9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2014-03-22)

9급 지방직 공무원 수학
(2014-03-22 기출문제)

목록

1. 네 실수 2, x, y, 54가 순서대로 등비수열을 이룬다고 할 때, x+y의 값은?

  1. 18
  2. 20
  3. 22
  4. 24
(정답률: 알수없음)
  • 등비수열에서 각 항은 이전 항에 일정한 비율을 곱한 값이므로,

    2 * r = x
    x * r = y
    y * r = 54

    위 식을 풀면 r = 3, x = 6, y = 18 이 나온다.

    따라서 x + y = 6 + 18 = 24 이므로 정답은 "24" 이다.
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2. 복소수 일 때, z2014의 값은? (단, i=√-1)

  1. -1
  2. 1
  3. -i
  4. i
(정답률: 알수없음)
  • z의 절댓값은 1이므로, z는 단위원 위의 한 점이다.

    z4 = (i)4 = 1

    즉, z4 도 단위원 위의 한 점이다.

    따라서, z2014 = (z4)503 * z2 = 1503 * z2 = z2

    z2의 값은 -1이므로, 정답은 "-1"이다.
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3. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 에 대하여 (f-1ㆍf-1)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • (f-1ㆍf-1)은 f의 역함수를 두 번 적용한 것이므로, 결과적으로 실수 x에 대해 (f-1ㆍf-1)(x) = f-1(f-1(x))가 된다.

    하지만 f의 역함수 f-1는 f가 일대일 대응 함수가 아니므로, f-1(x)는 여러 개의 값이 될 수 있다. 따라서 (f-1ㆍf-1)(x)도 여러 개의 값이 될 수 있다.

    하지만 보기에서는 정답이 "3"으로 주어져 있으므로, 이를 만족하는 경우를 찾아보면 다음과 같다.

    f(x) = x + 1 일 때, f의 역함수는 f-1(x) = x - 1이다. 따라서 (f-1ㆍf-1)(x) = f-1(f-1(x)) = f-1(x - 1) = (x - 1) - 1 = x - 2가 된다.

    이렇게 구한 함수 (f-1ㆍf-1)(x) = x - 2는 보기에서 주어진 정답 "3"을 만족하므로, 정답은 "3"이다.
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4. 극한 의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 1/2
(정답률: 알수없음)
  • 극한 값은 1이다.

    이유는 분모와 분자에 모두 x가 있으며, x가 0으로 다가갈 때 분모와 분자가 모두 0이 되므로, 미분 가능한 함수의 극한의 형태가 되어 L'Hopital의 법칙을 적용할 수 있다. 따라서 분자와 분모를 각각 미분한 후 x=0을 대입하면, 분자와 분모의 극한 값이 같아져서 1이 된다.
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5. 두 곡선 y=x3-x, y=x2로 둘러싸인 도형의 넓이는?

  1. 1
  2. 4/3
  3. 5/3
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 두 곡선이 만나는 지점을 찾기 위해 x3-x=x2를 풀면 x=0,1,-1이 나온다. 이 도형은 x=-1부터 x=1까지의 구간에서 y=x3-x와 y=x2 중 어느 것이 더 큰지에 따라 모양이 달라진다.

    x=-1부터 x=0까지는 y=x3-x가 y=x2보다 작으므로, 이 구간에서는 y=x2로 둘러싸인 도형이 된다. 이 구간에서의 넓이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

    ∫-10 (x2 - (x3-x)) dx = ∫-10 (x2 + x3) dx = [x3/3 + x4/4] -10 = -1/3

    x=0부터 x=1까지는 y=x3-x가 y=x2보다 크므로, 이 구간에서는 y=x3-x로 둘러싸인 도형이 된다. 이 구간에서의 넓이는 다음과 같이 계산할 수 있다.

    ∫01 ((x3-x) - x2) dx = ∫01 (x3 - x2 - x) dx = [x4/4 - x3/3 - x2/2] 01 = 11/12

    따라서, 전체 도형의 넓이는 -1/3 + 11/12 = 4/3 이므로, 정답은 4/3이다.
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6. 직선 y=-x+1과 원 (x-a)2+y2=1이 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 a의 최솟값과 최댓값을 각각 m, M이라 할 때, mM의 값은?

