9급 국가직 공무원 통계학개론 필기 기출문제복원 (2022-04-02)

9급 국가직 공무원 통계학개론 2022-04-02 필기 기출문제 해설

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9급 국가직 공무원 통계학개론
(2022-04-02 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 두 지역 A, B의 소득에 대한 상자 그림(box plot)은 다음과 같다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

  1. ㄱ, ㄴ
  2. ㄱ, ㄷ
  3. ㄴ, ㄷ
  4. ㄱ, ㄴ, ㄷ
(정답률: 72%)
  • 상자 그림(Box Plot)의 구성 요소를 분석하여 지역 A와 B를 비교합니다.
    최솟값은 아래쪽 수염의 끝점으로, A 지역이 B 지역보다 높은 위치에 있으므로 최솟값은 A 지역이 B 지역보다 큽니다.
    중앙값은 상자 내부의 가로선으로, A 지역의 선이 B 지역보다 위에 있으므로 중앙값은 A 지역이 B 지역보다 큽니다.

    오답 노트
    범위는 최대값과 최소값의 차이이며, 그림상 A 지역의 수염 전체 길이가 B 지역보다 길기 때문에 범위는 A 지역이 더 큽니다.
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2. 다음 제시된 두 변수 X와 Y에 대한 산점도 중 X와 Y의 표본상관계수(피어슨의 표본상관계수)가 가장 큰 것은?

(정답률: 42%)
  • 피어슨의 표본상관계수는 산점도에서 데이터가 직선에 얼마나 밀접하게 분포하는지를 나타내는 척도입니다.
    데이터가 직선 형태에 가깝게 좁게 모여 있을수록 상관계수의 절대값이 $1$에 가까워지며, 양의 기울기를 가질 때 가장 큰 양의 상관관계를 갖습니다.
    그래프가 다른 보기들에 비해 데이터의 선형적 집중도가 가장 높으므로 상관계수가 가장 큽니다.
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3. 통계적 가설검정에서 제1종 오류확률에 대한 설명으로 옳은 것은?

  1. 귀무가설이 참일 때 귀무가설을 기각할 확률
  2. 귀무가설이 참일 때 귀무가설을 기각하지 않을 확률
  3. 귀무가설이 거짓일 때 귀무가설을 기각할 확률
  4. 귀무가설이 거짓일 때 귀무가설을 기각하지 않을 확률
(정답률: 70%)
  • 제1종 오류는 실제로 귀무가설이 참임에도 불구하고 이를 잘못 기각하여 발생하는 오류를 의미합니다.
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4. 단순선형회귀모형 Yi = β0 + β1x1 + εi, (i = 1, 2, …, 22) 에서 최소제곱법으로 회귀식을 추정한 후 잔차제곱합을 구하였더니 2,100이었다. 이때 오차항 분산(σ2)의 불편추정값은? (단, εi는 N(0, σ2)를 따르고 서로 독립이다)

  1. 100
  2. 105
  3. 110
  4. 120
(정답률: 38%)
  • 단순선형회귀모형에서 오차항 분산의 불편추정량은 잔차제곱합을 자유도(전체 표본 수 - 추정된 파라미터 수)로 나누어 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\hat{\sigma}^{2} = \frac{SSE}{n - 2}$
    ② [숫자 대입] $\hat{\sigma}^{2} = \frac{2100}{22 - 2}$
    ③ [최종 결과] $\hat{\sigma}^{2} = 105$
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5. 코로나바이러스 감염 상황과 진단키트의 진단 확률이 다음과 같을 때, 한 사람의 진단키트 결과가 음성이라면 이 사람이 실제 음성일 확률은?

