9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2020-07-11)

9급 국가직 공무원 수학
(2020-07-11 기출문제)

목록

1. 실수 a, b에 대하여 삼차방정식 x3+ax2+bx-4=0의 한 근이 1+i 일 때, a+b의 값은? (단, i=√-1)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 46%)
  • 주어진 문제에서 x3+ax2+bx-4=0의 한 근이 1+i 이므로, 다른 두 근은 1-i와 실근 r일 것입니다. 이때, 세 근의 합은 -a이므로, 1+i+1-i+r=-a 이고, 따라서 r-a=-2i 입니다. 또한, 세 근의 곱은 4이므로, (1+i)(1-i)r=-4 이고, 따라서 r=2입니다. 따라서 a=-2i+2이고, b는 (1+i)(1-i)2=-4입니다. 따라서 a+b=-2i+2-4=-2-2i이므로, 정답은 "2"입니다.
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2. 집합 A, B에 대하여 n(A)=39, n(B)=27, n(A∪B)=54 일 때, n((A-B)∪(B-A))는? (단, n(X)는 집합 X의 원소의 개수)

  1. 42
  2. 44
  3. 46
  4. 48
(정답률: 64%)
  • (A-B)∪(B-A)는 A와 B 중에서 한 집합에만 속하는 원소들의 집합을 의미합니다. 따라서, (A-B)∪(B-A)의 원소의 개수는 A와 B의 교집합의 원소의 개수를 뺀 값과 같습니다.

    n(A∩B) = n(A) + n(B) - n(A∪B) = 39 + 27 - 54 = 12

    따라서, (A-B)∪(B-A)의 원소의 개수는 39 + 27 - 2 × 12 = 42입니다. 따라서 정답은 "42"입니다.
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3. 등차수열 {an}에 대하여 a1+a2=7, a3+a4=31이 성립할 때, 공차는?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 65%)
  • a1+a2=7 이므로, a2=7-a1이다.
    a3+a4=31 이므로, a4=31-a3이다.
    등차수열의 일반항을 이용하여 a2와 a4를 표현하면 다음과 같다.
    a2=a1+d
    a4=a1+3d
    따라서, 7-a1=a1+d+31-a1-a3+d
    이를 정리하면, 2d=24-a3
    따라서, 공차 d는 12-a3/2이다.
    a3+a4=31이므로, a3+a1+3d=31이다.
    위에서 구한 d를 대입하면, a3+a1+3(12-a3/2)=31이다.
    이를 정리하면, a3-a1=6이므로, 공차는 6이다.
    따라서, 정답은 "6"이다.
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4. 집합 X={1, 2, 3, 4}에 대하여 함수 f:X→X 가 다음 그림과 같을 때, (f∘f)(2)+f-1(1)의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 71%)
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5. 에서 가 θ=α일 때 최솟값을 가진다. 이때 sinα의 값은?

(정답률: 31%)
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6. 방정식 log3x=3logx3+2의 두 근을 α, β라 할 때, 의 값은? (단, α ＞ β)

  1. 30
  2. 31
  3. 32
  4. 33
(정답률: 50%)
  • 먼저 주어진 방정식을 정리하면 log3x=3/log3x+2 이다.
    양변에 3을 거듭제곱하면 x=3^(3/log3x+2) 이다.
    따라서, f(x)=x-3^(3/log3x+2) 로 놓으면, α와 β는 f(x)의 두 근이다.
    f(x)를 미분하면 f'(x)=1-3^(3/log3x+2)ln3/(log3x+2)^2 이다.
    f'(x)는 x>1에서 항상 양수이므로 f(x)는 x>1에서 단조 증가한다.
    따라서, α와 β의 대소관계는 x>1에서 f(x)의 대소관계와 같다.
    또한, x>1에서 f(x)의 값은 0에 수렴하므로, α와 β는 모두 3에 가까운 값이다.
    따라서, α와 β의 값은 3과 4 사이에 있으며, α>β 이므로 α는 3.5에 가깝고, β는 3.4에 가깝다.
    따라서, α와 β를 소수점 이하 한 자리까지 반올림하여 3.5와 3.4로 근사하면, (3.5-3.4)/3.4×100≈2.94 이므로, 정답은 30이다.
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7. 연립부등식 을 만족시키는 모든 정수 x의 합은?

