먼저 A^C는 A의 여집합을 의미하므로 A와 교집합을 구하면 공집합이 된다. 따라서 A∩(A^C∪B)는 A∩B와 같다. 하지만 A와 B가 서로소이므로 교집합인 A∩B는 공집합이 된다. 따라서 정답은 "ø"이다.

먼저 √b²은 b의 절댓값과 같으므로 |a-b|-|b|로 바꿀 수 있다.

b가 음수이므로 |b|는 -b와 같다.

따라서 식은 |a-b|-|b| = |a-(-b)|-|-b| = |a+b|+|b|이다.

a와 b의 부호에 따라 다르게 나뉘는데, a가 양수이고 b가 음수이므로 a+b은 항상 양수이다.

따라서 |a+b|+|b| = (a+b)+(-b) = a이므로 정답은 "a"이다.

정답은 "b ＞ 0"이다.

이유는 이차함수의 그래프가 위로 볼록한 경우, a는 반드시 음수여야 하기 때문이다. 따라서 b가 양수일 때, 꼭지점이 x축의 양의 방향으로 이동하게 되므로 b가 양수일 때의 그래프가 주어진 그림과 일치한다.

그리고 b² ＞ 4ac는 이차방정식의 판별식으로, 이차함수의 근의 개수와 관련이 있다. 따라서 주어진 그래프와 일치하는 이차함수의 경우, b² ＞ 4ac가 성립해야 한다.

수열이 수렴하려면 수열의 극한값이 존재해야 합니다. 따라서 수열이 발산하거나 극한값이 존재하지 않는 경우 수렴하지 않습니다.

① 수열 {an} = (-1)^n은 발산합니다. (n이 짝수일 때는 1, 홀수일 때는 -1로 번갈아가며 변하기 때문에 극한값이 존재하지 않음)

② 수열 {bn} = 1/n은 0으로 수렴합니다. (n이 커질수록 1/n은 0에 점점 가까워지기 때문)

③ 수열 {cn} = (-1/2)^n은 0으로 수렴합니다. (n이 커질수록 (-1/2)^n은 0에 점점 가까워지기 때문)

④ 수열 {dn} = n^2은 발산합니다. (n이 커질수록 n^2도 커지기 때문)

따라서 정답은 "ㄴ, ㄷ, ㄹ"입니다.

우선 부등식을 정리해보면,

2log₂x ≤ log₂10x

log₂x² ≤ log₂10x

x² ≤ 10x

x(x-10) ≤ 0

따라서 x는 0보다 크거나 같고 10보다 작거나 같은 자연수여야 합니다.

그러므로 가능한 x의 값은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10이며, 이 중에서 부등식을 만족하는 자연수는 7, 8, 9, 10입니다.

따라서 정답은 "10"이 아니라 "4"입니다.

두 사건 A, B가 서로 배반사건이므로, A와 B가 동시에 일어날 확률은 0이다. 따라서 P(A∩B) = 0이다.

또한, 전체 확률의 법칙에 의해 P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 이므로,

P(A∪B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B) 이다.

문제에서 P(A∪B) = 3/5 이므로,

3/5 = P(A) + P(B)

여기서 A와 B가 배반사건이므로, P(B) = 1 - P(A) 이다.

따라서 3/5 = P(A) + (1 - P(A)) = 1

P(A) = 3/5 - 1 = 2/5 이다.

따라서 정답은 "2/5" 이다.

이 무한급수는 등비수열의 합으로 표현할 수 있다. 등비수열의 첫째 항은 1이고 공비는 -1/4이다. 따라서 등비수열의 합 공식을 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

S = a/(1-r) = 1/(1-(-1/4)) = 1/(5/4) = 4/5

따라서 정답은 "1/4"가 아닌 "4/5"이다.

먼저 y=xⁿ⁺²과 y=x²의 교점을 구해보자.

xⁿ⁺²=x²이므로 x=0 또는 x=1 또는 x=-1이다.

x=0일 때, y=0이므로 교점은 (0,0)이다.

x=1일 때, y=1이므로 교점은 (1,1)이다.

x=-1일 때, y=1 또는 y=(-1)ⁿ⁺²이므로 n이 짝수일 때는 y=1, n이 홀수일 때는 y=-1이다. 따라서 n이 짝수일 때 교점은 (-1,1), n이 홀수일 때 교점은 (-1,-1)이다.

이제 도형의 넓이를 구해보자. x=0부터 x=1까지 적분하면 되므로,

S_n = ∫₀¹ (xⁿ⁺² - x²) dx

= [xⁿ⁺³/(n+3) - x³/3] ₀¹

= 1/(n+3) - 1/3

= (1-3(n+3))/(3(n+3))

= (4-3n)/(3(n+3))

따라서 n=1일 때 S_n = 1/3이다.

보기에서 정답이 "1/3"인 이유는 n=1일 때 S_n이 1/3이기 때문이다.

주어진 문제는 이항분포(binomial distribution)의 예시이다. 주사위를 던지는 실험은 각 시행마다 성공 혹은 실패 두 가지 경우 중 하나가 일어나는 이항분포의 시행이다. 이 때, 성공 확률 p는 1/3이고, 실패 확률 q는 2/3이다.

따라서, 100번의 시행 중 성공한 횟수 X는 이항분포 B(100, 1/3)을 따른다. 이항분포의 평균과 분산은 각각 다음과 같다.

E(X) = np = 100 × 1/3 = 100/3 = 33.33...
V(X) = npq = 100 × 1/3 × 2/3 = 200/9 = 22.22...

하지만, 이 문제에서는 성공한 경우와 실패한 경우의 점수가 다르므로, 평균과 분산을 다시 계산해야 한다.

성공한 경우의 평균 점수는 3점이고, 실패한 경우의 평균 점수는 1점이므로, 전체 평균 점수는 다음과 같다.

E(X) = 3 × P(성공) + 1 × P(실패) = 3 × 1/3 + 1 × 2/3 = 1 + 2/3 = 5/3

따라서, 100번의 시행으로 얻은 점수의 평균은 다음과 같다.

E(X) = n × E(한 번 시행으로 얻은 평균 점수) = 100 × 5/3 = 500/3

분산은 다음과 같이 계산할 수 있다.

V(X) = npq × (성공한 경우의 분산) + npq × (실패한 경우의 분산)
= 100 × 1/3 × (3 - 5/3)² + 100 × 2/3 × (1 - 5/3)²
= 800/9

따라서, 정답은 "E(X)=500/3, V(X)=800/9"이다.