  1. 13/15
  2. 9/10
  3. 14/15
  4. 29/30
(정답률: 53%)
  • 베이즈 정리를 이용하여 사후 확률을 구하는 문제입니다.
    사건 정의: $A$(실제 양성), $A^c$(실제 음성), $B$(진단 결과 음성)
    주어진 확률: $P(A) = 0.2$, $P(A^c) = 0.8$, $P(B|A^c) = 0.7$, $P(B^c|A) = 0.8 \rightarrow P(B|A) = 0.2$
    구하고자 하는 값: $P(A^c|B)$
    ① [기본 공식] $P(A^c|B) = \frac{P(B|A^c)P(A^c)}{P(B|A^c)P(A^c) + P(B|A)P(A)}$
    ② [숫자 대입] $P(A^c|B) = \frac{0.7 \times 0.8}{(0.7 \times 0.8) + (0.2 \times 0.2)} = \frac{0.56}{0.56 + 0.04} = \frac{0.56}{0.60}$
    ③ [최종 결과] $P(A^c|B) = \frac{56}{60} = \frac{14}{15}$
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6. 두 연속형 확률변수 X와 Y가 독립일 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. X와 Y의 공분산은 0이다.
  2. X와 Y의 합에 대한 분산은 X와 Y의 분산의 합이다.
  3. X와 Y의 곱에 대한 기댓값은 X와 Y의 기댓값의 곱이다.
  4. X가 주어졌을 때 Y의 조건부확률밀도함수는 X의 주변확률밀도함수와 같다.
(정답률: 34%)
  • 두 확률변수 $X, Y$가 독립일 때의 성질을 묻는 문제입니다. 독립인 경우, $X$의 값이 무엇이든 $Y$의 확률분포에 영향을 주지 않습니다. 따라서 $X$가 주어졌을 때 $Y$의 조건부확률밀도함수는 $X$의 주변확률밀도함수가 아니라, $Y$ 자신의 주변확률밀도함수와 같아야 합니다.
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7. 다음은 단순선형회귀모형을 적합하여 얻은 분산분석표이다.

이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. (가)의 값은 540이다.
  2. (나)의 값은 20이다.
  3. (다)의 값은 27이다.
  4. 모형의 결정계수는 200/740 이다.
(정답률: 60%)
  • 분산분석표의 구성 원리를 이용하여 빈칸을 채우는 문제입니다.
    회귀분석에서 자유도는 회귀 자유도 $1$, 잔차 자유도 $n-2$, 전체 자유도 $n-1$ 입니다. 전체 자유도가 $11$이므로 회귀 자유도는 $1$, 잔차 자유도는 $10$입니다.
    (가) 회귀 평균제곱: $\frac{540}{1} = 540$
    (나) 잔차 평균제곱: $\frac{200}{10} = 20$
    (다) $F$-값: $\frac{540}{20} = 27$
    결정계수 $R^2$는 (회귀제곱합 / 전체제곱합)으로 계산합니다.
    ① [기본 공식] $R^2 = \frac{SSR}{SST}$
    ② [숫자 대입] $R^2 = \frac{540}{740}$
    ③ [최종 결과] $R^2 = \frac{540}{740}$
    따라서 결정계수가 $200/740$이라는 설명은 틀렸습니다.
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8. 다음은 시장조사에서 세탁기 색에 대한 선호도를 알아보기 위해 최근 판매된 세탁기의 색을 조사한 결과이다.

선호하는 색이 4:4:1:1의 비율로 분포한다는 가설을 검정하려 할 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면?

  1. ㄱ, ㄴ
  2. ㄱ, ㄷ
  3. ㄴ, ㄷ
  4. ㄱ, ㄴ, ㄷ
(정답률: 38%)
  • 카이제곱 적합도 검정을 통해 가설을 검정하는 문제입니다.
    ㄱ. 기대도수 $E_i = n \times p_i$이므로, 흰색 $80 \times 0.4 = 32$, 검은색 $80 \times 0.4 = 32$, 상아색 $80 \times 0.1 = 8$, 회색 $80 \times 0.1 = 8$ 입니다. 검정통계량 $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$ 공식을 적용하면 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
    ② [숫자 대입] $\chi^2 = \frac{(40-32)^2}{32} + \frac{(24-32)^2}{32} + \frac{(10-8)^2}{8} + \frac{(6-8)^2}{8} = \frac{64}{32} + \frac{64}{32} + \frac{4}{8} + \frac{4}{8} = 2 + 2 + 0.5 + 0.5$
    ③ [최종 결과] $\chi^2 = 5$
    ㄴ. 자유도는 (범주 수 - 1)이므로 $4 - 1 = 3$ 입니다.
    ㄷ. 검은색의 기대도수는 $80 \times 0.4 = 32$ 입니다.

