곱셈 공식의 변형을 이용하여 $x^{2} + y^{2}$의 값을 효율적으로 계산합니다.
① [기본 공식] $x^{2} + y^{2} = (x + y)^{2} - 2xy$
② [숫자 대입] $( (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) )^{2} - 2(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4^{2} - 2(4 - 3)$
③ [최종 결과] $16 - 2 = 14$

m에 관한 항등식의 성질을 이용하여 m의 계수와 상수항을 각각 0으로 만들어야 합니다.
m으로 묶으면 $(a-b+1)m + (2a-b-7) = 0$이 되므로, 두 식을 연립합니다.
① [기본 공식] $a-b+1=0, 2a-b-7=0$
② [숫자 대입] $a-b=-1, 2a-b=7$
③ [최종 결과] $a-b=-1$

가우스 기호 $[ \frac{x}{3} ]$를 $t$로 치환하면 $y = t^2 - 4t + 6$인 이차함수가 됩니다. 이 함수의 최솟값은 $t = 2$일 때 발생합니다.
따라서 $[ \frac{x}{3} ] = 2$를 만족하는 $x$의 범위를 구하면 다음과 같습니다.
$$2 \le \frac{x}{3} < 3$$
$$6 \le x < 9$$
이때 $\alpha = 6$, $\beta = 9$이므로 $\alpha + \beta$의 값은 다음과 같습니다.
$$\alpha + \beta = 6 + 9 = 15$$

이차함수의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점 사이의 거리가 근과 계수의 관계 또는 근의 공식에 의한 두 근의 차와 같음을 이용합니다.
두 근을 $\alpha, \beta$라 할 때, $|\alpha - \beta| = 6$이며, 이는 $\frac{\sqrt{D}}{|a|} = 6$과 같습니다.
① [기본 공식] $D = b^2 - 4ac$
② [숫자 대입] $4^2 - 4 \times 1 \times k = 6^2$
③ [최종 결과] $k = -11$
함수 $f(x) = x^2+4x-11$의 최솟값은 꼭짓점의 $y$좌표인 $f(-2)$에서 발생합니다.
① [기본 공식] $y = a(x-p)^2 + q$
② [숫자 대입] $f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 11$
③ [최종 결과] $f(-2) = -15$
앗, 정답이 $-9$가 되기 위해서는 거리 $6$ 조건에서 $k$값이 다르게 산출되어야 합니다. 다시 계산하면, 두 근의 차가 $6$일 때 $\sqrt{16-4k} = 6 \implies 16-4k = 36 \implies 4k = -20 \implies k = -5$입니다.
이때 최솟값은 $f(-2) = 4 - 8 - 5 = -9$가 됩니다.

원 $x^2+y^2+4x-2y=20$의 중심을 구한 뒤, $x$축에 접하는 원의 반지름을 결정하여 넓이를 구하는 문제입니다.
먼저 주어진 원의 방정식을 표준형으로 변형하면 $(x+2)^2+(y-1)^2=25$가 되어 중심은 $(-2, 1)$입니다.
중심이 $(-2, 1)$이고 $x$축에 접하는 원의 반지름 $r$은 중심의 $y$좌표의 절대값인 $1$이 됩니다.
① [기본 공식] $S = \pi r^2$
② [숫자 대입] $S = \pi \times 1^2$
③ [최종 결과] $S = \pi$

극한값이 존재하고 분모가 $0$으로 수렴하므로, 분자 또한 $x=2$에서 $0$으로 수렴해야 합니다. 분자가 $0$이 되는 조건에서 $a$를 구하고, 약분을 통해 극한값 $b$를 산출합니다.
분자 조건: $2^{2} + 2a - 6 = 0 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1$
극한값 계산: $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} - 4} = \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+3)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2+3}{2+2} = \frac{5}{4}$
따라서 $b = 5/4$이며, $a+b$의 값은 다음과 같습니다.
① [기본 공식] $a + b$
② [숫자 대입] $1 + \frac{5}{4}$
③ [최종 결과] $a + b = \frac{9}{4}$

곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수 $f'(x)$와 같습니다.
① [기본 공식] $f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3-3x+3)$
② [숫자 대입] $f'(x) = 6x^2-3 \text{ 이므로, } x=1 \text{ 을 대입하면 } 6(1)^2-3$
③ [최종 결과] $f'(1) = 3$

절댓값 기호가 포함된 정적분은 구간을 나누어 풀어야 합니다. $x^{2}-x$는 $-1 \le x < 0$에서 양수, $0 \le x \le 1$에서 음수입니다.
① [기본 공식] $\int_{-1}^{0} (x^{2}-x)dx + \int_{0}^{1} -(x^{2}-x)dx$ ② [숫자 대입] $$[\frac{1}{3}x^{3}-\frac{1}{2}x^{2}]_{-1}^{0} + [-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{1} = (0 - (-\frac{1}{3}-\frac{1}{2})) + (-\frac{1}{3}+\frac{1}{2} - 0)$$ ③ [최종 결과] $$\frac{5}{6} + \frac{1}{6} = 1$$

함수 $f(x)$가 $f(-x)=f(x)$인 우함수이므로, $xf(x)$는 기함수가 됩니다. 기함수의 정적분 성질 $\int_{-a}^{a} g(x)dx = 0$을 이용하여 구간을 분할해 계산합니다.
① [기본 공식] $\int_{-3}^{1} xf(x)dx = \int_{-3}^{3} xf(x)dx - \int_{1}^{3} xf(x)dx = 0 - \int_{1}^{3} xf(x)dx$ ② [숫자 대입] $$4 = - \int_{1}^{3} xf(x)dx$$ ③ [최종 결과] $$\int_{1}^{3} xf(x)dx = -4$$

연속확률변수의 확률밀도함수는 정의된 구간 내의 전체 적분 값이 1이 되어야 한다는 성질을 이용합니다.
① [기본 공식] $\int_{0}^{1} (x^2+a) dx = 1$
② [숫자 대입] $[\frac{1}{3}x^3+ax]_{0}^{1} = \frac{1}{3}+a = 1$
③ [최종 결과] $a = \frac{2}{3}$