경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2017-03-18)

경찰공무원(순경) 수학 2017-03-18 필기 기출문제 해설

이 페이지는 경찰공무원(순경) 수학 2017-03-18 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

경찰공무원(순경) 수학
(2017-03-18 기출문제)

목록

1과목: 수학

1. 이차방정식 x2 -10x + 4k = 0의 두 근의 비가 2:3일 때, 상수 k의 값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 근과 계수의 관계를 이용하여 두 근을 $2\alpha, 3\alpha$로 설정하고 상수 $k$를 구하는 문제입니다.
    두 근의 합: $2\alpha + 3\alpha = 10 \implies 5\alpha = 10 \implies \alpha = 2$
    따라서 두 근은 $4$와 $6$입니다.
    두 근의 곱: $4 \times 6 = 4k$
    ① [기본 공식] $24 = 4k$
    ② [숫자 대입] $k = \frac{24}{4}$
    ③ [최종 결과] $k = 6$
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1

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2. 두 실수 x, y에 대하여, x + y = 3이고 x3 + y3 = 9일 때, x2 + y2 의 값은?

  1. 5
  2. 8
  3. 11
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • 곱셈 공식의 변형을 이용하여 $x^2 + y^2$의 값을 도출합니다. 먼저 $xy$의 값을 구해야 합니다.
    ① [기본 공식] $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$
    ② [숫자 대입] $9 = 3^3 - 3xy(3) \implies 9xy = 18 \implies xy = 2$
    ③ [최종 결과] $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 3^2 - 2(2) = 5$
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3. 7a + 5b = 6ab을 만족하는 두 양수 a, b의 곱 ab의 최솟값보다 작거나 같은 자연수의 개수는?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식을 $ab$에 관해 정리한 후, 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 $ab$의 최솟값을 구합니다.
    ① [기본 공식] $ab = \frac{7a + 5b}{6} \ge \frac{2\sqrt{7a \times 5b}}{6}$
    ② [숫자 대입] $36(ab)^2 \ge 4 \times 35ab \implies ab \ge \frac{35}{9} \approx 3.88$
    ③ [최종 결과] $ab \ge 3.88$이므로, 이보다 작거나 같은 자연수는 $1, 2, 3$으로 총 $3$개입니다.
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4. 다항식 P(x)을 x2-8x+12로 나누었을 때의 나머지가 2x+1이고, (x2+1)P(x+3)을 x2-2x-3으로 나누었을 때의 나머지가 R(x)일 때, R(3)-2R(1)의 값은?

  1. -40
  2. -30
  3. -20
  4. -10
(정답률: 알수없음)
  • 나머지 정리에 의해 $P(x) = (x-2)(x-6)Q(x) + 2x+1$이므로 $P(5) = 2(5)+1 = 11$, $P(3) = 2(3)+1 = 7$ 입니다.
    $(x^2+1)P(x+3)$을 $(x-3)(x+1)$로 나누었을 때의 나머지가 $R(x)$이므로, $R(3) = (3^2+1)P(3+3) = 10P(6)$이고 $R(1) = (1^2+1)P(1+3) = 2P(4)$가 아니라, 나누는 식의 근인 $x=3, x=-1$을 대입해야 합니다.
    $R(3) = (3^2+1)P(3+3) = 10P(6) = 10(2 \times 6 + 1) = 130$
    $R(-1) = ((-1)^2+1)P(-1+3) = 2P(2) = 2(2 \times 2 + 1) = 10$
    나머지 $R(x) = ax+b$라 하면 $3a+b=130, -a+b=10$에서 $4a=120 \rightarrow a=30, b=40$이므로 $R(x)=30x+40$ 입니다.
    따라서 $R(3)-2R(1) = (30 \times 3 + 40) - 2(30 \times 1 + 40) = 130 - 140 = -10$ 입니다.
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5. 실수 a에 대하여 을 만족할 때, 의 값은?

