9급 국가직 공무원 통계학개론 필기 기출문제복원 (2021-04-17)

9급 국가직 공무원 통계학개론 2021-04-17 필기 기출문제 해설

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9급 국가직 공무원 통계학개론
(2021-04-17 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 다음 상자그림에 대한 설명으로 옳은 것은?

  1. 자료의 표준편차는 150이다.
  2. 자료의 중앙값은 130이다.
  3. 자료의 최빈값이 중앙값보다 크다.
  4. 자료의 사분위수범위는 100이다.
(정답률: 63%)
  • 상자그림에서 상자 내부의 중앙 세로선이 자료의 중앙값을 나타냅니다. 제시된 이미지 를 보면 중앙선이 130에 위치하므로 자료의 중앙값은 130입니다.

    오답 노트
    자료의 표준편차: 상자그림만으로는 표준편차를 알 수 없음
    최빈값: 상자그림으로는 최빈값을 확인할 수 없음
    사분위수범위: $160 - 120 = 40$이므로 100이 아님
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2. n개의 자료 (xi, yi) (i = 1, 2, …, n)의 표본상관계수는 0.2이다. vi = xi + 1, wi = 2yi - 1 이라고 할 때, 변환된 n개의 자료 (vi, wi) (i = 1, 2, …, n)의 표본상관계수는?

  1. 0.2
  2. 0.3
  3. 0.4
  4. 0.5
(정답률: 40%)
  • 표본상관계수는 변수들에 상수를 더하거나 양의 상수를 곱하는 선형 변환을 가해도 그 값이 변하지 않는 성질을 가지고 있습니다. $v_i = x_i + 1$은 상수를 더한 것이고, $w_i = 2y_i - 1$은 양의 상수를 곱하고 상수를 더한 것이므로, 변환 후의 표본상관계수는 원래의 값인 $0.2$와 동일합니다.
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3. 어느 회사에서 차량 내비게이션을 연령대가 30대부터 50대까지인 고객에게 한 달 동안 사용하게 한 후 구매 의사를 알아보기 위해 240명을 임의추출하여 다음과 같은 분할표를 작성하였다.

연령대와 구매 의사는 서로 독립이라는 귀무가설을 검정하기 위한 카이제곱통계량의 p-값(유의확률)이 0.128 일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

  1. ㄴ
  2. ㄱ, ㄴ
  3. ㄱ, ㄷ
  4. ㄱ, ㄴ, ㄷ
(정답률: 39%)
  • 독립성 검정의 기대도수 계산과 자유도, p-값의 해석 문제입니다.
    ㄱ. 기대도수 계산: $\text{기대도수} = \frac{\text{행 합계} \times \text{열 합계}}{\text{전체 합계}}$
    ① $\text{기대도수} = \frac{140 \times 60}{240}$
    ② $\text{기대도수} = \frac{8400}{240}$
    ③ $\text{기대도수} = 35$
    ㄴ. 자유도 계산: $\text{자유도} = (r-1)(c-1)$
    ① $\text{자유도} = (2-1)(3-1)$
    ② $\text{자유도} = 1 \times 2$
    ③ $\text{자유도} = 2$
    ㄷ. p-값 해석: $p\text{-값}(0.128) > \text{유의수준}(0.05)$이므로 귀무가설을 기각할 수 없습니다.
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4. 단순선형회귀모형 yi = α+βxi+εi (i = 1, 2, …, n)에서 최소제곱법에 의하여 추정된 회귀계수를 와 , yi의 예측값을 , 잔차를 , 총제곱합(SST)을 , 회귀제곱합(SSR)을 , 잔차제곱합(SSE)을 이라고 할 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, εi는 N(0, σ2)을 따르고 서로 독립이다)

  1. SSE는 σ2의 불편추정량(unbiased estimator)이다.
  2. 결정계수(R2)는 SSR/SST 이다.
  3. 이다.
  4. 이다.
(정답률: 31%)
  • 단순선형회귀모형에서 오차분산 $\sigma^{2}$의 불편추정량은 SSE가 아니라, 자유도를 고려하여 나눈 $\frac{SSE}{n-2}$ 입니다. 따라서 SSE 자체가 불편추정량이라는 설명은 옳지 않습니다.
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5. 어느 대학교의 4개 단과대학인 인문대, 사회대, 자연대, 공대에서 각각 50명씩 임의추출하여 남학생과 여학생의 수를 조사한 분할표가 다음과 같다.

