에서 x=0일 때, y=f(0)=1 이므로 정답은 "1"이다. 이는 그래프 상에서 x=0일 때 y값이 1이기 때문이다.

이차방정식 x²-3x-2=0의 두 근을 α,β라고 하면, 이차방정식의 해를 구하는 공식을 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

α = (3 + √17) / 2
β = (3 - √17) / 2

따라서,

(α-1)²+(β-1)² = ((3 + √17) / 2 - 1)² + ((3 - √17) / 2 - 1)²
= (1 + √17 / 2)² + (1 - √17 / 2)²
= 2 + 2(√17 / 2)²
= 2 + 17 / 2
= 9

따라서, 정답은 "9"이다.

함수 f(x)가 x=1에서 연속이라는 것은 x=1에서의 좌극한과 우극한이 모두 존재하고, 그 값이 같다는 것을 의미합니다.

따라서, x=1에서의 좌극한과 우극한을 구해보면 됩니다.

x=1에서의 좌극한은 x가 1보다 작아질 때의 f(x)의 값으로 구할 수 있습니다.

lim(x→1⁻) f(x) = lim(x→1⁻) (x-1)/(x^2-1) = -1/2

x=1에서의 우극한은 x가 1보다 커질 때의 f(x)의 값으로 구할 수 있습니다.

lim(x→1⁺) f(x) = lim(x→1⁺) (x-1)/(x^2-1) = 1/2

따라서, 좌극한과 우극한이 같으므로 함수 f(x)는 x=1에서 연속이며, a+4b의 값은 f(1)의 값과 같습니다.

f(1) = (1-1)/(1^2-1) + a = 0 + a = a

따라서, a+4b = a + 4(a+1) = 5a + 4 = 5(1) + 4 = 9 이므로, 정답은 "5"입니다.

함수의 극솟값이 x=3에서 나타난다는 것은 함수의 도함수가 x=3에서 0이 되고, 그 전후로는 양수에서 음수로 바뀐다는 것을 의미합니다. 즉, 함수의 도함수 f'(x)는 x=3에서 0이 되고, x=3에서의 좌우로는 f'(x)가 양수에서 음수로 바뀝니다.

따라서, 함수 f(x)는 x=3에서 극솟값을 가지며, x=3에서의 좌우로는 f(x)가 증가하다가 감소합니다. 이는 함수의 그래프가 x=3에서 아래로 볼록한 형태를 띤다는 것을 의미합니다.

극댓값 b는 함수의 극값 중에서 최댓값을 의미합니다. 따라서, 함수의 그래프가 x=3에서 아래로 볼록한 형태를 띤다는 것을 고려하면, x=3에서의 좌우로는 f(x)가 증가하다가 감소하기 때문에, x=3에서의 좌우로는 극댓값이 존재하지 않습니다. 따라서, b는 존재하지 않습니다.

따라서, a+b의 값은 a입니다. 따라서, a+b=13/3이므로, 정답은 13/3입니다.

우선 y=x²+4의 도함수를 구하면 y'=2x가 된다. 따라서 원점에서 이 곡선에 그은 두 접선의 기울기는 각각 0과 양의 실수이다. 이를 이용하여 두 접선의 방정식을 구하면 y=4과 y=mx+b (m>0)이 된다.

이제 두 접선이 만나는 점을 구해보자. y=4와 y=mx+b가 만나는 점의 x좌표는 4=x²+4에서 x=±√3이다. 따라서 두 접선이 만나는 점은 (-√3,4)와 (√3,4)이다.

이제 이 도형의 넓이를 구해보자. 먼저 y=4와 y=x²+4 사이의 영역의 넓이를 구하면 ∫_-√3^√3 (4-(x²+4))dx = 8√3-8/3이 된다.

또한 y=mx+b와 y=x²+4 사이의 영역의 넓이는 ∫_-√3^√3 (mx+b-(x²+4))dx = (m/3)x³+(b-4)x∣_-√3^√3이 된다.

이제 이 두 영역의 넓이를 더하면 전체 도형의 넓이가 된다. 따라서 (m/3)x³+(b-4)x∣_-√3^√3 = 8√3-8/3이 성립한다.

이제 이 식에서 m과 b를 구해보자. 먼저 x=√3일 때, (m/3)x³+(b-4)x = (m/3)3√3+(b-4)√3 = (m√3)/3+(b-4)√3 = 4-8√3/3이 된다. 따라서 (m√3)/3+(b-4)√3 = 4-8√3/3이 성립한다.

또한 x=-√3일 때, (m/3)x³+(b-4)x = -(m√3)/3+(b-4)√3 = 4+8√3/3이 된다. 따라서 -(m√3)/3+(b-4)√3 = 4+8√3/3이 성립한다.

