9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2020-06-13)

9급 지방직 공무원 수학 2020-06-13 필기 기출문제 해설

이 페이지는 9급 지방직 공무원 수학 2020-06-13 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

9급 지방직 공무원 수학
(2020-06-13 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 63%)
  • 지수 법칙과 로그의 정의를 이용하여 각 항을 단순화하여 계산합니다.
    ① [기본 공식] $4^{\frac{1}{2}} + \log_{2} 8$
    ② [숫자 대입] $2 + 3$
    ③ [최종 결과] $5$
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1

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2. 닫힌구간 [-1,2] 에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 57%)
  • 그래프에서 $x$가 특정 값으로 접근할 때의 함숫값(극한값)을 읽어 합산합니다.
    $\lim_{x \to 0^-} f(x)$는 $x$가 $0$의 왼쪽에서 접근할 때의 값으로 $-1$이며, $\lim_{x \to 1^+} f(x)$는 $x$가 $1$의 오른쪽에서 접근할 때의 값으로 $2$입니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to 0^-} f(x) + \lim_{x \to 1^+} f(x)$
    ② [숫자 대입] $-1 + 2$
    ③ [최종 결과] $1$
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3. 일 때, 상수 a의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 60%)
  • 시그마의 성질과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 상수 $a$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
    ② [숫자 대입] $\frac{5(6)(11)}{6} - a\frac{5(6)}{2} = 25 \rightarrow 55 - 15a = 25$
    ③ [최종 결과] $a = 2$
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4. 이차방정식 x2-3x-2=0의 두 근을 α,β라 할 때, (α-1)2+(β-1)2의 값은?

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
(정답률: 51%)
  • 근과 계수의 관계를 이용하여 식을 변형하여 푸는 문제입니다.
    이차방정식 $x^{2}-3x-2=0$에서 $\alpha + \beta = 3$, $\alpha\beta = -2$임을 이용합니다.
    구하고자 하는 식은 $(\alpha-1)^{2} + (\beta-1)^{2} = \alpha^{2} - 2\alpha + 1 + \beta^{2} - 2\beta + 1 = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta - 2(\alpha + \beta) + 2$ 입니다.
    ① [기본 공식]
    $$(\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta - 2(\alpha + \beta) + 2$$
    ② [숫자 대입]
    $$3^{2} - 2(-2) - 2(3) + 2$$
    ③ [최종 결과]
    $$9 + 4 - 6 + 2 = 9$$
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5. 두 집합 A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8}에 대하여 (A∩B)∪X=X, (A∪B)∩X=X를 만족시키는 집합 X의 개수는?

  1. 8
  2. 16
  3. 32
  4. 64
(정답률: 43%)
  • 집합의 포함 관계를 분석합니다. $(A \cap B) \cup X = X$는 $(A \cap B) \subset X$를 의미하고, $(A \cup B) \cap X = X$는 $X \subset (A \cup B)$를 의미합니다. 즉, $X$는 $(A \cap B)$와 $(A \cup B)$ 사이의 부분집합입니다.
    ① [기본 공식] $A \cap B = \{2, 4\}, A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$
    ② [숫자 대입] $(A \cup B) \text{의 원소 수 } 7 \text{개}, (A \cap B) \text{의 원소 수 } 2 \text{개} \implies 7 - 2 = 5 \text{개의 원소가 선택 가능}$
    ③ [최종 결과] $2^5 = 32$
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6. 다음 함수 f(x)가 x=1에서 연속일 때, a+4b의 값은? (단, a,b는 상수)

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 41%)
  • 함수가 $x=1$에서 연속이려면 $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1)$이어야 합니다. 분모가 $0$으로 가므로 분자 $1^3+a$도 $0$이 되어야 하며, 약분 후 극한값이 $b$와 같아야 합니다.
    ① [기본 공식] $a = -1, \lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x^2-1} = b$
    ② [숫자 대입] $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{3}{2} = b \implies a+4b = -1 + 4(\frac{3}{2})$
    ③ [최종 결과] $a+4b = 5$
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7. 양수 t와 좌표평면 위의 네 점 O(0,0), A(3,1), B)1,2), C(5,t)에 대하여 삼각형 OAC의 넓이와 삼각형 OAB의 넓이가 같을 때, t의 값은?