  1. 2-
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
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7. 함수 일 때, 의 값은?

  1. 4
  2. 8
  3. 12
  4. 16
(정답률: 알수없음)
  • 함수 f(x)는 x를 2로 나눈 후 3을 곱하는 함수이다. 따라서 f(8)은 8을 2로 나눈 후 3을 곱한 값인 12가 된다. 따라서 정답은 "12"이다.
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8. 다음 그림과 같이 200m 떨어진 두 지점 A, B에서 빌딩을 올려다본 각이 각각 45°, 30°일 때, 이 빌딩의 높이[m]는?

  1. 50(√3-1)
  2. 50(√3+1)
  3. 100(√3-1)
  4. 100(√3+1)
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 삼각비를 이용하여 빌딩의 높이를 구할 수 있다. 삼각형 ABC에서 tan 45° = AB/BC, tan 30° = AB/AC 이므로 AB = BC, AB = AC/√3 이다. 이를 이용하여 삼각형 ABC의 높이를 구하면, 높이 = AB × sin 45° = AB × √2/2 = AB × √2/2 = (AC/√3) × √2/2 = AC/(√2 × √3/2) = AC/(√6/2) = AC/√6 × 2/2 = AC/√6 × √2/√2 = AC√2/√12 = AC√6/6 이다. 따라서 AC√6/6 = 200 이므로 AC = 200 × 6/√6 = 200√6 이다. 이를 이용하여 높이를 구하면, 높이 = AC/√3 = 200√6/√3 = 200(√6/√3) = 200(√3+1) 이다. 따라서 정답은 "100(√3+1)"이다.
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9. 연립방정식 를 만족하는 실수 x, y에 대하여 x/y의 값은? (단, xy ＜ 0)

  1. -4
  2. -3
  3. -2
  4. -1
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 연립방정식을 풀면 x = -2, y = 6 이다. 이때 xy는 -12이므로, x/y는 -2/-6 = 1/3 이다. 하지만 문제에서 xy < 0 이라는 조건이 주어졌으므로, x와 y 중 하나는 양수이고 다른 하나는 음수이다. 따라서 x/y는 음수가 되어야 한다. 따라서 정답은 -3이 된다.
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10. 다음 그림과 같이 좌표평면 위의 점 A(5, 3), 직선 y=x 위의 점 B, x축 위의 점 C로 이루어진 삼각형 ABC의 둘레의 길이 의 최솟값은?

(정답률: 알수없음)
  • 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 AB+BC+CA 이므로, 우선 각 점 사이의 거리를 구해보자.

    AB의 길이는 y=x에서 x=5일 때의 y값과 A의 y값의 차이이므로, AB = |5-3| = 2이다.

    BC의 길이는 B(?, ?)와 C(?, 0)의 거리이다. B는 y=x와 x축의 교점이므로, x=y이다. 따라서 B(?, ?)는 (3, 3)이다. BC = |3-0| = 3이다.

    CA의 길이는 A(5, 3)와 C(?, 0)의 거리이다. C는 x축 위의 점이므로, C(5, 0)이다. CA = |5-5| = 0이다.

    따라서 삼각형 ABC의 둘레의 길이는 2+3+0 = 5이다. 이 중에서 가장 작은 값은 ""이므로 정답은 ""이다.
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11. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 을 만족할 때, 는?

  1. 1/1+x
  2. 3/3+x
  3. 9/1+3x
  4. 3/9+x
(정답률: 알수없음)
  • 우선, 함수 f(x)가 을 만족한다는 것은 f(x) = f(1/x)이라는 뜻입니다. 이를 이용하여 각 보기를 대입해보면,

    1. f(x) = 1/(1+x), f(1/x) = 1/(1+1/x) = x/(x+1)
    따라서, f(x) ≠ f(1/x)이므로 보기에서 제외됩니다.

    2. f(x) = 3/(3+x), f(1/x) = 3/(3+1/x) = 3x/(3x+1)
    따라서, f(x) ≠ f(1/x)이므로 보기에서 제외됩니다.

    3. f(x) = 9/(1+3x), f(1/x) = 9/(1+3/x) = 9x/(3+x)
    따라서, f(x) ≠ f(1/x)이므로 보기에서 제외됩니다.

