경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2015-09-19)

경찰공무원(순경) 수학 2015-09-19 필기 기출문제 해설

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경찰공무원(순경) 수학
(2015-09-19 기출문제)

목록

1과목: 수학

1. 두 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={4, 5, 6, 7, 8}에 대하여 X-B=ø, (B-A)∪X=X를 만족하는 집합 X의 개수는?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 16
(정답률: 알수없음)
  • 집합의 연산 성질을 이용하여 집합 $X$의 조건을 분석하는 문제입니다.
    먼저 $X - B = \emptyset$이므로 $X \subseteq B$ 입니다. 또한 $(B - A) \cup X = X$이므로 $B - A \subseteq X$ 입니다.
    따라서 $B - A \subseteq X \subseteq B$가 성립합니다.
    $B - A = \{6, 7, 8\}$이고 $B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$이므로, $X$는 $\{6, 7, 8\}$을 반드시 포함하고 $\{4, 5\}$의 부분집합을 추가로 가질 수 있습니다.
    $\{4, 5\}$의 부분집합 개수는 $2^2 = 4$개이므로, 가능한 집합 $X$의 개수는 4개입니다.
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1

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2. 실수 전체의 집합 의 임의의 두 원소 a, b에 대하여 연산 ⊕를 a⊕b=a+b-2로 정의할 때, 연산 ⊕에 대한 3의 역원은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 연산 $\oplus$에 대한 항등원 $e$를 먼저 구한 후, $3$의 역원을 찾아야 합니다.
    1. 항등원 $e$ 구하기: $a \oplus e = a \rightarrow a + e - 2 = a \rightarrow e = 2$
    2. $3$의 역원 $x$ 구하기: $3 \oplus x = e \rightarrow 3 + x - 2 = 2 \rightarrow x + 1 = 2 \rightarrow x = 1$
    따라서 $3$의 역원은 1입니다.
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1

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3. x의 다항식 P(x)에 대하여 (x8-1)P(x)=x11+ax3+b가 모든 실수 x에 대하여 성립할 때, a-b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. -3
  2. -2
  3. -1
  4. 0
(정답률: 알수없음)
  • 다항식 $P(x)$에 대하여 $(x^{8}-1)P(x)=x^{11}+ax^{3}+b$가 성립하므로, 좌변을 $0$으로 만드는 $x=1$과 $x=-1$을 대입하여 $a, b$를 구합니다.
    먼저 $x=1$을 대입하면 $1+a+b=0$에서 $a+b=-1$입니다.
    다음으로 $x=-1$을 대입하면 $-1-a+b=0$에서 $-a+b=1$입니다.
    두 식을 연립하여 풀면 $b=0, a=-1$이 도출됩니다.
    따라서 $a-b = -1-0 = -1$입니다.
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4. 삼차방정식 x3-4x2+3x+1=0의 세 근을 a, b, c라고 할 때, a3+b3+c3의 값은?

  1. 21
  2. 25
  3. 29
  4. 33
(정답률: 알수없음)
  • 근과 계수의 관계와 주어진 방정식의 성질을 이용합니다.
    세 근 $a, b, c$는 $x^{3} - 4x^{2} + 3x + 1 = 0$을 만족하므로 $x^{3} = 4x^{2} - 3x - 1$이 성립합니다.
    따라서 $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 4(a^{2} + b^{2} + c^{2}) - 3(a + b + c) - 3$입니다.
    근과 계수의 관계에 의해 $a+b+c = 4$, $ab+bc+ca = 3$이므로
    $a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a+b+c)^{2} - 2(ab+bc+ca) = 4^{2} - 2(3) = 10$입니다.
    이를 대입하면
    $$4(10) - 3(4) - 3 = 40 - 12 - 3 = 25$$
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1

