9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2021-04-17)

9급 국가직 공무원 수학 2021-04-17 필기 기출문제 해설

이 페이지는 9급 국가직 공무원 수학 2021-04-17 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

9급 국가직 공무원 수학
(2021-04-17 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 등식 (2+i)x+(1-i)y= 1+2i 를 만족시키는 실수 x, y에 대하여 (x+yi)4의 값은? (단, i = √-1)

  1. -4
  2. -2
  3. 2
  4. 4
(정답률: 29%)
  • 복소수의 상등 원리를 이용하여 실수부분과 허수부분을 각각 비교해 $x, y$ 값을 구한 뒤 거듭제곱을 계산합니다.
    실수부분: $2x + y = 1$, 허수부분: $x - y = 2$를 연립하면 $x = 1, y = -1$입니다.
    구하는 값은 $(1 - i)^{4}$이며, 이를 계산하면 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $(x + yi)^{4}$
    ② [숫자 대입] $(1 - i)^{4} = ((1 - i)^{2})^{2} = (-2i)^{2}$
    ③ [최종 결과] $-4$
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2. x2 + x – 1 = 0일 때, x3 + 3x2 + x + 2의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 37%)
  • 다항식의 나눗셈을 이용하여 주어진 식의 값을 간단히 계산하는 문제입니다.
    구하고자 하는 식을 $x^{2}+x-1$로 나누어 몫과 나머지를 구합니다.
    ① [기본 공식] $x^{3}+3x^{2}+x+2 = (x^{2}+x-1)(x+2)+4$
    ② [숫자 대입] $x^{2}+x-1=0$이므로 $$0 \times (x+2)+4$$
    ③ [최종 결과] $4$
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3. 실수 x에 대한 두 조건 p : x2 - x – 6 ≤ 0, q : x ＜ a에 대하여 p가 q이기 위한 충분조건이 되도록 하는 정수 a의 최솟값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 23%)
  • 조건 $p$가 $q$이기 위한 충분조건이 되려면 $p \subset q$ 관계가 성립해야 합니다.
    먼저 조건 $p$의 범위를 구하면 $x^{2}-x-6 \le 0$에서 $(x-3)(x+2) \le 0$이므로 $-2 \le x \le 3$입니다.
    이 범위가 $x < a$에 완전히 포함되어야 하므로 $a$는 $3$보다 커야 합니다. 따라서 이를 만족하는 정수 $a$의 최솟값은 $4$입니다.
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4. 함수 의 그래프가 지나지 않는 사분면은?

  1. 제1사분면
  2. 제2사분면
  3. 제3사분면
  4. 제4사분면
(정답률: 24%)
  • 유리함수의 점근선을 분석하여 그래프가 지나지 않는 사분면을 찾는 문제입니다.
    함수 $y = \frac{-4x-17}{2x+1}$에서 분모가 $0$이 되는 $x = -\frac{1}{2}$과 $x$가 무한대로 갈 때의 값인 $y = \frac{-4}{2} = -2$가 각각 점근선이 됩니다.
    점근선 $x = -\frac{1}{2}, y = -2$를 기준으로 그래프를 그리면 제2, 3, 4사분면은 지나지만 제1사분면은 지나지 않습니다.
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5. x에 대한 이차방정식 x2 - 2kx – k2 = 0의 두 실근을 α, β라 하자. 1 ≤ k ≤ 4에서 (α+2)(β+2)의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M-m의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 22%)
  • 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식을 $k$에 관한 식으로 변환하여 최댓값과 최솟값을 구하는 문제입니다.
    이차방정식 $x^{2}-2kx-k^{2}=0$의 두 근이 $\alpha, \beta$이므로, 식을 $(x-\alpha)(x-\beta)$로 나타낼 수 있습니다. 여기에 $x=-2$를 대입하면 $(\alpha+2)(\beta+2) = (-2)^{2}-2k(-2)-k^{2} = -k^{2}+4k+4$가 됩니다.
    ① [기본 공식] $f(k) = -(k-2)^{2}+8$
    ② [숫자 대입] $1 \le k \le 4$ 범위에서 $k=2$일 때 최댓값 $8$, $k=4$일 때 최솟값 $4$
    ③ [최종 결과] $M-m = 8-4 = 4$
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6. -2 ≤ x ≤ 2에서 함수 의 최댓값이 7, 최솟값이 41/8 일 때, 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 19%)
  • 지수함수의 최댓값과 최솟값을 이용하여 상수를 구하는 문제입니다. 주어진 함수는 $$f(x) = (\frac{1}{2})^{-x+a} + b = 2^{x-a} + b$$ 로 변형되며, 이는 증가함수이므로 $x=2$에서 최대, $x=-2$에서 최소가 됩니다.
    ① [기본 공식]
    $$2^{2-a} + b = 7$$
    $$2^{-2-a} + b = \frac{41}{8}$$
    ② [숫자 대입]
    두 식을 연립하여 풀면 $a=1, b=5$가 도출됩니다.
    $$1 + 5 = 6$$
    ③ [최종 결과]
    $$a+b = 6$$
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7. 의 값은?

