9급 국가직 공무원 통계학개론 필기 기출문제복원 (2023-04-08)

9급 국가직 공무원 통계학개론 2023-04-08 필기 기출문제 해설

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9급 국가직 공무원 통계학개론
(2023-04-08 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 두 자료 A, B의 줄기－잎 그림에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 변동계수는 서로 같다.
  2. 범위는 서로 같다.
  3. 사분위수범위는 서로 같다.
  4. 표준편차는 서로 같다.
(정답률: 55%)
  • 산포도의 측정치 중 표준편차와 사분위수범위는 원자료의 편차를 그대로 사용하거나 데이터 간의 차이를 이용하므로 원자료와 동일한 측정 단위를 갖습니다.

    오답 노트
    분산: 편차의 제곱을 합산하므로 단위가 제곱이 됨
    변동계수: 표준편차를 평균으로 나눈 상대적 비율이므로 단위가 없는 무차원 수임
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2. 두 확률변수 X와 Y의 결합확률분포가 다음과 같을 때, 이에 대한 설명으로 옳은 것은?

(정답률: 알수없음)
  • 결합확률분포표를 분석하여 $X+Y=2$가 되는 확률을 찾는 문제입니다. $X+Y=2$가 되는 경우는 $(X=0, Y=2)$와 $(X=2, Y=0)$ 두 가지입니다.
    ① [기본 공식] $P(X+Y=2) = P(X=0, Y=2) + P(X=2, Y=0)$
    ② [숫자 대입] $P(X+Y=2) = \frac{3}{8} + \frac{1}{8}$
    ③ [최종 결과] $P(X+Y=2) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
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3. 정규분포를 따르는 확률변수 X에 대하여 P(X≤2)=0.2 이고 P(X≤12)=0.8일 때, P(2≤X≤7)의 값은?

  1. 0.35
  2. 0.3
  3. 0.25
  4. 0.2
(정답률: 알수없음)
  • 정규분포의 대칭성을 이용하여 확률을 계산하는 문제입니다. $P(X \le 2) = 0.2$이고 $P(X \le 12) = 0.8$이므로, 평균 $\mu$는 $2$와 $12$의 중앙인 $7$이 됩니다. 따라서 $P(X \le 7) = 0.5$입니다.
    ① [기본 공식] $P(2 \le X \le 7) = P(X \le 7) - P(X \le 2)$
    ② [숫자 대입] $P(2 \le X \le 7) = 0.5 - 0.2$
    ③ [최종 결과] $P(2 \le X \le 7) = 0.3$
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4. 두 확률변수 X와 Y가 각각 성공의 확률이 0.3과 0.7인 베르누이 분포를 따르고 서로 독립일 때, P(X≠Y)의 값은?

  1. 0.09
  2. 0.21
  3. 0.49
  4. 0.58
(정답률: 67%)
  • 두 독립적인 베르누이 확률변수가 서로 다른 값을 가질 확률 $P(X \neq Y)$를 구하는 문제입니다. 이는 $(X=0, Y=1)$인 경우와 $(X=1, Y=0)$인 경우의 확률 합과 같습니다.
    ① [기본 공식] $P(X \neq Y) = P(X=0)P(Y=1) + P(X=1)P(Y=0)$
    ② [숫자 대입] $P(X \neq Y) = (1 - 0.3) \times 0.7 + 0.3 \times (1 - 0.7)$
    ③ [최종 결과] $P(X \neq Y) = 0.7 \times 0.7 + 0.3 \times 0.3 = 0.49 + 0.09 = 0.58$
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5. 어느 회사에서 경력에 따라 연봉에 차이가 있는지 알아보기 위해 년 미만, 년 이상 년 미만, 년 이상의 경력을 가진 직원을 각각 명씩 임의추출하여 연봉(단위:만 원)을 조사한 결과 다음과 같은 분할표를 얻었다.

