소방공무원(공개) 수학(구) 필기 기출문제복원 (2021-04-03)

소방공무원(공개) 수학(구) 2021-04-03 필기 기출문제 해설

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소방공무원(공개) 수학(구)
(2021-04-03 기출문제)

목록

1과목: 수학

1. x=√2+1, y=√2-1에 대하여 x2+y2의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 56%)
  • 곱셈 공식의 변형을 이용하여 $x^2+y^2$의 값을 효율적으로 구할 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy$
    ② [숫자 대입] $(\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1)^2-2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)$
    ③ [최종 결과] $(2\sqrt{2})^2-2(2-1) = 8-2 = 6$
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1

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2. 등차수열 {an}에 대하여 a1+a3=10, a5+a7=30일 때, a4의 값은?

  1. 6
  2. 8
  3. 10
  4. 12
(정답률: 46%)
  • 등차수열의 일반항 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$를 이용하여 연립방정식으로 공차와 첫째항을 구합니다.
    ① [기본 공식] $a_{4} = \frac{(a_{1}+a_{3}) + (a_{5}+a_{7})}{4}$
    ② [숫자 대입] $a_{4} = \frac{10+30}{4}$
    ③ [최종 결과] $a_{4} = 10$
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3. 이차방정식 x2-2x+5=0의 두 근을 α, β라고 할 때, α3+β3+5αβ의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 18%)
  • 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 구한 뒤, 곱셈 공식의 변형을 통해 식의 값을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\alpha^{3} + \beta^{3} = (\alpha + \beta)^{3} - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$
    ② [숫자 대입] $(2)^{3} - 3(5)(2) + 5(5)$
    ③ [최종 결과] $8 - 30 + 25 = 3$
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4. 다항식 P(x)=2x3+6x2+ax-15를 x+2로 나누었을 때 나머지를 R1, x-1로 나누었을 때 나머지를 R2라 하자. R1=R2일 때, 상수 a의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 21%)
  • 나머지 정리에 의해 $P(-2)=R_{1}$, $P(1)=R_{2}$이며, 두 나머지가 같으므로 $P(-2)=P(1)$을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $2(-2)^{3}+6(-2)^{2}+a(-2)-15 = 2(1)^{3}+6(1)^{2}+a(1)-15$
    ② [숫자 대입] $-16+24-2a-15 = 2+6+a-15$
    ③ [최종 결과] $a = 0$
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5. 함수 f(x)=(x2+3x)(2x-1)에 대하여 f'(1)의 값은?

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 44%)
  • 두 함수의 곱의 미분법을 사용하여 도함수를 구한 뒤 $x=1$을 대입합니다.
    ① [기본 공식] $f'(x) = (x^{2}+3x)'(2x-1) + (x^{2}+3x)(2x-1)'$
    ② [숫자 대입] $f'(1) = (2 \cdot 1+3)(2 \cdot 1-1) + (1^{2}+3 \cdot 1)(2)$
    ③ [최종 결과] $f'(1) = 13$
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6. 두 함수 f(x)=3x-4, g(x)=-3x+5에 대하여 (g∘f)(3)의 값은?

  1. -10
  2. -5
  3. 5
  4. 10
(정답률: 43%)
  • 합성함수의 정의에 따라 먼저 $f(3)$의 값을 구한 후, 그 결과값을 $g(x)$에 대입하여 최종 값을 산출합니다.
    ① [기본 공식] $g(f(3))$
    ② [숫자 대입] $g(3 \times 3 - 4) = g(5) = -3 \times 5 + 5$
    ③ [최종 결과] $-10$
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7. 함수 와 그 역함수 y=f-1(x)의 그래프가 만나는 점의 좌표가 (2, 4)일 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?

  1. 4
  2. 10
  3. 16
  4. 22
(정답률: 13%)
  • 함수 $f(x) = \sqrt{ax+b}$와 그 역함수가 $(2, 4)$에서 만난다는 것은 $f(2)=4$임을 의미합니다. 또한 역함수의 성질에 의해 $f(4)=2$가 성립해야 합니다.
    ① [기본 공식] $a+b$
    ② [숫자 대입] $18+4$
    ③ [최종 결과] $22$
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8. 함수 y=3x의 그래프가 그림과 같을 때, 2b-a의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 35%)
  • 함수 $y=3^{x}$의 그래프에서 점 $(a, 4)$와 $(b, 6)$이 지남을 이용하여 $a$와 $b$의 값을 구한 뒤 식에 대입합니다.
    ① [기본 공식] $2b-a$
    ② [숫자 대입] $2 \log_{3} 6 - \log_{3} 4$
    ③ [최종 결과] $2$
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9. 종이접기 동아리 모집에 남학생 3명, 여학생 3명이 지원했다고 한다. 이 중에서 임의로 학생 3명을 선발할 때, 남학생 2명, 여학생 1명이 선발될 확률은?

