9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2014-04-19)

9급 국가직 공무원 수학 2014-04-19 필기 기출문제 해설

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9급 국가직 공무원 수학
(2014-04-19 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 전체집합 U의 ø이 아닌 서로 다른 두 부분집합 A, B에 대하여 A-B=ø 일 때, B-(B-A)를 간단히 하면?

  1. ø
  2. A
  3. B
  4. A-B
(정답률: 75%)
  • 차집합의 성질과 집합의 연산 법칙을 이용하는 문제입니다. $A-B=\emptyset$이라는 조건은 $A \subset B$임을 의미합니다.
    구하고자 하는 식 $B-(B-A)$를 정리하면 다음과 같습니다.
    1. $B-A = B \cap A^{c}$ (차집합의 성질)
    2. $B-(B \cap A^{c}) = B \cap (B \cap A^{c})^{c} = B \cap (B^{c} \cup A)$ (드 모르간의 법칙)
    3. 분배법칙을 적용하면 $(B \cap B^{c}) \cup (B \cap A) = \emptyset \cup (B \cap A) = B \cap A$
    이때 $A \subset B$이므로 $B \cap A = A$가 됩니다.
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1

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2. 곡선 y=x2-2x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

  1. 1/3
  2. 2/3
  3. 1
  4. 4/3
(정답률: 알수없음)
  • 곡선 $y=x^2-2x$와 $x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 정적분을 통해 구할 수 있으며, 구간은 $x^2-2x=0$의 해인 $0$부터 $2$까지입니다.
    ① [기본 공식] $S = \int_{0}^{2} -(x^2-2x) dx$
    ② [숫자 대입] $S = [-\frac{1}{3}x^3 + x^2]_{0}^{2}$
    ③ [최종 결과] $S = -\frac{8}{3} + 4 = \frac{4}{3}$
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1

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3. sinθ - cosθ = 1/3 일 때, sinθcosθ의 값은?

  1. 1/9
  2. 2/9
  3. 1/3
  4. 4/9
(정답률: 70%)
  • 삼각함수의 기본 성질 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$을 이용하기 위해 주어진 식의 양변을 제곱하여 $\sin\theta\cos\theta$의 값을 구합니다.
    ① [기본 공식] $(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta$
    ② [숫자 대입] $(\frac{1}{3})^2 = 1 - 2\sin\theta\cos\theta$
    ③ [최종 결과] $2\sin\theta\cos\theta = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies \sin\theta\cos\theta = \frac{4}{9}$
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4. 좌표평면 위의 세 점 A(0, 3), B(a-4, 0), C(3a, 6)가 동일 직선 위에 있을 때, 이 직선의 기울기는?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 80%)
  • 세 점이 동일 직선 위에 있다면, 두 점씩 짝지어 구한 기울기가 모두 같아야 합니다.
    점 $A(0, 3)$와 $C(3a, 6)$를 지나는 직선의 기울기를 먼저 구합니다.
    $$\text{기울기} = \frac{6 - 3}{3a - 0} = \frac{3}{3a} = \frac{1}{a}$$
    점 $A(0, 3)$와 $B(a-4, 0)$를 지나는 직선의 기울기도 동일해야 합니다.
    $$\text{기울기} = \frac{0 - 3}{(a-4) - 0} = \frac{-3}{a-4}$$
    두 기울기가 같으므로
    $$\frac{1}{a} = \frac{-3}{a-4}$$
    $$a-4 = -3a \implies 4a = 4 \implies a = 1$$
    구한 $a=1$을 기울기 식 $\frac{1}{a}$에 대입하면
    $$\text{기울기} = \frac{1}{1} = 1$$
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1

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5. x에 대한 이차방정식 x2+(k+2)x+(k-1)p+q-1=0 이 실수 k의 값에 관계없이 항상 1을 근으로 가질 때, 상수 p, q의 합 p+q의 값은?

