9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2021-06-05)

9급 지방직 공무원 수학 2021-06-05 필기 기출문제 해설

이 페이지는 9급 지방직 공무원 수학 2021-06-05 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

9급 지방직 공무원 수학
(2021-06-05 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. log336-4log3√2의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 59%)
  • 로그의 성질을 이용하여 식을 단순화하여 계산합니다.
    ① [기본 공식] $n \log_a M = \log_a M^n$
    ② [숫자 대입] $\log_3 36 - \log_3 (\sqrt{2})^4 = \log_3 36 - \log_3 4$
    ③ [최종 결과] $\log_3 (36/4) = \log_3 9 = 2$
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2. 집합 X={1. 2. 3}에 대하여 두 함수 f:X → X, g:X → X가 다음 그림과 같을 때, (g∘f)(1)+(f-1∘g-1)(2)의 값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 44%)
  • 함수의 합성 및 역함수의 성질을 이용하여 값을 구하는 문제입니다.
    먼저 합성함수 $(g \circ f)(1)$은 $f(1)=3$이고 $g(3)=3$이므로 결과는 $3$입니다.
    다음으로 $(f^{-1} \circ g^{-1})(2)$는 $(g \circ f)^{-1}(2)$와 같으며, $g \circ f$의 대응 관계를 보면 $f(2)=1$이고 $g(1)=3$, $f(3)=2$이고 $g(2)=2$이므로 $(g \circ f)(3)=2$가 성립합니다. 따라서 $(f^{-1} \circ g^{-1})(2)=3$이 아니라, $g^{-1}(2)=2$이고 $f^{-1}(2)=3$이므로 결과는 $1$입니다.
    최종 계산은 다음과 같습니다.
    $$3 + 1 = 4$$
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3. 방정식 의 해는?

  1. 5/2
  2. 3
  3. 7/2
  4. 4
(정답률: 50%)
  • 지수법칙을 이용하여 밑을 $3$으로 통일시킨 후 지수를 비교하여 해를 구하는 문제입니다.
    ① [기본 공식] $27^{x-1} = (\frac{1}{\sqrt{3}})^{3-5x}$
    ② [숫자 대입] $(3^3)^{x-1} = (3^{-\frac{1}{2}})^{3-5x} \implies 3^{3x-3} = 3^{-\frac{3}{2} + \frac{5}{2}x}$
    ③ [최종 결과] $3x - 3 = -\frac{3}{2} + \frac{5}{2}x \implies \frac{1}{2}x = \frac{3}{2} \implies x = 3$
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4. 두 함수 f(x), g(x)에 대하여, , 일 때, 의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 43%)
  • 함수의 극한 성질을 이용하여 연립방정식 형태로 풀어내는 문제입니다. $\lim_{x \to \infty} f(x) = a$, $\lim_{x \to \infty} g(x) = b$라고 하면 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
    $$2a + b = 7$$
    $$a - 2b = 1$$
    위 식을 연립하여 풀면 $a = 3$, $b = 1$이 됩니다. 구하고자 하는 값은 $\lim_{x \to \infty} \{f(x) + g(x)\}$이므로 $a + b$를 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to \infty} \{f(x) + g(x)\} = a + b$
    ② [숫자 대입] $3 + 1$
    ③ [최종 결과] $4$
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5. 이차함수 y=x2-2kx+k의 최솟값이 -3이 되도록 하는 모든 실수 k의 합은?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 7
(정답률: 31%)
  • 이차함수의 표준형 변형을 통해 최솟값을 $k$에 관한 식으로 나타내는 문제입니다.
    $y = (x - k)^2 + k - k^2$로 변형하면 최솟값은 $k - k^2$ 입니다.
    ① [기본 공식] $k - k^2 = -3$
    ② [숫자 대입] $k^2 - k - 3 = 0$
    ③ [최종 결과] 근과 계수의 관계에 의해 모든 실수 $k$의 합은 $-\frac{-1}{1} = 1$
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1

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6. 서로 다른 두개의 주사위를 동시에 던져서 나오는 두 눈의 수의 합을 k라고 할 때, ik=1일 확률은? (단, i=√-1)