4개 단과대학의 남학생 비율이 모두 같다는 귀무가설을 검정하기 위한 카이제곱통계량의 값과 유의수준 5%에서 검정 결과를 옳게 짝지은 것은? (단, χ2α(k)는 자유도가 k인 카이제곱분포의 제100×(1-α) 백분위수를 나타낼 때 χ20.05(3)=7.81, χ20.05(4)=9.49 이다)

  1. ①
  2. ②
  3. ③
  4. ④
(정답률: 38%)
  • 각 대학의 남학생 비율이 동일하다는 귀무가설 하에, 기대빈도는 모든 대학에서 $\frac{100}{4} = 25$명으로 동일합니다. 카이제곱 통계량은 관측빈도와 기대빈도의 차이의 제곱합을 기대빈도로 나눈 값입니다.
    ① [기본 공식] $\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$
    ② [숫자 대입] $\chi^2 = \frac{(20-25)^2}{25} + \frac{(25-25)^2}{25} + \frac{(25-25)^2}{25} + \frac{(30-25)^2}{25} + \frac{(30-25)^2}{25} + \frac{(25-25)^2}{25} + \frac{(25-25)^2}{25} + \frac{(20-25)^2}{25}$
    ③ [최종 결과] $\chi^2 = \frac{25+0+0+25+25+0+0+25}{25} = \frac{100}{25} = 4$
    계산된 통계량 $4$는 임계치 $\chi^2_{0.05}(3) = 7.81$보다 작으므로 귀무가설을 기각하지 못합니다. 따라서 정답은 의 ② 입니다.
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6. 확률변수 X에 대하여 E[X(X-1)]=3, E[X(X+1)]=5 일 때, X의 분산은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 61%)
  • 분산의 정의인 $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$를 이용합니다. 주어진 기댓값 식을 전개하여 $E[X^2]$와 $E[X]$를 먼저 구합니다.
    $$E[X^2] - E[X] = 3$$
    $$E[X^2] + E[X] = 5$$
    위 두 식을 더하면 $2E[X^2] = 8$이므로 $E[X^2] = 4$이고, 이를 대입하면 $E[X] = 1$ 입니다.
    ① [기본 공식] $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
    ② [숫자 대입] $Var(X) = 4 - 1^2$
    ③ [최종 결과] $Var(X) = 3$
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7. 갑, 을 두 사람이 가위바위보 게임을 10회 시행하여 갑이 이기는 횟수를 확률변수 X라 할 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, 갑, 을은 각자 임의로 가위, 바위, 보 중에서 하나를 내고, 비기는 경우도 1회 시행으로 간주한다)

  1. X의 확률분포는 대칭이다.
  2. 확률변수 Y = 10-X는 10회의 시행에서 갑이 지는 횟수이다.
  3. Var(X) = 5/2 이다.
  4. E(3X+5) = 15 이다.
(정답률: 49%)
  • 갑이 이길 확률 $p = \frac{1}{3}$인 이항분포 $B(10, \frac{1}{3})$를 따르는 문제입니다. 기댓값 $E(X) = np = 10 \times \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$입니다.
    기댓값의 성질에 의해 $E(3X+5) = 3E(X) + 5 = 3 \times \frac{10}{3} + 5 = 15$가 성립합니다.

    오답 노트
    확률분포: $p \neq 0.5$이므로 비대칭입니다.
    변수 $Y$: $10-X$는 (지는 횟수 + 비기는 횟수)의 합입니다.
    분산: $Var(X) = npq = 10 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{20}{9}$입니다.
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8. 단순선형회귀모형 yi = α+βxi+εi (i = 1, 2, …, )에 최소제곱법을 적용하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, εi는 N(0, σ2)을 따르고 서로 독립이다)

  1. ㉠과 ㉡의 값은 각각 1과 2이다.
  2. F-값은 회귀평균제곱(MSR)을 잔차평균제곱(MSE)으로 나눈 값이다.
  3. 전체 자료의 수 n은 19이다.
  4. 유의수준 5%에서 회귀모형이 유의하다.
(정답률: 57%)
  • 분산분석표의 자유도와 평균제곱의 관계를 분석합니다. 회귀 자유도 $\text{㉠}$은 $10 / 10 = 1$이며, 잔차 평균제곱 $\text{㉡}$은 $36 / 18 = 2$입니다.
    전체 자유도는 $\text{회귀 자유도} + \text{잔차 자유도} = 1 + 18 = 19$입니다. 단순선형회귀에서 전체 자유도는 $n-1$이므로, $n-1 = 19$에서 전체 자료의 수 $n$은 20이 되어야 합니다.

