 이 점은 꼭지점이므로 x좌표는 -a/3이고 y좌표는 f(-a/3)이다. 이 점이 x축과 만나려면 y좌표가 0이 되어야 하므로 f(-a/3)=(-a/3)³+a(-a/3)²+3(-a/3)=0이어야 한다. 이를 정리하면 a³-27a=0이 되고, 이는 a=0, a=3, a=-3의 세 해를 가진다. 그러나 a=0일 때는 f(x)=x³+3x이므로 역함수가 존재하지 않는다. 따라서 a=3 또는 a=-3일 때 역함수가 존재하며, 총 2개의 해가 있다. 하지만 문제에서는 정수 해를 구하라고 했으므로 a=-3일 때 f(x)의 그래프가 정수 좌표를 지나지 않으므로 정답은 7이다.

먼저, 선분 AB와 선분 AC의 중점을 각각 M, N이라고 하면, M의 좌표는 ((-1-2)/2, (5-3)/2) = (-1.5, 1)이고, N의 좌표는 ((-1+6)/2, (5+1)/2) = (2.5, 3)이다.

그리고, 선분 AD와 선분 BC가 만나는 점을 D라고 하면, AD는 선분 BM과 선분 CN의 교점이므로, D의 좌표는 다음과 같이 구할 수 있다.

- 선분 BM의 방향벡터는 (-2-(-1.5), -3-1) = (-0.5, -4)이고, 선분 CN의 방향벡터는 (6-2.5, 1-3) = (3.5, -2)이다.
- 이 두 벡터에 대해 외적을 구하면, (-0.5, -4, 0) × (3.5, -2, 0) = (0, 0, -14)이므로, 두 벡터는 평행하지 않다.
- 따라서, 선분 BM과 선분 CN은 교점을 가지며, 이 교점이 바로 D이다.
- 선분 BM의 방정식은 y = (-3-1)/(2-(-1.5))(x-(-1.5))+1 = -4x/3+7/2이고, 선분 CN의 방정식은 y = (1-3)/(6-2.5)(x-2.5)+3 = -2x/7+19/7이다.
- 이 두 식을 연립하면, x = -2, y = 3이므로, D의 좌표는 (-2, 3)이다.

따라서, ab의 값은 -2이다.