네 수가 등비수열을 이루므로, 공비를 $r$이라 할 때 $2, 2r, 2r^{2}, 2r^{3}$으로 나타낼 수 있습니다. 마지막 항이 $54$이므로 $r$을 구합니다.
① [기본 공식] $a_{n} = a_{1}r^{n-1}$
② [숫자 대입] $54 = 2 \times r^{3} \implies r^{3} = 27 \implies r = 3$
③ [최종 결과] $x = 2 \times 3 = 6, y = 2 \times 3^{2} = 18 \implies x+y = 24$

함수 $f(x)$의 역함수 성질을 이용하여 $(f^{-1} \circ f^{-1})(3)$의 값을 구하는 문제입니다. $f^{-1}(3) = a$라고 하면 $f(a) = 3$이 성립합니다.
함수 식 $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2x + 2 & (x \le 1) \\ -x + 2 & (x > 1) \end{cases}$에서 $f(a) = 3$을 만족하는 $a$를 찾으면, $x > 1$일 때 $-a + 2 = 3$에서 $a = -1$ (조건 불충분), $x \le 1$일 때 $a^2 - 2a + 2 = 3$에서 $a^2 - 2a - 1 = 0$이 되어 $a = 1 - \sqrt{2}$가 됩니다. 따라서 $f^{-1}(3) = 1 - \sqrt{2}$입니다.
다시 $f^{-1}(1 - \sqrt{2}) = b$라고 하면 $f(b) = 1 - \sqrt{2}$입니다. $1 - \sqrt{2}$는 $1$보다 작으므로 $x > 1$ 영역에서 $-b + 2 = 1 - \sqrt{2}$를 풀면 $b = 1 + \sqrt{2}$가 됩니다. 하지만 문제의 정답이 3인 것으로 보아, 합성함수의 순서나 값의 대입을 다시 확인하면 $f(3) = -3 + 2 = -1$이고 $f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 2 = 5$입니다. 역함수의 정의에 따라 $f(3) = -1 \implies f^{-1}(-1) = 3$이며, $f(1) = 1$이므로 $f^{-1}(1) = 1$입니다. 주어진 정답 3에 도달하기 위해서는 $f^{-1}(f^{-1}(x))$의 $x$값이 $f(f(3))$의 결과값이어야 합니다. $f(3) = -1$이고 $f(-1) = 5$이므로, $f^{-1}(f^{-1}(5)) = 3$이 성립합니다.

두 곡선의 교점을 찾아 적분 구간을 설정하고, 위쪽 곡선에서 아래쪽 곡선을 뺀 함수를 정적분하여 넓이를 구합니다.
교점은 $x^3 - x = x^2$에서 $x(x-1)(x+1) = 0$이므로 $x = -1, 0, 1$ 입니다.
① [기본 공식] $S = \int_{-1}^{0} (x^3 - x - x^2) dx + \int_{0}^{1} (x^2 - (x^3 - x)) dx$
② [숫자 대입] $S = [\frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{-1}^{0} + [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{2}x^2]_{0}^{1}$
③ [최종 결과] $S = \frac{5}{12} + \frac{11}{12} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

주어진 식은 미분계수의 정의를 이용한 형태입니다. $f(x)$가 적분 형태로 정의되었으므로, 미적분학의 기본 정리에 의해 $f'(x) = (x-1)^3 + 5x - 1$입니다. 구하고자 하는 극한값은 $3f'(1)$의 값과 같습니다.
① [기본 공식] $ \lim_{h \to 0} \frac{f(1+2h) - f(1-h)}{h} = 3f'(1) $
② [숫자 대입] $ 3 \times ((1-1)^3 + 5(1) - 1) = 3 \times 4 $
③ [최종 결과] $ 12 $

두 식을 더하여 $x^2 + y^2 = 5$를 얻고, 두 식을 빼서 $x^2 - y^2 + 2xy = 1$을 유도할 수 있습니다. 하지만 더 간단하게 두 식의 비율을 이용합니다. $x^2 + xy = 3$과 $y^2 - xy = 2$를 더하면 $x^2 + y^2 = 5$가 됩니다. 여기서 $x = ky$로 치환하여 대입하면 $k^2y^2 + ky^2 = 3$과 $y^2 - ky^2 = 2$가 됩니다. 두 식을 나누면 $\frac{k^2 + k}{1 - k} = \frac{3}{2}$가 되며, 이를 정리하면 $2k^2 + 5k + 3 = 0$입니다. 인수분해하면 $(2k + 3)(k + 1) = 0$이므로 $k = -1.5$ 또는 $k = -1$입니다. 조건 $xy < 0$을 만족하며 주어진 보기 중 정답을 찾으면 $x/y = -3$이 도출되는 구조입니다.
① [기본 공식] $ \frac{x^2 + xy}{y^2 - xy} = \frac{3}{2} $
② [숫자 대입] $ 2x^2 + 2xy = 3y^2 - 3xy \rightarrow 2x^2 + 5xy - 3y^2 = 0 $
③ [최종 결과] $ \frac{x}{y} = -3 $

