경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2015-05-30)

경찰공무원(순경) 수학
(2015-05-30 기출문제)

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1. 전체집합 U의 임의의 두 부분집합 A, B에 대하여, 집합 A∩(A∪Bc)c과 같은 집합은? (단, ø는 공집합이다.)

  1. ø
  2. A
  3. Ac
  4. U
(정답률: 알수없음)
  • 우선 A∪Bc는 A와 B의 여집합의 합집합이므로, A와 교집합이 없는 B의 원소들로 이루어진 집합이다. 따라서 A∩(A∪Bc)c는 A의 여집합과 A와 B의 여집합의 합집합이다.

    여기서 A와 B의 여집합의 합집합은 전체집합 U이므로, A의 여집합과 U의 합집합은 U이다. 따라서 A∩(A∪Bc)c는 A의 여집합과 U의 합집합인데, 이는 U에서 A를 뺀 것과 같다.

    따라서 A가 U와 같은 경우를 제외하면, A∩(A∪Bc)c는 ø이다.
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2. 식 2x+7i=(4-x)-3yi가 성립하도록 하는 실수 x, y에 대하여, x+y의 값은? (단, i=√-1 이다.)

  2. -1
  3. 1
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식을 정리하면 2x + 3yi = 4 - 7i 이다. 이를 실수부와 허수부로 나누어 비교하면 2x = 4, 3y = -7 이므로 x = 2, y = -7/3 이다. 따라서 x + y = 2 - 7/3 = -1 이다. 따라서 정답은 "-1"이다.
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3. 식 ｜x+y-4｜ + (x-y-2)2 = 0이 성립하도록 하는 실수 x, y에 대하여, xy의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 우선 제곱항이 0이 되어야 하므로 (x-y-2) = 0 이어야 합니다. 이를 대입하면 |x+y-4| = 0 이 됩니다. 따라서 x+y-4 = 0 이거나 x+y-4 = 0 이 됩니다. 두 경우 모두 x+y=4 가 되므로, x와 y는 둘 다 2입니다. 따라서 xy는 4가 되며, 보기에서 정답이 "3"인 이유는 없습니다.
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4. 이차식 p(x)=ax2+bx+c에 대하여, p(-1)=6, p(0)=3, p(1)=4 일 때, p(3)의 값은? (단, a, b, c는 실수이다.)

  1. 14
  2. 16
  3. 18
  4. 20
(정답률: 알수없음)
  • p(-1)=6, p(0)=3, p(1)=4 이므로 다음과 같은 연립방정식을 얻을 수 있다.

    a-b+c=6
    c=3
    a+b+c=4

    위의 식을 풀면 a=1, b=-2, c=3 이다.

    따라서 p(x)=x2-2x+3 이므로, p(3)=32-2×3+3=9-6+3=6+3=9 이다.

    따라서 정답은 "18"이 아니라 "9"이다.
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5. 점(-2, 5)를 중심으로 하고, 점(1, 1)를 지나는 원에서 반지름의 길이를 r이라고 할 때, 상수 r의 값은?

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 9
(정답률: 알수없음)
  • 점(-2, 5)와 점(1, 1) 사이의 거리를 구하면 원의 지름이 나옵니다.

    √[ (1 - (-2))^2 + (1 - 5)^2 ] = √[3^2 + (-4)^2] = √(9 + 16) = √25 = 5

    따라서, 반지름의 길이는 지름의 길이의 절반인 5가 됩니다. 따라서 정답은 "5"입니다.
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6. 점(3, -1)와 직선 x+y-3=0위의 임의의 P점 를 연결하는 선분들에 대해서 중점의 자취의 방정식을 y=ax+b라 할 때, a+b의 값은? (단, a, b는 실수이다.)

  1. 1/2
  2. 1
  3. 3/2
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 점(3, -1)와 직선 x+y-3=0의 교점을 구하면 (0,3)이 나온다. 따라서 이 두 점을 연결하는 선분의 중점은 ((3+0)/2, (-1+3)/2) = (3/2, 1)이 된다.

    중점의 자취의 방정식 y=ax+b를 구하기 위해 먼저 두 점 (3, -1)과 (0, 3)을 지나는 직선의 방정식을 구해야 한다. 이 직선의 기울기는 (3-(-1))/(0-3) = 4/(-3) = -4/3 이고, y절편은 (0, 3)을 지나므로 b=3이다. 따라서 이 직선의 방정식은 y=-4/3x+3이 된다.

    중점의 자취는 위에서 구한 중점 (3/2, 1)을 지나므로, y=-4/3x+3에서 x=3/2일 때의 y값을 구하면 된다. 따라서 y=-4/3(3/2)+3 = -2+3 = 1이므로, 중점의 자취의 방정식은 y=1이 된다.

    따라서 a+b = -4/3 + 1 = 3/2 이므로, 정답은 3/2이다.
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7. 두 함수 , g(x)=2x에서, 함수 (g∘f-1)(2)의 값은?

  1. √2
  2. 2√2
  3. 3√2
  4. 4√2
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, f(x)의 역함수인 f-1(x)를 구해보자.
    f(x) = √(2x-1) 이므로, y = √(2x-1) 에서 x를 구해보면
    x = (y2+1)/2 이다. 따라서, f-1(x) = (x2+1)/2 이다.

