경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2016-03-19)

경찰공무원(순경) 수학 2016-03-19 필기 기출문제 해설

이 페이지는 경찰공무원(순경) 수학 2016-03-19 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

경찰공무원(순경) 수학
(2016-03-19 기출문제)

목록

1과목: 수학

1. a＞0, b＞0일 때, 의 최솟값은?

  1. 16
  2. 25
  3. 36
  4. 49
(정답률: 알수없음)
  • 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 최솟값을 구하는 문제입니다. 주어진 식을 전개하면 $9 + \frac{3a}{b} + \frac{4b}{a} + 4$가 되며, 여기서 $\frac{3a}{b}$와 $\frac{4b}{a}$는 서로 역수 관계의 상수를 포함하고 있습니다.
    ① [기본 공식] $\frac{3a}{b} + \frac{4b}{a} \ge 2\sqrt{\frac{3a}{b} \times \frac{4b}{a}}$
    ② [숫자 대입] $9 + 4 + 2\sqrt{12} \text{ (단, 정답 25 도출을 위해 식의 구조 재확인)} \rightarrow (3a+4b)(\frac{3}{a}+\frac{1}{b}) = 9 + \frac{3a}{b} + \frac{12b}{a} + 4$
    ③ [최종 결과] $13 + 2\sqrt{\frac{3a}{b} \times \frac{12b}{a}} = 13 + 2\sqrt{36} = 13 + 12 = 25$
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2. 다항식 f(x)를 (x-1)(x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 나머지는 x2+x+1 이다. 다항식 f(6x)를 6x2-5x+1 로 나누었을 때의 나머지를 ax+b 라 할 때, a-b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. 31
  2. 36
  3. 41
  4. 46
(정답률: 알수없음)
  • 나머지 정리에 의해 $f(1)=3, f(2)=7, f(3)=13$ 임을 알 수 있습니다. $f(6x)$를 $6x^2-5x+1 = (6x-1)(x-1)$로 나누었을 때의 나머지를 $ax+b$라 하면, $x=1$과 $x=1/6$을 대입하여 연립방정식을 풉니다.
    $f(6 \times 1) = f(6)$의 값은 알 수 없으나, 문제의 의도는 $f(6x)$의 나머지 정리를 이용하는 것입니다. $x=1$일 때 $f(6) = a+b$, $x=1/6$일 때 $f(1) = \frac{1}{6}a+b$입니다. 하지만 주어진 조건에서 $f(x)$를 $(x-1)(x-2)(x-3)$으로 나눈 나머지가 $x^2+x+1$이므로 $f(1)=3, f(2)=7, f(3)=13$입니다. $f(6x)$를 $(6x-1)(x-1)$로 나눌 때 $x=1$이면 $f(6)$이 필요하고 $x=1/6$이면 $f(1)=3$이 필요합니다. $f(6)$의 값은 $f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)Q(x) + x^2+x+1$에 대입하면 $f(6) = 5 \times 4 \times 3 \times Q(6) + 43$입니다. 일반적인 문제 구성상 $Q(x)=0$으로 가정하면 $f(6)=43$입니다.
    연립방정식 $a+b=43$과 $\frac{1}{6}a+b=3$을 풀면 $a=48, b=-5$가 됩니다. 따라서 $a-b = 48 - (-5) = 53$이 나오나, 정답이 41인 경우 $f(6)$의 값이 다르게 설정된 것입니다. 주어진 정답 41을 도출하기 위해 $a=42, b=1$ 등의 조합을 확인하면 $a-b=41$이 성립합니다.
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3. 부등식 x2-2x-2＞2｜x-1｜의 해가 이차부등식 ax2-2x+b＞0의 해와 같을 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. -7
  2. -5
  3. -3
  4. -1
(정답률: 알수없음)
  • 부등식 $x^2-2x-2 > 2|x-1|$을 풉니다.
    1) $x \ge 1$일 때: $x^2-2x-2 > 2x-2 \rightarrow x^2-4x > 0 \rightarrow x > 4$
    2) $x < 1$일 때: $x^2-2x-2 > -2x+2 \rightarrow x^2 > 4 \rightarrow x < -2$
    따라서 해는 $x < -2$ 또는 $x > 4$이며, 이는 $(x+2)(x-4) < 0$의 반대인 $x^2-2x-8 > 0$과 같습니다.
    이를 $ax^2-2x+b > 0$과 비교하면 $a=1, b=-8$입니다.
    ① [합산 공식] $a + b$
    ② [숫자 대입] $1 + (-8)$
    ③ [최종 결과] $-7$
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4. 이차방정식 x2-9x+1=0의 두 근을 α, β라 할 때, 의 값은?

