9급 지방직 공무원 서울시 수학(지적) 필기 기출문제복원 (2020-06-13)

9급 지방직 공무원 서울시 수학(지적) 2020-06-13 필기 기출문제 해설

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9급 지방직 공무원 서울시 수학(지적)
(2020-06-13 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. x에 대한 이차방정식 x2+ax+(a-1)=0의 두 근 α, β에 대하여 α2+β2=1일 때, 실수 a의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 4
(정답률: 52%)
  • 이차방정식의 근과 계수의 관계와 곱셈 공식의 변형을 이용하는 문제입니다.
    근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = -a$, $\alpha\beta = a-1$ 입니다.
    ① [기본 공식] $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$
    ② [숫자 대입] $1 = (-a)^2 - 2(a-1)$
    ③ [최종 결과] $a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$
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1

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2. 이차다항식 f(x)에 대하여 f(3-x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이고, x2f(x+1)은 (x-3)(x+1)로 나누어 떨어질 때, f(x)를 x+2로 나눈 나머지는?

  1. -10
  2. 11
  3. -12
  4. 13
(정답률: 39%)
  • 나머지 정리와 다항식의 성질을 이용하여 이차함수 $f(x)$를 결정하는 문제입니다.
    1. $f(3-x)$를 $x-1$로 나눈 나머지가 4이므로 $f(3-1) = f(2) = 4$ 입니다.
    2. $x^2f(x+1)$이 $(x-3)(x+1)$로 나누어 떨어지므로 $x=3$과 $x=-1$을 대입했을 때 0이 되어야 합니다.
    - $x=3$ 대입: $9f(4) = 0 \implies f(4) = 0$
    - $x=-1$ 대입: $1f(0) = 0 \implies f(0) = 0$
    이차함수 $f(x)$가 $f(0)=0, f(4)=0$이므로 $f(x) = ax(x-4)$로 잡고 $f(2)=4$를 대입하면 $a(2)(-2) = 4 \implies a = -1$ 입니다.
    따라서 $f(x) = -x(x-4)$이며, $f(x)$를 $x+2$로 나눈 나머지는 $f(-2)$의 값입니다.
    $$f(-2) = -(-2)(-2-4) = 2 \times (-6) = -12$$
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1

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3. 수열 {an}의 첫째항 a1이 4이고, 수열 {2an}은 공차가 6인 등차수열일 때, 수열 {an}의 제10항 a10의 값은?

  1. 31
  2. 32
  3. 33
  4. 34
(정답률: 48%)
  • 등차수열의 일반항 성질을 이용하여 $a_{10}$의 값을 구하는 문제입니다.
    수열 $\{2a_n\}$이 공차가 $6$인 등차수열이므로, 원래 수열 $\{a_n\}$은 공차가 $6 \div 2 = 3$인 등차수열입니다.
    ① [기본 공식] $a_n = a_1 + (n-1)d$
    ② [숫자 대입] $a_{10} = 4 + (10-1) \times 3$
    ③ [최종 결과] $a_{10} = 31$
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1

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4. 다항함수 f(x)의 도함수 f'(x)에 대하여 가 성립할 때, 의 값은? (단, C는 적분상수이다.)

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 12%)
  • 주어진 부정적분 식의 양변을 미분하여 $f'(x)$를 구한 뒤, 미분계수의 정의를 이용해 극한값을 계산하는 문제입니다.
    양변을 미분하면 $(2x+3)f'(x) = x^2 + 2x - 1$이 되므로, $f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{2x+3}$ 입니다.
    구하고자 하는 극한식 $\lim_{h \to 0} \frac{f(-1-h) - f(-1+h)}{2h}$은 미분계수의 정의에 의해 $-f'(-1)$과 같습니다.
    ① [기본 공식] $f'(x) = \frac{x^2 + 2x - 1}{2x+3}$
    ② [숫자 대입] $-f'(-1) = -\frac{(-1)^2 + 2(-1) - 1}{2(-1)+3}$
    ③ [최종 결과] $-f'(-1) = -\frac{-2}{1} = 2$
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1

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5. 두 사건 A, B에 대하여 P(A∪B)=2/3, P(B)=1/4 일 때, P(A∣Bc)의 값은? (단, Bc는 B의 여사건이다.)