  1. 4
  2. 4√2
  3. 8
  4. 8√2
(정답률: 26%)
  • 무한대 분의 무한대 꼴의 극한 문제입니다. 분자와 분모를 각각 유리화하여 최고차항의 계수비를 비교합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x+9} - \sqrt{x+1})(\sqrt{x+9} + \sqrt{x+1})}{(\sqrt{2x+3} - \sqrt{2x+1})(\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x+1})} \times \frac{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x+1}}{\sqrt{x+9} + \sqrt{x+1}}$
    ② [숫자 대입] $\lim_{x \to \infty} \frac{8}{2} \times \frac{2\sqrt{2x}}{\sqrt{x}} = 4 \times 2\sqrt{2}$
    ③ [최종 결과] $4\sqrt{2}$
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8. 두 사건 A, B에 대하여 이고, P(A) - P(B) = 1/6, P(A∩B) = 1/6일 때, P(B)의 값은?

  1. 1/4
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
(정답률: 11%)
  • 조건부 확률의 정의와 독립 사건의 성질을 이용하여 연립방정식을 세워 해결합니다. $P(B|A) = P(B)$라는 것은 두 사건이 독립임을 의미하며, 이때 $P(A \cap B) = P(A)P(B)$가 성립합니다.
    ① [기본 공식] $P(A) - P(B) = \frac{1}{6}, P(A)P(B) = \frac{1}{6}$
    ② [숫자 대입] $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$
    ③ [최종 결과] $P(B) = \frac{1}{3}$
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9. 두 함수 y = x2 - 12(x≥0)와 의 그래프는 한 점 (a, b)에서 만난다. a+b의 값은?

  1. 8
  2. 10
  3. 12
  4. 14
(정답률: 25%)
  • 두 함수의 그래프가 만나는 점 $(a, b)$는 두 식을 만족하는 공통 해를 찾는 문제입니다. $b = \sqrt{a+12}$가 정수가 되는 $a$ 값을 대입하여 확인합니다.
    ① [기본 공식] $a^2 - 12 = \sqrt{a + 12}$
    ② [숫자 대입] $4^2 - 12 = \sqrt{4 + 12} \Rightarrow 4 = 4$
    ③ [최종 결과] $a + b = 4 + 4 = 8$
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10. 첫째항이 1/3, 공비가 r(r≠0)인 등비수열 {an}의 첫째항부터 n제항까지의 합을 Sn이라 할 때, S4 - S2 = a22이다. S4 = q/p일 때, q의 값은? (단, p, q는 서로소인 자연수)

  1. 13
  2. 14
  3. 15
  4. 16
(정답률: 16%)
  • 등비수열의 합 공식과 일반항을 이용하여 공비 $r$을 먼저 구합니다.
    $S_{4}-S_{2} = a_{3}+a_{4} = \frac{1}{3}r^{2} + \frac{1}{3}r^{3}$이고, $a_{2}^{2} = (\frac{1}{3}r)^{2} = \frac{1}{9}r^{2}$ 입니다.
    ① [기본 공식] $S_{4}-S_{2} = a_{2}^{2} \implies \frac{1}{3}(r^{2}+r^{3}) = \frac{1}{9}r^{2}$
    ② [숫자 대입] $3r^{2}+3r^{3} = r^{2} \implies 3r^{3}+2r^{2} = 0 \implies r^{2}(3r+2)=0$
    ③ [최종 결과] $r \neq 0$이므로 $r = -\frac{2}{3}$입니다. 이를 $S_{4}$ 공식에 대입하면
    $$S_{4} = \frac{\frac{1}{3}(1 - (-\frac{2}{3})^{4})}{1 - (-\frac{2}{3})} = \frac{\frac
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11. 빨간 공 3개, 파란 공 4개가 들어 있는 주머니에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 꺼낸 공의 색이 다를 확률은?