    오답 노트
    $F$-값은 회귀평균제곱(MSR)을 잔차평균제곱(MSE)으로 나눈 값($10 / 2 = 5$)이 맞으며, $p$-값이 0.017로 유의수준 0.05보다 작으므로 회귀모형은 유의합니다.
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9. 정규분포 N(μ, σ2)을 따르는 모집단에서 n개의 표본을 임의추출하여 구한 μ의 95% 신뢰구간이 (-0.1, 0.7)일 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 가설 H0 : μ = 0 대 H1 : μ ≠ 0 을 검정할 때 유의수준 5%에서 귀무가설을 기각하지 못한다.
  2. 표본평균은 0.3이다.
  3. μ가 구간 (-0.1, 0.7)에 속하지 않을 확률은 0.05 이다.
  4. μ의 90% 신뢰구간의 길이는 0.8보다 작다.
(정답률: 24%)
  • 신뢰구간의 정의와 가설검정의 관계를 묻는 문제입니다. 95% 신뢰구간이 $(-0.1, 0.7)$이라는 것은 표본평균 $\bar{x} = \frac{-0.1 + 0.7}{2} = 0.3$이며, 모평균 $\mu$가 이 구간에 포함될 확률이 0.95라는 의미입니다.
    따라서 $\mu$가 구간 $(-0.1, 0.7)$에 속하지 않을 확률은 $1 - 0.95 = 0.05$가 아니라, 신뢰구간의 정의상 '구간을 생성하는 방법'의 신뢰도가 95%인 것이지 특정 구간에 $\mu$가 속할 확률로 해석하는 것은 통계적으로 옳지 않습니다.

    오답 노트
    귀무가설 $\mu = 0$일 때, 0이 95% 신뢰구간 $(-0.1, 0.7)$ 내에 포함되므로 유의수준 5%에서 귀무가설을 기각할 수 없습니다.
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10. 어느 회사 신입사원의 입사 시험성적은 평균이 μ인 정규분포를 따른다고 한다. 신입사원 중에서 n명을 임의추출하여 구한 시험성적의 표본평균은 60보다 크고, 가설 H0 : μ = 60대 H1 : μ ≠ 60에 대한 p-값은 0.1이었다. 동일한 표본에 대해 가설 H0 : μ = 60 대 H1 : μ ＞ 60에 대한 p-값은 a이고, 가설 H0 : μ = 60 대 H1 : μ ＜ 60에 대한 p-값은 b일 때, b-a의 값은?

  1. 0.05
  2. 0.1
  3. 0.9
  4. 0.95
(정답률: 38%)
  • 양측 검정의 p-값은 단측 검정 p-값의 2배입니다. 표본평균이 60보다 크므로, 우측 검정($$H_1 : \mu > 60$$)의 p-값인 $a$는 양측 검정 p-값의 절반이 되고, 좌측 검정($$H_1 : \mu < 60$$)의 p-값인 $b$는 전체 확률 1에서 $a$를 뺀 값이 됩니다.
    $$a = 0.1 \div 2 = 0.05$$
    $$b = 1 - 0.05 = 0.95$$
    따라서 $b - a = 0.95 - 0.05 = 0.9$ 입니다.
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11. 50개의 관측값을 가장 작은 값부터 가장 큰 값까지 크기순으로 나열하여 x(1), x(2), …, x(50)으로 나타낼 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 제20 백분위수는 x(20)이다.
  2. 제3 사분위수는 x(38)이다.
  3. 중앙값은 이다.
  4. 사분위수범위는 이다.
(정답률: 52%)
  • 백분위수와 사분위수의 위치를 찾는 문제입니다. 위치 $i = p(n+1)$ 또는 $pn$을 사용합니다.
    제20 백분위수의 위치는 $50 \times 0.2 = 10$이므로 $x_{(10)}$이 되어야 합니다.