이제 이 두 식을 연립하여 m과 b를 구하면 m=2√3, b=10/3이 된다. 따라서 두 접선의 방정식은 y=4와 y=2√3x+10/3이 된다.

이제 이 도형의 넓이를 구해보자. 먼저 y=4와 y=x²+4 사이의 영역의 넓이는 8√3-8/3이다. 또한 y=4와 y=2√3x+10/3 사이의 영역의 넓이는 ∫_-√3^√3 (4-(2√3x+10/3))dx = 16/3이다.

따라서 전체 도형의 넓이는 8√3-8/3+16/3 = 8√3+8/3 = 16/3이 된다. 따라서 정답은 "16/3"이다.

g(x)의 역함수 h(x)는 f(x)의 역함수를 이용하여 구할 수 있다. f(x)의 역함수는 x=(y-5)/2 이므로, g(x)의 역함수 h(x)는 다음과 같다.

h(x) = (x-1)/3

따라서, 정답은 "" 이다.

우선 x³+1로 나누었을 때의 나머지가 x²+2이므로, P(x)는 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다.

P(x) = (x³+1)Q(x) + x²+2

여기서 Q(x)는 어떤 다항식이다. 이제 x+1로 나누었을 때의 나머지를 구하기 위해 다음과 같은 과정을 거칠 수 있다.

P(-1) = (-1)³+1 = 0
P(-1) = (-1+1)R + S
0 = R + S
S = 0

따라서 x+1로 나누었을 때의 나머지는 0이 되므로, 정답은 1이다.

우선 함수 y의 최댓값이 -1이 되려면, 함수 값이 -1이 되는 x값을 찾아야 합니다. 이를 위해 함수 y를 미분해보겠습니다.

y' = -2a sinx + 2a cosx sinx

y'를 0으로 놓고 해를 구하면,

-2a sinx + 2a cosx sinx = 0

-2a sinx(1 - cosx) = 0

sinx = 0 또는 cosx = 1

sinx = 0인 경우, x = 0, π, 2π에서 y의 최댓값이 나올 수 있습니다.

cosx = 1인 경우, x = 2nπ (n은 정수)에서 y의 최댓값이 나올 수 있습니다.

따라서, y의 최댓값이 -1이 되려면, 위 네 개의 x값에서 y값이 -1이 되어야 합니다.

y(0) = a - 2

y(π) = a - 2

y(2π) = a - 2

y(2nπ) = a - 2

위 식들을 이용하여 a를 구하면,

a - 2 = -1

a = 1

따라서, 모든 상수 a의 값의 합은 1이 됩니다. 따라서 정답은 1입니다.

보기에서 정답이 0인 이유는, y의 최댓값이 -1이 되도록 하는 a의 값이 1밖에 없기 때문입니다.

우선 |x+3|와 |x-2|는 각각 x=-3, x=2에서 0이 된다. 따라서 부등식을 만족시키는 x는 -3과 2를 포함하게 된다.

|x+3|와 |x-2|는 x<2일 때는 모두 x+3이므로, x<2인 구간에서는 부등식은 2x+6≤8으로 정리된다. 이를 풀면 x≤1이 된다.

반면, x≥2일 때는 |x+3|와 |x-2|가 각각 x+3, x-2가 되므로, 부등식은 2x+1≤8으로 정리된다. 이를 풀면 x≤3.5가 된다.

따라서, x가 -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 중 하나일 때 부등식을 만족시키므로, 정답은 "5"이다.

(z-2)²의 실수부분이 0이 되는 조건은 (z-2)²의 허수부분이 0이 되는 것이므로, z-2가 순수허수여야 합니다. 즉, z-2 = bi (b는 실수)가 되어야 합니다. 따라서 z = bi + 2가 됩니다. 이를 대입하여 A를 다시 쓰면 A = {(x,y)|x,y는 실수, z=bi+2 (b는 실수)}가 됩니다.

이제 각 보기를 살펴보면,

"{x,y)|(x-2)²+y²=4, x,y는 실수}"는 (z-2)²의 실수부분이 0이 되는 조건을 만족하지 않습니다.

"{x,y)|(x+2)²+y²=4, x,y는 실수}"는 z=bi+2를 만족하는 집합입니다. 즉, A와의 교집합이 될 수 있습니다.

"{x,y)|x²+(y-2)²=4 x,y는 실수}"와 "{x,y)|x²+(y+2)²=4 x,y는 실수}"는 z=bi+2를 만족하지 않습니다.

따라서 정답은 "{x,y)|(x+2)²+y²=4, x,y는 실수}"입니다.