9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2020-07-11)

9급 국가직 공무원 수학 2020-07-11 필기 기출문제 해설

이 페이지는 9급 국가직 공무원 수학 2020-07-11 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

9급 국가직 공무원 수학
(2020-07-11 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 실수 a, b에 대하여 삼차방정식 x3+ax2+bx-4=0의 한 근이 1+i 일 때, a+b의 값은? (단, i=√-1)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 49%)
  • 실계수 방정식에서 한 근이 복소수 $1+i$이면, 그 켤레복소수인 $1-i$도 반드시 근이 됩니다. 따라서 세 근을 $1+i, 1-i, \alpha$라고 하면 근과 계수의 관계를 통해 $a, b$를 구할 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $\alpha(1+i)(1-i) = 4, \quad (1+i)+(1-i)+\alpha = -a, \quad (1+i)(1-i)+\alpha(1+i)+\alpha(1-i) = b$
    ② [숫자 대입] $2\alpha = 4 \implies \alpha = 2, \quad 2+2 = -a \implies a = -4, \quad 2+2(2) = b \implies b = 6$
    ③ [최종 결과] $a+b = -4+6 = 2$
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1

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2. 집합 A, B에 대하여 n(A)=39, n(B)=27, n(A∪B)=54 일 때, n((A-B)∪(B-A))는? (단, n(X)는 집합 X의 원소의 개수)

  1. 42
  2. 44
  3. 46
  4. 48
(정답률: 66%)
  • 두 집합의 합집합 원소 개수 공식을 통해 교집합의 원소 개수를 먼저 구한 뒤, 대칭차집합의 원소 개수를 계산합니다.
    ① [기본 공식] $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
    ② [숫자 대입] $54 = 39 + 27 - n(A \cap B) \implies n(A \cap B) = 12$
    ③ [최종 결과] $n((A-B) \cup (B-A)) = n(A \cup B) - n(A \cap B) = 54 - 12 = 42$
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1

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3. 등차수열 {an}에 대하여 a1+a2=7, a3+a4=31이 성립할 때, 공차는?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 65%)
  • 등차수열의 일반항 $a_n = a_1 + (n-1)d$를 이용하여 주어진 합의 식을 공차 $d$에 관한 식으로 나타냅니다.
    ① [기본 공식] $(a_1 + a_2) + 2d(2) = a_3 + a_4$ 또는 $$(a_3 + a_4) - (a_1 + a_2) = 4d$$
    ② [숫자 대입] $31 - 7 = 4d$
    ③ [최종 결과] $d = 6$
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4. 집합 X={1, 2, 3, 4}에 대하여 함수 f:X→X 가 다음 그림과 같을 때, (f∘f)(2)+f-1(1)의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 73%)
  • 합성함수와 역함수의 정의를 이용하여 값을 구합니다.
    1. $(f \circ f)(2) = f(f(2))$이며, 그림에서 $f(2) = 4$이고 $f(4) = 2$이므로 $f(f(2)) = 2$입니다.
    2. $f^{-1}(1)$은 $f(x) = 1$을 만족하는 $x$값이며, 그림에서 $f(3) = 1$이므로 $f^{-1}(1) = 3$입니다.
    3. 최종 계산: $2 + 3 = 5$
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5. 에서 가 θ=α일 때 최솟값을 가진다. 이때 sinα의 값은?

(정답률: 29%)
  • 주어진 식 $3 - 5\cos^{2}\theta + \frac{4}{1 + 5\sin^{2}\theta}$에서 $\sin^{2}\theta = t$로 치환하면 $\cos^{2}\theta = 1 - t$가 됩니다. 식을 $t$에 관한 함수로 정리하여 미분하거나 산술-기하 평균 관계를 이용하여 최솟값을 갖는 $\alpha$를 찾습니다. $\sin\alpha$의 값은 다음과 같습니다.
    $$\sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
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1

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6. 방정식 log3x=3logx3+2의 두 근을 α, β라 할 때, 의 값은? (단, α ＞ β)

  1. 30
  2. 31
  3. 32
  4. 33
(정답률: 48%)
  • $\log_{3}x = t$로 치환하여 $t$에 대한 이차방정식을 풀고, 근과 계수의 관계를 이용하여 주어진 식의 값을 구합니다.
    방정식은 $t = \frac{3}{t} + 2 \rightarrow t^{2} - 2t - 3 = 0$이 되어 $(t-3)(t+1) = 0$에서 $t = 3, -1$입니다.
    따라서 $\alpha = 3^{3} = 27$, $\beta = 3^{-1} = 1/3$입니다.
    ① [기본 공식] $\alpha + \frac{1}{\beta}$
    ② [숫자 대입] $27 + \frac{1}{1/3} = 27 + 3$
    ③ [최종 결과] $30$
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7. 연립부등식 을 만족시키는 모든 정수 x의 합은?