    오답 노트
    검정통계량의 자유도는 40이 아니라 3입니다.
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9. 분포에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 확률변수 F가 자유도(df1, df2)인 F분포를 따를 때, 1/F은 자유도(df2, df1)인 F분포를 따른다.
  2. 평균이 μ이고 분산이 σ2인 정규모집단에서 임의로 추출한 n개의 확률변수에 대한 표본평균 는 를 따른다.
  3. 확률변수 X1, X2, …, Xn이 서로 독립이며 표준정규분포를 따르면 X12 + X22 + … + Xn2은 자유도가 n인 카이제곱분포를 따른다.
  4. 평균이 μ이고 분산이 σ2인 모집단에서 임의로 추출한 5개의 확률변수에 대한 표본평균이 일 때, 는 근사적으로 표준정규분포를 따른다.
(정답률: 32%)
  • 중심극한정리에 따르면 모집단의 분포와 상관없이 표본의 크기 $n$이 충분히 클 때(통상 $n \ge 30$), 표본평균의 분포는 근사적으로 정규분포를 따릅니다. 하지만 제시된 상황에서는 표본의 크기가 $n=5$로 매우 작기 때문에, 모집단이 정규분포라는 전제가 없다면 $\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}$가 근사적으로 표준정규분포를 따른다고 할 수 없습니다.
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10. 세 가지 필터의 성능을 비교하기 위해 일원배치 분산분석법(one-way analysis of variance)을 실시하여 얻은 분산분석표의 일부가 다음과 같을 때 (가)의 값은?

  1. 2.5
  2. 5.0
  3. 7.5
  4. 15.0
(정답률: 48%)
  • 분산분석표에서 $F$-값은 처리 평균제곱($MS_{Tr}$)을 오차 평균제곱($MS_{E}$)으로 나눈 값입니다. 세 가지 필터(집단 수 $k=3$)를 비교하므로 처리 자유도는 $k-1=2$가 됩니다.
    ① [기본 공식] $F = \frac{SS_{Tr} / df_{Tr}}{SS_{E} / df_{E}}$
    ② [숫자 대입] $F = \frac{50 / 2}{20 / 6}$
    ③ [최종 결과] $F = 7.5$
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11. 다음은 어느 확률변수의 확률밀도함수이다. 이에 대한 설명으로 옳은 것만을 모두 고르면? (단, 함수는 0을 기준으로 좌우 대칭이다)

  1. ㄱ
  2. ㄱ, ㄴ
  3. ㄴ, ㄷ
  4. ㄱ, ㄴ, ㄷ
(정답률: 69%)
  • 제시된 확률밀도함수 그래프가 0을 기준으로 좌우 대칭인 형태를 분석합니다.
    ㄱ. 좌우 대칭인 분포에서 평균은 대칭축인 0입니다.
    ㄴ. 좌우 대칭인 분포에서 중앙값 또한 대칭축인 0입니다.
    ㄷ. 최빈값은 그래프의 정점(Peak)으로 0이 아닌 양수와 음수 두 곳에 존재합니다. 따라서 최빈값의 절댓값은 0인 중앙값보다 큽니다.
    모든 설명이 옳으므로 정답은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 입니다.
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12. 어느 지역에서 20대 남자의 몸무게는 평균이 μ이고 표준편차가 8인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역에서 임의추출한 20대 남자 64명의 평균 몸무게가 66일 때, 모평균 μ에 대한 95% 신뢰구간은? (단, 단위는 kg이며, 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z에 대하여 P(Z≥1.96) = 0.025, P(Z≥1.645) = 0.05 이다)

  1. (64.040, 67.960)
  2. (64.355, 67.645)
  3. (65.755, 66.245)
  4. (65.794, 66.206)
(정답률: 59%)
  • 모표준편차 $\sigma$를 알고 있을 때, 모평균 $\mu$에 대한 신뢰구간 공식을 사용합니다.
    ① [기본 공식] $\bar{X} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{X} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
    ② [숫자 대입] $66 - 1.96 \times \frac{8}{\sqrt{64}} < \mu < 66 + 1.96 \times \frac{8}{\sqrt{64}}$
    ③ [최종 결과] $(64.040, 67.960)$
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13. 다중선형회귀모형 Yi = β0 + β1xi1 + β2xi2 + εi, (i = 1, 2, …,n) 에서 최소제곱법으로 구한 분산분석표의 F－값에 대한 p－값(유의확률)이 0.05보다 작다. 유의수준 5%에서 내릴 수 있는 결론으로 옳은 것은? (단, εi는 N(0, σ2)를 따르고 서로 독립이다)