“경력에 따른 연봉에 차이는 없다.”라는 가정하에서 구한 기대도수에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 기대도수와 관측도수 차의 절댓값의 최솟값은 이다.
  2. 기대도수와 관측도수 차의 절댓값의 최댓값은 이다.
  3. 기대도수의 최솟값은 이다.
  4. 기대도수의 최댓값은 이다.
(정답률: 50%)
  • 기대도수는 $\frac{(\text{행 합계} \times \text{열 합계})}{\text{전체 합계}}$로 계산합니다. 각 그룹의 인원이 100명씩으로 동일하므로 전체 합계는 300명입니다.
    열 합계: 3,000 미만(60명), 3,000~4,000 미만(90명), 4,000~5,000 미만(90명), 5,000 이상(60명)
    기대도수 계산: $\frac{100 \times 60}{300} = 20$, $\frac{100 \times 90}{300} = 30$
    따라서 기대도수는 20 또는 30이며, 최솟값은 20, 최댓값은 30입니다.

    오답 노트
    기대도수의 최솟값은 이다: 계산 결과 최솟값은 20이므로 틀린 설명입니다.
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6. 정규분포를 따르는 두 모집단 N(μX,σ2X)과 N(μY, σ2Y)에서 각각 독립표본 X1,X2,…,X5와 Y1,Y2,…,Y6을 임의추출하여 구한 표본분산을 순서대로 24와 9라고 하자. 확률변수 W는 분자와 분모의 자유도가 각각 4와 5인 F분포를 따를 때, 가설 대 에 대한 검정에서 유의확률과 같은 것은?

(정답률: 알수없음)
  • 두 모집단의 분산 비율에 대한 검정에서 유의확률은 검정통계량 $W$가 가설의 방향(우측 검정)에 따라 해당 값보다 크거나 같을 확률을 의미합니다. 표본분산 $s_{X}^{2} = 24$, $s_{Y}^{2} = 9$일 때, 검정통계량 $W$는 두 표본분산의 비율로 계산합니다.
    ① [기본 공식] $W = \frac{s_{X}^{2}}{s_{Y}^{2}}$
    ② [숫자 대입] $W = \frac{24}{9}$
    ③ [최종 결과] $W = \frac{8}{3}$
    따라서 유의확률은 $P(W \geq \frac{8}{3})$이며, 이는 와 같습니다.
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7. 고혈압 환자 20명 중에서 임의추출한 10명으로 이루어진 집단 A에는 신약을 처방하고 나머지 10명으로 이루어진 집단 B에는 기존 약을 처방한 뒤 4주 후에 혈압을 측정하였다. 다음은 두 집단의 혈압이 각각 동일한 분산을 갖는 정규분포를 따른다고 가정하고 분석한 결과이다.

공통분산의 추정량을 Sp2이라고 할 때, k와 Sp2의 값을 바르게 연결한 것은? (단, tα(k)는 자유도가 k인 t분포의 제 100×(1-α)백분위수이다)

  1. ①
  2. ②
  3. ③
  4. ④
(정답률: 37%)
  • 두 집단의 분산이 동일할 때 공통분산의 자유도 $k$는 두 집단의 표본 크기의 합에서 2를 뺀 값이며, 신뢰구간의 길이를 통해 공통분산 $S_{p}^{2}$를 구할 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $k = n_{1} + n_{2} - 2, \quad \text{신뢰구간 길이} = 2 \times t_{\alpha}(k) \times S_{p} \sqrt{\frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}}$
    ② [숫자 대입] $k = 10 + 10 - 2 = 18, \quad -3.8 - (-12.2) = 8.4 = 2 \times 2.1 \times S_{p} \sqrt{\frac{1}{10} + \frac{1}{10}}$
    ③ [최종 결과] $8.4 = 4.2 \times S_{p} \times \sqrt{0.2} \implies S_{p}^{2} = \frac{2^{2}}{0.2} = 20$. 따라서 $k=18, S_{p}^{2}=20$이므로 정답은 ④
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8. 자료 (xi, yi) (i= 1,2,…,6)에 단순선형회귀모형 yi= β0+β1xi+εi를 최소제곱법으로 적합하여 다음 값을 얻었다.

x와 y의 표본상관계수가 음수일 때, β1의 추정값은? (단, 는 yi의 적합값이다)