  1. -4
  2. -3
  3. -2
  4. -1
(정답률: 80%)
  • 방정식이 실수 $k$의 값에 관계없이 항상 $x=1$을 근으로 가진다는 것은, $x=1$을 대입했을 때 식이 항상 0이 되어야 함을 의미합니다.
    식에 $x=1$을 대입합니다.
    $$1^2 + (k+2)(1) + (k-1)p + q - 1 = 0$$
    $$1 + k + 2 + kp - p + q - 1 = 0$$
    $$k(1+p) + (2 - p + q) = 0$$
    이 식이 모든 $k$에 대해 성립하려면 $k$의 계수와 상수항이 모두 0이어야 합니다.
    ① $1 + p = 0 \implies p = -1$
    ② $2 - p + q = 0 \implies 2 - (-1) + q = 0 \implies q = -3$
    따라서 $p+q$의 값은
    $$p + q = -1 + (-3) = -4$$
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6. 아래 그림에서 A, C는 곡선 y=log4 x위의 점이고 B, D는 곡선 y=log2 x위의 점이다. 세 선분 AB, BC, CD는 x축 또는 y축에 평행하고 선분 AB의 길이가 1일 때, 선분 CD의 길이는?

  1. 3/2
  2. 2
  3. 5/2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 두 로그함수의 관계와 선분의 길이를 이용하여 좌표를 구하는 문제입니다.
    점 $A(x_1, y_1)$이라 하면 $y_1 = \log_4 x_1$이고, 선분 $AB$의 길이가 1이므로 점 $B$의 좌표는 $(x_1, y_1 + 1)$입니다.
    점 $B$는 $y = \log_2 x$ 위의 점이므로 $y_1 + 1 = \log_2 x_1$이 성립합니다.
    $$\log_4 x_1 + 1 = \log_2 x_1$$
    $$\frac{1}{2}\log_2 x_1 + 1 = \log_2 x_1 \implies \frac{1}{2}\log_2 x_1 = 1 \implies \log_2 x_1 = 2 \implies x_1 = 4$$
    따라서 $y_1 = \log_4 4 = 1$이며, 점 $B$의 좌표는 $(4, 2)$입니다.
    점 $C$는 점 $B$와 $y$좌표가 같고 $y = \log_4 x$ 위의 점이므로 $2 = \log_4 x_C$에서 $x_C = 4^2 = 16$입니다.
    점 $D$는 점 $C$와 $x$좌표가 같고 $y = \log_2 x$ 위의 점이므로 $y_D = \log_2 16 = 4$입니다.
    선분 $CD$의 길이는 $y$좌표의 차이이므로
    $$CD = 4 - 2 = 2$$
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7. 수열 {an}에 대하여 일 때, 의 값은?

  1. -3
  4. 3
(정답률: 64%)
  • 급수의 수렴 조건과 극한의 성질을 이용하는 문제입니다.
    급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n}$이 수렴하면 일반항 $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} = 0$이어야 합니다. 즉, $a_n$의 차수가 $n$보다 낮거나 같아야 하며, $n\to\infty$일 때 $a_n$은 $n$보다 느리게 증가합니다.
    구하고자 하는 극한 식의 분모와 분자를 $n^2$으로 나누어 분석합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{a_n^2}{n^2} - 3}{\frac{na_n}{n^2} + 1 + \frac{2}{n}}$
    ② [숫자 대입] $\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} = 0$이므로 $$\frac{0^2 - 3}{0 + 1 + 0}$$
    ③ [최종 결과] $-3$
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8. 아래 그림과 같이 원점 O와 점 P(-2, 4)를 지나는 동경 OP가 나타내는 각의 크기를 θ라 할 때, 의 값은?

(정답률: 30%)
  • 삼각함수의 각 변환 공식을 사용하여 식을 단순화한 후, 점 $P(-2, 4)$의 좌표를 이용해 값을 구합니다.
    먼저 각 변환을 적용하면 다음과 같습니다.
    $$\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$$
    $$\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin \theta$$
    따라서 구하는 식은 $\cos \theta - \sin \theta$가 됩니다.
    점 $P(-2, 4)$에서 원점까지의 거리 $r$은 $\sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$입니다.
    이때 $\cos \theta = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$, $\sin \theta = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$입니다.
    이를 대입하면
    $$\cos \theta - \sin \theta = \frac{-1}{\sqrt{5}} - \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{-3}{\sqrt{5}} = -\frac{3\sqrt{5}}{5}$$
    따라서 정답은 입니다.
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9. 다섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 한 번씩 써서 만들 수 있는 다섯 자리 자연수를 작은 수부터 차례로 나열할 때, 73번째 나타나는 수는?