    오답 노트
    제3 사분위수: $50 \times 0.75 = 37.5$로 $x_{(38)}$ 근처 값임
    중앙값: $50 \times 0.5 = 25$이므로 $\frac{x_{(25)} + x_{(26)}}{2}$ 임
    사분위수범위: $Q_3 - Q_1$이므로 $x_{(38)} - x_{(13)}$ 형태가 됨
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12. 10개의 자료 (x1, y1), (x2, y2), …, (x10, y10)에 대하여 단순선형회귀모형 yi = α+βxi+εi (i = 1, 2, …, 10)를 적합하고자 한다. , , , 일 때, 최소제곱법을 이용하여 추정한 회귀계수 와 의 값은? (단, 는 각각 x, y의 표본평균이고, εi는 N(0, σ2)을 따르고 서로 독립이다)

(정답률: 36%)
  • 최소제곱법을 이용한 단순선형회귀계수 추정 문제입니다.
    기울기 $\hat{\beta}$는 $x$의 편차제곱합 분의 $x, y$ 공분산으로 구하고, 절편 $\hat{\alpha}$는 평균점을 지나는 직선의 방정식에서 구합니다.
    기울기 $\hat{\beta}$ 계산:
    ① [기본 공식] $\hat{\beta} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}$
    ② [숫자 대입] $\hat{\beta} = \frac{60}{20}$
    ③ [최종 결과] $\hat{\beta} = 3$
    절편 $\hat{\alpha}$ 계산:
    ① [기본 공식] $\hat{\alpha} = \bar{y} - \hat{\beta}\bar{x}$
    ② [숫자 대입] $\hat{\alpha} = 80 - 3 \times 20$
    ③ [최종 결과] $\hat{\alpha} = 20$
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13. 인자의 수준수가 k이고 각 수준에서의 반복수가 n인 일원배치법에서 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 인자의 수준수 k는 4이다.
  2. 반복수 n은 8이다.
  3. ㉠의 값은 20이다.
  4. 인자 수준에 따라 모평균이 같은지를 유의수준 5%에서 검정할 때 모평균은 모두 같다고 할 수 있다.
(정답률: 39%)
  • 분산분석표의 관계식을 통해 값을 도출하고 p-값을 해석하는 문제입니다.
    처리 제곱합이 60이고 평균제곱이 20이므로, 처리 자유도는 $60 / 20 = 3$입니다. 처리 자유도는 $k-1$이므로 수준수 $k$는 4입니다. 전체 자유도는 $N-1$이고 오차 자유도는 $N-k$입니다. $N-4 = 28$에서 전체 관측수 $N=32$이며, 반복수 $n = 32 / 4 = 8$입니다.
    ㉠의 F-값은 $\frac{\text{처리 평균제곱}}{\text{오차 평균제곱}}$입니다.
    ① [기본 공식] $F = \frac{MS_{treatment}}{MS_{error}}$
    ② [숫자 대입] $F = \frac{20}{28 / 28} = \frac{20}{1}$
    ③ [최종 결과] $F = 20$
    p-값이 0.001보다 작으므로 유의수준 5%에서 귀무가설을 기각하여 모평균이 서로 다르다고 결론지어야 합니다.
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14. 전체 고등학생이 치른 수학 시험점수는 평균이 60점, 표준편차가 12점인 정규분포를 따른다고 한다. 전체 고등학생 중에서 임의로 뽑은 한 명의 수학 시험점수를 X라 하고, 임의로 뽑은 36명의 수학 시험점수의 표본평균을 Y라 할 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. E(X) = E(Y)
  2. Var(X) = 2 × Var(Y)
  3. P(X＞60) = P(Y＞60)
  4. P(X＜72) = P(Y＜62)
(정답률: 38%)
  • 표본평균의 분포 성질을 이용하는 문제입니다. 표본평균의 기댓값은 모평균과 같고, 분산은 모분산을 표본 크기로 나눈 값입니다.
    표본평균의 분산은 $Var(Y) = \frac{Var(X)}{n}$이므로, $Var(X) = 36 \times Var(Y)$가 되어야 합니다.