  1. 12
  2. 13
  3. 14
  4. 15
(정답률: 52%)
  • 두 부등식을 각각 풀어 공통 범위를 구한 뒤 정수의 합을 계산합니다.
    첫 번째 부등식: 밑을 $2$로 통일하여 풉니다.
    $$(\frac{1}{4})^{x} \le 8^{2-x}$$
    $$(2^{-2})^{x} \le (2^{3})^{2-x}$$
    $$-2x \le 6-3x$$
    $$x \le 6$$
    두 번째 부등식: 로그의 진수 조건과 밑 변환을 이용합니다.
    진수 조건: $7-x > 0$이고 $2x+1 > 0$이므로 $-\frac{1}{2} < x < 7$ 입니다.
    $$\log_{\sqrt{3}}(7-x) \le \log_{3}(2x+1)$$
    $$\log_{3}(7-x)^{2} \le \log_{3}(2x+1)$$
    $$(7-x)^{2} \le 2x+1$$
    $$x^{2}-14x+49 \le 2x+1$$
    $$x^{2}-16x+48 \le 0$$
    $$(x-4)(x-12) \le 0$$
    $$4 \le x \le 12$$
    진수 조건과 결합하면 $4 \le x < 7$ 입니다.
    최종 공통 범위: $x \le 6$과 $4 \le x < 7$의 교집합은 $4 \le x \le 6$ 입니다.
    만족하는 정수 $x$는 $4, 5, 6$이며, 이들의 합은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $S = \sum x$
    ② [숫자 대입] $S = 4 + 5 + 6$
    ③ [최종 결과] $S = 15$
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8. A, B, C, D 네 명이 선물을 하나씩 준비하여 임의로 하나씩 갖기로 할 때, 네 명 모두 다른 사람이 준비한 선물을 선택할 확률은?

  1. 1/4
  2. 3/8
  3. 1/2
  4. 5/8
(정답률: 32%)
  • 네 명이 모두 자신의 선물을 선택하지 않는 경우의 수(교란순열)를 전체 경우의 수로 나누어 확률을 구합니다.
    전체 경우의 수는 $4! = 24$가지이며, 네 명 모두 다른 선물을 갖는 경우의 수는 $9$가지입니다.
    ① [기본 공식] $\frac{D_{4}}{4!}$
    ② [숫자 대입] $\frac{9}{24}$
    ③ [최종 결과] $3/8$
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9. 이차방정식 ax2-(a-3)x+a-2=0 의 두 근을 α, β라고 하자. α, β가 모두 자연수일 때, α+β의 값은? (단, α는 정수)

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 32%)
  • 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근의 합과 곱을 $a$에 관한 식으로 나타내고, $\alpha, \beta$가 자연수임을 이용하여 $a$를 결정합니다.
    합: $\alpha + \beta = \frac{a-3}{a} = 1 - \frac{3}{a}$, 곱: $\alpha\beta = \frac{a-2}{a} = 1 - \frac{2}{a}$
    두 식을 빼면 $\alpha\beta - (\alpha + \beta) = \frac{-1}{a}$가 되며, $\alpha, \beta$가 자연수일 때 이를 만족하는 값은 $\alpha=1, \beta=3$ (또는 그 반대)이며 이때 $a=2$가 됩니다.
    ① [기본 공식] $\alpha + \beta = \frac{a-3}{a}$
    ② [숫자 대입] $1 + 3 = \frac{2-3}{2}$ (조건 불충족) $\rightarrow$ 다시 분석: $a$가 정수일 때 $\alpha\beta = 1 - \frac{2}{a}$에서 $a$는 $2$의 약수여야 함. $a=1$이면 $\alpha\beta = -1$ (자연수 불가), $a=2$이면 $\alpha\beta = 0$ (자연수 불가), $a=-1$이면 $\alpha\beta = 3, \alpha+\beta = 4$.
    ③ [최종 결과] $4$
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10. 삼차방정식 x3-(k+1)x2+2kx-k=0 이 5보다 작은 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 모든 자연수 k의 합은?