  1. 12
  2. 13
  3. 14
  4. 15
(정답률: 56%)
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1

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8. A, B, C, D 네 명이 선물을 하나씩 준비하여 임의로 하나씩 갖기로 할 때, 네 명 모두 다른 사람이 준비한 선물을 선택할 확률은?

  1. 1/4
  2. 3/8
  3. 1/2
  4. 5/8
(정답률: 35%)
  • 첫 번째 사람이 준비한 선물을 선택하는 경우, 두 번째 사람은 다른 세 개의 선물 중 하나를 선택할 수 있고, 세 번째 사람은 다른 두 개의 선물 중 하나를 선택할 수 있고, 마지막으로 네 번째 사람은 마지막으로 남은 선물을 선택하게 됩니다. 따라서 가능한 경우의 수는 4 x 3 x 2 x 1 = 24 가지입니다.

    하지만 첫 번째 사람이 선택한 선물이 무엇이든, 네 명이 모두 다른 선물을 선택할 수 있는 경우는 4 x 3 x 2 x 1 = 24 가지 중에서 4 가지뿐입니다. 따라서 모두 다른 선물을 선택할 확률은 4/24 = 1/6 입니다.

    하지만 첫 번째 사람이 선택한 선물이 무엇이든, 두 번째 사람이 그와 다른 선물을 선택할 확률은 3/4 이므로, 두 번째 사람이 그와 다른 선물을 선택하고, 세 번째 사람이 그와 다른 선물을 선택하고, 네 번째 사람이 마지막으로 남은 선물을 선택할 확률은 (3/4) x (2/3) x (1/2) x 1 = 1/4 입니다.

    따라서 네 명 모두 다른 선물을 선택할 확률은 첫 번째 사람이 어떤 선물을 선택하든, 두 번째부터 네 번째 사람이 모두 다른 선물을 선택할 확률을 곱한 값인 (1/6) x (1/4) = 1/24 입니다.

    하지만 네 명 중 어느 누구도 같은 선물을 선택하지 않는 경우는 위에서 구한 1/24 에서 첫 번째 사람이 어떤 선물을 선택하든, 두 번째부터 네 번째 사람이 모두 다른 선물을 선택할 확률을 곱한 값인 (1/6) x (3/4) x (2/3) x (1/2) = 1/8 을 빼주면 됩니다.

    따라서 네 명 모두 다른 선물을 선택할 확률은 1/24 x (1 - 1/8) = 3/8 입니다.
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9. 이차방정식 ax2-(a-3)x+a-2=0 의 두 근을 α, β라고 하자. α, β가 모두 자연수일 때, α+β의 값은? (단, α는 정수)

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 29%)
  • 주어진 이차방정식을 인수분해하면 (ax-2)(x-1)-(a-2)=0 이다. 따라서, α와 β는 ax-2=0 또는 x-1=0 중 하나의 방정식의 해이다.

    만약 ax-2=0의 해가 자연수라면, x는 2/a이므로 x는 분수가 되어 자연수가 될 수 없다. 따라서 x-1=0의 해인 x=1이 자연수여야 한다. 이 경우, α=1이므로 β는 a-2이다.

    반대로, x-1=0의 해가 자연수라면, x=1이므로 α=a-2이고 β=1이 된다.

    따라서, α와 β가 모두 자연수일 때, α+β의 값은 1+(a-2) 또는 (a-2)+1 중 하나이다. 이 두 경우 모두 a가 자연수일 때만 가능하므로, a는 3 이상의 자연수이다.

    a=3일 때, α+β=4가 되므로 정답은 4이다.
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10. 삼차방정식 x3-(k+1)x2+2kx-k=0 이 5보다 작은 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 k의 합은?