  1. 1/9
  2. 2/9
  3. 4/9
  4. 5/9
(정답률: 35%)
  • 조건부 확률의 정의를 이용하여 $P(A|B^c)$를 구하는 문제입니다.
    먼저 $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$이고, $P(A \cup B) = P(A \cap B^c) + P(B)$ 임을 이용합니다.
    $$P(A \cap B^c) = P(A \cup B) - P(B)$$
    $$P(A \cap B^c) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}$$
    조건부 확률 공식에 대입하면 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $P(A|B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$
    ② [숫자 대입] $P(A|B^c) = \frac{\frac{5}{12}}{1 - \frac{1}{4}}$
    ③ [최종 결과] $P(A|B^c) = \frac{5}{9}$
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1

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6. 두 곡선 y=x3+x, y=ax2+bx+3이 점(1, 2)에서 서로 직교하는 접선을 가질 때, 상수 a, b에 대하여 b/a의 값은?

  1. -7/3
  2. -8/3
  3. -10/3
  4. -11/3
(정답률: 34%)
  • 두 곡선이 한 점에서 직교한다는 것은 해당 점에서의 두 접선의 기울기의 곱이 $-1$임을 의미합니다.
    먼저 $f(x) = x^{3} + x$의 도함수 $f'(x) = 3x^{2} + 1$에서 $x=1$일 때 기울기는 $4$입니다. 직교 조건에 의해 $g(x) = ax^{2} + bx + 3$의 $x=1$에서의 기울기 $g'(1) = 2a + b$는 $-\frac{1}{4}$이어야 합니다. 또한 점 $(1, 2)$를 지나므로 $g(1) = a + b + 3 = 2$입니다.
    ① [기본 공식]
    $$a + b = -1$$
    $$2a + b = -0.25$$
    ② [숫자 대입]
    두 식을 연립하여 빼면 $a = 0.75 = \frac{3}{4}$이고, 이를 대입하면 $b = -1 - \frac{3}{4} = -\frac{7}{4}$입니다.
    ③ [최종 결과]
    $$\frac{b}{a} = \frac{-7/4}{3/4} = -\frac{7}{3}$$
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7. x≠1인 양수 x에 대하여 log4x-logx2=1/2을 만족하는 모든 x의 합은?

  1. 3/2
  2. 5/2
  3. 7/2
  4. 9/2
(정답률: 36%)
  • 로그의 성질을 이용하여 $x$에 대한 방정식으로 변환하여 풉니다. $\log_4 x - \log_x 2 = \frac{1}{2}$에서 $\log_x 2 = \frac{1}{\log_2 x}$이고 $\log_4 x = \frac{1}{2}\log_2 x$임을 이용합니다.
    $\frac{1}{2}\log_2 x - \frac{1}{\log_2 x} = \frac{1}{2}$에서 $t = \log_2 x$로 치환하면 $\frac{1}{2}t - \frac{1}{t} = \frac{1}{2}$ $\rightarrow$ $t^2 - t - 2 = 0$ $\rightarrow$ $(t-2)(t+1) = 0$입니다.
    따라서 $\log_2 x = 2$ 또는 $\log_2 x = -1$이므로 $x = 4$ 또는 $x = \frac{1}{2}$입니다.
    모든 $x$의 합은 $4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$입니다.
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1

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8. 수열 {an}에 대하여 일 때, 이다. 이때 p+q의 값은? (단, p, q는 서로소인 자연수이다.)

  1. 30
  2. 31
  3. 32
  4. 33
(정답률: 24%)
  • 수열의 합 공식을 이용하여 일반항 $a_k$를 먼저 구한 뒤, 역수의 합을 계산합니다.
    주어진 조건 $\sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{k+1} = n^2+n$에서 $n$번째 항은 $\frac{a_n}{n+1} = (n^2+n) - ((n-1)^2+(n-1)) = 2n$이므로, $a_n = 2n(n+1)$입니다.
    ① [기본 공식] $\sum_{k=1}^{20} \frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^{20} \frac{1}{2k(k+1)}$
    ② [숫자 대입] $\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{20} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{21})$
    ③ [최종 결과] $\frac{1}{2} \times \frac{20}{21} = \frac{10}{21}$
    따라서 $p=21, q=10$이며 $p+q = 31$입니다.
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1

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9. 0≤x≤1일 때, 곡선 y=x4-3x3+2x2과 두 직선 y=x-1, x=0으로 둘러싸인 영역의 넓이는?