  1. β1≠0 이고 β2≠0
  2. β1≠0 또는 β2≠0
  3. β0≠0 이고 β1≠0 이고 β2≠0
  4. β0≠0 또는 β1≠0 또는 β2≠0
(정답률: 50%)
  • 다중선형회귀모형의 분산분석표에서 F-검정은 '모든 회귀계수가 0이다'라는 귀무가설 $H_0: \beta_1 = \beta_2 = 0$에 대해 검정합니다.
    p-값이 유의수준 0.05보다 작으므로 귀무가설을 기각하며, 이는 적어도 하나의 회귀계수가 0이 아님을 의미합니다.
    따라서 결론은 $\beta_1 \neq 0$ 또는 $\beta_2 \neq 0$ 입니다.
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14. 확률변수 X에 대하여 Var(3X+9) = 36, E(X(X+1)) = 10 을 만족할 때, E(X)의 값은? (단, E(X) ＞ 0 이다)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 50%)
  • 분산의 성질 $Var(aX+b) = a^2 Var(X)$와 기댓값의 선형성을 이용하여 $E(X)$를 구합니다.
    먼저 $Var(3X+9) = 3^2 Var(X) = 9 Var(X) = 36$이므로 $Var(X) = 4$ 입니다.
    또한 $E(X(X+1)) = E(X^2) + E(X) = 10$ 입니다.
    분산 공식 $Var(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$에 대입하면 $4 = (10 - E(X)) - \{E(X)\}^2$가 됩니다.
    ① [기본 공식] ${E(X)}^2 + E(X) - 6 = 0$
    ② [숫자 대입] $(E(X) + 3)(E(X) - 2) = 0$
    ③ [최종 결과] $E(X) = 2$ (단, $E(X) > 0$)
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15. 독립인 두 모집단 1과 2에 대한 확률분포는 각각 다음과 같다.

모집단 i에서 임의로 추출한 100개의 확률변수의 평균을 라 할 때, 의 근사분포는?

(정답률: 46%)
  • 중심극한정리에 의해 표본평균의 합 $\overline{X}_1 + \overline{X}_2$는 정규분포를 따릅니다. 각 모집단의 평균 $\mu$와 분산 $\sigma^2$을 구하여 합의 평균과 분산을 계산합니다.
    모집단 1: $\mu_1 = 0 \times \frac{2}{3} + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times 0 = \frac{1}{3}$, $\sigma_1^2 = (0^2 \times \frac{2}{3} + 1^2 \times \frac{1}{3} + 2^2 \times 0) - (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{2}{9}$
    모집단 2: $\mu_2 = 0 \times 0 + 1 \times \frac{1}{3} + 2 \times \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$, $\sigma_2^2 = (0^2 \times 0 + 1^2 \times \frac{1}{3} + 2^2 \times \frac{2}{3}) - (\frac{5}{3})^2 = \frac{3}{1} \times \frac{1}{3} + \frac{8}{3} - \frac{25}{9} = 3 - \frac{25}{9} = \frac{2}{9}$
    표본평균의 합의 평균은 $\mu_1 + \mu_2$이고, 분산은 $\frac{\sigma_1^2}{n} + \frac{\sigma_2^2}{n}$입니다.
    ① [기본 공식] $E(\overline{X}_1 + \overline{X}_2) = \mu_1 + \mu_2, \quad Var(\overline{X}_1 + \overline{X}_2) = \frac{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}{n}$
    ② [숫자 대입] $E = \frac{1}{3} + \frac{5}{3} = 2, \quad Var = \frac{\frac{2}{9} + \frac{2}{9}}{100} = \frac{4}{900}$
    ③ [최종 결과]
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16. 모평균과 모분산이 알려지지 않고 서로 독립인 두 개의 정규모집단에서 각각 25개씩 표본을 임의추출한 후, 두 모집단의 모분산을 비교할 때 사용하는 분포는?

  1. 표준정규분포
  2. 자유도가 24인 t분포
  3. 자유도가 24인 카이제곱분포
  4. 자유도가 (24, 24)인 F분포
(정답률: 46%)
  • 두 정규모집단의 모분산을 비교할 때는 두 표본분산의 비율을 이용하며, 이때 사용하는 분포가 F분포입니다. 각 모집단의 자유도는 $n-1$이므로, 각각 25개씩 추출했을 때 자유도는 $(25-1, 25-1) = (24, 24)$가 됩니다.
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17. 성별과 와인 생산지의 선호도가 관련이 있는지를 알아보기 위해 100명을 임의추출한 후 성별과 와인 생산지 선호도를 조사하여 작성한 분할표가 다음과 같다.

성별과 와인 생산지 선호도가 관련이 있는지를 검정하는 카이제곱검정통계량의 값은?