  1. 5
  2. 7
  3. 9
  4. 11
(정답률: 15%)
  • 주어진 삼차방정식 $x^{3}-(k+1)x^{2}+2kx-k=0$에 $x=1$을 대입하면 $1-(k+1)+2k-k = 0$이 되어 항상 성립합니다. 즉, $(x-1)$을 인수로 갖습니다.
    조립제법을 통해 인수분해하면 $(x-1)(x^{2}-kx+k)=0$이 됩니다.
    서로 다른 세 실근을 가지려면 이차방정식 $x^{2}-kx+k=0$이 $1$이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 합니다.
    1) 판별식 $D = k^{2}-4k > 0 \rightarrow k < 0$ 또는 $k > 4$
    2) $x=1$이 근이 아니어야 함: $1^{2}-k(1)+k \neq 0 \rightarrow 1 \neq 0$ (항상 성립)
    3) 세 근이 모두 5보다 작아야 함: $x=1 < 5$는 만족, $x^{2}-kx+k=0$의 두 근 $\alpha, \beta < 5$여야 합니다.
    축의 조건: $\frac{k}{2} < 5 \rightarrow k < 10$
    함숫값 조건: $f(5) = 25-5k+k > 0 \rightarrow 25 > 4k \rightarrow k < 6.25$
    자연수 $k$의 범위는 $4 < k < 6.25$이므로 $k = 5, 6$입니다.
    ※ 정답 11은 $k=5, 6$의 합인 11과 일치합니다.
    ① [기본 공식] $S = \sum k$
    ② [숫자 대입] $S = 5 + 6$
    ③ [최종 결과] $S = 11$
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11. 0＜x＜2π에서 방정식 2cos2x-3sinx=0의 모든 근의 합은?

  1. π/2
  2. π
  4. 2π
(정답률: 38%)
  • 삼각함수의 항등식 $\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x$를 이용하여 방정식을 $\sin x$에 대한 이차방정식으로 변환합니다.
    $$2(1 - \sin^{2}x) - 3\sin x = 0 \rightarrow 2\sin^{2}x + 3\sin x - 2 = 0$$
    인수분해하면 $(2\sin x - 1)(\sin x + 2) = 0$입니다.
    $-2 \le \sin x \le 2$이므로 $\sin x = \frac{1}{2}$만 가능합니다.
    $0 < x < 2\pi$ 범위에서 $\sin x = \frac{1}{2}$를 만족하는 $x$는 $\frac{\pi}{6}$와 $\frac{5\pi}{6}$입니다.
    ① [기본 공식] $S = x_{1} + x_{2}$
    ② [숫자 대입] $S = \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6}$
    ③ [최종 결과] $S = \pi$
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12. 서로 다른 크기의 주사위 2개를 동시에 던질 때, 나오는 눈의 합이 6 또는 10일 확률은?

  1. 1/9
  2. 2/9
  3. 1/3
  4. 4/9
(정답률: 64%)
  • 두 주사위를 던질 때 발생하는 모든 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$가지입니다.
    눈의 합이 6인 경우: $(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)$ $\rightarrow$ 5가지
    눈의 합이 10인 경우: $(4,6), (5,5), (6,4)$ $\rightarrow$ 3가지
    따라서 확률은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $P = \frac{\text{사건의 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}$
    ② [숫자 대입] $P = \frac{5 + 3}{36}$
    ③ [최종 결과] $P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$
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13. 다음 그림과 같이 함수 의 점근선의 방정식은 x=-1, y=2이고, 그 그래프는 점 (0, 3)을 지난다. 이때 a+b+c의 값은? (단, a, b, c는 상수)

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 42%)
  • 유리함수의 점근선과 지나는 점의 좌표를 이용하여 상수 $a, b, c$를 결정합니다.
    점근선 $x = -1$에서 $a = 1$, 점근선 $y = 2$에서 $\frac{b}{1} = 2$이므로 $b = 2$입니다.
    점 $(0, 3)$을 지나므로 $f(0) = \frac{c}{a} = 3$에서 $c = 3 \times 1 = 3$입니다.
    따라서 $a+b+c$의 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $S = a + b + c$
    ② [숫자 대입] $S = 1 + 2 + 3$
    ③ [최종 결과] $S = 6$
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14. 다항함수 f(x)의 한 부정적분 F(x)에 대하여 일 때, f(1)의 값은?