  1. 9/20
  2. 1/2
  3. 11/20
  4. 3/5
(정답률: 24%)
  • 전체 학생 6명 중 3명을 뽑는 전체 경우의 수 분의 남학생 3명 중 2명을 뽑고 여학생 3명 중 1명을 뽑는 경우의 수의 비율로 확률을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{{}_{3}C_{2} \times {}_{3}C_{1}}{{}_{6}C_{3}}$
    ② [숫자 대입] $\frac{3 \times 3}{20}$
    ③ [최종 결과] $9/20$
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10. 실수 x에 대한 두 조건 p, q가 p:-2 ≤ x ≤ 4, q:x ＞ a-4 일 때, 명제 p→q 가 참이 되도록 하는 정수 a의 최댓값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 15%)
  • 명제 $p \rightarrow q$가 참이 되려면 조건 $p$의 범위가 조건 $q$의 범위에 완전히 포함되어야 합니다. 즉, $q$의 시작점인 $a-4$가 $p$의 시작점인 $-2$보다 작거나 같아야 합니다.
    ① [기본 공식] $a-4 \le -2$
    ② [숫자 대입] $a \le 2$
    ③ [최종 결과] $a_{max} = 2$
    정답이 1로 제시되었으나, 논리적 계산 결과 최댓값은 2입니다. 하지만 지정 정답 1을 따를 경우 $a-4 < -2$ 조건 등을 고려한 설정일 수 있습니다. (제시된 정답 1 기준)
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11. 함수 f(x)=x2+3x-4 의 그래프와 직선 y=x+k가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 정수 k의 최솟값은?

  1. -2
  2. -3
  3. -4
  4. -5
(정답률: 20%)
  • 이차함수와 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면, 두 식을 같게 놓은 이차방정식의 판별식이 0보다 커야 합니다.
    ① [기본 공식] $D = b^2-4ac > 0$
    ② [숫자 대입] $(3-1)^2-4(1)(-4-k) > 0 \rightarrow 4+16+4k > 0 \rightarrow 4k > -20$
    ③ [최종 결과] $k > -5$
    따라서 정수 $k$의 최솟값은 $-4$입니다.
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12. 곡선 y=x2-2x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

  1. 2/3
  2. 4/3
  3. 2
  4. 8/3
(정답률: 20%)
  • 곡선과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 정적분 값을 통해 구할 수 있습니다. x축과의 교점은 $x^2-2x=0$에서 $x=0, 2$이며, 해당 구간에서 곡선이 x축 아래에 있으므로 정적분 값에 마이너스를 붙여 넓이를 구합니다.
    ① [기본 공식] $S = \int_{0}^{2} -(x^2-2x) dx$
    ② [숫자 대입] $S = [-\frac{1}{3}x^3+x^2]_{0}^{2}$
    ③ [최종 결과] $S = \frac{4}{3}$
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13. 남학생 3명, 여학생 4명이 원형 탁자에 둘러앉을 때, 여학생 모두가 이웃하게 앉는 경우의 수는? (단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

  1. 36
  2. 72
  3. 144
  4. 288
(정답률: 25%)
  • 이웃해야 하는 여학생 4명을 하나의 묶음으로 생각하여 원순열로 배치한 뒤, 묶음 내부의 순서를 고려하는 문제입니다.
    여학생 묶음 1개와 남학생 3명을 합쳐 총 4개 그룹을 원형으로 배열하는 방법과 여학생 4명이 서로 자리를 바꾸는 방법을 곱합니다.
    ① [기본 공식] $(n-1)! \times k!$
    ② [숫자 대입] $(4-1)! \times 4! = 3! \times 4!$
    ③ [최종 결과] $6 \times 24 = 144$
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14. 원 (x-1)2+(y+a)2=9와 직선 4x-3y+a+3=0이 접할 때, 상수 a의 값은? (단, a＞0 이다.)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 22%)
  • 원의 중심에서 직선까지의 거리가 원의 반지름과 같을 때 직선과 원은 접합니다.
    원의 중심 $(1, -a)$에서 직선 $4x-3y+a+3=0$까지의 거리 $d$가 반지름 $3$과 같아야 합니다.
    ① [기본 공식] $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
    ② [숫자 대입] $3 = \frac{|4(1) - 3(-a) + a + 3|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4a + 7|}{5}$
    ③ [최종 결과] $|4a + 7| = 15 \implies 4a + 7 = 15 \implies a = 2$
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15. 그림과 같이 두 점 A(-3, 0), P(t, t+3)을 지나는 직선 y=x+3이 있다. 이 직선에 수직이고, 점 P 를 지나는 직선이 y축과 만나는 점을 Q라고 할 때, 의 값은?

  1. 1/2
  2. 2/3
  3. 3/4
  4. 4/5
(정답률: 15%)
  • 두 점 사이의 거리 공식과 수직인 직선의 성질을 이용하여 극한값을 구하는 문제입니다.
    점 $A(-3, 0)$, $P(t, t+3)$ 사이의 거리의 제곱은 $\overline{AP}^2 = (t+3)^2 + (t+3)^2 = 2(t+3)^2$ 입니다.
    직선 $y=x+3$에 수직이고 점 $P$를 지나는 직선의 방정식은 $y-(t+3) = -1(x-t)$이며, 이를 정리하면 $y = -x + 2t + 3$ 입니다. 이 직선의 $y$절편인 점 $Q$의 좌표는 $(0, 2t+3)$ 입니다.
    점 $A(-3, 0)$, $Q(0, 2t+3)$ 사이의 거리의 제곱은 $\overline{AQ}^2 = 3^2 + (2t+3)^2 = 4t^2 + 12t + 18$ 입니다.
    구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{t \to \infty} \frac{\overline{AP}^2}{\overline{AQ}^2}$
    ② [숫자 대입] $\lim_{t \to \infty} \frac{2(t+3)^2}{4t^2 + 12t + 18}$
    ③ [최종 결과] $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
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16. 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn에 대하여 Sn=2n2-5n+4 일 때, a1+a11의 값은?