    오답 노트
    E(X) = E(Y): 기댓값은 모평균 60으로 동일함
    P(X > 60) = P(Y > 60): 둘 다 평균 60인 정규분포의 상위 50%이므로 동일함
    P(X < 72) = P(Y < 62): X는 $1\sigma$ 지점, Y는 $\frac{62-60}{12/\sqrt{36}} = \frac{2}{2} = 1\sigma$ 지점이므로 확률이 동일함
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15. 정규분포 N(μ, 22)을 따르는 모집단에서 임의추출한 9개 표본의 표본평균이 12 일 때, 가설 H0 : μ = 10 대 H1 : μ ≠ 10 에 대한 p-값과 같은 것은? (단, Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다)

  1. 2×P(Z≥3)
  2. P(Z≥3)
  3. P(Z≤3)
  4. 2×P(Z≤3)-1
(정답률: 34%)
  • 양측 검정에서 p-값은 검정통계량의 절대값보다 큰 영역의 확률을 2배 하여 구합니다.
    ① [기본 공식] $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$
    ② [숫자 대입] $Z = \frac{12 - 10}{\frac{2}{\sqrt{9}}} = \frac{2}{0.666...} = 3$
    ③ [최종 결과] $p\text{-value} = 2 \times P(Z \ge 3)$
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16. 어느 공장에서 생산되는 제품의 불량률 p에 대한 가설 H0 : p = 0.04 대 H1 : p ＞ 0.04 를 검정하려고 한다. 이 공장에서 임의추출한 384개 제품 중 불량품의 개수를 X라고 하자. 기각역으로 을 사용할 때, 제1종 오류를 범할 확률과 같은 것은? (단, Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다)

  1. P(Z＞1.5)
  2. P(Z＞2)
  3. P(Z＞2.5)
  4. P(Z＞3)
(정답률: 31%)
  • 제1종 오류를 범할 확률은 귀무가설 $H_0$가 참일 때 기각역 $R$에 속할 확률입니다. 표본비율 $\hat{p} = \frac{X}{384}$가 정규분포를 따른다고 가정하고 표준화 공식을 사용합니다.
    ① [기본 공식] $Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}}}$
    ② [숫자 대입] $Z = \frac{0.06 - 0.04}{\sqrt{\frac{0.04 \times 0.96}{384}}} = \frac{0.02}{\sqrt{0.0001}} = \frac{0.02}{0.01}$
    ③ [최종 결과] $Z = 2$
    따라서 제1종 오류의 확률은 $\text{P}(Z > 2)$가 됩니다.
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17. 1부터 13까지의 자연수 중 하나와 4개의 무늬 ♣, ♠, ♥, ♦ 중 하나를 조합하여 각각 적은 같은 크기의 52장의 카드가 있다. 이 52장의 카드에서 임의로 한 장의 카드를 뽑을 때, 이 카드에 ♣ 무늬가 적힌 사건을 A, 숫자 1이 적힌 사건을 B라고 하자. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

  1. ㄱ, ㄹ
  2. ㄴ, ㄷ
  3. ㄱ, ㄴ, ㄷ
  4. ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ
(정답률: 52%)
  • 전체 카드 52장 중 각 무늬는 13장, 각 숫자는 4장씩 존재합니다.
    ㄱ. $\text{P}(A) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$이므로 옳습니다.
    ㄴ. $\text{P}(B) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$이므로 옳습니다.
    ㄷ. $\text{P}(A \cap B) = \frac{1}{52}$이고, $\text{P}(A)\text{P}(B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{13} = \frac{1}{52}$로 두 값이 같으므로 서로 독립입니다.

    오답 노트
    ㄹ. $\text{P}(A^C \cup B) = \text{P}(A^C) + \text{P}(B) - \text{P}(A^C \cap B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{13} - \frac{3}{52} = \frac{39+4-3}{52} = \frac{40}{52} = \frac{10}{13}$이므로 $\frac{9}{13}$와 달라 틀렸습니다.
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18. 성공의 확률이 p인 베르누이 시행을 독립적으로 100회 반복할 때 성공 횟수를 확률변수 X라 하자. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은? (단, 0＜p＜1)

  1. 이면 이다.
  2. X의 분산은 일 때 최댓값을 가진다.
  3. 이면 이다.
  4. 이면 이다.
(정답률: 41%)
  • 성공 확률이 $p$인 이항분포 $B(100, p)$의 성질을 묻는 문제입니다.
    $\text{P}(X \le 49) < \text{P}(X \ge 51)$ 문장이 옳지 않은 이유는, $p < \frac{1}{2}$일 때 분포의 중심(기댓값)이 $50$보다 왼쪽에 위치하여 왼쪽 꼬리 확률인 $\text{P}(X \le 49)$가 오른쪽 꼬리 확률인 $\text{P}(X \ge 51)$보다 더 크게 나타나기 때문입니다.