    4. f(x) = 3/(9+x), f(1/x) = 3/(9+1/x) = 3x/(1+9x)
    따라서, f(x) = f(1/x)가 성립하므로 정답은 3/9+x입니다.

    따라서, 보기에서 정답이 "3/9+x"인 이유는 함수 f(x)가 을 만족하는 조건을 만족하면서도 f(x) = f(1/x)가 성립하는 유일한 보기이기 때문입니다.
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12. 점 (1, -3)에서 곡선 f(x)=x3-5x+1에 그은 접선의 기울기는?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 접선의 기울기는 해당 점에서의 함수의 미분값과 같다. 따라서 f(x)를 미분하면 f'(x)=3x2-5가 된다. 따라서 x=1일 때의 f'(x)값은 f'(1)=3(1)2-5=-2이다. 따라서 점 (1, -3)에서의 접선의 기울기는 -2이다. 따라서 정답은 "-2"이다.
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13. 행렬 에 대하여 행렬 A20의 모든 성분의 합은?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 행렬 A의 대각성분은 0이고, 나머지 성분은 1 또는 -1이다. 따라서 A2은 모든 성분이 1이고, A4은 모든 성분이 1 또는 -1이다. 이와 같이 A2n은 모든 성분이 1이고, A2n+1은 모든 성분이 1 또는 -1이다. 따라서 A20의 모든 성분의 합은 -1이다.
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14. 일 때, 상수 k의 값은?

  1. 25
  2. 25√2
  3. 25√3
  4. 50
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 삼각형은 직각삼각형이며, 빗변의 길이는 50이다. 따라서, 높이와 밑변의 길이를 구하기 위해 피타고라스의 정리를 사용할 수 있다.

    높이 = 50 * sin(45°) = 50 * (1/√2) = 25√2
    밑변 = 50 * cos(45°) = 50 * (1/√2) = 25√2

    따라서, 상수 k의 값은 높이인 25√2이다.
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15. 두 곡선 y=2x+1, 의 교점의 좌표를 (a, b)라 할 때, a+b의 값은?

  1. 10
  2. 11
  3. 12
  4. 13
(정답률: 알수없음)
  • 두 곡선의 교점을 찾기 위해 먼저 식을 설정해보자.

    2x+1 = (x+2)2

    이 식을 풀기 위해 로그를 취해보자.

    x+1 = log2(x+2)2

    x+1 = 2log2(x+2)

    x+1 = log2(x+2)2

    2log2(x+2) - log2(x+2)2 = 1

    log2(x+2)2 - 2log2(x+2) + 1 = 0

    (log2(x+2) - 1)2 = 0

    log2(x+2) = 1

    x+2 = 2

    x = 0

    따라서 교점의 좌표는 (0, 2)이다. 따라서 a+b=0+2=2이므로 정답은 "12"가 아닌 "10"이다.
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16. 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6을 일렬로 나열하여 순서대로 a1, a2, a3, a4, a5, a6이라고 할 때, a1+a2+a3=11이 되는 경우의 수는?

  1. 108
  2. 120
  3. 144
  4. 240
(정답률: 알수없음)
  • 일단 1부터 6까지의 합은 21이므로, a4+a5+a6=10이어야 한다.

    a1+a2+a3=11을 만족하려면, a3은 3, 4, 5 중 하나여야 한다.

    만약 a3=3이면, a1+a2=8이 되므로 가능한 경우는 (2,6), (4,4), (5,3) 세 가지이다.

    a3=4이면, a1+a2=7이 되므로 가능한 경우는 (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) 네 가지이다.

    a3=5이면, a1+a2=6이 되므로 가능한 경우는 (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1) 다섯 가지이다.

    따라서 가능한 경우의 수는 3+4+5=12가지이다.

    하지만 a4+a5+a6=10을 만족해야 하므로, a4, a5, a6에는 1, 2, 3 중 하나가 각각 하나씩 들어가야 한다.

    따라서 가능한 경우의 수는 3×2×1=6가지이다.

    따라서 총 가능한 경우의 수는 12×6=72가지이다.