  1. 34512
  2. 35124
  3. 41235
  4. 41325
(정답률: 알수없음)
  • 숫자 1, 2, 3, 4, 5를 사용하여 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 총 개수는 $5! = 120$개입니다.
    첫 번째 숫자가 1인 경우: $4! = 24$개 (1~24번째)
    첫 번째 숫자가 2인 경우: $4! = 24$개 (25~48번째)
    첫 번째 숫자가 3인 경우: $4! = 24$개 (49~72번째)
    따라서 73번째 수는 첫 번째 숫자가 4인 수 중 가장 작은 수입니다.
    4로 시작하는 수 중 가장 작은 수는 나머지 숫자 1, 2, 3, 5를 크기 순으로 나열한 41235입니다.
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10. 다항함수 y=f(x)가 다음 두 조건을 만족시킨다. 이 때, 의 값은?

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 3/4
  4. 1
(정답률: 54%)
  • 함수 방정식의 성질을 이용하여 도함수의 값을 구하는 문제입니다.
    조건 (가) $f(x+y) = f(x)+f(y)$를 만족하는 다항함수는 $f(x) = cx$ 형태의 일차함수입니다. 조건 (나)에서 $f'(0) = 2$이므로, $f'(x) = 2$가 되어 $f(x) = 2x$ 임을 알 수 있습니다.
    따라서 $f(1) = 2$이고 $f'(1) = 2$ 입니다.
    ① [기본 공식] $\frac{f'(1)}{f(1)}$
    ② [숫자 대입] $\frac{2}{2}$
    ③ [최종 결과] $1$
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11. 점 (a, b)가 직선 y=x+4 위의 점일 때, a2+b2의 최솟값은?

  1. 0
  2. 4
  3. 8
  4. 12
(정답률: 80%)
  • 점 $(a, b)$에서 원점까지의 거리의 제곱 $a^2 + b^2$의 최솟값은 원점에서 직선 $y=x+4$까지의 거리의 제곱과 같습니다.
    원점 $(0, 0)$에서 직선 $x - y + 4 = 0$ 까지의 거리 $d$를 구하는 공식을 사용합니다.
    $$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
    $$d = \frac{|1(0) - 1(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}}$$
    $$d = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$$
    구하는 최솟값은 $d^2$이므로 다음과 같습니다.
    $$d^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$$
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1

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12. 행렬 가 역행렬을 갖지 않도록 하는 t값들을 모두 합한 것은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 70%)
  • 행렬이 역행렬을 갖지 않으려면 행렬식(Determinant)이 $0$이어야 합니다.
    주어진 행렬 $\begin{pmatrix} t & t+6 \\ t-1 & t^2-t \end{pmatrix}$의 행렬식을 구합니다.
    $$ad - bc = t(t^2 - t) - (t+6)(t-1) = 0$$
    $$t^3 - t^2 - (t^2 + 5t - 6) = 0$$
    $$t^3 - 2t^2 - 5t + 6 = 0$$
    조립제법을 통해 인수분해하면 $(t-1)(t-3)(t+2) = 0$이 됩니다.
    따라서 가능한 $t$ 값은 $1, 3, -2$이며, 이들의 합은 다음과 같습니다.
    $$1 + 3 + (-2) = 2$$
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1

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13. 함수 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 후, 다시 x축 양의 방향으로 1만큼 평행이동한 그래프가 점 (a, 3)을 지날 때, a의 값은?

  1. -8
  2. -7
  3. -6
  4. -5
(정답률: 90%)
  • 함수의 대칭이동과 평행이동 원리를 적용하는 문제입니다.
    원래 함수 $y = \sqrt{x+2}$를 $y$축 대칭이동하면 $x$ 대신 $-x$를 대입하여 $y = \sqrt{-x+2}$가 됩니다. 이를 다시 $x$축 방향으로 $1$만큼 평행이동하면 $x$ 대신 $x-1$을 대입하여 $y = \sqrt{-(x-1)+2} = \sqrt{-x+3}$이 됩니다.
    이 그래프가 점 $(a, 3)$을 지나므로 대입하여 $a$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $3 = \sqrt{-a+3}$
    ② [숫자 대입] $9 = -a+3$
    ③ [최종 결과] $a = -6$
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14. 원 x2+y2=20 위의 점 a(4, 2)에서의 접선이 x축, y축과 만나는 점을 각각 P, Q라 하자. 삼각형 OPQ의 넓이는? (단, O는 원점)