  1. 31/60
  2. 37/60
  3. 43/60
  4. 49/60
(정답률: 44%)
  • 두 곡선 사이의 넓이는 정적분을 통해 구할 수 있습니다. $0 \le x \le 1$ 범위에서 $x^4-3x^3+2x^2$과 $x-1$의 위치 관계를 확인하면 $x^4-3x^3+2x^2$이 항상 위에 있으므로 두 식의 차를 적분합니다.
    ① [기본 공식] $S = \int_{0}^{1} (x^4-3x^3+2x^2 - (x-1)) dx$
    ② [숫자 대입] $S = \int_{0}^{1} (x^4-3x^3+2x^2-x+1) dx = [\frac{1}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x]_{0}^{1}$
    ③ [최종 결과] $S = \frac{1}{5} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{37}{60}$
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10. 복소수 z=(i-1)x2-(3i+1)x+2+2i에 대하여 z2이 음의 실수가 되도록 하는 실수 x의 값은? (단, i=√-1이다.)

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 19%)
  • 복소수 $z^2$이 음의 실수가 되려면 $z$는 순허수여야 합니다. 즉, $z$의 실수 부분이 0이고 허수 부분이 0이 아니어야 합니다.
    $z = (i-1)x^2-(3i+1)x+2+2i = (-x^2-x+2) + (x^2-3x+2)i$
    실수 부분이 0이어야 하므로 $-x^2-x+2 = 0 \rightarrow x^2+x-2 = 0 \rightarrow (x+2)(x-1) = 0$
    따라서 $x = -2$ 또는 $x = 1$입니다.
    이때 $x=1$이면 허수 부분 $x^2-3x+2 = 1-3+2 = 0$이 되어 $z=0$이 되므로 조건(음의 실수)을 만족하지 않습니다.
    반면 $x=-2$이면 허수 부분 $(-2)^2-3(-2)+2 = 4+6+2 = 12 \neq 0$이므로 $z=12i$가 되어 $z^2 = -144$로 음의 실수가 됩니다.
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1

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11. 삼차함수 f(x)가 , 을 만족할 때, f(x)의 x3계수는?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 17%)
  • 삼차함수 $f(x)$가 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 5$와 $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = 1$을 만족하려면, 분모가 0으로 갈 때 분자도 0으로 가야 하므로 $f(2)=0, f(3)=0$이어야 합니다. 따라서 $f(x) = a(x-2)(x-3)(x-k)$로 설정할 수 있습니다.
    미분계수의 정의에 의해 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = f'(2) = 5$이고, $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{x-3} = f'(3) = 1$입니다.
    $f'(x) = a[(x-3)(x-k) + (x-2)(x-k) + (x-2)(x-3)]$이므로,
    $f'(2) = a(-1)(2-k) = 5 \implies a(k-2) = 5$
    $f'(3) = a(1)(3-k) = 1 \implies a(3-k) = 1$
    두 식을 연립하면 $a(k-2) - a(3-k) = 5-1 \implies a(2k-5) = 4$이고, $a = \frac{1}{3-k}$를 대입하여 풀면 $k = 4.5, a = 6$이 도출됩니다. 따라서 $x^3$의 계수 $a$는 6입니다.
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1

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12. 일 때, f(12)의 값은?

  1. 762
  2. 763
  3. 764
  4. 765
(정답률: 42%)
  • 시그마의 기본 공식 $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$와 $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$를 사용하여 $f(12)$를 계산합니다.
    ① [기본 공식] $f(n) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} + 3n$
    ② [숫자 대입] $f(12) = \frac{12 \times 13 \times 25}{6} + \frac{12 \times 13}{2} + 3 \times 12$
    ③ [최종 결과] $f(12) = 650 + 78 + 36 = 764$
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1

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13. 다항식 x100-ax2+3을 x-1로 나눈 몫은 f(x)이고, 나머지가 1일 때, f(x)를 x-1로 나눈 나머지는? (단, a는 상수이다.)