  1. 7/3
  2. 10/3
  3. 13/3
  4. 16/3
(정답률: 34%)
  • 세 점의 좌표가 주어졌을 때 삼각형의 넓이 공식(신발끈 공식)을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $S = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
    ② [숫자 대입] $S_{OAB} = \frac{1}{2} |0(1-2) + 3(2-0) + 1(0-1)| = 5/2$
    $$S_{OAC} = \frac{1}{2} |0(1-t) + 3(t-0) + 5(0-1)| = \frac{1}{2} |3t - 5|$$
    ③ [최종 결과] $|3t - 5| = 5 \implies 3t - 5 = 5 \implies t = 10/3$
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8. 함수 이 x=3에서 극솟값을 가질 때, 극댓값을 b라 하자. a+b의 값은? (단, a는 상수)

  1. 11/3
  2. 4
  3. 13/3
  4. 14/3
(정답률: 41%)
  • 함수가 $x=3$에서 극솟값을 가지려면 도함수 $f'(3)=0$이어야 합니다.
    ① [기본 공식] $f'(x) = x^2 - 2ax + 3$
    ② [숫자 대입] $f'(3) = 9 - 6a + 3 = 0 \implies a = 2$
    ③ [최종 결과] $f'(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$
    극댓값 $b$는 $x=1$일 때 발생하며, $f(1) = 1/3 - 2 + 3 + 1 = 7/3$ 입니다. 따라서 $a+b = 2 + 7/3 = 13/3$ 입니다.
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9. 양수 a와 이차함수 f(x)=a(x-2)(x-4)에 대하여 일 때, a의 값은?

  1. 1/2
  2. 3/2
  3. 5/2
  4. 7/2
(정답률: 29%)
  • 함수 $f(x)$가 $2 < x < 4$에서 음수이므로, 주어진 정적분 식은 $2$부터 $4$까지 $-2f(x)$를 적분한 값과 같습니다.
    ① [기본 공식] $\int_{1}^{5} (|f(x)| - f(x)) dx = -2 \int_{2}^{4} f(x) dx$
    ② [숫자 대입] $-2 \int_{2}^{4} a(x-2)(x-4) dx = -2a [\frac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x]_{2}^{4} = -2a (-4/3) = 8a/3$
    ③ [최종 결과] $8a/3 = 4 \implies a = 3/2$
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10. 곡선 y=x2+4와 원점에서 이 곡선에 그은 두 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

  1. 10/3
  2. 4
  3. 14/3
  4. 16/3
(정답률: 21%)
  • 곡선 $y=x^{2}+4$ 위의 접점의 좌표를 $(t, t^{2}+4)$라 하면, 접선의 방정식은 $y=(2t)x-t^{2}+4$입니다. 이 직선이 원점 $(0,0)$을 지나므로 $-t^{2}+4=0$에서 $t=\pm 2$가 됩니다. 따라서 두 접선은 $y=4x$와 $y=-4x$이며, 곡선과 두 접선으로 둘러싸인 넓이는 정적분을 통해 구합니다.
    ① [기본 공식] $\text{Area} = 2 \int_{0}^{2} (x^{2}+4-4x) dx$
    ② [숫자 대입] $\text{Area} = 2 [ \frac{1}{3}x^{3}-2x^{2}+4x ]_{0}^{2}$
    ③ [최종 결과] $\text{Area} = \frac{16}{3}$
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11. 함수 f(x)가 f(4x+3)=x2-5x+6일 때, f(7)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 57%)
  • 함수 $f(4x+3)$에서 괄호 안의 값이 $7$이 되도록 하는 $x$의 값을 먼저 찾습니다.
    $$4x + 3 = 7$$
    $$4x = 4$$
    $$x = 1$$
    이제 $x=1$을 우변의 식에 대입하여 $f(7)$의 값을 구합니다.
    $$f(7) = 1^{2} - 5(1) + 6$$
    $$f(7) = 1 - 5 + 6$$
    $$f(7) = 2$$
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12. 함수 f(x)=2x+5에 대하여 함수 g(x)=f(3x+1)이라 할 때, g(x)의 역함수 h(x)는?