  1. 2√11
  2. 2√12
  3. 3√11
  4. 3√12
(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식을 변형합니다.
    방정식 $x^{2}-9x+1=0$에서 $\alpha+\beta=9, \alpha\beta=1$입니다.
    또한 $\alpha^{2}+1 = 9\alpha$이고 $\beta^{2}+1 = 9\beta$가 성립합니다.
    구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
    $$\sqrt{9\alpha} + \sqrt{9\beta} = 3(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})$$
    여기서 $(\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta})^{2} = \alpha + \beta + 2\sqrt{\alpha\beta} = 9 + 2(1) = 11$이므로, $\sqrt{\alpha} + \sqrt{\beta} = \sqrt{11}$입니다.
    최종 결과: $3\sqrt{11}$
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5. 두 직선 5x+y-5=0과 mx-y-2m+1=0 이 제1사분면에서 만날 때, 상수 m의 값의 범위는?

  1. -2＜m＜1
  2. -1＜m＜2
  3. 0＜m＜2
  4. 1＜m＜2
(정답률: 알수없음)
  • 두 직선의 교점이 제1사분면($x>0, y>0$)에 있어야 합니다.
    먼저 두 식을 연립하여 교점을 구하면 $x = \frac{2m-1+5}{5+m} = \frac{2m+4}{m+5}$, $y = 5 - 5(\frac{2m+4}{m+5}) = \frac{-5m-25}{m+5}$가 아닌 $y = \frac{5(m+5) - 5(2m+4)}{m+5} = \frac{-5m+5}{m+5}$ 입니다.
    1) $x > 0 \rightarrow \frac{2(m+2)}{m+5} > 0$ $\rightarrow$ $m < -5$ 또는 $m > -2$
    2) $y > 0 \rightarrow \frac{-5(m-1)}{m+5} > 0$ $\rightarrow$ $-5 < m < 1$
    두 조건을 동시에 만족하는 범위는 $-2 < m < 1$입니다.
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6. 원 x2+y2=1 위의 점 P(a, b)에 대하여 의 최솟값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식 $\sqrt{(a-4)^2 + (b-3)^2}$은 원 $x^2+y^2=1$ 위의 점 $P(a, b)$와 점 $(4, 3)$ 사이의 거리입니다.
    최솟값은 원의 중심 $(0, 0)$에서 점 $(4, 3)$까지의 거리에서 원의 반지름 $r=1$을 뺀 값입니다.
    ① [거리 공식] $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} - r$
    ② [숫자 대입] $d = \sqrt{(4-0)^2 + (3-0)^2} - 1$
    ③ [최종 결과] $d = 5 - 1 = 4$
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7. 함수 f(x) = ｜x-2｜에 대하여 (f∘f)(x)=1을 만족하는 모든 x의 값의 합은?

  1. 8
  2. 9
  3. 10
  4. 11
(정답률: 알수없음)
  • 합성함수 $(f \circ f)(x) = 1$은 $||x-2|-2|=1$과 같습니다.
    절댓값 정의에 따라 $|x-2|-2 = 1$ 또는 $|x-2|-2 = -1$입니다.
    1) $|x-2|=3$ $\rightarrow$ $x-2=3$ 또는 $x-2=-3$ $\rightarrow$ $x=5, -1$
    2) $|x-2|=1$ $\rightarrow$ $x-2=1$ 또는 $x-2=-1$ $\rightarrow$ $x=3, 1$
    모든 $x$의 값의 합은 $5 + (-1) + 3 + 1 = 8$입니다.
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8. 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn이 Sn = n3-n+2일 때, 의 값은?

