두 이차방정식이 공통으로 가지는 근 α는 다음과 같이 구할 수 있다.

x² + kx + 5 = 0 → α = (-k ± √(k² - 20)) / 2

x² + 5x + k = 0 → α = (-5 ± √(25 - 4k)) / 2

두 식에서 구한 α가 같다는 조건을 이용하여 식을 세우면 다음과 같다.

(-k ± √(k² - 20)) / 2 = (-5 ± √(25 - 4k)) / 2

이를 정리하면 다음과 같다.

k² - 4k - 15 = 0

(k - 5)(k + 3) = 0

따라서 k는 5 또는 -3이다.

k + α의 값을 구하기 위해 k = 5와 k = -3일 때를 각각 계산해보면 다음과 같다.

k = 5일 때,

α = (-5 ± √5) / 2

k + α = 5 + (-5 ± √5) / 2 = (-5 ± √5) / 2

k = -3일 때,

α = (3 ± √29) / 2

k + α = -3 + (3 ± √29) / 2 = (-3 ± √29) / 2

따라서 k + α의 값은 -5이다.

log 3250 = log (3.25 × 1000) = log 3.25 + log 1000 = log 3.25 + 3
= 0.5119 + 3 = 3.5119

log 0.00325 = log (3.25 × 0.001) = log 3.25 + log 0.001 = log 3.25 - 3
= 0.5119 - 3 = -2.4881

따라서, n = 3.5119, a = -2.4881 이므로 na = 3.5119 × (-2.4881) = -8.7385

하지만, 문제에서는 "지표"와 "가수"를 구하라고 했으므로, a = -2.4881 에서 10의 거듭제곱을 취해야 한다.

a = -2.4881 이므로, 10^a = 10^(-2.4881) = 0.00325

따라서, n과 a의 곱 na = 3.5119 × 0.00325 = 1.5357 이다.

정답은 "1.5357" 이다.

다항식 P(x)를 (x-1)²(x+1)로 나누면, 나머지는 2차 다항식이 된다. 이를 R(x)라 하면, R(x) = ax² + bx + c 형태로 나타낼 수 있다. 이때, R(3)을 구하려면 R(x)에 x=3을 대입하면 된다.


R(3) = a(3)² + b(3) + c = 9a + 3b + c


주어진 다항식을 계산하면,


P(x) = (x-1)²(x+1) = (x² - 2x + 1)(x+1) = x³ - x² - x + 1


따라서,


R(x) = P(x) - (x-1)²(x+1) = x³ - x² - x + 1 - (x³ - 2x² + x)(x+1)

= x³ - x² - x + 1 - x⁴ + x³ + x² - x² + x

= -x⁴ + 2x + 1


따라서,


R(3) = -(3)⁴ + 2(3) + 1 = -80 + 6 + 1 = -73


따라서, 정답은 "13"이 아닌 "11"이다.

먼저, 평균이 50점이고 표준편차가 4점인 정규분포에서 46점 이상 58점 이하인 구간을 구해보겠습니다.

z = (x - μ) / σ

46점을 기준으로 z값을 구해보면,

z = (46 - 50) / 4 = -1

58점을 기준으로 z값을 구해보면,

z = (58 - 50) / 4 = 2

따라서, 46점 이상 58점 이하인 구간은 z값이 -1 이상 2 이하인 구간입니다.

이제, 표준정규분포표에서 z값이 -1 이상 2 이하인 구간의 면적을 찾아보면 됩니다.

z값이 -1일 때의 면적은 0.1587이고, z값이 2일 때의 면적은 0.9772입니다.

따라서, z값이 -1 이상 2 이하인 구간의 면적은 0.9772 - 0.1587 = 0.8185입니다.

즉, 이 학교 학생 중 임의로 1명을 선택할 때, 이 학생의 수학 점수가 46점 이상 58점 이하일 확률은 0.8185입니다.