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5. 방정식 x3-1=0의 한 허근을 ω라 할 때, ω92+ω16+3의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • $\omega$가 $x^{3}-1=0$의 허근이므로 $\omega^{3} = 1$이고, $\omega^{2} + \omega + 1 = 0$임을 이용합니다.
    지수를 $3$으로 나눈 나머지를 이용하여 차수를 낮춥니다.
    $$\omega^{92} = (\omega^{3})^{30} \cdot \omega^{2} = 1^{30} \cdot \omega^{2} = \omega^{2}$$
    $$\omega^{16} = (\omega^{3})^{5} \cdot \omega = 1^{5} \cdot \omega = \omega$$
    따라서 $\omega^{92} + \omega^{16} + 3 = \omega^{2} + \omega + 3 = (\omega^{2} + \omega + 1) + 2 = 0 + 2 = 2$입니다.
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6. 원 x2+y2=1을 x축, y축의 방향으로 각각 –1, -2만큼 평행이동시킨 후, 다시 x축에 대하여 대칭이동시킨 원의 중심의 좌표를 (a ,b)라 할 때, b-a의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 원의 중심의 좌표 변화를 단계별로 추적합니다.
    1. 초기 중심: $(0, 0)$
    2. 평행이동: $x$축 $-1$, $y$축 $-2$이동 $\rightarrow$ $(-1, -2)$
    3. 대칭이동: $x$축 대칭 ($y$좌표 부호 변경) $\rightarrow$ $(-1, 2)$
    따라서 $a = -1, b = 2$이므로, $b - a = 2 - (-1) = 3$입니다.
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7. 세 함수 f(x)=2x, g(x)=x+1, h(x)=x2-3에 대하여 (f∘(g∘h))(x)는?

  1. 2x2-2
  2. 2x2-4
  3. 4x2-2
  4. 4x2-4
(정답률: 알수없음)
  • 합성함수의 정의에 따라 안쪽 함수부터 순차적으로 대입하여 계산합니다.
    먼저 $(g \circ h)(x)$를 구하면
    $$(g \circ h)(x) = g(h(x)) = (x^2 - 3) + 1 = x^2 - 2$$
    이제 이를 $f(x)$에 대입하여 최종 합성함수를 구합니다.
    $$(f \circ (g \circ h))(x) = f(x^2 - 2) = 2(x^2 - 2) = 2x^2 - 4$$
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8. x에 대한 이차방정식 2x2-x+k=0의 두 근이 sinθ, cosθ일 때, 상수 k의 값은?

(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식의 근과 계수의 관계와 삼각함수의 기본 성질을 이용합니다.
    두 근이 $\sin \theta, \cos \theta$이므로, 근과 계수의 관계에 의해
    $$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}, \quad \sin \theta \cos \theta = \frac{k}{2}$$
    첫 번째 식의 양변을 제곱하면
    $$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \frac{1}{4}$$
    $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$$
    $$1 + 2(\frac{k}{2}) = \frac{1}{4}$$
    $$k = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$$
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9. 이차 정사각행렬 A, B와 이차 단위행렬 E에 대하여 A+B=2E, AB=O일 때, A2+B2를 구하면?

  1. 4E
  2. 6E
  3. 8E
  4. 10E
(정답률: 알수없음)
  • 행렬의 합과 곱의 성질을 이용하여 식을 변형합니다.
    주어진 $A+B=2E$의 양변을 제곱하면 다음과 같습니다.
    $$(A+B)^2 = (2E)^2$$
    $$A^2 + AB + BA + B^2 = 4E$$
    이때 $AB=O$이면 $BA$ 또한 $O$가 되므로(교환법칙 성립 조건),
    $$A^2 + O + O + B^2 = 4E$$
    따라서 $A^2 + B^2 = 4E$ 입니다.
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10. log2=0.3010, log3=0.4771을 이용하여 61000이 몇 자리 정수인지 구하면?

  1. 777
  2. 778
  3. 779
  4. 780
(정답률: 알수없음)
  • 상용로그를 이용하여 정수의 자릿수를 구하는 문제입니다. $6^{1000}$의 상용로그 값을 구하여 정수 부분이 $n$일 때, 자릿수는 $n+1$이 됩니다.
    ① [기본 공식] $\log 6^{1000} = 1000 \times (\log 2 + \log 3)$
    ② [숫자 대입] $\log 6^{1000} = 1000 \times (0.3010 + 0.4771) = 778.1$
    ③ [최종 결과] $778 + 1 = 779$
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11. 자연수 n에 대하여 일 때, a21+a22의 값은?