  1. 100
  2. 98
  3. 96
  4. 94
(정답률: 29%)
  • 나머지 정리에 의해 $P(x) = (x-1)f(x) + 1$입니다. $f(x)$를 $x-1$로 나눈 나머지는 $f(1)$의 값과 같습니다. $P(x)$를 $(x-1)^2$으로 나누었을 때의 나머지를 이용하면 $P'(1) = f(1)$임을 알 수 있습니다.
    다항식 $P(x) = x^{100}-ax^2+3$을 미분하면 $P'(x) = 100x^{99}-2ax$입니다.
    또한 $P(1) = 1-a+3 = 1$에서 $a=3$임을 알 수 있습니다.
    따라서 $f(1) = P'(1) = 100(1)^{99}-2(3)(1) = 100-6 = 94$입니다.
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14. xy평면에 놓인 두 원 x2+y2+2x-4y+1=0, x2+(y+3)2=20의 넓이를 모두 이등분하는 직선의 기울기는?

  1. -5
  2. 5
  3. -3
  4. 3
(정답률: 27%)
  • 두 원의 넓이를 모두 이등분하는 직선은 두 원의 중심을 동시에 지나는 직선입니다. 각 원의 중심 좌표를 구하여 직선의 기울기를 계산합니다.
    첫 번째 원: $x^2+y^2+2x-4y+1=0 \rightarrow (x+1)^2+(y-2)^2=4$이므로 중심은 $(-1, 2)$입니다.
    두 번째 원: $x^2+(y+3)^2=20$이므로 중심은 $(0, -3)$입니다.
    기울기 공식 $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$을 사용합니다.
    ① [기본 공식] $m = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
    ② [숫자 대입] $m = \frac{-3-2}{0-(-1)}$
    ③ [최종 결과] $m = -5$
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15. 이차함수 y=f(x)의 그래프가 ＜보기＞와 같을 때, 이차부등식 을 만족시키는 정수 x의 개수는?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 42%)
  • 그래프에서 $f(x) \le 0$인 범위는 $-1 \le x \le 2$입니다. 따라서 주어진 부등식 $f(\frac{2x-1}{3}) \le 0$을 만족하려면 괄호 안의 값이 이 범위에 있어야 합니다.
    $-1 \le \frac{2x-1}{3} \le 2$
    각 변에 3을 곱하면 $-3 \le 2x-1 \le 6$이고, 1을 더하면 $-2 \le 2x \le 7$이 됩니다.
    최종적으로 $-1 \le x \le 3.5$이므로, 이를 만족하는 정수 $x$는 $-1, 0, 1, 2, 3$으로 총 5개입니다.
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16. (2x2-1/x)7을 전개하였을 때, x2의 계수는?

  1. 70
  2. 140
  3. 210
  4. 280
(정답률: 20%)
  • 이항정리를 이용하여 특정 항의 계수를 구하는 문제입니다.
    $(2x^2 - 1/x)^7$의 일반항은 다음과 같습니다.
    $$\text{일반항} = {}_{7}C_{r} (2x^2)^{7-r} (-x^{-1})^r$$
    $$= {}_{7}C_{r} 2^{7-r} (-1)^r x^{14-2r-r} = {}_{7}C_{r} 2^{7-r} (-1)^r x^{14-3r}$$
    $x^2$의 계수를 구해야 하므로 지수 $14-3r = 2$가 되는 $r$을 찾습니다.
    $$3r = 12 \implies r = 4$$
    이제 $r=4$를 대입하여 계수를 계산합니다.
    ① [기본 공식] ${}_{7}C_{4} \times 2^{7-4} \times (-1)^4$
    ② [숫자 대입] $35 \times 2^3 \times 1$
    ③ [최종 결과] $35 \times 8 = 280$
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17. 좌표평면 위에 두 점 P(3, 1), S(1, 2)가 있다. Q가 x축 위에서 움직이고, R이 y축 위에서 움직일 때, 의 최솟값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 4√2
  4. 5√2
(정답률: 24%)
  • 두 점 사이의 거리의 합이 최소가 되려면, 각 축에 대해 대칭 이동시킨 점들을 연결한 직선 거리의 최솟값을 구해야 합니다.
    점 $P(3, 1)$을 $x$축에 대칭 이동한 점을 $P'(3, -1)$, 점 $S(1, 2)$를 $y$축에 대칭 이동한 점을 $S'(-1, 2)$라고 할 때, $\overline{PQ} + \overline{QR} + \overline{RS}$의 최솟값은 두 점 $P'$와 $S'$ 사이의 직선 거리와 같습니다.
    ① [기본 공식] $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
    ② [숫자 대입] $d = \sqrt{(-1 - 3)^2 + (2 - (-1))^2}$
    ③ [최종 결과] $d = \sqrt{(-4)^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
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1