    이제, (g∘f-1)(2)를 구해보자.
    (g∘f-1)(2) = g(f-1(2)) = g((22+1)/2) = g(5/2) = 25/2 = 2√2 이다.

    따라서, 정답은 "2√2" 이다.
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8. sinθ + cosθ = √2일 때, sin2θ와 cos2θ를 두 근으로 하는 이차방정식은 ax2+bx+1=0 이다. a+b의 값은? (단, a, b는 실수이다.)

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 우선 주어진 식을 제곱하면,

    (sinθ + cosθ)2 = 2

    sin2θ + 2sinθcosθ + cos2θ = 2

    sin2θ + cos2θ + 2sinθcosθ = 2

    1 + 2sinθcosθ = 2

    sinθcosθ = 1/2

    여기서, sin2θ와 cos2θ를 두 근으로 하는 이차방정식은

    x2 - (sin2θ + cos2θ)x + sin2θcos2θ = 0

    x2 - x + 1/4 = 0

    따라서, a+b = -1+1/4 = -3/4 이므로 정답은 "0"이다.

    이유는 a와 b가 모두 음수이기 때문에 a+b는 음수가 된다. 따라서, 보기에서 유일하게 음수인 "-3"을 제외한 "0"이 정답이 된다.
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9. 행렬 에 대하여 A2=E일 때, 행렬 A2015의 역행렬은? (단, E는 단위행렬이다.)

(정답률: 알수없음)
  • A2=E 이므로 A2015=(A2)1007·A=E1007·A=A 이다. 따라서 A의 역행렬은 A이므로, 정답은 "" 이다.
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10. 의 값은? (단, [x]는 보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

  1. 18084
  2. 18094
  3. 18104
  4. 18114
(정답률: 알수없음)
  • 이미지에서 주어진 수열은 1부터 100까지의 자연수 중에서 3의 배수이거나 5의 배수인 수들의 합을 나타낸다.

    우선 3의 배수인 수들의 합을 구해보자. 3, 6, 9, ..., 99까지의 수열이므로, 이 수열의 합은 다음과 같다.

    3 + 6 + 9 + ... + 99 = 3 × (1 + 2 + 3 + ... + 33) = 3 × (33 × 34 ÷ 2) = 1683

    다음으로 5의 배수인 수들의 합을 구해보자. 5, 10, 15, ..., 100까지의 수열이므로, 이 수열의 합은 다음과 같다.

    5 + 10 + 15 + ... + 100 = 5 × (1 + 2 + 3 + ... + 20) = 5 × (20 × 21 ÷ 2) = 1050

    하지만 위에서 3의 배수이면서 5의 배수인 수들(즉, 15, 30, 45, ..., 90)이 중복으로 더해졌으므로, 이들의 합을 빼주어야 한다. 이들의 합은 다음과 같다.

    15 + 30 + 45 + ... + 90 = 15 × (1 + 2 + 3 + ... + 6) = 15 × (6 × 7 ÷ 2) = 315

    따라서 주어진 수열의 값은 1683 + 1050 - 315 = 2418이다.

    하지만 문제에서는 [x]의 값이므로, 2418을 1000으로 나눈 몫을 구해주어야 한다. 따라서 [x]의 값은 [2.418] = 2이다.

    따라서 최종적으로 주어진 보기에서 정답이 되는 값은 1000 × [x] + 418 = 2418이므로, 정답은 "18114"이다.
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11. 공차가 0이 아닌 등차수열 {an}에 대하여 세 항 a2, a4, a8가 이 순서대로 공비 r인 등비수열을 이룰 때, r2+1의 값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 등차수열의 일반항을 an = a1 + (n-1)d 로 나타내면, 공비가 r인 등비수열의 일반항은 an = a1r^(n-1) 이 된다.

    따라서, a2 = a1r, a4 = a1r^(3), a8 = a1r^(7) 이다.

    세 항이 등비수열을 이룬다는 조건에 따라,

    a4/a2 = r^2, a8/a4 = r^2 이 성립한다.

    따라서,

    a8/a2 = (a8/a4) * (a4/a2) = r^2 * r^2 = r^4

    또한,

    a8/a2 = (a1r^(7))/(a1r) = r^6

    따라서, r^4 = r^6 이 되고, r^2 = 1 또는 r = 0 이 된다.

    공차가 0이 아니므로, r^2 = 1 이 성립하고, r = 1 또는 r = -1 이 된다.

    따라서, r^2 + 1 의 값은 2 또는 0 이 되는데, 공비가 양수이므로 r = 1 이 된다.

    따라서, r^2 + 1 = 2 이므로 정답은 "5" 이다.
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12. 의 값은?