  1. 15
  2. 20
  3. 25
  4. 30
(정답률: 54%)
  • 원 $x^2 + y^2 = r^2$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선 공식 $x_1 x + y_1 y = r^2$을 이용합니다.
    점 $(4, 2)$에서의 접선 방정식은 다음과 같습니다.
    $$4x + 2y = 20$$
    $$2x + y = 10$$
    이 직선의 $x$절편 $P$는 $y=0$일 때 $x=5$이고, $y$절편 $Q$는 $x=0$일 때 $y=10$ 입니다.
    삼각형 $OPQ$의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
    $$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 10$$
    $$S = 25$$
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1

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15. 실수 α에 대하여 다항식 f(x)를 x-α로 나눈 나머지를 [f, α]라고 표기하자. f(x)=x3+x2-3x-1 이고 a가 관계식 [f, a]=[f, -a]+4를 만족하는 양수일 때, 의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 62%)
  • 나머지 정리에 의해 $[f, \alpha] = f(\alpha)$ 입니다. 주어진 관계식 $f(a) = f(-a) + 4$를 이용하여 양수 $a$를 구한 뒤, $[ f, \frac{a}{2} ] = f(\frac{a}{2})$를 계산합니다.
    먼저 $f(a) - f(-a) = 4$를 계산하면:
    $(a^3 + a^2 - 3a - 1) - (-a^3 + a^2 + 3a - 1) = 2a^3 - 6a = 4$
    $$2a^3 - 6a - 4 = 0$$
    $$a^3 - 3a - 2 = 0$$
    $(a-2)(a+1)^2 = 0$이고 $a$는 양수이므로 $a=2$ 입니다.
    구하고자 하는 값은 $f(\frac{2}{2}) = f(1)$ 입니다.
    $$f(1) = 1^3 + 1^2 - 3(1) - 1$$
    $$f(1) = 1 + 1 - 3 - 1$$
    $$f(1) = -2$$
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16. 복소수 전체의 집합 의 임의의 두 원소 z1=a+bi, z2=c+di 에 대하여 연산 를 로 정의하였을 때, 다음 중 옳은 것만을 모두 고른 것은? (단, a, b, c, d는 실수이고 i=√-1)

  1. ㄱ, ㄴ
  2. ㄱ, ㄹ
  3. ㄴ, ㄷ
  4. ㄷ, ㄹ
(정답률: 39%)
  • 정의된 연산 $(a+bi) \bigcirc (c+di) = ac + bdi$를 바탕으로 각 조건을 분석합니다.
    ㄱ. $(a+bi) \bigcirc (c+di) = ac + bdi$이고 $(c+di) \bigcirc (a+bi) = ca + dbi$ 입니다. $ac=ca$이고 $bdi$와 $dbi$는 같으므로 교환법칙이 성립합니다.
    ㄴ. 항등원 $e = e_1 + e_2 i$가 존재한다면 $(a+bi) \bigcirc (e_1 + e_2 i) = ae_1 + be_2 i = a+bi$ 여야 합니다. $e_1 = 1, e_2 = 1$일 때 항상 성립하므로 항등원 $1+i$가 존재합니다.
    ㄷ. 역원 $z^{-1} = x+yi$가 존재하려면 $(a+bi) \bigcirc (x+yi) = ax + byi = 1+i$ 여야 합니다. $ax=1, by=1$에서 $a=0$ 또는 $b=0$인 복소수 $z$는 역원을 가질 수 없으므로 항상 존재한다는 설명은 틀렸습니다.
    ㄹ. $z_1 \bigcirc z_2 = 0$ 즉, $ac + bdi = 0$ 일 때 $ac=0, bd=0$이어야 합니다. $z_1 \neq 0$이더라도 $a=0, b=1$이고 $z_2 = 1+0i$ 라면 $z_1 \bigcirc z_2 = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0i = 0$이지만 $z_2 \neq 0$이므로 틀렸습니다.
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17. 모든 x ＞ 0 에 대하여 부등식 (log2x)2 + log22x2 + a – log2k ≥ 0 이 항상 성립하도록 하는 자연수 k가 정확히 2개가 되도록 하는 실수 a값의 범위는?