  1. 2
  2. -2
  3. √5
  4. -√5
(정답률: 46%)
  • 회귀분석에서 회귀계수 $\beta_{1}$의 추정값은 표본상관계수 $r$과 표준편차의 비로 구할 수 있습니다. 주어진 값들을 통해 결정계수 $R^{2}$를 먼저 구하면 $\beta_{1}$의 크기를 결정할 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $R^{2} = 1 - \frac{\sum(y_{i}-\hat{y}_{i})^{2}}{\sum(y_{i}-\bar{y})^{2}}, \quad \beta_{1} = r \frac{s_{y}}{s_{x}}$
    ② [숫자 대입] $R^{2} = 1 - \frac{150}{270} = \frac{120}{270} = \frac{4}{9}, \quad \beta_{1}^{2} = R^{2} \frac{\sum(y_{i}-\bar{y})^{2}}{\sum(x_{i}-\bar{x})^{2}} = \frac{4}{9} \times \frac{270}{30} = 4$
    ③ [최종 결과] $x$와 $y$의 상관계수가 음수이므로 $\beta_{1} = -2$
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9. 다음 표는 세 학생 집단 A, B, C의 시험성적을 비교하기 위해 각 집단에서 명씩 임의추출하여 작성한 분산분석표의 일부이다.

집단 A와 B의 시험성적의 모평균이 동일하다고 가정하고 하나의 집단으로 묶어서 집단 C와 비교하기 위한 분산분석표를 다시 작성한다고 할 때, (가)~(라) 중에서 변하지 않는 것만을 모두 고르면?

  1. (가), (나)
  2. (가), (다)
  3. (나), (라)
  4. (다), (라)
(정답률: 알수없음)
  • 분산분석표 에서 집단 A와 B를 하나로 묶으면 처리 집단의 수(요인 수준)가 줄어듭니다.

    오답 노트
    (가) 처리 제곱합: 집단 간 차이를 측정하므로 묶음 처리 시 변합니다.
    (나) 오차 자유도: 전체 자유도에서 처리 자유도를 뺀 값이므로 변합니다.
    반면, (다) 전체 제곱합과 (라) 전체 자유도는 데이터 전체의 변동성과 표본 수에 의해 결정되므로, 집단을 어떻게 묶느냐와 상관없이 일정하게 유지됩니다.
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10. 어느 영업사원에게 걸려오는 전화통화 수는 한 시간에 평균 6인 포아송분포를 따른다. 두 확률변수 U와 V는 각각 평균이 2와 6인 포아송분포를 따른다고 할 때, 오전 9시 이후 이 영업사원에게 처음 걸려오는 전화가 같은 날 오전 9시 20분 이후일 확률과 같은 것은?

  1. P(U=0)
  2. P(U=1)
  3. P(V=0)
  4. P(V=1)
(정답률: 알수없음)
  • 포아송 분포에서 단위 시간당 평균 발생 횟수가 $\lambda$일 때, 첫 사건이 발생할 때까지의 대기 시간은 지수분포를 따릅니다. 또한, '첫 전화가 20분 이후에 온다'는 것은 '20분 동안 전화가 0번 왔다'는 확률과 동일합니다.
    1시간(60분)에 평균 6번이므로, 20분 동안의 평균 발생 횟수 $\lambda$는 $6 \times \frac{20}{60} = 2$입니다. 따라서 평균이 2인 포아송분포 $U$에서 발생 횟수가 0일 확률인 $P(U=0)$과 같습니다.
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11. 자료의 퍼진 정도를 나타내는 측도 중에서 원자료와 같은 측정 단위를 갖는 것만을 모두 고르면?

  1. ㄱ, ㄴ
  2. ㄱ, ㄷ
  3. ㄴ, ㄹ
  4. ㄷ, ㄹ
(정답률: 70%)
  • 산포도의 측정치 중 표준편차와 사분위수범위는 원자료의 편차를 그대로 사용하거나 데이터 간의 차이를 이용하므로 원자료와 동일한 측정 단위를 갖습니다.

