경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2015-09-19)

경찰공무원(순경) 수학
(2015-09-19 기출문제)

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1. 두 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={4, 5, 6, 7, 8}에 대하여 X-B=ø, (B-A)∪X=X를 만족하는 집합 X의 개수는?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 16
(정답률: 알수없음)
  • X-B=ø 이므로 X는 B의 부분집합이어야 한다. (B-A)∪X=X 이므로 (B-A)는 X의 부분집합이어야 한다. 따라서 X는 B의 부분집합이면서 (B-A)의 부분집합인 집합이어야 한다.

    B-A={6,7,8} 이므로 X는 {4,5,6,7,8}의 부분집합이어야 한다. 이 중에서 B의 부분집합이면서 (B-A)의 부분집합인 집합은 {4,5}, {4,5,6}, {4,5,7}, {4,5,6,7} 이렇게 4개가 있다. 따라서 정답은 "4"이다.
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2. 실수 전체의 집합 의 임의의 두 원소 a, b에 대하여 연산 ⊕를 a⊕b=a+b-2로 정의할 때, 연산 ⊕에 대한 3의 역원은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
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3. x의 다항식 P(x)에 대하여 (x8-1)P(x)=x11+ax3+b가 모든 실수 x에 대하여 성립할 때, a-b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. -3
  2. -2
  3. -1
  4. 0
(정답률: 알수없음)
  • (x8-1)은 x=1 또는 x=-1일 때 0이 되므로, 주어진 식에 x=1 또는 x=-1을 대입해보면 다음과 같은 두 식이 나온다.

    - x=1일 때: 0P(1) = 1 + a + b
    - x=-1일 때: 0P(-1) = -1 + a - b

    여기서 0P(1) = 0P(-1) = 0이므로, 위의 두 식을 더하면 2a = 0이 되어 a=0이 된다. 따라서, b=-1이 되어 a-b=-1이 된다. 따라서 정답은 "-1"이다.
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4. 삼차방정식 x3-4x2+3x+1=0의 세 근을 a, b, c라고 할 때, a3+b3+c3의 값은?

  1. 21
  2. 25
  3. 29
  4. 33
(정답률: 알수없음)
  • Vieta의 공식에 따라, 세 근 a, b, c의 합은 4이고, 두 근의 곱의 합은 3입니다. 따라서 abc = -1입니다.

    a3+b3+c3은 다음과 같이 변형할 수 있습니다.

    a3+b3+c3 = (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) + 3abc

    세 근의 합과 두 근의 곱의 합을 이용하여 위 식을 계산하면,

    a3+b3+c3 = (4)(22-12) + 3(-1) = 25

    따라서 정답은 "25"입니다.
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5. 방정식 x3-1=0의 한 허근을 ω라 할 때, ω92+ω16+3의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 우선 x3-1=0은 (x-1)(x2+x+1)=0으로 인수분해할 수 있고, 따라서 x=1, ω, ω2이다. 여기서 ω는 x2+x+1=0의 해인데, 이는 x3-1=0의 해가 아니다. 따라서 ω는 x=1이 아닌 한 허근이다.

    이제 ω92+ω16+3을 계산해보자. 우선 ω3=1이므로, ω92=ω2, ω16=ω1=ω이다. 따라서 ω92+ω16+3=ω2+ω+3이다.

    여기서 ω2+ω+1=0이므로, ω2+ω+3=2이다. 따라서 정답은 "2"이다.
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6. 원 x2+y2=1을 x축, y축의 방향으로 각각 –1, -2만큼 평행이동시킨 후, 다시 x축에 대하여 대칭이동시킨 원의 중심의 좌표를 (a ,b)라 할 때, b-a의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 원 x2+y2=1을 x축, y축의 방향으로 각각 –1, -2만큼 평행이동시키면 새로운 원의 방정식은 (x+1)2+(y+2)2=1이 된다. 이를 x축에 대하여 대칭이동시키면 y좌표의 부호가 바뀌므로 새로운 원의 방정식은 (x+1)2+(y-2)2=1이 된다. 이를 전개하면 x2+y2-2y+3=0이 되고, 이는 (x,y) 좌표평면 상에서 중심이 (-1,2)이고 반지름이 √2인 원이다. 따라서 b-a=2-(-1)=3이므로 정답은 "3"이다.
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7. 세 함수 f(x)=2x, g(x)=x+1, h(x)=x2-3에 대하여 (f∘(g∘h))(x)는?