  1. 2a
  2. 2
  3. -2
  4. -2a
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식 $\frac{\sqrt{2a+2}}{\sqrt{2a-2}} = -\sqrt{\frac{2a+2}{2a-2}}$가 성립하려면, 좌변의 분자와 분모가 서로 다른 부호를 가져야 하며 전체 결과가 음수여야 합니다. 즉, $2a+2 \ge 0$이고 $2a-2 < 0$이어야 하므로 $-1 \le a < 1$입니다. 이 범위에서 $|a-1| = 1-a$이고 $|a+1| = a+1$입니다.
    ① [기본 공식] $|a-1| - |a+1|$
    ② [숫자 대입] $(1-a) - (a+1)$
    ③ [최종 결과] $-2a$
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6. 원 (x-3)2 + (y-4)2 = 4 위를 움직이는 점 P(x, y)에 대하여 y/x의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 할 때, Mm + M + m의 값은?

  1. 34/5
  2. 36/5
  3. 38/5
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • $\frac{y}{x} = m$이라 하면 이는 원점을 지나는 직선 $y=mx$가 원 $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 4$와 접할 때 최댓값과 최솟값을 갖습니다. 원의 중심 $(3, 4)$에서 직선 $mx-y=0$까지의 거리가 반지름 $2$와 같아야 하므로 $\frac{|3m-4|}{\sqrt{m^2+1}} = 2$를 풉니다. 양변을 제곱하여 정리하면 $5m^2-24m+12=0$이며, 근과 계수의 관계에 의해 $M+m = \frac{24}{5}$, $Mm = \frac{12}{5}$입니다.
    ① [기본 공식] $Mm + (M+m)$
    ② [숫자 대입] $\frac{12}{5} + \frac{24}{5}$
    ③ [최종 결과] $\frac{36}{5}$
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7. 이차부등식 x2+ax+b＜0의 해가 –1＜x＜3 일 때, a2b의 값은?

  1. 24
  2. 6
  3. -12
  4. -30
(정답률: 알수없음)
  • 이차부등식의 해가 $-1 < x < 3$이라는 것은 이차방정식 $x^2 + ax + b = 0$의 두 근이 $-1$과 $3$임을 의미합니다. 근과 계수의 관계를 이용하여 $a$와 $b$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $-a = \alpha + \beta, b = \alpha \beta$
    ② [숫자 대입] $-a = -1 + 3, b = (-1) \times 3$
    ③ [최종 결과] $a^2b = (-2)^2 \times (-3) = -12$
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8. 세 실수 x, y, z에 대하여, x-2y-z=0 이고 3x+y+z=0 일 때, 의 값은? (단, xyz≠0 이다.)

  1. -14
  2. -4
  3. 4
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 연립방정식을 통해 $x, y, z$의 관계식을 찾아 대입합니다.
    $x - 2y - z = 0$ $\Rightarrow$ $z = x - 2y$
    이를 $3x + y + z = 0$에 대입하면 $3x + y + (x - 2y) = 0 \Rightarrow 4x - y = 0 \Rightarrow y = 4x$
    다시 $z$에 대입하면 $z = x - 2(4x) = -7x$
    구하고자 하는 식 $\frac{x^{2} - 4y^{2} + z^{2}}{2xy - 3xz + yz}$에 $y=4x, z=-7x$를 대입합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{x^{2} - 4(4x)^{2} + (-7x)^{2}}{2x(4x) - 3x(-7x) + (4x)(-7x)}$
    ② [숫자 대입] $\frac{x^{2} - 64x^{2} + 49x^{2}}{8x^{2} + 21x^{2} - 28x^{2}} = \frac{-14x^{2}}{x^{2}}$
    ③ [최종 결과] $-14$
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9. 자연수 k에 대하여, 라 하자. 이때, 의 값보다 작은 소수(prime number)의 개수는? (단, 소수는 1과 자기 자신만으로 나누어떨어지는 1보다 큰 자연수이다.)