(정답률: 45%)
  • 두 범주형 변수 간의 독립성을 검정하는 카이제곱 통계량은 관측빈도와 기대빈도의 차이를 이용하여 계산합니다. 기대빈도는 $\frac{\text{행의 합} \times \text{열의 합}}{\text{전체 합}}$으로 계산됩니다.
    ① [기본 공식] $\chi^{2} = \sum \sum \frac{(X_{ij} - E_{ij})^{2}}{E_{ij}}$
    ② [숫자 대입] $\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} \frac{(X_{ij} - \frac{R_{i.} \times C_{.j}}{100})^{2}}{\frac{R_{i.} \times C_{.j}}{100}}$
    ③ [최종 결과] $\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{3} ( X_{ij} - ( \frac{R_{i.} \times C_{.j}}{100} ) )^{2} \div ( \frac{R_{i.} \times C_{.j}}{100} )$
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18. 다음은 서로 독립인 두 지역 A와 B에서 실시하는 복지 프로그램 수혜자의 평균연령을 비교하기 위하여 두 지역의 복지 프로그램 수혜자 중에서 A지역에서 100명, B지역에서 200명을 임의추출하여 연령을 조사한 결과이다.

A지역에서 복지 혜택을 받는 사람의 평균 연령을 μA라고 하고, B지역에서 복지 혜택을 받는 사람의 평균 연령을 μB라고 할 때, 가설 H0 : μA = μB 대 H1 : μA ≠ μB를 검정하기 위한 p－값(유의확률)은? (단, Z는 표준정규분포를 따르는 확률변수이다)

(정답률: 35%)
  • 두 독립 표본의 평균 차이에 대한 검정에서 $p$-값은 검정통계량 $Z$의 절대값보다 큰 영역의 확률로 계산합니다.
    표본 크기가 충분히 크므로 표준정규분포를 이용한 $Z$ 검정을 수행합니다.
    ① [기본 공식] $Z = \frac{\bar{X}_A - \bar{X}_B}{\sqrt{\frac{s_A^2}{n_A} + \frac{s_B^2}{n_B}}}$
    ② [숫자 대입] $Z = \frac{38 - 41}{\sqrt{\frac{8^2}{100} + \frac{10^2}{200}}}$
    ③ [최종 결과] $p\text{-value} = P(|Z| \ge |\frac{38-41}{\sqrt{\frac{64}{100} + \frac{100}{200}}}|)$
    따라서 정답은 입니다.
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19. 다음은 두 인자 A와 B에 대하여 이원배치법을 적용한 실험 결과의 분산분석표 일부이다. 실험에서 인자의 수준조합에 대한 반복실험수는 동일하다. 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. (가)는 3이고 (나)는 4이다.
  2. 분석에 사용한 자료의 수는 모두 15개이다.
  3. 인자 A와 인자 B의 수준의 수는 각각 2와 4이다.
  4. 인자 A에 대한 주효과는 유의수준 5%에서 유의하다.
(정답률: 41%)
  • 이원배치법의 자유도와 자료 수를 분석하면 다음과 같습니다.
    인자 A의 자유도가 $1$이므로 수준 수는 $1+1=2$이고, 인자 B의 자유도가 $3$이므로 수준 수는 $3+1=4$입니다. 교호작용의 자유도 (가)는 $1 \times 3 = 3$이며, 오차의 자유도가 $8$이므로 반복수 $n$은 $\frac{8}{2 \times 4} = 1$이 아니라, 전체 자유도 $N-1 = 1+3+3+8 = 15$에서 $N=16$이 됩니다.
    따라서 분석에 사용한 전체 자료의 수는 $16$개여야 하므로 분석에 사용한 자료의 수는 모두 15개이다라는 설명은 틀렸습니다.

    오답 노트
    (가)는 3이고 (나)는 4이다: (가)는 $1 \times 3 = 3$, (나)는 $\frac{1200/3}{800/8} = 4$로 옳음
    인자 A와 인자 B의 수준의 수는 각각 2와 4이다: 자유도에 1을 더한 값으로 옳음
    인자 A에 대한 주효과는 유의수준 5%에서 유의하다: $p$-값이 $0.011$로 $0.05$보다 작으므로 옳음
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20. 정규분포로부터 임의추출한 자료의 정규확률그림(정규분포 분위수대분위수 그림, normal probability plot)은?

(정답률: 43%)
  • 정규확률그림(Normal Probability Plot)은 수집된 데이터가 정규분포를 따르는지 확인하기 위해 사용하며, 데이터의 분위수와 표준정규분포의 분위수를 좌표평면에 나타낸 것입니다.
    데이터가 정규분포를 따른다면 점들이 직선 형태(선형)로 배열되어야 하므로, 직선에 가장 가깝게 분포하는 가 정답입니다.
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