  1. 1/107
  2. 1/108
  3. 1/109
  4. 1/110
(정답률: 알수없음)
  • 수열의 합 $S_{2n}$이 주어졌을 때, 특정 항의 합을 구하는 문제입니다. $a_{21} + a_{22}$는 $S_{22} - S_{20}$으로 계산할 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $S_{2n} = 2 - \frac{1}{n}$
    ② [숫자 대입] $(2 - \frac{1}{11}) - (2 - \frac{1}{10})$
    ③ [최종 결과] $a_{21} + a_{22} = \frac{1}{10} - \frac{1}{11} = \frac{1}{110}$
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12. 극한 의 값은? (단, θ는 상수이다.)

  1. 1
  2. 1 + cosθ
  3. 1 + tanθ
  4. 1 + sinθ
(정답률: 알수없음)
  • 무한대 분의 무한대 꼴의 극한으로, 분자와 분모를 최고차항인 $n$으로 나누어 계산합니다. 이때 $\cos(n\theta)$는 $-1$과 $1$ 사이에서 진동하는 유계 함수임을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{n \to \infty} \frac{n + \cos(n\theta)}{n} = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{\cos(n\theta)}{n})$
    ② [숫자 대입] $\lim_{n \to \infty} \frac{\cos(n\theta)}{n} = 0$
    ③ [최종 결과] $1 + 0 = 1$
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13. 수열 {an}이 a1=, 2nan+1=(n+1)an(n=1, 2, 3, …)을 만족시킬 때, a11의 값은?

  1. 11/2048
  2. 11/1024
  3. 11/512
  4. 11/256
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 점화식을 $a_{n+1}$에 대해 정리하여 일반항의 규칙성을 찾습니다.
    ① [기본 공식] $a_{n+1} = \frac{n+1}{2n} a_{n}$
    ② [숫자 대입] $a_{11} = \frac{11}{2 \times 10} \times \frac{10}{2 \times 9} \times \dots \times \frac{2}{2 \times 1} a_{1}$
    ③ [최종 결과] $a_{11} = \frac{11}{2^{10}} = \frac{11}{1024}$
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14. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 (x+1)f(x)=x2+3x+a가 성립할 때, f(1)의 값은? (단, a는 상수이다.)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 함수 $f(x)$가 $x = -1$에서 연속이어야 하므로, 분모가 $0$이 되는 지점에서 분자 또한 $0$이 되어야 합니다.
    먼저 $x = -1$을 대입하여 상수 $a$를 구합니다.
    $$(-1)^2 + 3(-1) + a = 0$$
    $$1 - 3 + a = 0$$
    $$a = 2$$
    구한 $a$를 식에 대입하여 $f(x)$를 정리하면 다음과 같습니다.
    $$f(x) = \frac{x^2 + 3x + 2}{x + 1} = \frac{(x + 1)(x + 2)}{x + 1} = x + 2$$
    이제 $x = 1$을 대입하여 $f(1)$의 값을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $f(x) = x + 2$
    ② [숫자 대입] $f(1) = 1 + 2$
    ③ [최종 결과] $f(1) = 3$
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15. 곡선 y=2x3-x-1 위의 점 (1, 0)에서 접선의 방정식이 y=ax+b일 때, a-b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 곡선 위의 점 $(1, 0)$에서의 접선의 기울기 $a$는 미분계수 $f'(1)$과 같으며, 이를 통해 직선의 방정식 $y = ax + b$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $f'(x) = 6x^{2} - 1$
    ② [숫자 대입] $a = f'(1) = 6(1)^{2} - 1 = 5, \quad 0 = 5(1) + b \implies b = -5$
    ③ [최종 결과] $a - b = 5 - (-5) = 10$
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16. 다항함수 f(x)가 를만족시킬 때, f(1)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 정적분으로 정의된 함수 식의 양변을 $x$에 대해 미분하여 $f(x)$를 구합니다. 합성함수의 미분법을 적용합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{d}{dx} \int_{x}^{2x} f(t) dt = 2f(2x) - f(x)$
    ② [숫자 대입] $2f(2x) - f(x) = 21x^{2} + 6x - 2$
    ③ [최종 결과] $x=1 \text{ 대입 시 } 2f(2) - f(1) = 25, x=1/2 \text{ 대입 시 } 2f(1) - f(1/2) = 10.25 \text{ 등을 통해 } f(1) = 3$
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17. 곡선 y=x3-4x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 곡선 $y=x^3-4x$와 $x$축이 만나는 점을 찾아 정적분으로 넓이를 구합니다.
    1. 교점 찾기: $x(x^2-4)=0 \rightarrow x = -2, 0, 2$
    2. 넓이 공식: 곡선이 기함수이므로 $0$부터 $2$까지의 넓이를 구해 2배 합니다.
    ① [기본 공식] $S = 2 \int_{0}^{2} |x^3-4x| dx = 2 \int_{0}^{2} (4x-x^3) dx$
    ② [숫자 대입] $2 [2x^2 - \frac{1}{4}x^4]_{0}^{2} = 2 (8 - 4)$
    ③ [최종 결과] $S = 8$
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18. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 t초 후의 속도 v(t)가 v(t)=8-t3이다. 점 P가 원점을 출발하여 다시 원점을 지날 때까지 움직인 거리는?