먼저, f(g(x))를 구해보면 다음과 같습니다.

f(g(x)) = f(x-3) = a(x-3) + b = ax - 3a + b

그리고 g(f(x))를 구해보면 다음과 같습니다.

g(f(x)) = g(ax+b) = ax+b-3

따라서, 두 함수의 합을 구해보면 다음과 같습니다.

f(g(x)) + g(f(x)) = ax - 3a + b + ax + b - 3

= 2ax - 3a + 2b - 3

이 값이 4x - 6와 같다고 했으므로,

2ax - 3a + 2b - 3 = 4x - 6

2ax + 2b = 4x + 3a - 3

ax + b = 2x + (3a-3)/2

여기서, 두 일차함수가 만나는 점이 (m, n)이라고 하면,

m = 2x + (3a-3)/2

n = ax + b

따라서, m과 n을 이용하여 a와 b의 값을 구할 수 있습니다.

m = 2x + (3a-3)/2 = 4x - 6

3a - 3 = 4(2x - 3)

3a - 3 = 8x - 12

3a = 8x - 9

a = (8x - 9)/3

n = ax + b = (8x^2 - 9x)/3 + b

n = 4x - 6

(8x^2 - 9x)/3 + b = 4x - 6

8x^2 - 9x + 3b = 12x - 18

8x^2 - 21x + 3b + 18 = 0

여기서, 이차방정식의 판별식 D는 다음과 같습니다.

D = (-21)^2 - 4(8)(3b+18) = 441 - 96b - 576 = -96b - 135

D가 0보다 크거나 같아야 실근을 가질 수 있으므로,

-96b - 135 ≥ 0

b ≤ -135/96

따라서, b의 최댓값은 -135/96이고, 이때 a의 값은 다음과 같습니다.

a = (8x - 9)/3

b = -135/96

ab = (8x - 9)(-135/96) = -(15x - 27)/8

x가 어떤 값이든 ab는 항상 -15/8이므로, 정답은 1입니다.

다항식 (3x-2)⁴를 전개하면 다음과 같습니다.

(3x-2)⁴ = (3x)⁴ - 4(3x)³(2) + 6(3x)²(2)² - 4(3x)(2)³ + (2)⁴

따라서 x²의 계수는 6(3x)²(2)² = 216입니다.

이유는 x²의 계수는 (3x)²에 2²를 곱한 값인데, (3x)²의 계수는 6이고 2²는 4이므로 6 x 4 = 24가 되고, 이를 전개식에서의 계수 9와 곱하면 216이 됩니다.

먼저 방정식 9^x-2 · 3^x+1+5 = 0을 풀어보면, 3^x를 변수로 놓고 이차방정식의 형태로 변환할 수 있습니다.

3^x2-2 · 3^x+5 = 0

이제 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 α, β를 구할 수 있습니다.

α, β = (2 · 3^x ± √(4 · 3^x2-4 · 5)) / 2

= 3^x ± √(3^2x-5)

따라서 3^2α+3^2β은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

3^2α+3^2β = 3^2(α+β) · 3^2(α-β)

= 3^{2(2 · 3x ± 2√(32x-5))} · 3^{2(±2√(32x-5))}

= 3^{4 · 3x} · (3^2x-5)

여기서 3^2x-5은 방정식의 해에 따라 다르게 나타납니다.

만약 α, β가 실근이라면, 3^2x-5은 양수이므로 3^2α+3^2β은 3^{4 · 3x} · (3^2x-5)로 계산됩니다.

하지만 α, β가 허근이라면, 3^2x-5은 음수이므로 3^2α+3^2β은 음수가 됩니다.

따라서 정답은 "26"입니다.

곡선 y=x³의 기울기는 x=1에서 1이므로, 접선의 기울기는 1이 됩니다. 따라서 y=x²+ax+2의 기울기도 1이어야 합니다. 이를 만족시키기 위해서는 a=2가 되어야 합니다. 따라서 a의 값의 합은 2입니다.

주어진 이차방정식의 두 근이 sinθ, cosθ 이므로 다음과 같이 식을 쓸 수 있다.

4x² - 2x + k = 4(x - sinθ)(x - cosθ) = 0

여기서 x = sinθ, cosθ 이므로

4(sinθ - sinθ)(sinθ - cosθ) = 0, 4(cosθ - sinθ)(cosθ - cosθ) = 0

따라서 k = 4sinθcosθ = 2sin2θ 이다.

그리고 sin2θ = 2sinθcosθ 이므로 k = sin2θ 이다.

따라서 정답은 "" 이다.