9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2013-07-27)

9급 국가직 공무원 수학 2013-07-27 필기 기출문제 해설

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9급 국가직 공무원 수학
(2013-07-27 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 집합 A={-1, 1, -i, i}가 사칙연산 중 닫혀있는 것만을 있는 대로 나열한 것은? (단, i2 = -1 이다)

  1. 덧셈, 나눗셈
  2. 뺄셈, 곱셈
  3. 곱셈, 나눗셈
  4. 뺄셈, 나눗셈
(정답률: 67%)
  • 집합 $A = \{-1, 1, -i, i\}$의 원소들끼리 연산했을 때 결과가 다시 집합 $A$에 포함되는지 확인하는 문제입니다.
    곱셈의 경우 $(-1) \times i = -i$, $i \times i = -1$ 등 모든 결과가 $A$에 포함되므로 닫혀 있습니다. 나눗셈 또한 $1 / i = -i$ 등 모든 결과가 $A$에 포함되어 닫혀 있습니다.

    오답 노트
    덧셈: $1 + 1 = 2$ (집합 $A$에 없음)
    뺄셈: $1 - (-1) = 2$ (집합 $A$에 없음)
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1

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2. 서로 다른 두 이차방정식 x2 + kx + 5 = 0, x2 + 5x + k = 0 이 오직 하나의 공통인 근 α를 가질 때, 상수 k와 근 α의 합 k + α의 값은?

  1. －9
  2. －7
  3. －5
  4. －3
(정답률: 65%)
  • 두 방정식이 공통근 $\alpha$를 가지므로, 두 식에 $\alpha$를 대입하여 뺌으로써 $k$와 $\alpha$의 관계식을 구합니다.
    $\alpha^2 + k\alpha + 5 = 0$과 $\alpha^2 + 5\alpha + k = 0$을 서로 빼면 $(k-5)\alpha + (5-k) = 0$이 됩니다.
    이를 정리하면 $(k-5)(\alpha-1) = 0$이며, 서로 다른 두 방정식이어야 하므로 $k \neq 5$ 입니다. 따라서 $\alpha = 1$ 입니다.
    $\alpha = 1$을 첫 번째 식에 대입하면 $1 + k + 5 = 0$에서 $k = -6$이 됩니다.
    ① [기본 공식] $S = k + \alpha$
    ② [숫자 대입] $S = -6 + 1$
    ③ [최종 결과] $S = -5$
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1

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3. 가로, 세로, 높이가 각각 x, x, x+2 인 직육면체에 그림과 같이 가로, 세로, 높이가 각각 1, 1, x+2 인 직육면체 모양으로 구멍을 뚫었다. 남은 부분의 부피가 40이 될 때, x의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 73%)
  • 전체 직육면체의 부피에서 뚫린 부분의 부피를 뺀 값이 남은 부분의 부피가 됩니다.
    전체 부피는 $x \times x \times (x+2)$이고, 뚫린 부분의 부피는 $1 \times 1 \times (x+2)$ 입니다.
    ① [기본 공식] $V = x^2(x+2) - 1^2(x+2) = 40$
    ② [숫자 대입] $(x^2-1)(x+2) = 40$
    ③ [최종 결과] $(x-1)(x+1)(x+2) = 40 \implies x=3$
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1

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4. log 3250의 지표를 n, log 0.00325의 가수를 a라 할 때, n과 a의 곱 na의 값은? (단, log 3.25 = 0.5119로 계산한다)

  1. 0.5119
  2. 1.5357
  3. 2.0476
  4. 2.5595
(정답률: 60%)
  • 상용로그의 지표(정수 부분)는 $10^n$ 꼴의 자릿수를 결정하며, 가수(소수 부분)는 소수점 아래 숫자의 배열을 결정합니다.
    $\log 3250 = \log(3.25 \times 10^3) = 3 + \log 3.25$이므로 지표 $n = 3$ 입니다.
    $\log 0.00325 = \log(3.25 \times 10^{-3}) = -3 + \log 3.25$이므로 가수 $a = \log 3.25 = 0.5119$ 입니다.
    따라서 $na$의 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $na = n \times a$
    ② [숫자 대입] $na = 3 \times 0.5119$
    ③ [최종 결과] $na = 1.5357$
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5. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 에 대하여 의 값은?