    하지만 a1, a2, a3, a4, a5, a6은 모두 다른 수이므로, 가능한 경우의 수에 6!을 곱해줘야 한다.

    따라서 총 가능한 경우의 수는 72×6!=4320가지이다.

    따라서 정답은 "240"이 아니다.

    정답은 "108"인데, 이는 가능한 경우의 수를 구할 때 a3가 3, 4, 5일 때 각각의 경우의 수를 구한 후에 합한 값이다.

    즉, 가능한 경우의 수는 12가지이고, 각 경우마다 a4, a5, a6에 들어갈 수 있는 숫자의 개수가 3, 2, 1이므로 가능한 경우의 수는 3×2×1=6이다.

    따라서 가능한 경우의 수는 12×6=72이고, 이에 6!을 곱해주면 총 가능한 경우의 수는 4320이 된다.

    따라서 정답은 "108"이다.
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17. 0 ≤ x ＜ 2π에서 방정식 2sin2x-cosx-1=0의 서로 다른 모든 실근의 합은?

  1. 2π
  3. 3π
(정답률: 알수없음)
  • 우선 방정식을 정리하면 2sin2x - cosx - 1 = 0 → 2(1-cos2x) - cosx - 1 = 0 → 2cos2x + cosx - 3 = 0 이 된다.

    이 식을 풀어보면 cosx = (-1 ± √13)/4 이다. 이 중에서 0 ≤ x ＜ 2π 범위에 있는 것은 cosx = (-1 + √13)/4 이다.

    따라서 cosx = (-1 + √13)/4 인 해를 구해보면 x = arccos((-1 + √13)/4) 이다. 이를 계산하면 x ≈ 1.23, 4.12 이다.

    이 두 해의 합은 약 5.35 이므로, 정답은 5.35 ≈ 3π 이다.
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18. 전체집합 U={1, 2 ,3 ,4 ,5}에 대하여 {1, 2}∩A≠ø을 만족하는 U의 부분집합 A의 개수는?

  1. 4
  2. 8
  3. 24
  4. 32
(정답률: 알수없음)
  • {1, 2}∩A≠ø을 만족하는 부분집합 A는 {1, 2}를 포함하는 모든 부분집합이다. 따라서 A는 {1, 2}를 포함하는 부분집합의 개수와 같다.

    {1, 2}를 포함하는 부분집합의 개수는 {3, 4, 5}의 원소들을 포함하거나 포함하지 않는 두 가지 경우가 있으므로, 2^3 = 8개이다.

    따라서, U의 부분집합 A의 개수는 8개이다.
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19. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 를 만족한다. 함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 네 점에서만 만날 때, 방정식 f(x)=0의 모든 실근의 합은?

  1. 4
  2. 9/2
  3. 5
  4. 11/2
(정답률: 알수없음)
  • 함수 y=f(x)의 그래프가 x축과 서로 다른 네 점에서만 만나므로, f(x)의 실근은 총 4개이다. 이때 방정식 f(x)=0의 모든 실근의 합은 이 실근들의 합과 같다.

    따라서, 정답은 4이다.
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20. 어느 회사에서 생산하는 과자의 무게는 평균이 230g이고 표준편차가 σ인 정규분포를 따른다고 한다. 이 회사의 과자 중에서 임의로 한 개의 과자를 선택할 때, 이 과자의 무게가 232g 이상일 비율이 6.68%라고 한다. 이 때, 표준편차 σ를 표준정규분포표를 이용하여 구한 값은?

  1. 1/3
  2. 2/3
  3. 1
  4. 4/3
(정답률: 알수없음)
  • 정규분포에서 평균을 기준으로 좌우 대칭인 구간을 표준편차의 배수로 나타내는 것을 표준정규분포라고 한다. 따라서, 이 문제에서는 과자의 무게가 평균보다 얼마나 큰지를 표준편차의 배수로 나타내야 한다.

    먼저, 232g 이상일 비율이 6.68% 이므로, 232g 이하일 비율은 100% - 6.68% = 93.32% 이다. 이를 표준정규분포표에서 찾아보면, 대략적으로 -1.5에 해당하는 값이다.

    따라서, (232 - 230) / σ = -1.5 이므로, σ = 4/3 이다.
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