  1. 2/7
  2. 3/7
  3. 4/7
  4. 5/7
(정답률: 30%)
  • 전체 공 7개 중 2개를 뽑는 경우의 수 분의 빨간 공 1개와 파란 공 1개를 각각 뽑는 경우의 수를 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{{}_{3}C_{1} \times {}_{4}C_{1}}{{}_{7}C_{2}}$
    ② [숫자 대입] $\frac{3 \times 4}{21}$
    ③ [최종 결과] $4/7$
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12. 함수 y = 3cosbx + c의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 상수 b, c에 대하여 b+c의 값은? (단, b＞0)

  1. 1
  2. 3/2
  3. 2
  4. 5/2
(정답률: 23%)
  • 삼각함수 그래프의 최댓값과 주기를 이용하여 상수 $b$와 $c$를 결정합니다.
    그래프에서 최댓값이 $4$이므로 $3+c=4$에서 $c=1$입니다. 또한, 주기가 $4\pi$이므로 $\frac{2\pi}{b}=4\pi$에서 $b=\frac{1}{2}$입니다.
    ① [기본 공식] $b+c$
    ② [숫자 대입] $\frac{1}{2} + 1$
    ③ [최종 결과] $3/2$
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13. 부등식 를 만족시키는 모든 정수 x의 개수는?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 20%)
  • 부등식 을 풉니다. 먼저 로그의 진수 조건에 의해 $2x-1>0$ 및 $8-x>0$이어야 하므로 $\frac{1}{2} < x < 8$입니다.
    주어진 식 $\log_{\frac{1}{2}}(2x-1) < 1 + \log_{\frac{1}{2}}(8-x)$에서 $1 = \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})$이므로,
    $\log_{\frac{1}{2}}(2x-1) < \log_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2}(8-x))$가 됩니다. 밑이 $\frac{1}{2}$로 $1$보다 작으므로 부등호 방향이 바뀝니다.
    ① [기본 공식] $2x-1 > \frac{1}{2}(8-x)$
    ② [숫자 대입] $4x-2 > 8-x \implies 5x > 10 \implies x > 2$
    ③ [최종 결과] 진수 조건 $\frac{1}{2} < x < 8$과 $x > 2$의 공통 범위는 $2 < x < 8$입니다. 이를 만족하는 정수 $x$는 $3, 4, 5, 6, 7$로 총 $5$개입니다.
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14. 함수 f(x)= x3- 2x2+ 4x- 1에 대하여 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 24%)
  • 주어진 극한 식은 $x=1$에서의 미분계수 형태를 포함하고 있습니다. $f(1) = 1^3-2(1)^2+4(1)-1 = 2$임을 먼저 구합니다.
    식을 변형하면 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2f(1)-f(x)}{x-1}$이며, 이는 $f'(1)$과 $f(1)$의 조합으로 계산됩니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to 1} \frac{x^2f(1)-f(x)}{x-1} = 2f(1) - f'(1)$
    ② [숫자 대입] $2(2) - (3(1)^2-4(1)+4) = 4 - 3$
    ③ [최종 결과] $1$
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15. 원 C1 : x2+y2+4x-8y-5=0을 직선 y=x 에 대하여 대칭이동한 원을 C2라 할 때, 두 원 C1, C2의 중심 사이의 거리는?

  1. 3√2
  2. 4√2
  3. 5√2
  4. 6√2
(정답률: 21%)
  • 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심 좌표를 구한 뒤, 대칭이동 후의 두 점 사이의 거리를 계산합니다.
    원 $C_1$의 방정식 $x^2+y^2+4x-8y-5=0$을 표준형으로 고치면 $(x+2)^2+(y-4)^2=25$가 되어 중심은 $(-2, 4)$입니다. 이를 $y=x$에 대해 대칭이동한 $C_2$의 중심은 $(4, -2)$입니다.
    ① [기본 공식] $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
    ② [숫자 대입] $d = \sqrt{(4-(-2))^2 + (-2-4)^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2}$
    ③ [최종 결과] $6\sqrt{2}$
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16. 두 확률변수 X와 Y는 각각 정규분포 N(10, 32)과 N(m, 22) 을 따른다. 일 때, 상수 m의 값은? (단, m ＞ 11)