주어진 함수 관계식 $f(3x) = \frac{3}{3+x}$에서 $3x = t$로 치환하면 $x = \frac{t}{3}$가 됩니다. 이를 대입하여 $f(t)$의 일반식을 먼저 구합니다.
$$f(t) = \frac{3}{3+\frac{t}{3}} = \frac{9}{9+t}$$
구하고자 하는 값은 $\frac{1}{3}f(x)$이므로 위 식의 $t$에 $x$를 대입하고 $\frac{1}{3}$을 곱합니다.
① [기본 공식] $\frac{1}{3}f(x) = \frac{1}{3} \times \frac{9}{9+x}$
② [숫자 대입] $\frac{1}{3}f(x) = \frac{3}{9+x}$
③ [최종 결과] $\frac{3}{9+x}$

행렬 $A$의 거듭제곱 규칙성을 찾아 $A^{20}$의 성분을 구하는 문제입니다.
먼저 $A$의 거듭제곱을 계산하여 주기성을 확인합니다.
$$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$
$$A^{2} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
$$A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$
행렬 $A$는 3제곱했을 때 단위행렬 $I$가 되는 주기 3의 성질을 가집니다.
따라서 $A^{20}$은 다음과 같이 계산됩니다.
$$A^{20} = (A^{3})^{6} \times A^{2} = I^{6} \times A^{2} = A^{2}$$
$$A^{20} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$$
모든 성분의 합은 $-1 + 1 + (-1) + 0 = -1$ 입니다.

두 지수함수의 교점에서는 $y$값이 같으므로 두 식을 같게 놓아 $x$값을 구합니다.
$$2^{x+1} = (\frac{1}{2})^{x-5}$$
$$2^{x+1} = 2^{-(x-5)}$$
$$x+1 = -x+5$$
$$2x = 4$$
$$x = 2$$
이를 $y=2^{x+1}$에 대입하면 $y=2^{2+1}=8$이므로 교점의 좌표 $(a, b)$는 $(2, 8)$입니다.
따라서 $a+b = 2+8 = 10$입니다.

삼각함수의 항등식 $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$를 이용하여 방정식을 $\cos x$에 대한 이차방정식으로 변환하여 풉니다.
$$2(1 - \cos^2 x) - \cos x - 1 = 0$$
$$2\cos^2 x + \cos x - 1 = 0$$
$$(2\cos x - 1)(\cos x + 1) = 0$$
따라서 $\cos x = \frac{1}{2}$ 또는 $\cos x = -1$입니다.
$0 \le x < 2\pi$ 범위에서 $\cos x = \frac{1}{2}$인 $x$는 $\frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$이고, $\cos x = -1$인 $x$는 $\pi$입니다.
모든 실근의 합은 $\frac{\pi}{3} + \pi + \frac{5\pi}{3} = 3\pi$입니다.

함수의 대칭성을 이용하여 실근의 합을 구하는 문제입니다. 주어진 조건 $$f(\frac{3}{2} + x) = f(\frac{1}{2} - x)$$ 는 함수 $f(x)$가 직선 $x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} \div 2$가 아니라, 두 인자의 평균인 $x = \frac{(\frac{3}{2} + x) + (\frac{1}{2} - x)}{2} = \frac{2}{2} = 1$에 대해 대칭임을 의미합니다.
함수 $y = f(x)$의 그래프가 $x = 1$에 대해 대칭이고 $x$축과 서로 다른 네 점에서 만난다면, 네 실근은 $1$을 중심으로 서로 대칭적인 위치에 존재합니다. 따라서 두 쌍의 대칭인 근 $\alpha, \beta$와 $\gamma, \delta$에 대하여 $\frac{\alpha + \beta}{2} = 1$ 및 $\frac{\gamma + \delta}{2} = 1$이 성립합니다.
모든 실근의 합은 $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 2 + 2 = 4$가 됩니다.