  1. 1/4
  2. 1/3
  3. 5/12
  4. 1/2
(정답률: 33%)
  • 허수 단위 $i$의 거듭제곱 주기성과 주사위의 합 확률을 이용하는 문제입니다.
    $i^k = 1$이 되려면 $k$가 4의 배수여야 합니다. 두 주사위 눈의 합 $k$가 4의 배수인 경우는 $(1,3), (2,2), (3,1), (1,7)$은 불가하므로 $k=4$일 때 3가지, $k=8$일 때 $(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ 5가지, $k=12$일 때 $(6,6)$ 1가지로 총 9가지입니다.
    ① [기본 공식] $P = \frac{\text{사건의 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}$
    ② [숫자 대입] $P = \frac{3 + 5 + 1}{36} = \frac{9}{36}$
    ③ [최종 결과] $P = \frac{1}{4}$
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7. 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 n(U)=20, n(A)=15, n(B)=8, n(AC∩BC)=4 일 때, n(A∩B) 의 값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 37%)
  • 드 모르간의 법칙과 합집합의 원소 개수 공식을 이용하여 교집합의 원소 개수를 구하는 문제입니다.
    먼저 $n(A \cup B) = n(U) - n(A^C \cap B^C)$이므로 $n(A \cup B) = 20 - 4 = 16$ 입니다.
    합집합 공식 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$에 대입하면
    ① [기본 공식] $n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B)$
    ② [숫자 대입] $n(A \cap B) = 15 + 8 - 16$
    ③ [최종 결과] $n(A \cap B) = 7$
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8. 0 ≤ θ ≤ π 일 때, 방정식 2sin2θ+3cosθ=0 을 만족하는 θ의 값은?

  1. (1/6)π
  2. (1/4)π
  3. (1/3)π
  4. (2/3)π
(정답률: 32%)
  • 삼각함수의 항을 통일하기 위해 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ 공식을 이용하여 $\cos\theta$에 대한 이차방정식으로 변환하여 풉니다.
    ① [기본 공식] $2(1 - \cos^2\theta) + 3\cos\theta = 0$
    ② [숫자 대입] $-2\cos^2\theta + 3\cos\theta + 2 = 0 \implies (2\cos\theta + 1)(-\cos\theta + 2) = 0$
    ③ [최종 결과] $\cos\theta = -\frac{1}{2} \implies \theta = \frac{2}{3}\pi$
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9. 상수 a, b, c에 대하여 함수 가 , 를 만족할 때, a+b+c 의 값은?

  1. -1
  2. -2
  3. -3
  4. -4
(정답률: 25%)
  • 함수의 극한 성질을 이용하여 계수 $a, b, c$를 구하는 문제입니다.
    먼저 무한대 극한에서 최고차항의 계수비가 $1$이므로 $a=1$입니다. 다음으로 $x \to -1$일 때 극한값이 존재하려면 분자가 $(x+1)$을 인수로 가져야 하므로 $f(-1)=0$이어야 하며, 이를 통해 $b$와 $c$의 관계를 도출합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to \infty} \frac{ax^2+bx+c}{x^2-1} = a$
    ② [숫자 대입] $a = 1$
    ③ [최종 결과] $a+b+c = -4$
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1

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10. 두 사건 A, B가 서로 독립이고 P(A)=2P(B), P(A∩B)=1/8 일 때, P(A∪B) 의 값은?

  1. 3/8
  2. 1/2
  3. 5/8
  4. 3/4
(정답률: 36%)
  • 두 사건이 독립일 때 교집합의 확률은 각 확률의 곱과 같다는 성질을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
    ② [숫자 대입] $1/8 = 2P(B) \times P(B) = 2P(B)^2$
    ③ [최종 결과] $P(B) = 1/4, P(A) = 1/2$
    합집합의 확률 공식 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$에 대입하면
    $$P(A \cup B) = 1/2 + 1/4 - 1/8 = 5/8$$
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11. 등비수열 {an}에 대하여 a2=2, a5=54일 때, a3의 값은?

  1. 6
  2. 8
  3. 10
  4. 12
(정답률: 41%)
  • 등비수열의 일반항 $a_n = a_1 r^{n-1}$ 원리를 이용하여 공비 $r$을 먼저 구한 뒤 $a_3$를 계산합니다.
    ① [기본 공식] $r^3 = \frac{a_5}{a_2}$
    ② [숫자 대입] $r^3 = \frac{54}{2} = 27 \implies r = 3, a_3 = a_2 \times r = 2 \times 3$
    ③ [최종 결과] $a_3 = 6$
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1

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12. 두 다항식 A=x2-4x+5, B=-4x+5 에 에 대하여 A2-B2의 전개식에서 x2의 계수는?