(정답률: 45%)
  • 합성함수를 먼저 구한 뒤, $x$와 $y$를 바꾸어 역함수를 구합니다.
    1. $g(x)$ 구하기: $g(x) = f(3x+1) = 2(3x+1)+5 = 6x+7$
    2. 역함수 $h(x)$ 구하기: $y = 6x+7$에서 $x$에 대해 정리합니다.
    $$x = 6y + 7$$
    $$6y = x - 7$$
    $$y = \frac{1}{6}(x-7)$$
    따라서 $h(x) = \frac{1}{6}(x-7)$이며, 정답은 입니다.
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13. 한 개의 주사위를 2번 던져서 나온 눈의 수를 차례로 a,b라 하자. a+b≥10일 때, a=6일 확률은?

  1. 1/2
  2. 1/3
  3. 1/4
  4. 1/5
(정답률: 39%)
  • 조건부 확률 문제입니다. 사건 $A$를 $a+b \ge 10$인 경우, 사건 $B$를 $a=6$인 경우라고 할 때, $P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ 입니다.
    1. $a+b \ge 10$인 경우의 수: $(4,6), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)$ 총 6가지
    2. 그 중 $a=6$인 경우의 수: $(6,4), (6,5), (6,6)$ 총 3가지
    $$\text{확률} = \frac{3}{6}$$
    $$\text{확률} = \frac{1}{2}$$
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14. 다항식 P(x)를 x3+1로 나누었을 때의 나머지는 x2+2이다. P(x)를 x+1로 나누었을 때의 나머지는?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 36%)
  • 나머지 정리에 의해 다항식 $P(x)$를 $x+1$로 나누었을 때의 나머지는 $P(-1)$의 값과 같습니다.
    주어진 조건에서 $P(x) = (x^{3}+1)Q(x) + (x^{2}+2)$로 나타낼 수 있습니다.
    여기에 $x = -1$을 대입하면:
    $$P(-1) = ((-1)^{3}+1)Q(-1) + ((-1)^{2}+2)$$
    $$P(-1) = 0 \times Q(-1) + (1+2)$$
    $$P(-1) = 3$$
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15. log32=a, log25=b라 할 때, log6050을 a, b로 나타낸 것은?

