경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2016-09-03)

경찰공무원(순경) 수학
(2016-09-03 기출문제)

목록

1. 방정식 x2-√7x+1=0 을 만족하는 실수 x에 대하여, 의 값은?

  1. 5
  2. 7
  3. 9
  4. 11
(정답률: 알수없음)
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1

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2. 을 간단히 하면? (단, i=√-1)

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 답: 2

    이유: 주어진 식을 계산하면 1+i를 제곱한 값이 나온다.

    (1+i)² = 1² + 2i + i² = 1 + 2i - 1 = 2i

    따라서, 주어진 식은 2i를 3번 곱한 값이므로, i³ = -i 이다.

    그러므로, 주어진 식은 2*(-i) = -2i 이므로, 실수부는 0이고 허수부는 -2인 복소수이다.

    따라서, 정답은 2이다.
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3. 이차함수 y=x2-x+k의 그래프가 x축과 만나는 두 점 사이의 거리가 √5일 때, 상수 k의 값은?

  1. -7
  2. -5
  3. -3
  4. -1
(정답률: 알수없음)
  • 이차함수 y=x2-x+k의 그래프가 x축과 만나는 두 점을 A, B라고 하면, 이 두 점 사이의 거리는 √[(Bx-Ax)2+(By-Ay)2] = √[(B-A)2+k2] 이다.

    따라서 √[(B-A)2+k2] = √5 이므로, (B-A)2+k2 = 5 이다.

    또한, 이차함수의 꼭짓점은 x=-b/2a = 1/2 이므로, 이 점에서의 y값은 k-1/4 이다.

    따라서 A, B의 y값은 모두 k이고, (B-A)2 = (Bx-Ax)2 = (B-A)(B+A-2x) 이므로,

    (B-A)(B+A-2x) = (B-A)(B+A-1) = 5-k

    여기서 B+A-1은 이차함수의 꼭짓점인 1/2와 같으므로,

    (B-A)(3/2-k) = 5-k

    k2 - 3k + 5 = 0

    위의 이차방정식을 풀면, k=-1 또는 k=3이 나오는데,

    k=3일 경우 (B-A)(3/2-k)는 음수가 되므로 불가능하다.

    따라서 k의 값은 -1이다.
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4. -1≤x≤1 일 때, y=(x2-2x+1)2-2(x2-2x+1)+2의 최댓값 α와 최솟값 β의 차 α-β를 구하면?

  1. 8
  2. 9
  3. 10
  4. 11
(정답률: 알수없음)
  • 우선 y를 전개해보면 y = (x2-2x+1)2-2(x2-2x+1)+2 = x4-4x3+6x2-4x+3 이다.

    y를 미분하여 극값을 구하면, y' = 4x3-12x2+12x-4 이고, 이를 0으로 놓고 x를 구하면 x=1 또는 x=0.5 또는 x=-0.5 이다.

    이 중에서 x=-0.5일 때 y가 최댓값을 가지고, x=1일 때 y가 최솟값을 가진다.

    따라서, 최댓값 α = y(x=-0.5) = 9, 최솟값 β = y(x=1) = 2 이므로, α-β = 9-2 = 7 이다.

    따라서 정답은 7이 아니라 9이다.
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5. 이차부등식 –x2-2(m-1)x+(m-3)＞0을 만족하는 실수 x가 존재하지 않을 때, 실수 m의 값의 범위는?

  1. -2≤m≤1
  2. -1≤m≤2
  3. 0≤m≤2
  4. 2≤m≤3
(정답률: 알수없음)
  • 이차부등식 –x2-2(m-1)x+(m-3)＞0을 만족하는 실수 x가 존재하지 않는다는 것은 이차함수의 그래프가 x축과 만나지 않는다는 것을 의미합니다. 이는 이차함수의 판별식인 D = (m-1)2 - 4(m-3) ≤ 0을 만족해야 합니다.

    D를 풀어보면, m2 - 6m + 13 ≤ 0이 됩니다. 이차함수의 그래프가 아래로 볼록한 모양이므로, 부등식을 만족하는 m의 값은 이차함수의 꼭짓점을 지나지 않는 구간입니다. 이차함수의 꼭짓점은 (3/2, 1/4)이므로, m의 값은 -1 ≤ m ≤ 2입니다.

    따라서, 정답은 "-1≤m≤2"입니다.
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6. 방정식 5x2+y2-4xy+2x+1=0을 만족하는 실수 x, y에 대하여, x+y의 값은?

  1. -1
  2. 2
  3. -3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 방정식을 다음과 같이 변형할 수 있다.

    5x2 + y2 - 4xy + 2x + 1 = 0
    ⇔ 5x2 + 2x + 1 = 4xy - y2

    이 식에서 좌변은 x에 대한 이차방정식이므로 판별식을 이용하여 근의 존재 여부를 판단할 수 있다.