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 31%)
  • 부정적분의 정의에 따라 $F'(x) = f(x)$임을 이용하여 주어진 식의 양변을 미분합니다.
    주어진 식: $F(x) = 2f(x) + \frac{1}{3}x^{3}$
    양변을 미분하면: $f(x) = 2f'(x) + x^{2}$
    이 식을 만족하는 다항함수 $f(x)$를 $f(x) = ax^{2} + bx + c$라고 가정하고 계수를 비교하면 $f(x) = \frac{1}{2}x^{2} + x + 1$이 도출됩니다.
    따라서 $f(1)$의 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $f(1) = \frac{1}{2}(1)^{2} + (1) + 1$
    ② [숫자 대입] $f(1) = 0.5 + 1 + 1$
    ③ [최종 결과] $f(1) = 2.5$
    ※ 참고: 문제의 정답이 13으로 제시되어 있으나, 주어진 수식 $F(x) = 2f(x) + \frac{1}{3}x^{3}$을 기반으로 한 계산 결과와 차이가 있습니다. 제시된 정답 13을 도출하기 위해서는 문제의 조건이나 수식에 다른 설정이 필요합니다.
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15. 함수 f(x)=4x3+1의 역함수를 g(x)라 할 때, 의 값은?

  1. 44
  2. 46
  3. 48
  4. 50
(정답률: 39%)
  • 역함수의 정적분 성질 $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} y f'(y) dy$ 또는 $x = f(y)$ 치환적분을 이용합니다.
    $g(x)$는 $f(x) = 4x^3 + 1$의 역함수이므로 $g(1) = 0$, $g(33) = 2$ 입니다.
    치환적분 $x = 4y^3 + 1 \implies dx = 12y^2 dy$를 적용합니다.
    ① [기본 공식] $\int_{1}^{33} g(x) dx = [x g(x)]_{1}^{33} - \int_{g(1)}^{g(33)} f(y) dy$
    ② [숫자 대입] $(33 \times 2 - 1 \times 0) - \int_{0}^{2} (4y^3 + 1) dy = 66 - [y^4 + y]_{0}^{2} = 66 - (16 + 2)$
    ③ [최종 결과] $48$
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16. 함수 f(x)=x3+6x2-15x+10이 x=a에서 극솟값 b를 가질 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수)

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 9
(정답률: 48%)
  • 함수를 미분하여 도함수가 $0$이 되는 지점을 찾고, 그중 극솟값을 갖는 $x=a$와 그때의 함숫값 $b$를 구합니다.
    $f'(x) = 3x^2 + 12x - 15 = 3(x+5)(x-1)$이므로 $x=-5$에서 극대, $x=1$에서 극소를 갖습니다.
    따라서 $a = 1$이고, $b = f(1) = 1 + 6 - 15 + 10 = 2$ 입니다.
    ① [기본 공식] $a + b$
    ② [숫자 대입] $1 + 2$
    ③ [최종 결과] $3$
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17. 좌표평면에서 원 x2+y2=4와 직선 ax+by+5=0 이 두 점 A, B에서 만난다. 선분 AB를 한 변으로 하는 정삼각형이 원 x2+y2=4에 내접하도록 하는 정수 a, b의 순서쌍 (a, b)의 개수는?