  1. 0 ≤ a ＜ 1
  2. 1 ≤ a ＜ log23
  3. log23 ≤ a ＜ 2
  4. 2 ≤ a ＜ log25
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 부등식을 $\log_2 x$에 대한 이차함수로 치환하여 최솟값이 $\log_2 k$보다 작거나 같아야 함을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $f(t) = t^2 + 2t + 1 + a \quad (t = \log_2 x)$
    ② [숫자 대입] $f(t) = (t+1)^2 + a \implies \text{최솟값 } a \ge \log_2 k$
    ③ [최종 결과] $k \le 2^a \text{ 인 자연수 } k\text{가 } 2\text{개이려면 } 2 \le 2^a < 3 \implies 1 \le a < \log_2 3$
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18. 양의 실수로 이루어진 등비수열 {an}에서 a1+a3=2, a6+a8=486 일 때, a5의 값은?

  1. 7/5
  2. 14/5
  3. 27/5
  4. 81/5
(정답률: 알수없음)
  • 등비수열의 일반항 $a_n = a_1 r^{n-1}$을 이용하여 두 식의 비율을 통해 공비 $r$을 먼저 구합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{a_6+a_8}{a_1+a_3} = \frac{a_1 r^5 + a_1 r^7}{a_1 + a_1 r^2} = r^5$
    ② [숫자 대입] $r^5 = \frac{486}{2} = 243 \implies r = 3$
    ③ [최종 결과] $a_1(1+3^2)=2 \implies a_1 = \frac{1}{5}, \quad a_5 = \frac{1}{5} \times 3^4 = \frac{81}{5}$
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19. 아래 표와 같은 확률분포를 갖는 확률변수 X가 있다. X의 평균과 분산이 각각 E(X)=2, V(X)=1/2 일 때, 확률 P(X=3)은?

  1. 1/6
  2. 1/4
  3. 1/3
  4. 1/2
(정답률: 알수없음)
  • 확률의 총합은 $1$이며, 평균 $E(X)$와 분산 $V(X)$의 정의를 이용하여 연립방정식을 풉니다.
    ① [기본 공식] $a+b+c=1, \quad 1a+2b+3c=2, \quad 1^2a+2^2b+3^2c-2^2=\frac{1}{2}$
    ② [숫자 대입] $a+b+c=1, \quad a+2b+3c=2, \quad a+4b+9c=4.5$
    ③ [최종 결과] $c = P(X=3) = \frac{1}{4}$
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1

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20. 아래 그림과 같이 한 변의 길이가 2인 정사각형 AOQB에서 변 BQ위의 한 점을 P라 하자. 직선 AP와 x축과의 교점을 R이라 할 때, 점 P가 선분 BQ를 따라 점 Q(2, 0)에 한없이 가까워진다면 의 값은? (단, O는 원점)

  1. 1/2
  2. 1
  3. 3/2
  4. 2
(정답률: 40%)
  • 좌표평면 위에서 점 $P$의 좌표를 설정하여 선분 길이의 극한값을 구하는 문제입니다.
    점 $A(0, 2)$, $B(2, 2)$, $Q(2, 0)$이고 점 $P$를 $(2, y)$라 하면, 직선 $AP$의 방정식은 $y-2 = \frac{y-2}{2-0}x$ 입니다. $x$축과의 교점 $R$의 좌표는 $y=0$일 때 $x = \frac{-4}{y-2}$ 입니다.
    따라서 $\overline{QR} = |\frac{-4}{y-2} - 2| = \frac{4}{2-y} - 2 = \frac{4-4+2y}{2-y} = \frac{2y}{2-y}$이고, $\overline{PQ} = y$ 입니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{P\to Q} \frac{\overline{QR}}{\overline{PQ}} = \lim_{y\to 0} \frac{\frac{2y}{2-y}}{y}$
    ② [숫자 대입] $\lim_{y\to 0} \frac{2}{2-y}$
    ③ [최종 결과] $1$
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