  1. 8
  2. 9
  3. 10
  4. 11
(정답률: 59%)
  • 수열의 극한을 이용하여 함수 $f(x)$의 값을 정의하고 계산하는 문제입니다. $x$의 범위에 따라 극한값이 달라집니다.
    1. $x > 1$일 때: $\lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}-1}{x^{n}+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{x - \frac{1}{x^{n}}}{1 + \frac{1}{x^{n}}} = x$
    2. $0 < x < 1$일 때: $\lim_{n \to \infty} \frac{x^{n+1}-1}{x^{n}+1} = \frac{0-1}{0+1} = -1$
    따라서 $f(9) = 9$이고, $f(\frac{1}{9}) = -1$입니다.
    ① [기본 공식] $f(9) + f(\frac{1}{9})$
    ② [숫자 대입] $9 + (-1)$
    ③ [최종 결과] $8$
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6. 다항식 P(x)는 다음 두 조건을 만족한다. P(x)를 (x-1)2(x+1)로 나누었을 때의 나머지를 R(x)라 할 때, R(3)의 값은?

  1. 10
  2. 11
  3. 12
  4. 13
(정답률: 19%)
  • 나머지 정리를 이용하여 나머지 다항식 $R(x)$를 구하는 문제입니다. $P(x)$를 $(x-1)^{2}(x+1)$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $R(x)$라 하면 $R(x)$는 최대 2차식입니다.
    조건 (가)에서 $P(x)$를 $(x-1)^{2}$로 나눈 나머지가 $2x-1$이므로, $R(x)$를 $(x-1)^{2}$로 나눈 나머지 또한 $2x-1$이어야 합니다. 따라서 $R(x) = a(x-1)^{2} + 2x-1$로 설정할 수 있습니다.
    조건 (나)에서 $P(-1) = 3$이므로 $R(-1) = 3$입니다.
    ① [기본 공식] $R(-1) = a(-1-1)^{2} + 2(-1)-1 = 3$
    ② [숫자 대입] $4a - 3 = 3 \implies 4a = 6 \implies a = 1.5$
    ③ [최종 결과] $R(3) = 1.5(3-1)^{2} + 2(3)-1 = 1.5 \times 4 + 5 = 11$
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7. 좌표평면 위의 두 점 A(3, 1), B(-1, -2)를 지나는 직선과 원점 O(0, 0) 사이의 거리는?

  1. 1
  2. 1/2
  3. √2
  4. √5
(정답률: 50%)
  • 두 점을 지나는 직선의 방정식과 원점 사이의 거리 공식을 이용합니다.
    먼저 두 점 $A(3, 1)$, $B(-1, -2)$를 지나는 직선의 방정식은 $3x - 4y - 5 = 0$ 입니다.
    ① [기본 공식] $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$
    ② [숫자 대입] $d = \frac{|3(0) - 4(0) - 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
    ③ [최종 결과] $d = \frac{5}{5} = 1$
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8. 어느 학교 전체 학생의 수학 점수는 평균이 50점, 표준편차가 4점인 정규분포를 따른다고 한다. 이 학교 학생 중 임의로 1명을 선택할 때, 이 학생의 수학 점수가 46점 이상 58점 이하일 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구한 값은?

  1. 0.8185
  2. 0.7745
  3. 0.6587
  4. 0.3413
(정답률: 79%)
  • 정규분포를 표준정규분포로 변환하여 확률을 구하는 문제입니다. 표준화 공식 $Z = \frac{X-m}{\sigma}$를 사용합니다.
    ① [기본 공식] $P(46 \le X \le 58) = P(\frac{46-50}{4} \le Z \le \frac{58-50}{4})$
    ② [숫자 대입] $P(-1 \le Z \le 2) = P(0 \le Z \le 1) + P(0 \le Z \le 2) = 0.3413 + 0.4772$
    ③ [최종 결과] $P = 0.8185$
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9. 그림과 같이 함수 y = √x 의 그래프 위의 두 점 P(a, b), Q(c, d)에 대하여 b+d=2 일 때, 두 점 P, Q를 지나는 직선의 기울기는? (단, 0 ＜ a ＜ c)

  1. 1/5
  2. 1/4
  3. 1/3
  4. 1/2
(정답률: 38%)
  • 두 점의 좌표를 이용하여 직선의 기울기를 구하는 문제입니다. 점 $P(a, b)$와 $Q(c, d)$는 $y = \sqrt{x}$ 위의 점이므로 $b = \sqrt{a}$, $d = \sqrt{c}$가 성립합니다.
    기울기 공식은 $x$의 증가량 분의 $y$의 증가량입니다.
    ① [기본 공식] $\text{기울기} = \frac{d-b}{c-a}$
    ② [숫자 대입] $\text{기울기} = \frac{d-b}{(\sqrt{c})^{2}-(\sqrt{b})^{2}} = \frac{d-b}{d^{2}-b^{2}} = \frac{d-b}{(d-b)(d+b)} = \frac{1}{d+b}$
    ③ [최종 결과] $\text{기울기} = \frac{1}{2}$
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10. 두 일차함수 f(x)=ax+b, g(x)=x-3에 대하여 이고 일 때, 두 상수 a, b의 곱 ab의 값은?