  1. 4
  2. 8
  3. 12
  4. 16
(정답률: 27%)
  • 원 $x^{2}+y^{2}=4$에 내접하는 정삼각형의 한 변 $AB$는 원의 중심에서 거리 $d$만큼 떨어져 있습니다. 정삼각형이 내접할 때, 중심에서 변까지의 거리 $d$는 반지름 $r=2$의 $\frac{1}{2}$인 $1$이 되어야 합니다.
    직선 $ax+by+5=0$과 원점 $(0,0)$ 사이의 거리 공식 $d = \frac{|5|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} = 1$을 이용합니다.
    $$\sqrt{a^{2}+b^{2}} = 5 \implies a^{2}+b^{2} = 25$$
    이를 만족하는 정수 순서쌍 $(a, b)$는 $(\pm 5, 0), (0, \pm 5), (\pm 3, \pm 4), (\pm 4, \pm 3)$ 총 $12$개입니다.
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1

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18. 다항함수 f(x)가 , 를 만족시킬 때, 상수 k의 값은?

  1. -1
  2. 1
  3. 3
  4. 5
(정답률: 23%)
  • 첫 번째 극한 식 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-x^{4}}{3x^{2}-7x-8} = -1$에서 $f(x)$는 $x^{4}$항을 포함하며, 최고차항의 계수가 일치해야 합니다. 또한 $f(x)-x^{4}$의 최고차항은 $3x^{2}$이어야 하므로 $f(x) = x^{4} - 3x^{2} + cx + d$ 꼴입니다.
    두 번째 극한 식 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^{2}-4} = \lim_{x \to -2} \frac{f(x)}{x^{2}-4} = k$가 성립하려면 $f(2)=0, f(-2)=0$이어야 합니다.
    $f(2) = 16 - 12 + 2c + d = 0 \implies 2c + d = -4$
    $f(-2) = 16 - 12 - 2c + d = 0 \implies -2c + d = -4$
    두 식을 연립하면 $c=0, d=-4$가 됩니다. 따라서 $f(x) = x^{4} - 3x^{2} - 4$입니다.
    이제 $k$값을 구합니다.
    $$k = \lim_{x \to 2} \frac{x^{4}-3x^{2}-4}{(x-2)(x+2)} = \lim_{x \to 2} \frac{(x^{2}-4)(x^{2}+1)}{(x^{2}-4)} = \lim_{x \to 2} (x^{2}+1) = 5$$
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1

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19. 확률변수 X의 확률분포표가 다음과 같을 때, 확률 P(X2-3X+2≤0)의 값은? (단, a는 상수)

  1. 1/6
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
(정답률: 42%)
  • 먼저 확률의 총합이 $1$임을 이용하여 상수 $a$를 구하고, 주어진 이차부등식을 만족하는 $X$의 값을 찾아 확률을 합산합니다.
    확률의 총합: $\frac{1}{6} + a + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$에서 $a = \frac{1}{3}$ 입니다.
    부등식 $X^2 - 3X + 2 \le 0$을 풀면 $(X-1)(X-2) \le 0$이므로 $1 \le X \le 2$ 입니다.
    따라서 구하는 확률은 $P(X=1) + P(X=2)$ 입니다.
    ① [기본 공식] $P(1 \le X \le 2) = P(X=1) + P(X=2)$
    ② [숫자 대입] $P = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$
    ③ [최종 결과] $P = \frac{2}{3}$
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1

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20. 상수 a, b에 대하여 가 성립할 때, a+b의 값은?

(정답률: 24%)
  • 극한값이 존재하기 위해서는 분모가 $0$으로 갈 때 분자도 $0$으로 가야 합니다. $\lim_{x \to 3} (x-3) = 0$이므로 분자 $\sqrt{x^{2}+x-3} + ax$ 역시 $x=3$에서 $0$이 되어야 합니다.
    ① [기본 공식]
    $$\sqrt{3^{2}+3-3} + 3a = 0$$
    ② [숫자 대입]
    $$\sqrt{9} + 3a = 0 \implies 3 + 3a = 0 \implies a = -1$$
    함수를 유리화하여 극한값 $b$를 구합니다.
    $$\lim_{x \to 3} \frac{(\sqrt{x^{2}+x-3} - x)( \sqrt{x^{2}+x-3} + x)}{(x-3)(\sqrt{x^{2}+x-3} - x)} = \lim_{x \to 3} \frac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x^{2}+x-3} + 3)} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}$$
    따라서 $b = \frac{1}{6}$이며, $a+b = -1 + \frac{1}{6} = -\frac{5}{6}$입니다.
    ③ [최종 결과]
    $$a+b = -\frac{5}{6}$$
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