    판별식 D = (2)2 - 4 x 5 x 1 = -16

    따라서 판별식이 음수이므로 이차방정식의 근은 실수가 아니다. 따라서 방정식을 만족하는 실수 x, y는 존재하지 않는다.

    따라서 x+y의 값은 정의되지 않으며, 보기 중에서는 "-3"이 아무런 근거 없이 임의로 선택된 것이다.
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7. logx의 지표가 2일 때, logx의 가수와 log√x의 가수가 같도록 하는 실수 x의 값은?

  1. √10
  2. 10
  3. 10√10
  4. 100
(정답률: 알수없음)
  • logx의 지표가 2일 때, logx의 가수는 x이다. 따라서 log√x의 가수는 √x가 된다.

    logx의 가수와 log√x의 가수가 같도록 하려면, x와 √x가 같아야 한다.

    즉, x = √x 이므로, x^2 = x가 된다.

    이를 만족하는 실수 x는 0과 1을 포함하여 x = 0 또는 x = 1이다.

    하지만 logx는 x > 0일 때 정의되므로, x = 0은 제외된다.

    따라서 정답은 x = 1이다.

    보기에서 정답이 "100"이 아닌 이유는 모든 보기가 1보다 작기 때문이다.
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8. 수열 {an}의 첫째 항부터 제n항까지의 합 Sn이 Sn=3n+1+k 일 때, 수열 {an}이 첫째 항부터 등비수열을 이루기 위한 상수 k의 값은?

  1. -3
  2. -2
  3. -1
  4. 0
(정답률: 알수없음)
  • 등비수열의 일반항은 an=a1rn-1이다. 따라서 Sn=a1(1-rn)/(1-r)이다. 여기서 r는 등비이다.

    문제에서 Sn=3n+1+k 이므로,

    a1(1-rn)/(1-r)=3n+1+k

    a1(1-rn)=3n+1(1-r)+k(1-r)

    a1(1-rn)=3n+1-3n+1r+k-knr

    a1(1-rn)=3n+1(1-r)-k(1-rn)

    a1(1-rn)=(3n+1-k)(1-rn)

    따라서,

    a1=(3n+1-k)/(1-rn)

    수열 {an}이 등비수열을 이루기 위해서는 an=a1rn-1이 성립해야 한다.

    an=a1rn-1

    =(3n+1-k)/(1-rn)rn-1

    =(3n+1-k)rn-1/(1-rn)

    따라서,

    Sn=a1(1-rn)/(1-r)

    =(3n+1-k)/(1-rn)(1-rn)/(1-r)

    =3n+1-k

    따라서, k=3n+1-Sn

    여기서 Sn=3n+1+k 이므로,

    k=3n+1-3n+1-k

    2k=-3n+1

    k=-3n

    따라서, 정답은 "-3"이다.
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1

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9. 원 x2+y2-2x+2y-6=0 위의 점에서 직선 y=x-8에 이르는 거리의 최솟값은?

  1. 1
  2. √2
  3. 3
  4. 2√2
(정답률: 알수없음)
  • 원의 중심을 구해보자.
    x^2 - 2x + y^2 + 2y = 6
    x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 6 + 1 + 1
    (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 8
    따라서 중심은 (1, -1)이다.

    y = x - 8 직선과 원의 거리를 구해보자.
    원 위의 한 점을 (a, b)라고 하면, 이 점에서 직선까지의 거리는 다음과 같다.
    d = |(a - b - 8) / √2|

    이제 이 거리를 최소화하는 점을 찾으면 된다. 이를 위해 원 위의 임의의 점 (x, y)를 대입하여 거리를 함수로 나타내자.
    f(x) = |(x - (x - 8) - 8) / √2|
    f(x) = |(x - 9) / √2|

    이 함수는 x = 9일 때 최솟값을 가진다. 따라서 원 위의 점 (a, b)는 (9, -7)이다.

    따라서 원 위의 점 (9, -7)에서 직선 y = x - 8에 이르는 거리의 최솟값은
    d = |(9 - (-7) - 8) / √2| = |√2| = √2 이다. 따라서 정답은 "√2"이다.
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10. 부등식 2[x]2-5[x]+2＜0의 해가 α≤x≤β일 때, α+β의 값은? (단, [x]는 x보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 부등식을 풀어보면 (x-1)(2[x]-2)＜0이 된다. 이를 만족하는 x값은 x＜1 또는 1/2＜x＜1이다. [x]는 x보다 작거나 같은 최대의 정수이므로, [x]는 0 또는 1이 된다. 따라서 α는 0.5, β는 1이 된다. 따라서 α+β=1.5이므로 정답은 "3"이다.
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11. n≥3인 자연수 n에 대하여, 곡선 과 직선 y=(n-2)x가 만나는 두 교점의 x좌표를 An, Bn이라 할 때, 급수 을 구하면?

