1. 이차방정식 x2 -10x + 4k = 0의 두 근의 비가 2:3일 때, 상수 k의 값은?
- 4
- 5
- 6
- 7
2. 두 실수 x, y에 대하여, x + y = 3이고 x3 + y3 = 9일 때, x2 + y2 의 값은?
- 5
- 8
- 11
- 14
3. 7a + 5b = 6ab을 만족하는 두 양수 a, b의 곱 ab의 최솟값보다 작거나 같은 자연수의 개수는?
- 2
- 3
- 4
- 5
4. 다항식 P(x)을 x2-8x+12로 나누었을 때의 나머지가 2x+1이고, (x2+1)P(x+3)을 x2-2x-3으로 나누었을 때의 나머지가 R(x)일 때, R(3)-2R(1)의 값은?
- -40
- -30
- -20
- -10
5. 실수 a에 대하여 
을 만족할 때, 
의 값은?
- 2a
- 2
- -2
- -2a
6. 원 (x-3)2 + (y-4)2 = 4 위를 움직이는 점 P(x, y)에 대하여 y/x의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 할 때, Mm + M + m의 값은?
- 34/5
- 36/5
- 38/5
- 8
8. 세 실수 x, y, z에 대하여, x-2y-z=0 이고 3x+y+z=0 일 때, 
의 값은? (단, xyz≠0 이다.)
- -14
- -4
- 4
- 14
-
CBT문제은행AI2023-04-14 00:14
주어진 두 식을 이용하여 x를 구해보자.
x = 2y + z
3x + y + z = 0 에서 y와 z를 x에 대한 식으로 바꾸면,
y = -3x - z
z = -3x - y
따라서, x = 2y + z = 2(-3x - z) + (-3x - y) = -7x - 2y - z
8x + 2y + 2z = 0
4x(y+z) = 0
xyz ≠ 0 이므로 y+z = 0
y = -z
x - 2y - z = 0 에서 x = y + z = 0 이다.
따라서,
= (x+y+z)^2/(xy+yz+zx) = 0^2/(xy+yz+zx) = 0 이다.
따라서, 정답은 -14가 아닌 -14를 제외한 나머지 보기들이 모두 맞지 않는다.
9. 자연수 k에 대하여, 
라 하자. 이때, 
의 값보다 작은 소수(prime number)의 개수는? (단, 소수는 1과 자기 자신만으로 나누어떨어지는 1보다 큰 자연수이다.)
- 12
- 13
- 14
- 15
-
CBT문제은행AI
2023-04-14 00:34
우선, k가 소수인 경우에는
의 값이 k보다 작으므로 소수의 개수는 0이 된다.
그리고 k가 합성수인 경우에는 k를 소인수분해하여
의 값을 구할 수 있다. 예를 들어, k=24인 경우에는 이므로 의 값은 23보다 작은 소수의 개수와 같다.
따라서, 주어진 보기에서 정답이 "14"인 이유는 15를 소수로 나누어떨어지는 가장 작은 자연수인 경우인데, 이때 이므로 의 값은 13보다 작은 소수의 개수와 같기 때문이다.
10. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 
을 만족한다. 함수 f(x)가 x축과 서로 다른 네 점 a, b, c, d 에서만 만날 때, 2a+b+c+2d 의 값은? (단, a＜b＜c＜d 이다.)
- 4
- 6
- 8
- 10
11. 실수 x, y에 대하여 –1≤y≤2 이고 y=x-1일 때, x2+y2+1의 최솟값을 m, 최댓값을 M이라 하자. 이때 2m+M의 값은?
- 15
- 17
- 19
- 21
12. 방정식 x2+x+1=0 의 한 허근을 ω라 할 때, 
의 값은? (단, 
는 ω의 켤레복소수이다.)
- -1
- -2
- -3
- -4
일 때, ab의 값은?14. 수직선 위를 움직이는 두 점 P, Q에 대하여 시각 t일 때의 위치가 각각 
이다. 두 점 P, Q가 서로 반대방향으로 움직이는 시각 t의 범위에 속하는 모든 자연수의 합은?
- 8
- 11
- 14
- 17
일 때, 
의 값은?16. 다항함수 f(x)가 다음 조건 
을 만족할 때, f(2)의 값은?
- 47/2
- 45/2
- 43/2
- 41/2
의 값은? (단, n은 자연수이다.)18. 1에서 10까지의 자연수가 하나씩 적힌 10장의 카드에서 두 장을 동시에 뽑을 때, 두 카드에 적힌 숫자의 곱이 짝수일 확률은?
- 5/9
- 2/3
- 7/9
- 8/9
의 전개식에서 x2의 계수를 구하면?20. 어느 공장에서 생산되는 골프공을 일정한 높이에서 강철 바닥에 떨어뜨렸을 때 골프공이 튀어 오른 높이는 정규분포를 따른다고 한다. 이 공장에서 생산된 골프공 중 임의로 추출한 64개에 대하여 튀어 오른 높이를 측정하였더니 평균이 180, 표준편차가 16이었다. 이 공장에서 생산되는 골프공 전체의 튀어 오른 높이의 모평균을 신뢰도 로 추정할 때, 신뢰구간에 속하는 자연수의 개수는? (단, 높이의 단위는 mm이고, Z가 표준정규분포를 따를 때 P(0≤Z≤1.96) = 0.4750 이다.)
- 5
- 7
- 9
- 11
x3 + (3 - x)3 = 9
x3 + 27 - 27x + 9x2 - x3 = 9
9x2 - 27x + 18 = 0
x2 - 3x + 2 = 0
(x - 1)(x - 2) = 0
따라서 x = 1 또는 x = 2 이다. 이를 다시 x + y = 3 에 대입하여 y 를 구하면, 각각 y = 2 또는 y = 1 이다. 따라서 가능한 경우는 (x, y) = (1, 2) 또는 (2, 1) 이다.
이제 x2 + y2 을 구해보자. (1, 2) 일 때와 (2, 1) 일 때를 각각 계산해보면,
(1, 2) : x2 + y2 = 12 + 22 = 5
(2, 1) : x2 + y2 = 22 + 12 = 5
따라서 x2 + y2 의 값은 5 이다. 따라서 정답은 "5" 이다.