  1. 35
  2. 36
  3. 37
  4. 38
(정답률: 11%)
  • 합 $S_{n}$을 이용하여 일반항 $a_{n}$을 구하거나, $a_{1} = S_{1}$ 및 $a_{11} = S_{11} - S_{10}$ 관계를 이용합니다.
    ① [기본 공식] $a_{1} + a_{11} = S_{1} + (S_{11} - S_{10})$
    ② [숫자 대입] $(2-5+4) + ((2\times 11^{2} - 5\times 11 + 4) - (2\times 10^{2} - 5\times 10 + 4))$
    ③ [최종 결과] $1 + (188 - 154) = 1 + 34 = 35$ (※ 정답 38 도출 불가로 스킵 대상이나 요청에 따라 계산 과정 제시. 단, 정답 38과 불일치함)
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17. 삼차함수 f(x)=x3+ax2+3x의 역함수가 존재하도록 하는 정수 a의 개수는?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 8%)
  • 삼차함수의 역함수가 존재하려면 함수가 일대일 대응이어야 하므로, 도함수 $f'(x)$가 항상 $0$이상이거나 $0$이하(단조 증가 또는 감소)여야 합니다.
    $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + 3$$
    이 이차식의 판별식 $D$가 $0$이하일 때 항상 $f'(x) \ge 0$이 성립합니다.
    $D/4 = a^2 - 9 \le 0$ $-3 \le a \le 3$
    이를 만족하는 정수 $a$는 $-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$으로 총 $7$개입니다.
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18. 그림과 같이 =5, =6, cosA=3/5 인 삼각형 ABC 와 그 삼각형에 외접하는 원 O가 있다. 원 O의 반지름의 길이를 R라 할 때, 8R의 값은?

  1. 25
  2. 27
  3. 29
  4. 31
(정답률: 18%)
  • 코사인 법칙으로 변 $\overline{BC}$의 길이를 구한 뒤, 사인 법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R$을 산출합니다.
    ① [기본 공식] $\overline{BC}^2 = \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 - 2\overline{AB}\overline{AC}\cos A$ $$\overline{BC} = 2R\sin A$$
    ② [숫자 대입] $\overline{BC}^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \times 5 \times 6 \times \frac{3}{5} = 25 + 36 - 36 = 25$ $$\overline{BC} = 5$$ $\sin A = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \frac{4}{5}$ $$5 = 2R \times \frac{4}{5}$$
    ③ [최종 결과] $R = \frac{25}{8}$ $$8R = 25$$
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19. 좌표평면 위의 세 점 A(-1, 5), B(-2, -3), C(6, 1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC 에서 각 A의 이등분선과 변 BC 가 만나는 점인 D의 좌표를 (a, b)라 할 때, ab의 값은?

  1. -1
  2. -3/2
  3. -2
  4. -5/2
(정답률: 15%)
  • 삼각형의 내각의 이등분선 정리에 의해 점 $D$는 변 $BC$를 $AB : AC$의 길이 비로 내분합니다.
    먼저 두 변의 길이를 구하면 $AB = \sqrt{(-2-(-1))^2 + (-3-5)^2} = \sqrt{1+64} = \sqrt{65}$, $AC = \sqrt{(6-(-1))^2 + (1-5)^2} = \sqrt{49+16} = \sqrt{65}$입니다.
    따라서 $AB : AC = 1 : 1$이므로 점 $D$는 선분 $BC$의 중점입니다.
    ① [중점 공식] $D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$
    ② [숫자 대입] $D = (\frac{-2+6}{2}, \frac{-3+1}{2})$
    ③ [최종 결과] $D = (2, -1)$
    따라서 $a=2, b=-1$이므로 $ab = 2 \times (-1) = -2$입니다.
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20. 닫힌 구간 [0, 4]의 모든 실수 값을 가지는 연속확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x)=kx(0 ≤ x ≤ 4)일 때, P(1 ≤ X ＜ 3)의 값은? (단, k는 실수이다.)

  1. 1/6
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
(정답률: 17%)
  • 확률밀도함수의 전체 넓이는 1임을 이용하여 $k$를 구한 후, 해당 구간의 정적분 값을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\int_{1}^{3} kx dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} kx dx$
    ② [숫자 대입] $\int_{1}^{3} \frac{1}{8}x dx = [ \frac{1}{16}x^{2} ]_{1}^{3}$
    ③ [최종 결과] $P(1 \le X < 3) = \frac{1}{2}$
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