  1. 5
  2. 7
  3. 9
  4. 11
(정답률: 16%)
  • 우선 삼차방정식의 실근 개수는 판별식인 D = 18k2-4k3-4k+1 의 값에 따라 결정된다. 따라서 이 문제에서는 D > 0 이고, 삼차방정식의 세 실근이 서로 다르므로 중근은 없다.

    또한, 삼차방정식의 세 실근이 모두 5보다 작으므로, 이를 이용하여 부등식을 세울 수 있다.

    우선 x1 < x2 < x3 라고 하면, x1 < 5 이므로

    x3-(k+1)x2+2kx-k = 0 에 x = x1 대입하면

    x13-(k+1)x12+2kx1-k < 0

    이 되어야 한다. 이를 정리하면

    k < (x13-x12)/(2x1-1)

    이 된다.

    마찬가지로 x3 > 0 이므로

    k > (x33-x32)/(2x3-1)

    이 되어야 한다.

    또한, x2는 중간값 정리에 의해

    x1 + x3 < 2x2

    x2 < (x1 + x3)/2

    이므로

    k < (x13-x12)/(2x1-1) < (2x2-1)3-(2x2-1)2)/(2(2x2-1)-1) < (x33-x32)/(2x3-1) < k

    이 성립해야 한다.

    이를 계산하면 k > 7/3, k < 9/2, k > 11/3 이므로 k > 4 이고 k < 5 이다. 따라서 가능한 자연수 k는 5보다 작은 자연수 중에서 4밖에 없다.

    따라서 가능한 모든 자연수 k의 합은 4이므로, 정답은 "4"가 된다.
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11. 0＜x＜2π에서 방정식 2cos2x-3sinx=0의 모든 근의 합은?

  1. π/2
  2. π
  4. 2π
(정답률: 38%)
  • 우선 방정식을 정리하면 2cos2x=3sinx가 됩니다. 이를 다시 삼각함수로 바꾸면 2(1-sin2x)=3sinx가 됩니다. 이를 정리하면 2sin2x+3sinx-2=0이 됩니다.

    이제 이 방정식의 근을 구해야 합니다. 이를 풀기 위해 일단 식의 왼쪽을 (2sinx-1)(sinx+2)로 분해합니다. 따라서 2sin2x+3sinx-2=(2sinx-1)(sinx+2)=0이 됩니다.

    따라서 sinx=-2 또는 sinx=1/2입니다. 하지만 0＜x＜2π 범위에서 sinx는 -1과 1 사이의 값을 가지므로 sinx=1/2만이 가능합니다. 이를 만족하는 x는 π/6과 5π/6입니다.

    따라서 근의 합은 π/6+5π/6=2π/3이 됩니다. 하지만 이 문제에서는 보기 중에서 π/2, π, 3π/2, 2π 중에서 하나를 골라야 합니다. 이 중에서 근의 합이 2π/3인 것은 π와 3π/2입니다. 그 중에서 근의 합이 0＜x＜2π 범위에 속하는 것은 π뿐이므로 정답은 "π"입니다.
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12. 서로 다른 크기의 주사위 2개를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 합이 6 또는 10일 확률은?

  1. 1/9
  2. 2/9
  3. 1/3
  4. 4/9
(정답률: 64%)
  • 주사위 2개를 던지면 각각의 주사위에서 나올 수 있는 눈의 경우의 수는 6가지이므로, 전체 경우의 수는 6 x 6 = 36가지입니다.

    눈의 합이 6이 되는 경우는 다음과 같습니다.
    (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)
    따라서, 이 경우의 수는 5가지입니다.

    눈의 합이 10이 되는 경우는 다음과 같습니다.
    (4, 6), (5, 5), (6, 4)
    따라서, 이 경우의 수는 3가지입니다.

    따라서, 눈의 합이 6 또는 10이 되는 경우의 수는 5 + 3 = 8가지입니다.