  1. 12
  2. 13
  3. 14
  4. 15
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 $S(k)$ 식은 완전제곱식의 형태를 띠고 있습니다. $S(k) = \sqrt{2k+1-2\sqrt{k^2+k}} = \sqrt{(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})^2} = \sqrt{k+1}-\sqrt{k}$로 단순화됩니다.
    이를 이용하여 시그마 합을 구하면 항들이 서로 지워지는 소거형 급수가 됩니다.
    ① [기본 공식] $\sum_{k=1}^{n} S(k) = \sum_{k=1}^{n} (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) = \sqrt{n+1}-1$ ② [숫자 대입] $$\sum_{k=1}^{2017} S(k) = \sqrt{2017+1}-1 = \sqrt{2018}-1$$ ③ [최종 결과] $$\sqrt{2018}-1 \approx 44.92-1 = 43.92$$
    43.92보다 작은 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43으로 총 14개입니다.
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10. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여

을 만족한다. 함수 f(x)가 x축과 서로 다른 네 점 a, b, c, d 에서만 만날 때, 2a+b+c+2d 의 값은? (단, a＜b＜c＜d 이다.)

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 함수 $f(x)$가 $f(\frac{3}{2}+x) = f(\frac{1}{2}-x)$를 만족하므로, 이 함수는 직선 $x=1$에 대해 대칭입니다.
    x축과 만나는 네 점 $a, b, c, d$가 $x=1$을 기준으로 대칭적으로 분포하므로, $a+d=2$이고 $b+c=2$가 성립합니다.
    구하고자 하는 값은 $2a+b+c+2d = 2(a+d) + (b+c)$ 입니다.
    $$2(2) + 2 = 6$$
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11. 실수 x, y에 대하여 –1≤y≤2 이고 y=x-1일 때, x2+y2+1의 최솟값을 m, 최댓값을 M이라 하자. 이때 2m+M의 값은?

  1. 15
  2. 17
  3. 19
  4. 21
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 관계식 $x = y + 1$을 대입하여 $y$에 대한 이차함수로 변환한 뒤, 주어진 범위 $-1 \le y \le 2$에서 최댓값과 최솟값을 찾는 문제입니다.
    $$f(y) = (y+1)^{2} + y^{2} + 1 = 2y^{2} + 2y + 2 = 2(y + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{2}$$
    범위 $-1 \le y \le 2$에서
    최솟값 $m$은 $y = -\frac{1}{2}$일 때 $m = \frac{3}{2}$
    최댓값 $M$은 $y = 2$일 때 $M = 2(2)^{2} + 2(2) + 2 = 14$
    ① [기본 공식] $2m + M$
    ② [숫자 대입] $2(\frac{3}{2}) + 14$
    ③ [최종 결과] $17$
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12. 방정식 x2+x+1=0 의 한 허근을 ω라 할 때, 의 값은? (단, 는 ω의 켤레복소수이다.)

  1. -1
  2. -2
  3. -3
  4. -4
(정답률: 알수없음)
  • 방정식 $x^{2}+x+1=0$의 한 허근 $\omega$는 $\omega^{2}+\omega+1=0$과 $\omega^{3}=1$을 만족하며, 켤레복소수 $\overline{\omega}=\omega^{2}$입니다.
    주어진 식 $\frac{2\omega + \overline{\omega}^{2}}{\omega^{2} + \omega^{276}}$을 정리하면 다음과 같습니다.
    분자: $2\omega + (\omega^{2})^{2} = 2\omega + \omega^{4} = 2\omega + \omega = 3\omega$
    분모: $\omega^{2} + (\omega^{3})^{92} = \omega^{2} + 1 = -\omega$
    따라서 최종 값은 다음과 같습니다.
    $$\frac{3\omega}{-\omega} = -3$$
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13. 두 상수 a, b에 대하여 일 때, ab의 값은?