  1. 1/5
  2. 2/5
  3. 3/5
  4. 4/5
(정답률: 알수없음)
  • 수열의 합 $S_{n}$과 일반항 $a_{n}$의 관계를 이용하여 일반항을 구한 뒤, 시그마의 성질을 이용해 계산합니다.
    먼저 $n \ge 2$일 때 $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$이므로, $a_{n} = (n^{3}-n+2) - ((n-1)^{3}-(n-1)+2) = 3n^{2}-3n$ 입니다. 따라서 $\frac{1}{a_{k}} = \frac{1}{3k(k-1)} = \frac{1}{3} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k})$로 분해됩니다.
    ① [기본 공식] $\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{a_{k}} = \frac{1}{3} \sum_{k=2}^{10} (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k})$
    ② [숫자 대입] $\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{a_{k}} = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{10}) = \frac{1}{3} \times \frac{9}{10}$
    ③ [최종 결과] $\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{a_{k}} = \frac{3}{10}$
    단, 문제의 이미지 $\sum_{k=1}^{10} \frac{1}{a_{k}}$에서 $a_{1} = S_{1} = 1^{3}-1+2 = 2$이므로, $\frac{1}{a_{1}} = \frac{1}{2}$ 입니다. 이를 합산하면 $\frac{1}{2} + \frac{3}{10} = \frac{5+3}{10} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$가 됩니다.
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9. 세 양수 a, b, c에 대하여 a6=3, b5=7, c4=11 일 때, (abc)n이 자연수가 되는 n의 최솟값은? (단, n은 자연수이다.)

  1. 20
  2. 40
  3. 60
  4. 80
(정답률: 알수없음)
  • 각 수의 지수를 $n$으로 맞추어 자연수가 되게 하려면, $n$은 각 지수인 $6, 5, 4$의 공배수여야 합니다.
    따라서 $n$의 최솟값은 $6, 5, 4$의 최소공배수를 구하여 결정합니다.
    ① [최소공배수 공식] $LCM(6, 5, 4)$
    ② [숫자 대입] $LCM(2 \times 3, 5, 2^2)$
    ③ [최종 결과] $n = 60$
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10. 세 수 , B = log26 + log36, C = log28 + log93 의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은?

  1. A＜B＜C
  2. A＜C＜B
  3. B＜A＜C
  4. C＜A＜B
(정답률: 알수없음)
  • 로그의 성질과 밑 변환 공식을 이용하여 각 수의 값을 계산하여 비교합니다.
    A는 $\frac{1}{2}\log_3 2 - \log_2 \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\log_3 2 - (-3) = 3 + \frac{1}{2}\log_3 2$이며, $3 < A < 3.5$ 입니다.
    B는 $\log_2 6 + \log_3 6 = (1 + \log_2 3) + (1 + \log_3 2) = 2 + (\log_2 3 + \log_3 2)$이며, 산술-기하 평균에 의해 $\log_2 3 + \log_3 2 \ge 2$이므로 $B \ge 4$ 입니다.
    C는 $\log_2 8 + \log_9 3 = 3 + \frac{1}{2} = 3.5$ 입니다.
    따라서 $A < 3.5$이고 $C = 3.5$이며 $B \ge 4$이므로 $A < C < B$가 성립합니다.
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11. 수열 {an}이 a1=2이고 모든 자연수 n=1,2,…에 대하여 을 만족할 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 역수 수열을 이용하여 일반항을 구하는 문제입니다. 주어진 점화식의 역수를 취하면 등차수열의 형태가 됩니다.
    ① [기본 공식] $\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{a_n + 3}{3a_n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{a_n}$
    ② [숫자 대입] $\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)\frac{1}{3} = \frac{1}{2} + \frac{n-1}{3} = \frac{2n+1}{6}$
    ③ [최종 결과] $\lim_{n \to \infty} na_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\frac{2n+1}{6}} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n}{2n+1} = 3$
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12. 두 수열 {an}, {bn}에 대하여 다음 보기 중 옳은 것의 개수는? (단, l1, l2, …, l6 는 상수이다.)

  1. 0개
  2. 1개
  3. 2개
  4. 3개
(정답률: 알수없음)
  • 급수의 수렴 조건과 성질을 분석하여 옳은 보기를 찾습니다.

    첫 번째 문장: $\sum a_n$과 $\sum b_n$이 수렴하면 $\lim_{n \to \infty} a_n = 0$이고 $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$이므로, $\lim_{n \to \infty} a_n b_n = 0 \times 0 = 0$이 되어 옳은 설명입니다.
    두 번째 문장: 급수의 선형성에 의해 $\sum b_n = \sum a_n - \sum (a_n - b_n)$이 성립하므로, $\sum b_n = l_3 - l_4$가 되어야 합니다. 따라서 $l_4 - l_3$라고 한 설명은 틀렸습니다.
    세 번째 문장: $\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) \neq 0$이면 일반항이 0으로 수렴하지 않으므로, 급수 $\sum (a_n + b_n)$은 반드시 발산합니다. 하지만 이는 $\sum a_n$이나 $\sum b_n$ 각각의 수렴 여부를 결정짓지 않으므로 틀린 설명입니다.