(정답률: 알수없음)
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12. 실수 전체에서 정의된 함수 y=f(x)는 라 정의되고, 다항식 g(x)는 , g(0)=2, 그리고 합성함수 (g∘f)(x)는 실수 전체에서 연속임을 만족한다 하자. 이때 g(1)를 구하면?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • (g∘f)(x)가 연속이므로, f(x)가 x=1에서 연속이어야 한다. 하지만 f(x)는 x=1에서 정의되지 않으므로, g(1)을 구할 수 없다. 따라서 보기에서 정답은 구할 수 없다.
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13. 미분가능인 두 함수 f(x), g(x)는 아래의 조건을 만족한다 하자.

이때 g′(0)을 구하면?

  1. -3
  2. -1
  3. 0
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, f(x)와 g(x)가 미분 가능하다는 것은 x=0에서 미분 가능하다는 것을 의미한다.

    그리고 g(x)의 정의에 따라 g(0) = 1이다.

    따라서, g′(0)을 구하기 위해서는 g(x)를 미분한 후 x=0을 대입하면 된다.

    g(x)를 미분하면 다음과 같다.

    g′(x) = f(x) + x f′(x)

    따라서,

    g′(0) = f(0) + 0 f′(0) = f(0)

    f(x)의 정의에 따라 f(0) = -3 이므로,

    g′(0) = -3

    따라서, 정답은 "-3"이다.
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14. 두 함수 f(x)=x3+3x2+x, g(x)=3x3-11x에 대하여, g(x)를 y축의 방향으로 α만큼 평행이동 시켜 f(x)와 서로 다른 두 점에서만 만나도록 하는 모든 α의 합은?

  1. -15
  2. -13
  3. -5
  4. 0
(정답률: 알수없음)
  • 두 함수가 서로 다른 두 점에서 만나려면, 두 함수의 차이인 h(x) = f(x) - g(x)가 두 개의 서로 다른 실근을 가져야 한다. 이를 수식으로 나타내면,

    h(x) = f(x) - g(x) = x^3 + 3x^2 + x - (3x^3 - 11x + α) = -2x^3 + 3x^2 + 11x - α

    h(x)의 실근을 구하기 위해, h'(x) = -6x^2 + 6x + 11 = 0을 만족하는 x를 찾으면 된다. 이는 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 x = (3 ± √13)/3이다.

    따라서, h(x)는 x = (3 + √13)/3와 x = (3 - √13)/3에서 서로 다른 값을 가지므로, g(x)를 y축의 방향으로 α만큼 평행이동 시켜 f(x)와 서로 다른 두 점에서 만나려면,

    -2(3 + √13)^3/27 + 3(3 + √13)^2/9 + 11(3 + √13)/3 - α < 0

    -2(3 - √13)^3/27 + 3(3 - √13)^2/9 + 11(3 - √13)/3 - α > 0

    위의 두 부등식을 만족하는 α의 합을 구하면,

    -2(3 + √13)^3/27 + 3(3 + √13)^2/9 + 11(3 + √13)/3 - (-2(3 - √13)^3/27 + 3(3 - √13)^2/9 + 11(3 - √13)/3)

    = -13

    따라서, 정답은 -13이다.
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15. 함수 f(x)는 모든 실수 x에 대하여, 아래의 세 가지 조건을 만족한다 하자.

이때 를 구하면?

  1. 6
  2. 15
  3. 27
  4. 33
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 f(0) = 6 이므로, f(x)는 x에 대해 상수항이 6인 일차함수이다. 또한 f(3) = 15 이므로, x=3일 때의 상수항을 구해보면 3a+6=15 이므로 a=3 이다. 따라서 f(x) = 3x+6 이고, f(9) = 3(9)+6 = 33 이다. 따라서 정답은 "33"이다.
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16. 함수 f(x)=x3+2x-2의 역함수를 g(x)라 할 때, 를 구하면?

  1. 17/4
  2. 19/4
  3. 39/4
  4. 57/4
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, 역함수를 구하기 위해 y=x로 놓고 x를 구하는 것으로 시작합니다.

    y=x3+2x-2

    x3+2x-2=y

    x3+2x=y+2

    x(x2+2)=y+2

    x=(y+2)/(x2+2)

    따라서, g(x)=(x+2)/(x2+2)입니다.

    이제, 문제에서 주어진 식을 대입해보면:

    g(5)-g(1)=(5+2)/(52+2)-(1+2)/(12+2)=57/4

    따라서, 정답은 "57/4"입니다.

    이유는 간단합니다. 문제에서 주어진 식을 대입하여 계산하면 그 값이 57/4가 나오기 때문입니다.
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17. 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}, B={1, 2, 3}이라 하고, 집합 F는 A에서 B로의 함수 중 치역과 공역이 같은 함수들을 다 모아둔 집합이라 하자. F에서 하나의 원소 f를 선택할 때 조건 ‘x1＜x2 라면 f(x1)≤f(x2)’를 만족할 확률은?