    오답 노트
    분산은 $np(1-p)$이며, $p = \frac{1}{2}$일 때 최댓값을 가집니다.
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19. 분산 σ2이 알려진 정규분포 N(μ, σ2)을 따르는 모집단에서 임의추출한 n개 표본을 이용하여 유의수준 α에서 가설 H0 : μ = μ0 대 H1 : μ ≠ μ0을 검정하려고 한다. 검정통계량이 일 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, 0＜α＜1은 상수이고, 는 표본평균이다)

  1. ㄴ
  2. ㄷ
  3. ㄴ, ㄷ
  4. ㄱ, ㄴ, ㄷ
(정답률: 23%)
  • 정규분포에서 분산이 알려진 경우, 모평균에 대한 양측 검정통계량은 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$을 사용합니다.
    ㄴ. 신뢰구간과 가설검정은 일관성을 가지므로, $\mu_0$가 신뢰구간에 속하지 않으면 귀무가설 $H_0$를 기각하게 되며, 이는 $p$-값이 유의수준 $\alpha$보다 작음을 의미합니다.
    ㄷ. 표준정규분포의 제곱은 자유도가 1인 카이제곱분포를 따르므로, $|Z| \ge z_{\alpha/2}$ 조건은 $Z^2 \ge \chi^2_{\alpha}(1)$ 조건과 동일하여 귀무가설을 기각합니다.

    오답 노트
    ㄱ. 양측 검정이므로 기각역은 $|Z| \ge z_{\alpha/2}$가 되어야 하며, $z_{\alpha}$는 단측 검정 기준이므로 틀렸습니다.
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20. 한 요인의 3개 수준 A, B, C에서 10회씩 반복 측정한 자료에 대해 요인의 수준에 따라 반응변수 Y의 평균에 차이가 있는지 알아보기 위하여 다음 선형회귀모형을 적합하고자 한다.

위 모형에서 i번째 자료의 요인의 수준이 A이면 (x1i, x2i) = (0, 0), 요인의 수준이 B이면 (x1i, x2i) = (1, 0), 요인의 수준이 C이면 (x1i, x2i) = (0, 1)이다. 모수 β1 ,β2 의 가설검정 결과에 대한 해석으로 옳은 것은? (단, εi는 N(0, σ2)을 따르고 서로 독립이다)

  1. 가설 H0 : β1 = 0 대 H1 : β1 ≠ 0에서 H0을 기각하지 못한다면 수준 A와 수준 B의 반응변수의 평균은 유의한 차이가 있다.
  2. 가설 H0 : β1 = 0 대 H1 : β1 ≠ 0에서 H0을 기각한다면 수준 B와 수준 C의 반응변수의 평균은 유의한 차이가 있다.
  3. 가설 H0 : β2 = 0 대 H1 : β2 ≠ 0에서 H0을 기각하지 못한다면 수준 B와 수준 C의 반응변수의 평균은 유의한 차이가 없다.
  4. 가설 H0 : β2 = 0 대 H1 : β2 ≠ 0에서 H0을 기각한다면 수준 A와 수준 C의 반응변수의 평균은 유의한 차이가 있다.
(정답률: 34%)
  • 제시된 모형 $y_{i} = \alpha + \beta_{1}X_{1i} + \beta_{2}X_{2i} + \epsilon_{i}$에서 각 수준의 평균은 다음과 같습니다.
    수준 A: $(0,0)$ 대입 $\rightarrow E(Y|A) = \alpha$
    수준 B: $(1,0)$ 대입 $\rightarrow E(Y|B) = \alpha + \beta_{1}$
    수준 C: $(0,1)$ 대입 $\rightarrow E(Y|C) = \alpha + \beta_{2}$
    따라서 $\beta_{2}$에 대한 가설 $H_{0} : \beta_{2} = 0$을 기각한다는 것은 $\beta_{2} \neq 0$ 임을 의미하며, 이는 수준 A($\alpha$)와 수준 C($\alpha + \beta_{2}$)의 평균 사이에 유의한 차이가 있음을 뜻합니다.
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