    오답 노트
    분산: 편차의 제곱을 합산하므로 단위가 제곱이 됨
    변동계수: 표준편차를 평균으로 나눈 상대적 비율이므로 단위가 없는 무차원 수임
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12. 동전 한 개를 연속해서 10번 던질 때, 처음 6번의 시행에서는 뒷면이 2번 나오고 나머지 4번의 시행에서는 앞면이 2번 나올 확률은?

(정답률: 알수없음)
  • 독립적인 두 사건의 확률을 곱하는 확률의 곱셈정리를 이용합니다.
    처음 6번 중 뒷면이 2번 나올 확률과 나머지 4번 중 앞면이 2번 나올 확률을 각각 구하여 곱합니다.
    ① [기본 공식] $P = {}_{n_1}C_{r_1} \cdot p_1^{r_1} \cdot q_1^{n_1-r_1} \times {}_{n_2}C_{r_2} \cdot p_2^{r_2} \cdot q_2^{n_2-r_2}$
    ② [숫자 대입] $P = {}_{6}C_{2} \cdot (\frac{1}{2})^{6} \times {}_{4}C_{2} \cdot (\frac{1}{2})^{4}$
    ③ [최종 결과] $P = 15 \cdot \frac{1}{64} \times 6 \cdot \frac{1}{16} = \frac{90}{1024} = \frac{45}{2^{9}}$
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13. 다음 표는 단순선형회귀모형 yi=β0+β1xi+εi(i=1,2,…,26)에 대한 분산분석표의 일부이다. 이 모형의 결정계수의 값은? (단, εi는 N(0, σ2)을 따르고 서로 독립이다)

  1. 4/29
  2. 5/29
  3. 6/29
  4. 7/29
(정답률: 70%)
  • 결정계수 $R^2$는 전체 변동 중 회귀로 인해 설명되는 변동의 비율을 의미합니다.
    분산분석표에서 회귀 제곱합($SSR$)과 잔차 제곱합($SSE$)의 관계를 이용합니다.
    회귀 평균제곱은 $F \times$ 잔차 평균제곱입니다. 회귀 자유도는 $1$, 잔차 자유도는 $25-1=24$입니다.
    회귀 제곱합 $SSR = 5 \times (120 / 24) \times 1 = 25$입니다.
    ① [기본 공식] $R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{SSR}{SSR + SSE}$
    ② [숫자 대입] $R^2 = \frac{25}{25 + 120}$
    ③ [최종 결과] $R^2 = \frac{25}{145} = \frac{5}{29}$
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14. 두 확률변수 X와 Y가 이변량 정규분포를 따르고 상관계수가 ρ일 때, 가설 H0:ρ=0 대 H1:ρ＞0 을 검정하고자 한다. 표본의 크기가 n이고 표본상관계수가 r일 때, 위 가설을 검정하기 위한 검정통계량 는 H0하에서 자유도가 (n-2)인 t분포를 따른다고 한다. n=11이고 r=0.6일 때, 유의수준 5%에서 검정 방법에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, tα(k)는 자유도가 k인 t분포의 제 100×(1-α) 백분위수를 나타낼 때, t0.025(9)=2.26, t0.05(9)=1.83이다)

  1. T의 값이 t0.025(9)보다 커서 귀무가설을 기각한다.
  2. T의 값이 t0.025(9)보다 작아서 귀무가설을 기각하지 못한다.
  3. T의 값이 t0.05(9)보다 커서 귀무가설을 기각한다.
  4. T의 값이 t0.05(9)보다 작아서 귀무가설을 기각하지 못한다.
(정답률: 84%)
  • 표본상관계수의 유의성을 검정하기 위해 주어진 검정통계량 $T$를 계산하고 임계치와 비교합니다.
    가설이 $\rho > 0$인 우측검정이므로 유의수준 $\alpha = 0.05$에 해당하는 임계치 $t_{0.05}(9)$를 사용합니다.
    ① [기본 공식] $T = \sqrt{n-2} \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}$
    ② [숫자 대입] $T = \sqrt{11-2} \frac{0.6}{\sqrt{1-0.6^2}} = \sqrt{9} \frac{0.6}{\sqrt{0.64}} = 3 \times \frac{0.6}{0.8}$
    ③ [최종 결과] $T = 2.25$
    $T = 2.25$는 $t_{0.05}(9) = 1.83$보다 크므로 귀무가설을 기각합니다.
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15. 수준 수가 4인 인자 A와 수준 수가 3인 인자 B의 각 수준조합에서 3회씩 반복 실험을 하였다. 다음 표는 인자 A와 B의 교호작용(interaction)이 유의하지 않아서 교호작용을 오차항에 포함한 후 작성한 분산분석표의 일부이다.