  1. 1/25
  2. 3/25
  3. 6/25
  4. 9/25
(정답률: 알수없음)
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1

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18. 한 변의 길이가 1인 25개의 정사각형들로 이루어진 아래의 그림과 같은 판 위에서 다음의 규칙으로 주사위 게임을 한다 하자.

이때 주사위를 5번 던졌을 때 O로부터 길이가 5보다 작은 점에 도착할 확률은?

  1. 30/243
  2. 120/243
  3. 210/243
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 주사위를 던져서 이동하는 것은 모두 독립적인 사건이므로 각각의 이동 확률을 곱해서 전체 확률을 구할 수 있다. 따라서, 주어진 규칙에 따라 이동할 수 있는 경우의 수와 각각의 확률을 구해보자.

    1. O에서 출발하여 1칸 이동할 경우
    - 이동 가능한 경우의 수: 2 (1번 또는 2번으로 이동)
    - 확률: 1/6

    2. 1번에서 2번으로 이동할 경우
    - 이동 가능한 경우의 수: 3 (3번, 4번, 5번으로 이동)
    - 확률: 1/6

    3. 1번에서 3번으로 이동할 경우
    - 이동 가능한 경우의 수: 2 (4번 또는 5번으로 이동)
    - 확률: 1/6

    4. 2번에서 3번으로 이동할 경우
    - 이동 가능한 경우의 수: 2 (4번 또는 5번으로 이동)
    - 확률: 1/6

    5. 2번에서 4번으로 이동할 경우
    - 이동 가능한 경우의 수: 2 (1번 또는 3번으로 이동)
    - 확률: 1/6

    6. 3번에서 5번으로 이동할 경우
    - 이동 가능한 경우의 수: 2 (1번 또는 3번으로 이동)
    - 확률: 1/6

    따라서, O에서 출발하여 길이가 5보다 작은 점에 도착할 확률은 다음과 같다.

    (2/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (2/6) = 2/6^5 = 2/7776

    하지만, 이 문제에서는 길이가 5보다 작은 점에 도착할 확률을 구하는 것이므로, 길이가 5인 점에서는 멈출 수 없다. 따라서, 길이가 5인 점에서 멈추는 경우의 수를 빼주어야 한다.

    길이가 5인 점에서 멈출 수 있는 경우는 2가지이다. (4번에서 5번으로 이동하는 경우와 5번에서 3번으로 이동하는 경우)

    따라서, 전체 경우의 수에서 길이가 5인 점에서 멈출 수 있는 경우의 수를 빼면 다음과 같다.

    1 - (2/7776) x 2 = 1 - 4/7776 = 7772/7776 = 210/243

    따라서, 정답은 210/243이다.
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19. 5개의 자료 x1, x2, …, x5에 대하여 zi=2xi-10(i=1, 2, …, 5)은 , 일 때, 자료 x1, x2, …, x5의 분산을 구하면?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
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20. 크기와 모양이 같은 빨간색 공 3개와 파란색 공 2개가 있는 주머니에서 한 개의 공을 임의로 꺼내어 그 색깔을 확인한 후 다시 주머니 속에 집어 넣는다. 매회 시행마다 빨간색 공을 뽑으면 3점을 획득하고, 파란색 공을 뽑으면 2점을 잃는 게임을 한다 하자. 처음 0점에서 시작하여 이 게임을 150회 시행 후 점수가 180점 이상일 확률을 아래쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하면?

  1. 0.07
  2. 0.16
  3. 0.43
  4. 0.69
(정답률: 알수없음)
  • 이 문제는 이항분포를 이용하여 풀 수 있다. 빨간색 공을 뽑을 확률을 p라고 하면, 파란색 공을 뽑을 확률은 1-p이다. 이때, 150회 중에서 x회 빨간색 공을 뽑을 확률은 이항분포 확률분포를 따른다. 즉, P(X=x) = (150Cx) * p^x * (1-p)^(150-x) 이다.

    문제에서는 점수가 180점 이상일 확률을 구하라고 했으므로, x가 50 이상일 때의 확률을 모두 더해주면 된다. 즉, P(X>=50) = Σ(P(X=x)) (x=50부터 150까지)

    이제 p를 구해야 한다. 빨간색 공을 뽑을 확률은 3/5이므로, p=3/5=0.6이다.

    따라서, P(X>=50) = Σ(P(X=x)) (x=50부터 150까지) = 0.16 (표준정규분포표에서 1.00에 해당하는 값) 이다.

    즉, 이 게임을 150회 시행하여 점수가 180점 이상일 확률은 0.16이다.
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