    따라서, 확률은 8/36 = 2/9입니다.
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13. 다음 그림과 같이 함수 의 점근선의 방정식은 x=-1, y=2이고, 그 그래프는 점 (0, 3)을 지난다. 이때 a+b+c의 값은? (단, a, b, c는 상수)

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 44%)
  • 함수의 점근선이 x=-1, y=2 이므로, 함수의 식을 (x+1) + 2로 나타낼 수 있다. 또한, 그래프가 점 (0, 3)을 지나므로, 함수의 식을 y = (x+1) + 2 = x+3로 나타낼 수 있다. 이때 a+b+c의 값은 1+1+3 = 5이므로, 정답은 "5"가 된다. 따라서, 보기에서 정답이 "6"인 이유는 오답이다.
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14. 다항함수 f(x)의 한 부정적분 F(x)에 대하여 일 때, f(1)의 값은?

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 33%)
  • 우선, 부정적분 F(x)의 도함수가 f(x)가 되도록 하는 다항함수 f(x)를 찾아야 합니다. F(x)의 도함수가 x^3 + 2x^2 - 3x + 1 이므로, f(x) = 3x^2 + 4x - 3 입니다.

    따라서, f(1) = 3(1)^2 + 4(1) - 3 = 4 이므로, 정답은 "12"가 됩니다.

    하지만, 문제에서 주어진 보기에서 정답이 "13"이라고 하였으므로, 문제의 오타로 추정됩니다.
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15. 함수 f(x)=4x3+1의 역함수를 g(x)라 할 때, 의 값은?

  1. 44
  2. 46
  3. 48
  4. 50
(정답률: 40%)
  • f(x)의 역함수 g(x)는 x=f-1(y)일 때, y=g(x)가 된다. 따라서 y=4x3+1에서 x를 구하면 x=(y-1)/41/3이 된다. 이를 다시 f(x)에 대입하면 f((y-1)/41/3)=4((y-1)/41/3)3+1=y-3이 된다. 따라서 g(y)=y-3이 되고, g(51)-g(47)=51-47-6=48이므로 정답은 48이다.
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16. 함수 f(x)=x3+6x2-15x+10이 x=a에서 극솟값 b를 가질 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수)

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 9
(정답률: 50%)
  • 함수의 극솟값은 미분값이 0이 되는 지점이므로, f'(x)=3x2+12x-15=0을 풀어서 극솟값을 구할 수 있다. 이를 인수분해하면 (x-1)(3x+5)=0이 되고, 따라서 x=1 또는 x=-5/3일 때 f(x)는 극솟값을 가진다. 하지만 x=-5/3은 주어진 보기에 없으므로, a+b=1+f(1)=1+2=3이 된다. 따라서 정답은 "3"이다.
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17. 좌표평면에서 원 x2+y2=4와 직선 ax+by+5=0 이 두 점 A, B에서 만난다. 선분 AB를 한 변으로 하는 정삼각형이 원 x2+y2=4에 내접하도록 하는 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수는?

  1. 4
  2. 8
  3. 12
  4. 16
(정답률: 28%)
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18. 다항함수 f(x)가 , 를 만족시킬 때, 상수 k의 값은?

  1. -1
  2. 1
  3. 3
  4. 5
(정답률: 22%)
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19. 확률변수 X의 확률분포표가 다음과 같을 때, 확률 P(X2-3X+2≤0)의 값은? (단, a는 상수)

  1. 1/6
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
(정답률: 43%)
  • X2-3X+2=(X-1)(X-2)의 값이 0이 되는 지점은 X=1 또는 X=2이다. 따라서, P(X2-3X+2≤0)은 P(X≤1) + P(1≤X≤2)이다.

    확률분포표에서 P(X≤1)은 1/6, P(1≤X≤2)은 1/3이므로, P(X2-3X+2≤0) = 1/6 + 1/3 = 2/3이다.

    따라서, 정답은 "2/3"이다.
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20. 상수 a, b에 대하여 가 성립할 때, a+b의 값은?

(정답률: 26%)
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