  1. 14
  2. 15
  3. 16
  4. 17
(정답률: 20%)
  • 두 정규분포의 확률이 같으려면 표준화한 $Z$값의 범위가 일치해야 합니다. $X \sim N(10, 3^2)$, $Y \sim N(m, 2^2)$일 때, 각 경계값을 표준화하여 비교합니다.
    왼쪽 식의 범위: $\frac{10-10}{3} \le Z \le \frac{\frac{m+11}{2}-10}{3}$ $\rightarrow$ $0 \le Z \le \frac{m-9}{6}$
    오른쪽 식의 범위: $\frac{\frac{m+11}{2}-m}{2} \le Z \le \frac{m-m}{2}$ $\rightarrow$ $\frac{11-m}{4} \le Z \le 0$
    두 확률이 같으려면 $Z$값의 절대적 구간 길이가 같아야 하므로 $\frac{m-9}{6} = \frac{m-11}{4}$ (단, $m>11$이므로 $\frac{11-m}{4}$는 음수)가 성립해야 합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{m-9}{6} = \frac{m-11}{4}$
    ② [숫자 대입] $4(m-9) = 6(m-11) \rightarrow 4m-36 = 6m-66$
    ③ [최종 결과] $m = 15$
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17. 함수 가 모든 실수 x에서 연속일 때, 의 값은? (단, a, b는 상수)

  1. 15
  2. 20
  3. 25
  4. 30
(정답률: 23%)
  • 함수 가 모든 실수 $x$에서 연속이려면 $x=1$과 $x=3$에서 연속이어야 합니다.
    1) $x=1$에서 연속: $1+1 = 3a(1)-b \implies 3a-b=2$
    2) $x=3$에서 연속: $3a(3)-b = b(3)+a \implies 8a-4b=0 \implies 2a=b$
    두 식을 연립하면 $3a-2a=2$에서 $a=2$, $b=4$가 됩니다.
    구하고자 하는 값은 이므로 정적분을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\int_{-2}^{3} (ax+b) dx = [ \frac{a}{2}x^{2}+bx ]_{-2}^{3}$
    ② [숫자 대입] $[ \frac{2}{2}x^{2}+4x ]_{-2}^{3} = (9+12) - (4-8)$
    ③ [최종 결과] $21 - (-4) = 25$
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18. 원 x2+6x+y2-8y+20=0과 직선 2x+y+a=0이 만나도록 하는 실수 a의 최댓값은?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 7
(정답률: 15%)
  • 원의 방정식 $x^{2}+6x+y^{2}-8y+20=0$을 표준형으로 정리하면 $(x+3)^{2}+(y-4)^{2}=5$가 되어 중심은 $(-3, 4)$, 반지름은 $\sqrt{5}$입니다. 원과 직선 $2x+y+a=0$이 만나려면 원의 중심에서 직선까지의 거리 $d$가 반지름 $r$보다 작거나 같아야 합니다.
    ① [기본 공식] $d = \frac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \le r$
    ② [숫자 대입] $d = \frac{|2(-3)+1(4)+a|}{\sqrt{2^{2}+1^{2}}} = \frac{|a-2|}{\sqrt{5}} \le \sqrt{5}$
    ③ [최종 결과] $|a-2| \le 5 \implies -5 \le a-2 \le 5 \implies -3 \le a \le 7$
    따라서 실수 $a$의 최댓값은 $7$입니다.
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19. 의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 25%)
  • 정적분으로 정의된 함수의 극한 문제는 미분계수의 정의 또는 로피탈의 정리를 사용하여 해결합니다.
    $$\lim_{x \to 3} \frac{1}{x^2-9} \int_{3}^{x} (t^2-2t+3)dt$$
    분모를 $(x-3)(x+3)$으로 인수분해하고 로피탈의 정리를 적용하면 $x=3$에서의 함숫값 $f(3)$을 $6$으로 나눈 값과 같습니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(3)}{g'(3)}$
    ② [숫자 대입] $\frac{3^2-2(3)+3}{2(3)}$
    ③ [최종 결과] $1$
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20. 사차함수 f(x)와 삼차함수 g(x)에 대하여 h(x) = f(x) - g(x)라 하자. y = f′(x)와 y = g′(x)의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 함수 h(x)가 극대가 되는 x의 값은?

  1. -1
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 14%)
  • 함수 $h(x)$가 극대가 되려면 도함수 $h'(x)$의 부호가 양(+)에서 음(-)으로 변해야 합니다.
    $$h'(x) = f'(x) - g'(x)$$ 이므로, $h'(x) = 0$인 지점은 두 그래프 $y=f'(x)$와 $y=g'(x)$가 만나는 점입니다.
    제시된 이미지 를 분석하면, $x=2$에서 $f'(x)$가 $g'(x)$보다 큰 상태에서 작은 상태로 변하므로 $h'(x)$의 부호가 $+$에서 $-$로 바뀝니다. 따라서 $x=2$에서 극대값을 갖습니다.
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1

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