  1. 24
  2. 25
  3. 26
  4. 27
(정답률: 알수없음)
  • 원점을 다시 지나는 시점은 위치 $s(t) = 0$이 되는 시점입니다. 속도 $v(t) = 8 - t^{3}$를 적분하여 위치 함수를 구하고, $s(t) = 0$인 $t$를 찾아 그 구간 동안의 이동 거리(속력의 적분)를 계산합니다.
    ① [기본 공식] $s(t) = \int (8 - t^{3}) dt = 8t - \frac{1}{4}t^{4}$
    ② [숫자 대입] $8t - \frac{1}{4}t^{4} = 0 \implies t(8 - \frac{1}{4}t^{2}) = 0 \implies t = 2\sqrt{2}$
    ③ [최종 결과] $\int_{0}^{2} (8 - t^{3}) dt + \int_{2}^{2\sqrt{2}} (t^{3} - 8) dt = 24$
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19. 자연수 n에 대하여 일 때, 의 값은?

  1. 54
  2. 55
  3. 56
  4. 57
(정답률: 알수없음)
  • 이항정리를 이용하여 $a_n$의 일반항을 구하고 로그의 성질을 이용해 합을 계산하는 문제입니다.
    1. $a_n$ 분석: $a_n = \sum_{k=0}^{n} 2^k {}_{n}C_{k} = (2+1)^n = 3^n$
    2. $\log_3 a_n$ 계산: $\log_3 3^n = n$
    3. 시그마 계산: $\sum_{n=1}^{10} n = \frac{10 \times 11}{2} = 55$
    최종 결과는 55입니다.
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20. 0≦x≦1에서 정의된 확률 변수 X에 대하여, , 이다. E(X2)의 값은?

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/3
  4. 1/4
(정답률: 알수없음)
  • 분산과 평균의 관계식 $\text{Var}(X) = E(X^{2}) - \{E(X)\}^{2}$를 이용하여 $E(X^{2})$를 구할 수 있습니다.
    주어진 조건에서 $E(X) = \frac{2}{3}$이고 $\sigma(X) = \frac{\sqrt{2}}{6}$이므로, 분산 $\text{Var}(X) = \sigma(X)^{2} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$입니다.
    ① [기본 공식] $E(X^{2}) = \text{Var}(X) + \{E(X)\}^{2}$
    ② [숫자 대입] $E(X^{2}) = \frac{1}{18} + (\frac{2}{3})^{2}$
    ③ [최종 결과] $E(X^{2}) = \frac{1}{18} + \frac{4}{9} = \frac{1+8}{18} = \frac{1}{2}$
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