  1. 6
  2. 8
  3. 10
  4. 12
(정답률: 43%)
  • 합차 공식 $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$를 이용하여 식을 단순화한 후 $x^2$의 계수를 찾습니다.
    ① [기본 공식] $(A-B)(A+B) = (x^2-4x+5 - (-4x+5))(x^2-4x+5 + (-4x+5))$
    ② [숫자 대입] $(x^2)(x^2-8x+10) = x^4 - 8x^3 + 10x^2$
    ③ [최종 결과] $10$
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13. 일차함수 f(x)=ax+2 와 그 역함수 f-1(x)가 서로 같을 때, 상수 a의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 38%)
  • 함수와 그 역함수가 서로 같으려면 함수 $f(x)$가 직선 $y=x$에 대하여 대칭이어야 합니다. 일차함수 $f(x)=ax+b$에서 $b \neq 0$일 때, 역함수와 일치하기 위한 조건은 기울기 $a$가 $-1$이어야 합니다.
    ① [기본 공식] $f(x) = f^{-1}(x) \implies a = -1$
    ② [숫자 대입] $a = -1$
    ③ [최종 결과] $a = -1$
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14. 두 점 A(-1, 1), B(5, 4) 에 대하여 선분 AB를 1:2 로 내분하는 점을 P라 할 때, 점 P를 지나고 직선 AB에 수직인 직선의 y절편은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 33%)
  • 내분점 공식과 직선의 수직 조건(기울기의 곱은 $-1$)을 이용하는 문제입니다.
    점 $P$의 좌표는 $( \frac{1 \cdot 5 + 2 \cdot (-1)}{1+2}, \frac{1 \cdot 4 + 2 \cdot 1}{1+2} ) = (1, 2)$ 입니다. 직선 $AB$의 기울기는 $\frac{4-1}{5-(-1)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$이므로, 수직인 직선의 기울기는 $-2$ 입니다.
    ① [기본 공식] $y - 2 = -2(x - 1)$
    ② [숫자 대입] $y = -2x + 2 + 2$
    ③ [최종 결과] $y = -2x + 4$ 따라서 $y$절편은 $4$입니다.
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1

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15. 함수 에 대하여 정적분 의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 25%)
  • 함수의 평행이동과 구간별 정적분을 이용하는 문제입니다.
    주어진 함수는 $f(x) = \begin{cases} -x & (x < 0) \ x^3 & (x \ge 0) \end{cases}$이며, 구하고자 하는 값은 $\int_{-1}^{3} f(x-1) dx$ 입니다. $x-1 = t$로 치환하면 $dx = dt$이고 구간은 $-2$부터 $2$까지가 됩니다.
    ① [기본 공식] $\int_{-2}^{2} f(t) dt = \int_{-2}^{0} (-t) dt + \int_{0}^{2} t^3 dt$
    ② [숫자 대입] $[ -\frac{1}{2}t^2 ]_{-2}^{0} + [ \frac{1}{4}t^4 ]_{0}^{2} = (0 - (-2)) + (4 - 0)$
    ③ [최종 결과] $2 + 4 = 6$
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1

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16. 부등식 log2k ≤ log4(5k+6) 를 만족하는 모든 정수 k의 개수는?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 28%)
  • 로그의 밑을 통일하여 부등식을 풀고 정수 $k$의 개수를 찾는 문제입니다. 로그의 진수 조건 $k > 0$을 먼저 확인합니다.
    $\log_2 k \le \log_{2^2}(5k+6)$에서 우변은 $\frac{1}{2}\log_2(5k+6)$이므로 $\log_2 k^2 \le \log_2(5k+6)$이 됩니다.
    따라서 $k^2 - 5k - 6 \le 0$을 풀면 $(k-6)(k+1) \le 0$이 되어 $-1 \le k \le 6$입니다.
    진수 조건 $k > 0$과 연립하면 $0 < k \le 6$이므로 만족하는 정수 $k$는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$으로 총 6개입니다.
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1

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17. 확률변수 X가 이항분포 B(150, 3/5) 을 따를 때, 다음 표준정규 분포표를 이용하여 확률 P(81 ≤ X ≤ 96) 을 구하면?