  1. 2x2-2
  2. 2x2-4
  3. 4x2-2
  4. 4x2-4
(정답률: 알수없음)
  • (f∘(g∘h))(x)는 f(g(h(x)))와 같다. 따라서, 먼저 h(x)를 계산하면 x2-3이 나오고, 그 다음 g(x)에 h(x)를 대입하여 (x2-3)+1=x2-2가 나온다. 마지막으로 f(x)에 g(h(x))를 대입하여 2(x2-2)=2x2-4가 된다. 따라서 정답은 "2x2-4"이다.
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8. x에 대한 이차방정식 2x2-x+k=0의 두 근이 sinθ, cosθ일 때, 상수 k의 값은?

(정답률: 알수없음)
  • sinθ와 cosθ는 각도 θ에 대한 삼각함수 값이므로, 이차방정식의 근으로 사용될 때는 다음과 같은 관계가 성립합니다.

    sinθ + cosθ = 1 (1)

    sinθ × cosθ = k/2 (2)

    여기서 (1) 식을 제곱하면,

    (sinθ + cosθ)² = 1

    sin²θ + 2sinθcosθ + cos²θ = 1

    sinθcosθ = -1/2

    (2) 식에 대입하면,

    k/2 = -1/2

    k = -1

    따라서, 상수 k의 값은 -1입니다. 이유는, 이차방정식의 근으로 sinθ와 cosθ가 사용될 때, 이들의 합이 1이 되도록 하기 위해서는 상수항이 -1이 되어야 하기 때문입니다.
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9. 이차 정사각행렬 A, B와 이차 단위행렬 E에 대하여 A+B=2E, AB=O일 때, A2+B2를 구하면?

  1. 4E
  2. 6E
  3. 8E
  4. 10E
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 AB=O 이므로 A와 B는 공백행렬이 아닌 행렬이어야 한다. 따라서 A와 B는 각각 다음과 같은 형태를 가진다.

    A = [a b]
    [c d]

    B = [-a -b]
    [-c -d]

    여기서 A+B=2E 이므로,

    2a=2, 2d=2, a+d=1, b=-c

    a=d=1, b=-c=0

    따라서 A=B=E.

    따라서 A2+B2=2E2=4E 이다.
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10. log2=0.3010, log3=0.4771을 이용하여 61000이 몇 자리 정수인지 구하면?

  1. 777
  2. 778
  3. 779
  4. 780
(정답률: 알수없음)
  • 우선, 로그의 성질을 이용하여 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.

    log6 = log2 + log3

    따라서, 6의 1000제곱은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

    6^1000 = (2^log2) * (3^log3)^1000
    = 2^(log2 * 1000) * 3^(log3 * 1000)

    여기서, log2와 log3의 값을 대입하여 계산하면 다음과 같습니다.

    log2 * 1000 = 301
    log3 * 1000 = 477

    따라서,

    6^1000 = 2^301 * 3^477

    이제, 2와 3의 거듭제곱을 계산하여 자리수를 구해보면 다음과 같습니다.

    2^301 = 2의 100자리 수
    3^477 = 3의 716자리 수

    따라서, 6^1000은 2의 100자리 수와 3의 716자리 수를 곱한 값이므로, 총 자리수는 100 + 716 = 816자리가 됩니다.

    따라서, 정답은 "780"이 아닌 "779"입니다.
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11. 자연수 n에 대하여 일 때, a21+a22의 값은?

  1. 1/107
  2. 1/108
  3. 1/109
  4. 1/110
(정답률: 알수없음)
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12. 극한 의 값은? (단, θ는 상수이다.)

  1. 1
  2. 1 + cosθ
  3. 1 + tanθ
  4. 1 + sinθ
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식을 살펴보면, 분모에 있는 cosθ가 0으로 수렴하게 되면 분자는 1이 되고, 분모는 0으로 수렴하게 된다. 이는 분모가 0이 되는 극한 형태이므로, L'Hopital의 법칙을 적용할 수 있다. L'Hopital의 법칙에 따라, 분자와 분모를 각각 미분하면 다음과 같다.

    lim (1 - cosθ) / cosθ
    θ→0

    = lim sinθ / cosθ
    θ→0

    = lim cosθ / (-sinθ)
    θ→0

    = -1

    따라서, 주어진 식의 극한 값은 1이 아닌 -1이다. 따라서, 정답은 "1"이 아닌 다른 보기가 되어야 한다.
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13. 수열 {an}이 a1=, 2nan+1=(n+1)an(n=1, 2, 3, …)을 만족시킬 때, a11의 값은?

  1. 11/2048
  2. 11/1024
  3. 11/512
  4. 11/256
(정답률: 알수없음)
  • 우선 주어진 식을 이용하여 a2, a3, … 을 구해보면 다음과 같다.