유의수준 5%에서 검정할 때, 인자 A와 B의 유의성에 대한 설명으로 옳은 것은? (단, Fα(k1,k2)는 분자와 분모의 자유도가 각각 k1, k2인 F분포의 제 100×(1-α) 백분위수를 나타낼 때, F0.05(2,30)=3.32, F0.05(3,30)=2.92이다)

  1. 인자 A, B는 모두 유의하다.
  2. 인자 A는 유의하고, 인자 B는 유의하지 않다.
  3. 인자 A는 유의하지 않고, 인자 B는 유의하다.
  4. 인자 A, B는 모두 유의하지 않다.
(정답률: 64%)
  • 분산분석표의 빈칸을 채워 각 인자의 $F$ 값을 구하고 임계치와 비교하여 유의성을 판단합니다.
    인자 A의 자유도는 $4-1=3$, 인자 B의 자유도는 $3-1=2$입니다. 전체 자유도는 $4 \times 3 \times 3 - 1 = 35$이며, 오차의 자유도는 $35 - 3 - 2 = 30$입니다.
    오차 제곱합은 $396 - 54 - 72 = 270$이며, 오차 평균제곱은 $270 / 30 = 9$입니다.
    인자 A의 $F$ 값: $$(54 / 3) / 9 = 2$$ $\rightarrow$ $F_{0.05}(3, 30) = 2.92$보다 작으므로 유의하지 않습니다.
    인자 B의 $F$ 값: $$(72 / 2) / 9 = 4$$ $\rightarrow$ $F_{0.05}(2, 30) = 3.32$보다 크므로 유의합니다.
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16. 다음은 평균은 같고 분산이 서로 다른 정규분포의 누적분포함수 F(x) (-∞＜x＜∞)의 그림이다. 분산이 가장 큰 것은?

(정답률: 알수없음)
  • 정규분포의 누적분포함수 $F(x)$ 그래프에서 분산이 커질수록 데이터가 넓게 퍼지므로, 그래프의 기울기가 완만해지며 S자 형태가 더 길게 늘어집니다.
    따라서 제시된 이미지 중 가장 완만한 경사를 보이며 넓게 퍼진 가 분산이 가장 큰 분포입니다.
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17. 자료 (xi, yi) (i=1,2,…,10)로부터 다음 결과를 얻었을 때, 이 자료를 최소제곱법으로 적합한 단순선형회귀식은? (단, r는 x와 y의 표본상관계수이다)

(정답률: 알수없음)
  • 단순선형회귀식 $\hat{y} = \beta_{0} + \beta_{1}x$에서 기울기 $\beta_{1}$은 상관계수 $r$과 표준편차의 비율로, 절편 $\beta_{0}$은 평균점을 지나도록 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\beta_{1} = r \frac{\sum(y_{i}-\bar{y})^{2}}{\sum(x_{i}-\bar{x})^{2}} \text{ (잘못된 공식)} \rightarrow \beta_{1} = r \frac{s_{y}}{s_{x}} = r \sqrt{\frac{\sum(y_{i}-\bar{y})^{2}}{\sum(x_{i}-\bar{x})^{2}}}}, \beta_{0} = \bar{y} - \beta_{1}\bar{x}$
    ② [숫자 대입] $\beta_{1} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{36}{1}} = \frac{1}{3} \times 6 = 2, \beta_{0} = 3 - (2 \times 2) = -1$
    ③ [최종 결과] $\hat{y} = -1 + 2x$
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18. 어느 사과 농장에서 수확한 사과의 평균 무게 μ에 대한 가설 H0:μ=350 대 H1:μ≠350 을 검정하려고 한다. 이 농장에서 수확한 사과 49개를 임의추출하여 구한 μ에 대한 95% 신뢰구간이 (349, 361) 일 때, 이에 대한 설명으로 옳지 않은 것은?