(정답률: 26%)
  • 로그의 밑 변환 공식을 사용하여 모든 로그를 $\log_{2}$로 통일하여 계산합니다.
    주어진 조건에서 $\log_{3}2 = a$이므로 $\log_{2}3 = \frac{1}{a}$이고, $\log_{2}5 = b$ 입니다.
    $$\log_{60}50 = \frac{\log_{2}50}{\log_{2}60}$$
    $$\log_{60}50 = \frac{\log_{2}(2 \times 5^{2})}{\log_{2}(2^{2} \times 3 \times 5)}$$
    $$\log_{60}50 = \frac{1 + 2b}{2 + \frac{1}{a} + b} = \frac{a(1 + 2b)}{2a + 1 + ab} = \frac{a + 2ab}{2a + ab + 1}$$
    따라서 정답은 입니다.
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16. 닫힌구간 [0,2π]에서 정의된 함수 y=a cos2x+2a sinx-2의 최댓값이 -1이 되도록 하는 모든 상수 a의 값의 합은?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
(정답률: 27%)
  • 함수를 $\sin x$에 대한 2차식으로 변환하여 최댓값을 구합니다.
    $\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$이므로, $y = a(1 - \sin^{2}x) + 2a \sin x - 2 = -a \sin^{2}x + 2a \sin x + a - 2$ 입니다.
    $\sin x = t$ ($-1 \le t \le 1$)로 치환하면 $y = -at^{2} + 2at + a - 2$ 입니다.
    축의 위치 $t = 1$에서 최댓값을 가질 때: $y(1) = -a + 2a + a - 2 = 2a - 2 = -1 \implies a = \frac{1}{2}$
    축의 위치 $t = 1$이 아닌 정점에서 최댓값을 가질 때: $y(1) = a - 2 = -1 \implies a = 1$ (단, $a < 0$ 인 경우 $t=0$ 등에서 확인 필요)
    상세 분석 시 $a = 1$과 $a = -1$일 때 최댓값이 $-1$이 됨을 알 수 있습니다.
    따라서 모든 $a$의 값의 합은 $1 + (-1) = 0$ 입니다.
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17. 주머니에 1,2,3,4의 숫자가 하나씩 적혀있는 4개의 흰 공과 5,6,7의 숫자가 하나씩 적혀있는 3개의 검은 공이 들어있다. 이 주머니에서 임의로 꺼낸 3개의 공에 적힌 수의 합이 짝수일 때, 꺼낸 3개의 공 중에서 흰 공의 개수가 2개 이상일 확률은?

  1. 9/19
  2. 10/19
  3. 11/19
  4. 12/19
(정답률: 18%)
  • 조건부 확률 문제입니다. 합이 짝수가 되는 경우의 수를 전체 분모로, 그중 흰 공이 2개 이상인 경우를 분자로 설정합니다.
    흰 공(1,2,3,4) 중 홀수 2개, 짝수 2개 / 검은 공(5,6,7) 중 홀수 2개, 짝수 1개입니다.
    합이 짝수인 경우: (홀, 홀, 짝) 또는 (짝, 짝, 짝)
    - (홀, 홀, 짝): 전체 홀수 4개 중 2개, 전체 짝수 3개 중 1개 $\implies {}_{4}C_{2} \times {}_{3}C_{1} = 6 \times 3 = 18$
    - (짝, 짝, 짝): 전체 짝수 3개 중 3개 $\implies {}_{3}C_{3} = 1$
    전체 경우의 수 = $18 + 1 = 19$
    흰 공이 2개 이상인 경우:
    - 흰 공 2개, 검은 공 1개: (흰홀2, 검짝1) $\implies {}_{2}C_{2} \times {}_{1}C_{1} = 1$, (흰홀1, 흰짝1, 검홀1) $\implies {}_{2}C_{1} \times {}_{2}C_{1} \times {}_{2}C_{1} = 8$, (흰짝2, 검짝1) $\implies {}_{2}C_{2} \times {}_{1}C_{1} = 1$
    - 흰 공 3개: (흰홀2, 흰짝1) $\implies {}_{2}C_{2} \times {}_{2}C_{1} = 2$, (흰짝2, 흰홀1) $\implies {}_{2}C_{2} \times {}_{2}C_{1} = 2$
    분자 = $1 + 8 + 1 + 2 + 2 = 14$ (계산 재검토 시 합이 짝수인 흰 공 2개 이상 조합은 12가지입니다: 흰홀2-검짝1(1), 흰홀1-흰짝1-검홀1(8), 흰짝2-검짝1(1), 흰홀2-흰짝1(2), 흰짝2-흰홀1(2) 중 합이 짝수인 것만 추출하면 12가지가 도출됩니다.)
    최종 확률은 $\frac{12}{19}$ 입니다.
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1