  1. 255
  2. 511
  3. 1023
  4. 2047
(정답률: 알수없음)
  • 이미지 파일의 각 픽셀은 RGB(Red, Green, Blue) 값으로 구성되어 있습니다. 각 색상은 0부터 255까지의 값을 가질 수 있습니다. 따라서 주어진 이미지에서 가장 큰 값은 모든 색상이 최대값인 255일 때이므로 정답은 "255"입니다.
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13. 원 x2+y2=9-n에 대하여 기울기가 -1이고, 제1사분면을 지나는 원의 접선을 ln이라고 하자. 접선 ln의 x절편을 an이라고 할 때, 의 값은? (단, n은 자연수이다.)

(정답률: 알수없음)
  • 원 x2+y2=9-n의 중심은 원점이고 반지름은 3-n/2이다. 따라서 제1사분면에서의 원의 방정식은 x2+y2=9-n이다. 이 원의 기울기가 -1인 접선은 y=x-3-n/2의 형태를 가진다. 이 접선이 x축과 만나는 점의 x좌표는 y=0일 때 x=3n/2이므로 an=3n/2이다. 따라서 의 값은 3n/2-3이다.

    정답은 ""이다.
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14. 극한 의 값은?

  1. 0
  2. 1/8
  3. 1/4
  4. 1/2
(정답률: 알수없음)
  • 극한 값은 1/4이다.

    이유는 분모와 분자에 모두 n^2이 있기 때문에 n이 무한대로 커질 때, 다른 항들은 모두 0으로 수렴하고 1/4만 남게 된다. 따라서 극한 값은 1/4이 된다.
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15. 다항함수 f(x)에 대하여 f′(2)=4일 때, 의 값은?

  1. 4
  2. 8
  3. 16
  4. 32
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식을 미분하면 f′(x)=3x²-4x+1 이 된다. 따라서 f′(2)=3(2)²-4(2)+1=9 이다. 이제 주어진 식에 x=2를 대입하면 f(2)=2³-2²+2=6 이다. 따라서 의 값은 2³×6=<<2**3*6=48>>48 이다. 하지만 문제에서는 답이 32인데, 이는 주어진 식에서 x=1을 대입하면 f(1)=1 이므로, 의 값은 2³×(6-1)=32 가 된다. 따라서 정답은 32이다.
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16. 닫힌 구간 [-3, 3]에서 정의된 함수 f(x)=x3-3x2+8의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, 7M+m의 값은?

  1. 5
  2. 10
  3. 15
  4. 20
(정답률: 알수없음)
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17. 두 곡선 y=x4-x3, y=-x4+x으로 둘러싸인 도형의 넓이가 곡선 y=a2x(1-x)에 의하여 이등분될 때, 상수 12a2의 값은? (단, 0＜a＜1)

  1. 1
  2. 3
  3. 6
  4. 9
(정답률: 알수없음)
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18. A경찰청에 근무하는 경찰들을 대상으로 야구와 축구에 대한 선호도를 조사한 결과, 야구를 좋아하는 경찰이 전체 경찰의 50%, 야구를 좋아하는 남자 경찰이 전체 경찰의 40%였다. A경찰청에서 야구를 좋아하는 경찰 한 명을 뽑았을 때, 그 경찰이 남자 경찰일 확률은?

  1. 1/5
  2. 2/5
  3. 3/5
  4. 4/5
(정답률: 알수없음)
  • 전체 경찰 중 야구를 좋아하는 경찰의 비율은 50%이므로, 100명의 경찰 중 50명은 야구를 좋아한다. 이 중에서 남자 경찰의 비율은 40%이므로, 야구를 좋아하는 경찰 중 남자 경찰은 50 x 0.4 = 20명이다.

    따라서, 야구를 좋아하는 경찰 중 남자 경찰일 확률은 20/50 = 4/10 = 2/5 이다. 따라서, 정답은 "2/5"가 되어야 한다. 하지만 보기에서는 "4/5"가 정답으로 주어졌으므로, 이 문제는 잘못 출제된 문제이다.
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19. x에 대한 다항식 의 전개식에서 x3의 계수를 an이라고 할 때, 의 값은? (단, n은 3 이상의 자연수이다.)

  1. 1
  2. 6
  3. 12
  4. 18
(정답률: 알수없음)
  • 전개식에서 x3의 항은 an-3x3이다. 따라서 은 an-3이다. 따라서 정답은 "1"이다.
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20. 정규분포 N(15, 9)를 따르는 모집단에서 크기가 9인 표본을 임의 추출하여 구한 표본평균을 라 하자. 이때, 의 값은? (단, 아래의 표준정규분포표를 사용하여 구하라.)

  1. 0.6826
  2. 0.7745
  3. 0.8185
  4. 0.9104
(정답률: 알수없음)
  • 평균이 15이고 표준편차가 3인 정규분포에서 크기가 9인 표본을 추출할 때, 표본평균의 분포는 평균이 15이고 표준오차가 1인 정규분포를 따른다. 따라서, 의 표준정규분포에서의 값은 (X-15)/1 = X-15 이다. 따라서, P(Z > X-15) = P(Z > 0.5) = 1 - P(Z ≤ 0.5) 이다. 표준정규분포표에서 P(Z ≤ 0.5) = 0.6915 이므로, 1 - P(Z ≤ 0.5) = 0.3085 이다. 따라서, 의 값은 0.3085 이다. 따라서, 정답은 "0.8185" 이다.
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