  1. 20
  2. 24
  3. 28
  4. 32
(정답률: 알수없음)
  • 분모가 $x \to 1$일 때 $0$으로 수렴하므로, 극한값이 존재하기 위해서는 분자 또한 $x=1$에서 $0$으로 수렴해야 합니다. 또한 로피탈의 정리 또는 인수분해를 통해 극한값을 계산합니다.
    ① [분자 조건] $1^{2} + a(1) - b = 0 \implies a - b = -1$
    ② [극한값 계산]- $\lim_{x \to 1} \frac{2x + a}{3x^{2}} = \frac{2 + a}{3} = 2 \implies a = 4$
    ③ [최종 결과] $a=4$를 대입하면 $b=5$이므로, $ab = 4 \times 5 = 20$
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14. 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q에 대하여 시각 t일 때의 위치가 각각

이다. 두 점 P, Q가 서로 반대방향으로 움직이는 시각 t의 범위에 속하는 모든 자연수의 합은?

  1. 8
  2. 11
  3. 14
  4. 17
(정답률: 알수없음)
  • 두 점이 서로 반대 방향으로 움직인다는 것은 두 점의 속도(위치 함수의 미분값)의 곱이 음수($f'(t)g'(t) < 0$)임을 의미합니다.
    ① [속도 함수] $f'(t) = 3t - 4, \quad g'(t) = 2t - 11$
    ② [부등식 풀이] $(3t - 4)(2t - 11) < 0 \implies \frac{4}{3} < t < \frac{11}{2}$
    ③ [최종 결과] 범위 내 자연수 $t$는 $2, 3, 4, 5$이므로 합은 $2 + 3 + 4 + 5 = 14$
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15. 함수 일 때, 의 값은?

  1. 11
  2. 10
  3. 9
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 극한 식 $\lim_{h \to 0} \frac{f(1+h) - f(1-h)}{h}$는 미분계수의 정의에 의해 $2f'(1)$의 값과 같습니다. 먼저 부정적분 $f(x)$를 미분하면 피적분함수가 되므로 $f'(x) = x^{2} + 3x$입니다.
    ① [기본 공식] $2f'(1)$
    ② [숫자 대입] $2(1^{2} + 3 \times 1)$
    ③ [최종 결과] $2 \times 4 = 8$
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16. 다항함수 f(x)가 다음 조건 을 만족할 때, f(2)의 값은?

  1. 47/2
  2. 45/2
  3. 43/2
  4. 41/2
(정답률: 알수없음)
  • 정적분 값 $\int_{0}^{1} f(x) dx$를 상수 $C$로 치환하여 함수식을 세운 뒤, 다시 적분하여 $C$ 값을 구하는 문제입니다.
    $$f(x) = 4x^{3} - 2x^{2} + 3C$$
    양변을 $0$부터 $1$까지 적분하면
    $$C = \int_{0}^{1} (4x^{3} - 2x^{2} + 3C) dx = [x^{4} - \frac{2}{3}x^{3} + 3Cx]_{0}^{1} = 1 - \frac{2}{3} + 3C$$
    $$C = \frac{1}{3} + 3C \implies 2C = -\frac{1}{3} \implies C = -\frac{1}{6}$$
    따라서 $f(2)$의 값은
    ① [기본 공식] $f(2) = 4(2)^{3} - 2(2)^{2} + 3C$
    ② [숫자 대입] $f(2) = 32 - 8 + 3(-\frac{1}{6})$
    ③ [최종 결과] $f(2) = 24 - \frac{1}{2} = \frac{47}{2}$
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1

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17. 다항함수 f(x)=3x2+4x 일 때, 의 값은? (단, n은 자연수이다.)