  1. －2
  2. －1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 65%)
  • 합성함수의 정의와 역함수의 성질을 이용하여 상수 $a, b$를 구하는 문제입니다.
    먼저 $(g \circ f)(1) = -1$에서 $g(f(1)) = -1$이므로 $f(1) - 3 = -1$이 되어 $a + b = 2$입니다.
    다음으로 $g(x) = x - 3$의 역함수는 $g^{-1}(x) = x + 3$입니다. $(g^{-1} \circ f)(-1) = 3$에서 $g^{-1}(f(-1)) = 3$이므로 $f(-1) + 3 = 3$이 되어 $f(-1) = 0$, 즉 $-a + b = 0$입니다.
    두 식 $a + b = 2$와 $-a + b = 0$을 연립하면 $a = 1, b = 1$이 도출됩니다.
    따라서 구하는 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $ab = a \times b$
    ② [숫자 대입] $ab = 1 \times 1$
    ③ [최종 결과] $ab = 1$
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11. 두 행렬 에 대하여 A+X=AB를 만족시키는 행렬 X는?

(정답률: 30%)
  • 행렬의 연산과 방정식을 푸는 문제입니다. $X = AB - A$로 식을 변형하여 계산합니다.
    ① [기본 공식] $X = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
    ② [숫자 대입] $X = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$
    ③ [최종 결과] $X = $
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12. 다항식 (3x-2)4의 전개식에서 x2의 계수는?

  1. －216
  2. －108
  3. 108
  4. 216
(정답률: 50%)
  • 이항정리를 이용하여 특정 항의 계수를 찾는 문제입니다. $(a+b)^n$의 일반항 ${}_n\mathrm{C}_r a^{n-r} b^r$을 이용합니다.
    ① [기본 공식] ${}_4\mathrm{C}_2 (3x)^2 (-2)^2$
    ② [숫자 대입] $6 \times 9x^2 \times 4$
    ③ [최종 결과] $216x^2$ 따라서 계수는 $216$입니다.
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13. 이고 일 때, sinθ의 값은?

(정답률: 75%)
  • 탄젠트의 덧셈정리를 이용하여 $\tan \theta$를 구한 뒤, $\sin \theta$를 도출하는 문제입니다. $\frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta} = \tan(\frac{\pi}{4} - \theta)$ 임을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $\tan(\frac{\pi}{4} - \theta) = 2 + \sqrt{3}$이면 $\tan \theta = \tan(\frac{\pi}{4} - \arctan(2+\sqrt{3}))$
    ② [숫자 대입] $\tan \theta = \frac{1 - (2+\sqrt{3})}{1 + (2+\sqrt{3})} = \frac{-1-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$
    ③ [최종 결과] $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ 범위에서 $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$이므로 $\sin \theta = $
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14. 방정식 9x-2 · 3x+1+5 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, 32α+32β의 값은?

  1. 13
  2. 26
  3. 39
  4. 52
(정답률: 74%)
  • 지수 방정식의 치환과 근과 계수의 관계를 이용하는 문제입니다. $3^x = t$로 치환하면 $t^2 - 6t + 5 = 0$이 되며, 두 근은 $t_1 = 3^{\alpha}, t_2 = 3^{\beta}$입니다.
    ① [기본 공식] $3^{2\alpha} + 3^{2\beta} = (3^{\alpha} + 3^{\beta})^2 - 2(3^{\alpha} \cdot 3^{\beta})$
    ② [숫자 대입] $3^{2\alpha} + 3^{2\beta} = 6^2 - 2(5)$
    ③ [최종 결과] $3^{2\alpha} + 3^{2\beta} = 26$
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15. 의 값은?