  1. 0.5328
  2. 0.6247
  3. 0.7745
  4. 0.8185
(정답률: 33%)
  • 이항분포의 정규분포 근사를 이용하여 확률을 구하는 문제입니다. 평균 $E(X) = np$, 표준편차 $\sigma = \sqrt{npq}$를 이용합니다.
    평균 $150 \times 0.6 = 90$, 분산 $150 \times 0.6 \times 0.4 = 36$이므로 표준편차는 $6$입니다.
    확률 $P(81 \le X \le 96)$을 표준화하면 $P(\frac{81-90}{6} \le Z \le \frac{96-90}{6}) = P(-1.5 \le Z \le 1)$입니다.
    ① [기본 공식] $P(-1.5 \le Z \le 1) = P(0 \le Z \le 1.5) + P(0 \le Z \le 1)$
    ② [숫자 대입] $0.4332 + 0.3413$
    ③ [최종 결과] $0.7745$
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18. 두 실수 x, y가 (x-2i)+y(1+xi)=4 를 만족할 때, x3+y3의 값은? (단, i=√-1)

  1. 40
  2. 42
  3. 44
  4. 46
(정답률: 21%)
  • 복소수의 상등 원리를 이용하여 실수 $x, y$의 값을 구하는 문제입니다. 실수 부분과 허수 부분을 각각 나누어 방정식을 세웁니다.
    $(x-2i) + y(1+xi) = (x+y) + (xy-2)i = 4 + 0i$
    따라서 $x+y=4$이고 $xy-2=0$ 즉 $xy=2$입니다.
    구하고자 하는 값은 $x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$ 공식을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$
    ② [숫자 대입] $4^3 - 3 \times 2 \times 4$
    ③ [최종 결과] $40$
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19. 함수 f(x)=2x2-3x+5 에 대하여, 의 값은?

  1. 6
  2. 9
  3. 12
  4. 15
(정답률: 26%)
  • 미분계수의 정의를 이용하여 극한값을 구하는 문제입니다. $1/n = h$로 치환하면 $n \to \infty$일 때 $h \to 0+$가 됩니다.
    $$\lim_{n \to \infty} n \{ f(2 + \frac{2}{n}) - f(2 - \frac{1}{n}) \} = \lim_{h \to 0+} \frac{f(2+2h) - f(2-h)}{h}$$
    위 식은 $2f'(2) - (-1)f'(2) = 3f'(2)$와 같습니다.
    ① [기본 공식] $f'(x) = 4x - 3$
    ② [숫자 대입] $3 \times (4 \times 2 - 3)$
    ③ [최종 결과] $15$
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1

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20. 최고차항의 계수가 1인 사차함수 f(x)가 다음 조건을 모두 만족할 때, f(1)의 값은?

  1. -1/2
  2. -1
  3. -3/2
  4. -2
(정답률: 34%)
  • 조건 (가)에서 $f(x) = f(-x)$이므로 $y$축 대칭인 우함수입니다. 조건 (나)에서 $f(x) = 2$가 서로 다른 세 실근을 가지려면 $x = 0$에서 극댓값 $2$를 가져야 하며, 조건 (다)에서 $f(x) = -2$가 서로 다른 두 실근을 가지려면 두 극솟값이 $-2$여야 합니다.
    함수 식을 $f(x) = x^2(x-k)(x+k) + 2$로 설정하고 미분하여 극솟값을 찾습니다.
    $$f'(x) = 4x^3 - 2kx = 0 \implies x = \pm\frac{k}{\sqrt{2}}$$
    극솟값 $f(\frac{k}{\sqrt{2}}) = -\frac{k^4}{4} + 2 = -2$에서 $k^4 = 16$이므로 $k = 2$입니다.
    따라서 $f(x) = x^2(x-2)(x+2) + 2$이며, $f(1)$의 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $f(1) = 1^2(1-2)(1+2) + 2$
    ② [숫자 대입] $1 \times (-1) \times 3 + 2$
    ③ [최종 결과] $-1$
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