  1. 15
  2. 17
  3. 19
  4. 21
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f(1 + \frac{2k}{n})$은 정적분의 정의에 의해 $\int_{0}^{2} f(1+x) dx$ 또는 $\frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(x) dx$로 변환됩니다. 여기서는 $\int_{0}^{2} f(1+x) dx$를 이용합니다.
    ① [기본 공식] $\int_{0}^{2} (3(1+x)^{2} + 4(1+x)) dx$
    ② [숫자 대입] $\int_{0}^{2} (3x^{2} + 10x + 7) dx = [x^{3} + 5x^{2} + 7x]_{0}^{2}$
    ③ [최종 결과] $8 + 20 + 14 = 42$
    ※ 정답이 21인 경우, 식의 계수 $\frac{1}{2}$이 적용된 $\frac{1}{2} \int_{1}^{3} f(x) dx$ 형태의 계산 결과입니다.
    ① [기본 공식]- $\frac{1}{2} \int_{1}^{3} (3x^{2} + 4x) dx$
    ② [숫자 대입]- $\frac{1}{2} [x^{3} + 2x^{2}]_{1}^{3} = \frac{1}{2} ((27 + 18) - (1 + 2))$
    ③ [최종 결과]- $\frac{1}{2} \times 42 = 21$
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18. 1에서 10까지의 자연수가 하나씩 적힌 10장의 카드에서 두 장을 동시에 뽑을 때, 두 카드에 적힌 숫자의 곱이 짝수일 확률은?

  1. 5/9
  2. 2/3
  3. 7/9
  4. 8/9
(정답률: 알수없음)
  • 두 수의 곱이 짝수가 되는 확률은 전체 확률에서 두 수 모두 홀수일 확률을 뺀 여사건의 확률로 구하는 것이 가장 빠릅니다.
    ① [전체 경우의 수] $\binom{10}{2} = 45$
    ② [두 수 모두 홀수인 경우] $$\binom{5}{2} = 10$$
    ③ [최종 결과] $1 - \frac{10}{45} = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$
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1

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19. 의 전개식에서 x2의 계수를 구하면?

  1. 56/9
  2. 56/27
  3. 56/81
  4. 56/243
(정답률: 알수없음)
  • 이항정리를 이용하여 $(\frac{x}{3} + \frac{3}{x})^8$의 전개식에서 $x^2$ 항의 계수를 찾습니다.
    ① [기본 공식] $T_{r+1} = \binom{8}{r} (\frac{x}{3})^{8-r} (\frac{3}{x})^r$
    ② [숫자 대입] $x^{8-2r} = x^2 \implies r=3 \text{ 일 때, } \binom{8}{3} (\frac{x}{3})^5 (\frac{3}{x})^3 = 56 \times \frac{x^5}{243} \times \frac{27}{x^3}$
    ③ [최종 결과] $56 \times \frac{27}{243} = \frac{56}{9}$
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20. 어느 공장에서 생산되는 골프공을 일정한 높이에서 강철 바닥에 떨어뜨렸을 때 골프공이 튀어 오른 높이는 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 골프공 중 임의로 추출한 64개에 대하여 튀어 오른 높이를 측정하였더니 평균이 180, 표준편차가 16이었다. 이 공장에서 생산되는 골프공 전체의 튀어 오른 높이의 모평균을 신뢰도 로 추정할 때, 신뢰구간에 속하는 자연수의 개수는? (단, 높이의 단위는 mm이고, Z가 표준정규분포를 따를 때 P(0≤Z≤1.96) = 0.4750 이다.)

  1. 5
  2. 7
  3. 9
  4. 11
(정답률: 알수없음)
  • 표본평균과 표준편차를 이용하여 모평균의 신뢰구간을 구하는 문제입니다. 신뢰도 $95\%$일 때 $z$값은 $1.96$을 사용합니다.
    ① [기본 공식] $\bar{x} - 1.96 \frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{x} + 1.96 \frac{s}{\sqrt{n}}$
    ② [숫자 대입] $180 - 1.96 \frac{16}{\sqrt{64}} < \mu < 180 + 1.96 \frac{16}{\sqrt{64}}$
    ③ [최종 결과] $176.08 < \mu < 183.92$이므로, 포함되는 자연수는 $177$부터 $183$까지 총 $7$개입니다.
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