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18. x에 대한 이차방정식 ax2+(k+1)x-b(2+k)+a+3=0 이 실수 k의 값에 관계없이 항상 2를 근으로 가질 때, 상수 a, b에 대하여 5a+b의 값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 27%)
  • 항등식의 성질을 이용하여 미지수 $a, b$의 관계를 찾는 문제입니다.
    방정식에 $x=2$를 대입하면 $k$의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 $k$에 대한 항등식이 됩니다.
    $$a(2)^2 + (k+1)(2) - b(2+k) + a + 3 = 0$$
    $$4a + 2k + 2 - 2b - bk + a + 3 = 0$$
    $k$에 대해 정리하면 $$(2-b)k + (5a - 2b + 5) = 0$$
    이 식이 $k$에 관계없이 성립하려면 각 계수가 0이어야 합니다.
    1. $2-b = 0 \implies b = 2$
    2. $5a - 2b + 5 = 0 \implies 5a - 4 + 5 = 0 \implies 5a = -1$
    따라서 $5a + b = -1 + 2 = 1$ 입니다.
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1

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19. 함수 에 대하여 f(x)=F'(x)라 할 때, f'(x)=4가 되는 양수 x의 값은?

  1. 1/2
  2. 2/3
  3. 1
  4. 4/3
(정답률: 47%)
  • 정적분으로 정의된 함수의 미분과 이계도함수를 이용하는 문제입니다.
    주어진 함수 $F(x) = \int_{5}^{x} (t^3 + \frac{1}{2}t^2 + 2t) dt$에 대하여 $f(x) = F'(x)$이므로 미적분학의 기본 정리에 의해
    $$f(x) = x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x$$
    우리가 구하는 값은 $f'(x) = 4$가 되는 양수 $x$입니다.
    $$f'(x) = 3x^2 + x + 2$$
    $$3x^2 + x + 2 = 4 \implies 3x^2 + x - 2 = 0$$
    인수분해하면 $(3x-2)(x+1) = 0$이며, 양수 $x$의 값은 $2/3$ 입니다.
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1

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20. 함수 y=cos2(θ+π/2)-3cos2θ-4sin(θ+π)의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 할 때, M+m의 값은? (단, 0≤θ＜2π이다.)

  1. 1
  2. -1
  3. 3
  4. -3
(정답률: 16%)
  • 삼각함수의 성질과 변형을 통해 식을 단순화하여 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
    먼저 $\cos^2(\theta + \pi/2) = \sin^2\theta$이고, $\sin(\theta + \pi) = -\sin\theta$ 임을 이용해 식을 정리합니다.
    $$y = \sin^2\theta - 3\cos^2\theta + 4\sin\theta$$
    $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$를 대입하면
    $$y = \sin^2\theta - 3(1 - \sin^2\theta) + 4\sin\theta = 4\sin^2\theta + 4\sin\theta - 3$$
    $\sin\theta = t$ (단, $-1 \le t \le 1$)로 치환하면 $y = 4t^2 + 4t - 3 = 4(t + 1/2)^2 - 4$ 입니다.
    최댓값 $M$은 $t=1$일 때 $y = 5$, 최솟값 $m$은 $t=-1/2$일 때 $y = -4$ 입니다.
    따라서 $M + m = 5 + (-4) = 1$ 입니다.
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