전개식에서 1/x²의 계수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

1/x²의 계수 = (a₁b₂c₃ - a₁b₃c₂ - a₂b₁c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ - a₃b₂c₁) / (abc)²

여기서 a, b, c는 각각 1, x, x²의 계수이고, a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃, c₁, c₂, c₃은 각각 전개식에서 1, x, x²의 지수입니다.

따라서 1/x²의 계수가 80이 되기 위해서는 다음과 같은 식이 성립해야 합니다.

(a₁b₂c₃ - a₁b₃c₂ - a₂b₁c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ - a₃b₂c₁) / (abc)² = 80

이를 간단하게 풀어쓰면 다음과 같습니다.

(a₁b₂c₃ - a₁b₃c₂ - a₂b₁c₃ + a₂b₃c₁ + a₃b₁c₂ - a₃b₂c₁) = 80abc²

이 식을 만족하는 자연수 k의 값은 2입니다. 이는 a₁=1, a₂=1, a₃=1, b₁=1, b₂=k, b₃=k², c₁=1, c₂=k², c₃=k로 설정하면 확인할 수 있습니다.

z²=6+2√5i (계산 생략)

z⁴=(z²)²=(6+2√5i)²=32+24√5i

z³=z²·z=(6+2√5i)·(1+√5i)=2+8√5i

z²=6+2√5i (이전에 계산함)

z=1+√5i

따라서, z⁴-2z³+8z²-4z+20=32+24√5i-2(2+8√5i)+8(6+2√5i)-4(1+√5i)+20=8

따라서, 정답은 "8"입니다.

우선 f(x)를 미분하면 f'(x)=2x-4 이다. 따라서 점 (a, f(a))에서의 접선의 방정식은 y=f(a)+(2a-4)(x-a) 이다. 이 접선이 y축과 만나는 점의 x좌표는 x=0 일 때이며, 이를 이용하여 y좌표를 구하면 P(a)의 좌표는 (2-a, 2a-4+f(a)) 이다.

따라서 1≤a≤5일 때, P(a)의 자취의 길이는 |2-a|+|2a-4+f(a)| 이다. 이제 각각의 보기를 대입해보면, 길이가 24일 때 a=2일 때이며, 이때 P(a)의 좌표는 (0, 4)이다. 따라서 정답은 "24"이다.

함수 f(x)는 x=1에서 극한값을 가지기 위해서는 분모가 0이 되어야 합니다. 따라서, (a-1)^2 - 25 = 0 이어야 합니다. 이를 풀면 a=6 또는 a=-4가 나오는데, 함수 f(x)는 x=1에서 극한값을 가지기 위해 a=-4일 때는 분모가 음수가 되므로 제외됩니다. 따라서, 정답은 6입니다.

이차방정식의 근 중 적어도 하나가 절댓값이 1이하가 되도록 하기 위해서는 근의 실수부분이 -1 이상 1 이하인 경우와 허수부분이 -1 이상 1 이하인 경우를 모두 고려해야 한다.

먼저 근의 실수부분이 -1 이상 1 이하인 경우를 생각해보자. 이 경우에는 근의 실수부분이 [-1,1] 범위 내에 있으므로, 이차방정식의 판별식 D = 4k - 4(k+2) = -8이 0 이상이 되어야 한다. 따라서 k는 2 이하의 자연수가 될 수 없다.

다음으로 근의 허수부분이 -1 이상 1 이하인 경우를 생각해보자. 이 경우에는 근의 허수부분이 [-1,1] 범위 내에 있으므로, 근의 공액복소수(conjugate complex number)도 [-1,1] 범위 내에 있게 된다. 이를 이용하여 이차방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

(x - a - bi)(x - a + bi) = x² - 2ax + (a² + b²)

여기서 a와 b는 각각 근의 실수부분과 허수부분이다. 따라서 이차방정식의 근 중 적어도 하나가 절댓값이 1이하가 되도록 하기 위해서는 a² + b²이 1 이하가 되어야 한다.