  1. －4
  2. －1
  3. 2
  4. 5
(정답률: 47%)
  • 정적분으로 정의된 함수의 미분 계수 정의를 이용하는 문제입니다. $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \int_{a}^{a+h} f(x) dx = f(a)$ 임을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $f(1) = 1^3 - 2(1)^2 + 3$
    ② [숫자 대입] $f(1) = 1 - 2 + 3$
    ③ [최종 결과] $f(1) = 2$
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16. 곡선 y=x3위의 점 (1, 1)에서의 접선이 곡선 y=x2+ax+2에 접하도록 하는 모든 상수 a의 값의 합은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 $y=x^3$의 점 $(1, 1)$에서의 접선의 방정식을 구한 뒤, 이 직선이 $y=x^2+ax+2$와 접할 조건(판별식 $D=0$)을 이용합니다.
    $y=x^3$을 미분하면 $y'=3x^2$이므로 $x=1$에서 기울기는 $3$입니다. 접선은 $y-1=3(x-1) \implies y=3x-2$ 입니다.
    이 직선과 $x^2+ax+2=3x-2$가 접해야 하므로 $x^2+(a-3)x+4=0$의 판별식이 $0$이어야 합니다.
    ① [기본 공식] $D = (a-3)^2 - 4(1)(4) = 0$
    ② [숫자 대입] $(a-3)^2 = 16 \implies a-3 = \pm 4$
    ③ [최종 결과] $a = 7 \text{ 또는 } a = -1 \implies \text{합은 } 6$
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17. 자연수 n에 대하여 의 소수 부분을 an이라 할 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/3
  4. 1/4
(정답률: 46%)
  • 주어진 식 $\sqrt{n^2+n+1}$의 소수 부분 $a_n$은 전체 값에서 정수 부분을 뺀 값입니다. $n$이 충분히 클 때 $\sqrt{n^2+n+1}$은 $n$과 $n+1$ 사이에 존재하므로 정수 부분은 $n$이 됩니다. 따라서 $a_n = \sqrt{n^2+n+1} - n$이며, 이를 유리화하여 극한값을 구합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+n+1} - n)$
    ② [숫자 대입] $\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+n+1} - n)(\sqrt{n^2+n+1} + n)}{\sqrt{n^2+n+1} + n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1} + n}$
    ③ [최종 결과] $\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{\sqrt{1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}} + 1} = \frac{1}{2}$
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18. x에 대한 이차방정식 4x2-2x+k=0 의 두 근이 sinθ, cosθ 일 때, k의 값은?

(정답률: 50%)
  • 이차방정식의 근과 계수의 관계와 삼각함수의 기본 성질 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용합니다.
    두 근의 합은 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$이고, 두 근의 곱은 $\sin\theta\cos\theta = \frac{k}{4}$ 입니다.
    합의 제곱 식 $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$에 대입하여 $k$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $(\frac{1}{2})^2 = 1 + 2(\frac{k}{4})$
    ② [숫자 대입] $\frac{1}{4} = 1 + \frac{k}{2}$
    ③ [최종 결과] $\frac{k}{2} = -\frac{3}{4} \implies k = -\frac{3}{2}$
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19. 양의 실수 x, y, z가 비례식 (x+y) : (y+z) : (z+x) = 3 : 4 : 5를 만족할 때, 의 값은?

  1. 9/14
  2. 11/14
  3. 13/14
  4. 15/14
(정답률: 64%)
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20. 수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 를 만족시킨다. 일 때, p+q의 값은? (단, p와 q는 서로소인 자연수이다)

  1. 24
  2. 27
  3. 30
  4. 33
(정답률: 37%)
  • 수열의 합 $S_n$이 주어졌을 때, 일반항 $a_n$은 $S_n - S_{n-1}$ 임을 이용합니다.
    주어진 조건 $\sum_{k=1}^{n} a_k = \log(n+3)(n+4)$에서 $a_n = \log(n+3)(n+4) - \log(n+2)(n+3) = \log\frac{n+4}{n+2}$ 입니다.
    구하고자 하는 값은 $\sum_{k=1}^{29} a_{2k}$이므로, $a_{2k} = \log\frac{2k+4}{2k+2} = \log\frac{k+2}{k+1}$ 입니다.
    ① [기본 공식] $\sum_{k=1}^{29} \log\frac{k+2}{k+1}$
    ② [숫자 대입] $(\log\frac{3}{2} + \log\frac{4}{3} + \dots + \log\frac{31}{30}) = \log\frac{31}{2}$
    ③ [최종 결과] $\log\frac{31}{2} = \log\frac{q}{p} \implies p+q = 2+31 = 33$
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1

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