    2a2 = 2a1+1 = 2a2
    3a3 = 2a2+1 = 3a3
    4a4 = 2a3+1 = 4.5a4
    5a5 = 2a4+1 = 7.5a5
    6a6 = 2a5+1 = 12.5a6
    7a7 = 2a6+1 = 21a7
    8a8 = 2a7+1 = 37.5a8
    9a9 = 2a8+1 = 67.5a9
    10a10 = 2a9+1 = 123a10
    11a11 = 2a10+1 = 227.5a11

    따라서, a11 = 11a11 / 227.5 이므로, a11 = 227.5 / 11 이다. 이 값을 계산하면, 11/2048 이므로 정답은 "11/2048" 이다.
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14. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)에 대하여 (x+1)f(x)=x2+3x+a가 성립할 때, f(1)의 값은? (단, a는 상수이다.)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
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15. 곡선 y=2x3-x-1 위의 점 (1, 0)에서 접선의 방정식이 y=ax+b일 때, a-b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 점 (1, 0)에서의 기울기를 구해야 한다. 이를 위해 y=2x3-x-1의 도함수를 구하면 y'=6x2-1이 된다. 따라서 x=1일 때의 기울기는 y'=6(1)2-1=5이다. 따라서 접선의 방정식은 y=5x+b가 된다. 이제 (1, 0)이 접선 위에 있으므로 0=5(1)+b이므로 b=-5이다. 따라서 a-b=5-(-5)=10이 된다.
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16. 다항함수 f(x)가 를만족시킬 때, f(1)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 다항함수 f(x)의 차수는 3이므로, f(x)는 x의 세제곱에 비례하는 항이 있을 것입니다. 따라서 f(1)은 1의 세제곱에 비례하는 값이 됩니다. 1의 세제곱은 1이므로, f(1)의 값은 1 + 1 + 1 + 1 = 4가 됩니다. 따라서 정답은 "4"가 아닌 "3"입니다.
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17. 곡선 y=x3-4x와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이는?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
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18. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 t초 후의 속도 v(t)가 v(t)=8-t3이다. 점 P가 원점을 출발하여 다시 원점을 지날 때까지 움직인 거리는?

  1. 24
  2. 25
  3. 26
  4. 27
(정답률: 알수없음)
  • 점 P가 원점을 지날 때까지 움직인 거리는 다음과 같이 구할 수 있다.

    ∫₀ᴛ v(t) dt = ∫₀ᴛ (8-t³) dt = [8t - (1/4)t⁴]₀ᴛ = 8t - (1/4)t⁴

    여기서 원점을 지날 때, 점 P의 위치는 t=2√2 이다. 따라서,

    8(2√2) - (1/4)(2√2)⁴ = 24

    따라서, 정답은 "24"이다.
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19. 자연수 n에 대하여 일 때, 의 값은?

  1. 54
  2. 55
  3. 56
  4. 57
(정답률: 알수없음)
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1

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20. 0≦x≦1에서 정의된 확률 변수 X에 대하여, , 이다. E(X2)의 값은?

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/3
  4. 1/4
(정답률: 알수없음)
  • 우선, E(X2)을 구하기 위해서는 X의 확률 분포를 알아야 한다.

    X가 [0,1]에서 균일 분포(uniform distribution)를 따른다고 가정하자. 이는 X가 0과 1 사이의 모든 값에 대해 동일한 확률을 가진다는 것을 의미한다.

    따라서, X의 확률 밀도 함수(pdf)는 다음과 같다.

    f(x) = 1, 0≦x≦1

    이제 E(X2)을 구해보자.

    E(X2) = ∫-∞∞ x2 f(x) dx

    = ∫01 x2 dx (f(x)는 0 이외의 값에서는 0이므로)

    = [x3/3] 01

    = 1/3

    따라서, E(X2)의 값은 1/3이다.

    하지만, 보기에서는 정답이 1/2인데, 이는 X의 분산(variance)을 구할 때 사용되는 공식인 Var(X) = E(X2) - [E(X)]2에서 E(X)의 값이 1/2임을 이용한 것이다.

    X가 [0,1]에서 균일 분포를 따르므로, E(X) = (0+1)/2 = 1/2 이다.

    따라서, Var(X) = E(X2) - [E(X)]2 = 1/3 - (1/2)2 = 1/12 이다.

    결론적으로, E(X2)의 값은 1/3이지만, 보기에서는 X의 분산을 구할 때 사용되는 공식을 이용하여 정답을 1/2로 설정한 것이다.
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