이를 이차방정식 x² - 2kx + k + 2 = 0에 적용하면 다음과 같은 부등식을 얻을 수 있다.

k² - 2k + 2 - 4(a² + b²) ≤ 0

여기서 a와 b는 각각 -1 이상 1 이하인 정수이므로, a² + b²은 2 이하가 된다. 따라서 위의 부등식은 k² - 2k + 2 - 8 ≤ 0으로 변환될 수 있다. 이를 풀면 k ≤ 3 또는 k ≥ 5가 된다.

따라서 k는 100 이하 자연수 중에서 2 이하가 아니면서 3 이하 또는 5 이상인 수의 개수를 구하면 된다. 이를 계산하면 98이 되므로, 정답은 98이다.

두 직선이 한 점에서 만나므로, 두 직선은 교차하는 평면 상에서 서로 수직이다. 따라서 두 직선이 이루는 각은 두 직선이 교차하는 평면과 한 직선이 이루는 각과 같다.

두 직선이 교차하는 평면의 법선 벡터를 구해보자. l₁ 위의 한 점 (2,1,2)와 l₂ 위의 한 점 (3,2,1)을 지나는 벡터를 구하면 각각 (1,1,-1)과 (1,2,2)이다. 이 두 벡터의 외적을 구하면,

(1,1,-1) × (1,2,2) = (-3,3,1)

이 된다. 이 벡터가 두 직선이 교차하는 평면의 법선 벡터이다.

이제 두 직선이 교차하는 평면과 l₁이 이루는 각 θ₁과 두 직선이 교차하는 평면과 l₂가 이루는 각 θ₂를 구하면,

cosθ₁ = |(1,1,-1)·(-3,3,1)| / √3·√11 = 1/√33
cosθ₂ = |(1,2,2)·(-3,3,1)| / √14·√11 = 1/√154

따라서 두 직선이 이루는 각 θ는 θ₁ + θ₂이고,

cos(θ₁ + θ₂) = cosθ₁cosθ₂ - sinθ₁sinθ₂
= (1/√33)·(1/√154) - (1/√33)·(3/√154)
= -2/√5145 = -2/(3√1715)

하지만 문제에서 0° < θ < 90°으로 제한했으므로, cos(θ₁ + θ₂)는 양수여야 한다. 따라서 cosθ₁cosθ₂ > sinθ₁sinθ₂이어야 한다. 이를 만족하는 유일한 답은 cosθ₁cosθ₂ = 1/3√3이다. 따라서 정답은 "1/3√3"이다.

10^3log(2+sinx)+cos²x의 최댓값을 구하기 위해서는 각 항의 최댓값을 구하고 그 값을 더하면 된다.

먼저 3log(2+sinx)의 최댓값을 구해보자. 2+sinx는 항상 1보다 크기 때문에 log(2+sinx)는 양수이다. 따라서 3log(2+sinx)의 값은 sinx가 최댓값인 경우에 최댓값을 가진다. sinx의 최댓값은 1이므로 3log(2+sinx)의 최댓값은 3log3이 된다.

다음으로 cos²x의 최댓값을 구해보자. cos²x는 항상 0보다 크고 1보다 작거나 같기 때문에 최댓값은 1이 된다.

따라서 10^3log(2+sinx)+cos²x의 최댓값은 10^3log3+1이 된다. 이 값을 계산하면 약 27.43이므로 정답은 27이 된다.

확률변수 2X+3의 평균이 6이므로, E(2X+3) = 6이다. 이를 이용하여 X의 기댓값을 구하면 다음과 같다.

E(2X+3) = 2E(X) + 3 = 6
2E(X) = 3
E(X) = 3/2

확률변수 2X+3의 분산이 2이므로, Var(2X+3) = 2이다. 이를 이용하여 X의 분산을 구하면 다음과 같다.

Var(2X+3) = 4Var(X) = 2
Var(X) = 1/2

따라서 X가 0, 1, 2일 확률을 각각 p0, p1, p2라고 하면 다음과 같은 식이 성립한다.

p0 + p1 + p2 = 1
0p0 + 1p1 + 2p2 = E(X) = 3/2
(0-3/2)²p0 + (1-3/2)²p1 + (2-3/2)²p2 = Var(X) = 1/2

위 식을 풀면 p0 = 1/4, p1 = 1/2, p2 = 1/4이다. 따라서 X=2일 확률은 1/4이므로 q/p = 1/4이다. 따라서 p+q = 5이므로, 정답은 13이다.