  1. 유의수준 5%에서 검정할 때 H0을 기각할 수 없다.
  2. 유의수준 2%에서 검정할 때 H0을 기각할 수 없다.
  3. 위 가설에 대한 유의확률은 0.01보다 크다.
  4. 위 가설에 대한 유의확률은 0.03보다 작다.
(정답률: 62%)
  • 신뢰구간과 가설검정의 관계를 분석합니다.
    95% 신뢰구간이 $(349, 361)$이고 귀무가설 $H_0: \mu = 350$의 값인 $350$이 이 구간 안에 포함되어 있습니다.
    신뢰구간 내에 귀무가설 값이 포함되면, 유의수준 5%에서 귀무가설을 기각할 수 없습니다.
    유의수준이 2%로 낮아지면 기각역이 좁아지므로 여전히 기각할 수 없습니다.
    또한, 유의확률 $p$-value는 유의수준 $\alpha$보다 커야 기각하지 못하므로, $p$-value $> 0.05$ 입니다.
    따라서 유의확률이 $0.03$ 보다 작다는 설명은 사실과 다릅니다.
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19. 알코올 중독자와 비중독자 간에 질병 A의 유병률이 차이가 있는지 알아보기 위해 어느 지역의 알코올 중독자와 비중독자 중에서 각각 76명과 109명을 임의추출하여 질병 A의 유무에 대한 다음과 같은 분할표를 얻었다.

분석 목적과 표집 과정을 고려할 때, 이 지역에 대한 설명으로 옳은 것은?

  1. 알코올 중독자의 비율은 76/185으로 추정된다.
  2. 질병 A의 유병률은 81/185로 추정된다.
  3. 알코올 중독자 중에서 질병 A의 유병률은 53/76으로 추정된다.
  4. 질병 A의 유병자 중에서 알코올 중독자의 비율은 53/81으로 추정된다.
(정답률: 70%)
  • 분할표에서 특정 집단 내의 비율을 추정하는 문제입니다.
    알코올 중독자 집단(행 또는 열의 합계가 76명인 그룹) 내에서 질병 A가 '있음'인 사례는 53명입니다.
    따라서 알코올 중독자 중에서 질병 A의 유병률은 $\frac{53}{76}$으로 추정됩니다.

    오답 노트
    알코올 중독자 비율: 전체 185명 중 중독자 76명이므로 $\frac{76}{185}$ (지역 전체 비율)
    질병 A 유병률: 전체 185명 중 유병자 81명이므로 $\frac{81}{185}$ (지역 전체 유병률)
    유병자 중 중독자 비율: 유병자 81명 중 중독자 53명이므로 $\frac{53}{81}$ (조건부 확률)
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20. 어느 지역 남성의 흡연율 p를 추정하기 위해 이 지역 남성 n명을 임의추출하여 구한 흡연자의 표본비율을 라고 하자. 정규근사를 이용할 때, 모든 p에 대하여 부등식 를 만족하기 위한 n의 최솟값은? (단, 표준정규분포를 따르는 확률변수 Z에 대하여 P(Z≥1.96)=0.025 이다)

  1. 64
  2. 100
  3. 400
  4. 625
(정답률: 37%)
  • 표본비율의 정규근사를 이용한 표본 크기 $n$의 최솟값을 구하는 문제입니다. 모든 $p$에 대해 성립해야 하므로 분산 $p(1-p)$가 최대가 되는 $p = 0.5$를 적용합니다.
    ① [기본 공식] $n \ge ( \frac{z_{\alpha/2} \sqrt{p(1-p)}}{E} )^2$
    ② [숫자 대입] $n \ge ( \frac{1.96 \times \sqrt{0.5 \times 0.5}}{0.098} )^2$
    ③ [최종 결과] $n \ge ( \frac{1.96 \times 0.5}{0.098} )^2 = ( \frac{0.98}{0.098} )^2 = 10^2 = 100$
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