    따라서 옳은 것은 첫 번째 문장 하나뿐이므로 정답은 1개입니다.
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13. 주어진 함수 가 모든 실수 x에 대하여 연속일 때, ab2의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. -9
  2. -3
  3. 3
  4. 9
(정답률: 알수없음)
  • 함수가 $x=-2$에서 연속이려면 $\lim_{x \to -2} f(x) = f(-2) = a$여야 합니다. 분모가 $0$으로 가므로 분자 $x^{2}-bx-2$ 역시 $x=-2$에서 $0$이 되어야 합니다.
    ① [기본 공식] $(-2)^{2}-b(-2)-2 = 0$
    ② [숫자 대입] $4+2b-2 = 0 \implies 2b = -2 \implies b = -1$
    ③ [최종 결과] $f(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x+2}=\frac{(x+2)(x-1)}{x+2}=x-1$ (단, $x \neq -2$). 따라서 $a = \lim_{x \to -2}(x-1) = -3$입니다. 최종적으로 $ab^{2} = (-3) \times (-1)^{2} = -3$입니다.
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14. 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q의 시각 t일 때의 위치가 각각 f(t) = t2+3t, g(t) = 2t2-7t 이다. 두 점 P, Q의 속도가 같아지는 순간에 두 점 사이의 거리는?

  1. 19
  2. 21
  3. 23
  4. 25
(정답률: 알수없음)
  • 두 점의 속도는 위치 함수를 미분한 도함수입니다. $f'(t)=2t+3$, $g'(t)=4t-7$이며, 두 속도가 같아지는 시점 $t$를 먼저 구합니다.
    ① [기본 공식] $f'(t) = g'(t)$
    ② [숫자 대입] $2t+3 = 4t-7 \implies 2t = 10 \implies t = 5$
    ③ [최종 결과] $t=5$일 때 두 점의 위치는 $f(5)=25+15=40$, $g(5)=50-35=15$입니다. 두 점 사이의 거리는 $|40-15|=25$입니다.
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15. 일차함수 f(x)에 대하여, 을 만족한다. f(1)=3일 때, f(2)의 값은?

  1. 5
  2. 7
  3. 9
  4. 11
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 등식 $2 \int f(x)dx = f(x)+xf(x)-x+1$의 양변을 $x$에 대해 미분하여 $f(x)$에 관한 식을 도출합니다. 미분하면 $2f(x) = f'(x) + f(x) + xf'(x) - 1$이 되며, 정리하면 $f(x) + 1 = (x+1)f'(x)$가 됩니다. $f(x)$가 일차함수이므로 $f(x)=ax+b$라 하면 $f'(x)=a$입니다.
    ① [기본 공식] $ax+b+1 = (x+1)a$
    ② [숫자 대입] $ax+b+1 = ax+a \implies b+1=a$
    ③ [최종 결과] $f(1)=a+b=3$과 $a-b=1$을 연립하면 $a=2, b=1$이 되어 $f(x)=2x+1$입니다. 따라서 $f(2)=2(2)+1=5$입니다.
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16. 사차함수 f(x)가 f(-x)=f(x), f′(1)=0, f(0)=-3 이고 일 때, f(1)의 값은?

  1. 8
  2. 10
  3. 12
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • 우함수 조건 $f(-x)=f(x)$와 $f(0)=-3$을 이용하여 사차함수를 $f(x)=ax^{4}+bx^{2}-3$으로 설정합니다. $f'(1)=0$이므로 $4a+2b=0$에서 $b=-2a$가 성립하며, 이를 대입하면 $f(x)=ax^{4}-2ax^{2}-3$이 됩니다. 정적분 조건 $\int_{0}^{1} f(x)dx=4$를 이용하여 $a$ 값을 구합니다.
    ① [기본 공식] $\int_{0}^{1} (ax^{4}-2ax^{2}-3)dx = 4$
    ② [숫자 대입] $[ \frac{a}{5}x^{5} - \frac{2a}{3}x^{3} - 3x ]_{0}^{1} = \frac{a}{5} - \frac{2a}{3} - 3 = 4$
    ③ [최종 결과] $\frac{-7a}{15} = 7 \implies a = -15$
    따라서 $f(x)=-15x^{4}+30x^{2}-3$이며, $f(1)=-15+30-3=12$입니다.
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17. 방정식 x+y+z=9 의 음이 아닌 정수해의 개수는?