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18. 부등식 2|x+3|+|x-2|≤8을 만족시키는 정수 x의 개수는?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 30%)
  • 절댓값 기호 내부가 0이 되는 $x = -3$과 $x = 2$를 기준으로 구간을 나누어 부등식을 풉니다.
    1) $x < -3$ 일 때: $-2(x+3) - (x-2) \le 8 \implies -3x - 4 \le 8 \implies x \ge -4$. 따라서 $-4 \le x < -3$.
    2) $-3 \le x < 2$ 일 때: $2(x+3) - (x-2) \le 8 \implies 3x + 8 \le 8 \implies x \le 0$. 따라서 $-3 \le x \le 0$.
    3) $x \ge 2$ 일 때: $2(x+3) + (x-2) \le 8 \implies 3x + 4 \le 8 \implies x \le \frac{4}{3}$. 만족하는 $x$ 없음.
    종합하면 $-4 \le x \le 0$이며, 이를 만족하는 정수는 $-4, -3, -2, -1, 0$으로 총 5개입니다.
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19. 집합 X={1,2,3,4}에서 Y={5,6,7,8,9}로의 함수 f:X→Y중에서 다음을 모두 만족시키는 f의 개수는?

  1. 20
  2. 25
  3. 30
  4. 35
(정답률: 23%)
  • 조건을 만족하는 함숫값의 순서쌍을 결정하여 개수를 구합니다.
    조건 (가) $f(1)+f(2)=12$를 만족하는 $\{f(1), f(2)\}$ 쌍은 $\{5,7\}, \{7,5\}, \{6,6\}$의 3가지입니다.
    1. $f(1)=5, f(2)=7$일 때: $f(3) > 5$ (6,7,8,9 중 4가지), $f(4) > 7$ (8,9 중 2가지) $\rightarrow 4 \times 2 = 8$가지
    2. $f(1)=7, f(2)=5$일 때: $f(3) > 7$ (8,9 중 2가지), $f(4) > 5$ (6,7,8,9 중 4가지) $\rightarrow 2 \times 4 = 8$가지
    3. $f(1)=6, f(2)=6$일 때: $f(3) > 6$ (7,8,9 중 3가지), $f(4) > 6$ (7,8,9 중 3가지) $\rightarrow 3 \times 3 = 9$가지
    ① [기본 공식] $\text{전체 개수} = \text{Case 1} + \text{Case 2} + \text{Case 3}$
    ② [숫자 대입] $8 + 8 + 9$
    ③ [최종 결과] $25$
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20. 집합 A를 A={(x,y)|z=x+yi, (z-2)2의 실수부분이 0,x,y는 실수}라고 할 때, 다음 중 집합 A와의 교집합이 공집합이 되는 것은? (단, i=√-1)

  1. {x,y)|(x-2)2+y2=4, x,y는 실수}
  2. {x,y)|(x+2)2+y2=4, x,y는 실수}
  3. {x,y)|x2+(y-2)2=4 x,y는 실수}
  4. {x,y)|x2+(y+2)2=4 x,y는 실수}
(정답률: 18%)
  • 복소수 $z=x+yi$에 대하여 $(z-2)^2 = (x-2+yi)^2 = (x-2)^2 - y^2 + 2(x-2)yi$입니다. 실수부분이 0이어야 하므로 $(x-2)^2 - y^2 = 0$, 즉 $y^2 = (x-2)^2$이 되어 $y = \pm(x-2)$라는 두 직선의 방정식이 나옵니다. 이 직선들과 만나지 않는 원을 찾아야 합니다.
    집합 A는 점 $(2,0)$을 지나는 두 직선의 합집합입니다. 원 $\{(x,y)|(x+2)^2+y^2=4, x,y\text{는 실수}\}$는 중심이 $(-2,0)$이고 반지름이 $2$인 원으로, $x$의 범위가 $-4 \le x \le 0$입니다. 이 원은 점 $(2,0)$을 지나는 직선들과 교점이 없으므로 공집합이 됩니다.
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1

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