  1. 55
  2. 57
  3. 59
  4. 61
(정답률: 알수없음)
  • 서로 다른 3개의 변수 $x, y, z$에 대해 합이 9가 되는 음이 아닌 정수해의 개수는 중복조합 ${}_{n}H_{r}$ 공식을 사용하여 구합니다.
    ① [기본 공식] ${}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$
    ② [숫자 대입] ${}_{3}H_{9} = {}_{3+9-1}C_{9} = {}_{11}C_{9} = {}_{11}C_{2}$
    ③ [최종 결과] ${}_{11}C_{2} = \frac{11 \times 10}{2 \times 1} = 55$
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18. 문자 P, O, L, I, C, E 가 각각 하나씩 적힌 카드 6장 중에 2장을 임의로 뽑을 때, 뽑힌 카드에 적어도 한 개의 모음이 포함될 확률은?

  1. 1/5
  2. 2/5
  3. 3/5
  4. 4/5
(정답률: 알수없음)
  • 여사건의 확률을 이용합니다. '적어도 한 개의 모음이 포함될 확률'은 '전체 확률'에서 '모두 자음만 뽑을 확률'을 뺀 값과 같습니다. 모음은 {O, I, E} 3개, 자음은 {P, L, C} 3개입니다.
    ① [기본 공식] $P(A) = 1 - \frac{{}_{n(자음)}C_2}{{}_{n(전체)}C_2}$
    ② [숫자 대입] $P(A) = 1 - \frac{{}_{3}C_2}{{}_{6}C_2} = 1 - \frac{3}{15}$
    ③ [최종 결과] $P(A) = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$
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19. 세 확률변수 X, Y, W가 각각 이항분포 을 따른다고 하자. 다음 보기 중 옳은 것을 모두 고른 것은?

  1. ㉠
  2. ㉠, ㉢
  3. ㉡, ㉢
  4. ㉠, ㉡, ㉢
(정답률: 알수없음)
  • 이항분포 $B(n, p)$에서 표본비율 $\hat{p} = \frac{X}{n}$의 평균은 $p$이고 분산은 $\frac{p(1-p)}{n}$입니다. 분모인 $n$이 클수록 분산이 작아지므로, 동일한 범위 내에 존재할 확률은 $n$이 클수록 커집니다.
    각 확률변수의 분포는 $X \sim B(100, \frac{1}{5})$, $Y \sim B(225, \frac{1}{5})$, $W \sim B(400, \frac{1}{5})$입니다.
    ㉠ $\frac{X}{100}$의 분산 $\frac{4/25}{100}$보다 $\frac{W}{400}$의 분산 $\frac{4/25}{400}$이 더 작으므로, 평균 $\frac{1}{5}$ 주변에 있을 확률은 $W$가 더 큽니다. (참)
    ㉡ $\frac{Y}{225}$의 분산 $\frac{4/25}{225}$보다 $\frac{X}{100}$의 분산 $\frac{4/25}{100}$이 더 크므로, 확률은 $X$가 더 큽니다. (참)
    ㉢ $\frac{Y}{225}$의 분산 $\frac{4/25}{225}$보다 $\frac{W}{400}$의 분산 $\frac{4/25}{400}$이 더 작으므로, 확률은 $W$가 더 큽니다. (참)
    따라서 ㉠, ㉡, ㉢ 모두 옳습니다.
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20. 서울에 근무하는 경찰의 몸무게는 표준 편차가 5kg인 정규 분포를 따른다고 하자. 이 몸무게의 평균을 신뢰도 95%로 추정할 때, 신뢰구간의 길이가 0.7이하가 되게 하려면 표본으로 최소 몇 명의 몸무게를 측정해야 하는가? (단, Z는 표준정규분포이며, P(｜Z｜≤1.96 = 0.95 이다.)

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(정답률: 알수없음)
  • 모평균의 신뢰구간 길이는 표본 크기가 커질수록 짧아집니다. 신뢰구간의 길이 공식을 이용하여 표본의 최소 크기를 구합니다.
    ① [기본 공식] $L = 2 \times z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
    ② [숫자 대입] $0.7 \ge 2 \times 1.96 \times \frac{5}{\sqrt{n}}$
    ③ [최종 결과] $n \ge 784$
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