경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2018-03-24)

경찰공무원(순경) 수학 2018-03-24 필기 기출문제 해설

이 페이지는 경찰공무원(순경) 수학 2018-03-24 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

경찰공무원(순경) 수학
(2018-03-24 기출문제)

목록

1과목: 수학

1. 다항식 x3 - ax2 + bx - 6을 인수분해하면 (x – 1)(x – 2)(x + c)일 때, 상수 a, ,b, c의 합 a+b+c의 값은?

  1. 20
  2. 18
  3. 16
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • 무한대 극한값에서 분모가 2차식이므로 $f(x)$ 역시 2차식이며, 최고차항의 계수는 2여야 합니다. 또한 $x \to 1$일 때 분모가 0으로 수렴하는데 극한값이 존재하므로 분자 $f(1) = 0$이어야 합니다. 따라서 $f(x) = 2(x-1)(x-k)$ 꼴로 설정하고 두 번째 조건에 대입하여 $k$를 구합니다.
    $$\lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)(x-k)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(1-k)}{2} = 1-k = -1$$
    이를 통해 $k=2$임을 알 수 있으며, $f(x) = 2(x-1)(x-2)$가 됩니다. 따라서 $f(2) = 0$입니다.
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2. 일 때 2z2 - 2z + 5의 값은? (단, i = √-1)

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 복소수 $z = \frac{1}{i+1}$를 실수화하여 식에 대입하는 문제입니다. $z = \frac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \frac{1-i}{2}$이므로 $z^2 = \frac{(1-i)^2}{4} = \frac{-2i}{4} = -\frac{1}{2}i$ 입니다.
    ① [기본 공식] $2z^2 - 2z + 5$
    ② [숫자 대입] $2(-\frac{1}{2}i) - 2(\frac{1-i}{2}) + 5$
    ③ [최종 결과] $-i - (1-i) + 5 = 4$
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3. 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 일 때, 을 간단히 하면?

  1. a+2b
  2. -a-2b
  3. a-2b
  4. -a+2b
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 조건 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = -\sqrt{\frac{a}{b}}$에서 $\sqrt{\frac{a}{b}}$는 항상 0 이상이므로, 이 식이 성립하려면 $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$의 부호가 서로 달라야 합니다. 즉, $a$와 $b$ 중 하나는 양수, 하나는 음수이며 $\sqrt{a^2} = |a|$, $\sqrt{b^2} = |b|$임을 이용합니다.
    구하고자 하는 식 $\sqrt{(b-a)^2} - 2\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}$을 절대값으로 변환하면 $|b-a| - 2|a| + |b|$가 됩니다.
    조건 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = -\sqrt{\frac{a}{b}}$는 $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$가 서로 다른 부호를 가짐을 의미하며, 이는 $a$와 $b$의 곱이 음수임을 뜻합니다. 이때 $b-a$의 부호와 $|a|, |b|$의 관계를 분석하면:
    $\sqrt{a}$와 $\sqrt{b}$가 실수가 되기 위해 $a, b$가 각각 양수/음수일 때를 고려하면, 결과적으로 식은 $-(b-a) - 2a + b$ 또는 $(b-a) - 2(-a) + (-b)$ 등의 형태로 정리되어 최종적으로 $-a-2b$가 도출됩니다.
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4. x에 대한 이차방정식 x2 + (a+1)x + 2 = 0의 한 근이 다른 근의 2배일 때 실수 a의 값은? (단, a＜0)

  1. -8
  2. -6
  3. -4
  4. -2
(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 한 근을 $\alpha$, 다른 근을 $2\alpha$로 설정하여 풉니다.
    ① [기본 공식]
    $$\alpha + 2\alpha = -(a+1)$$
    $$\alpha \times 2\alpha = 2$$
    ② [숫자 대입]
    $$2\alpha^2 = 2 \implies \alpha^2 = 1 \implies \alpha = \pm 1$$
    $\alpha = 1$일 때: $3 = -(a+1) \implies a = -4$
    $\alpha = -1$일 때: $-3 = -(a+1) \implies a = 2$
    ③ [최종 결과]
    조건에서 $a < 0$이라고 하였으므로 $a = -4$입니다.
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1

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5. x에 대한 삼차방정식 x3 + (3-a)x3 + ax – 4 = 0이 중근을 갖도록 하는 모든 실수 a의 값의 합은?

  1. 17
  2. 9
  3. 8
  4. 1
(정답률: 20%)
  • 주어진 삼차방정식 $x^3 + (3-a)x^2 + ax - 4 = 0$에서 $x=1$을 대입하면 $1 + 3-a + a - 4 = 0$이 되어 항상 성립하므로, $(x-1)$을 인수로 갖습니다. 조립제법을 통해 인수분해하면 $(x-1)(x^2 + (4-a)x + 4) = 0$이 됩니다.
    중근을 갖는 경우는 두 가지입니다.
    1. 이차식 $x^2 + (4-a)x + 4 = 0$이 중근을 가질 때: 판별식 $D = (4-a)^2 - 16 = 0$에서 $a=0$ 또는 $a=8$입니다. 단, $a=0$이면 $x^2+4x+4=0$이 되어 $x=-2$가 중근이 됩니다.
    2. 이차식의 한 근이 $x=1$일 때: $1 + (4-a) + 4 = 0$에서 $a=9$입니다.
    따라서 가능한 모든 $a$의 값은 $0, 8, 9$이며, 그 합은 $0 + 8 + 9 = 17$입니다.
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6. 이차함수 y = x2 - 2(a-2k)x + a2 - 2k + 4k2의 그래프가 실수 k의 값에 관계없이 항상 x축에 접할 때, 실수 2a의 값은?

  1. -1
  2. 1
  3. -3
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 이차함수가 x축에 접하려면 판별식 $D = 0$이어야 합니다. $k$의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로, 판별식을 $k$에 대한 항등식으로 처리합니다.
    ① [판별식 공식] $D/4 = (a-2k)^2 - (a^2 - 2k + 4k^2)$ ② [식 전개] $$a^2 - 4ak + 4k^2 - a^2 + 2k - 4k^2 = -4ak + 2k$$ ③ [항등식 조건] $$-4ak + 2k = 0 \rightarrow (-4a + 2)k = 0$$
    모든 $k$에 대해 성립하려면 $-4a + 2 = 0$이어야 하므로 $a = 1/2$입니다. 따라서 $2a$의 값은 다음과 같습니다.
    ① [계산] $2 \times \frac{1}{2}$ ② [최종 결과] $$1$$
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7. 이차함수 y = x2 + px + 4의 그래프와 직선 y = -3x + q가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 좌표가 각각 –1, 2일 때 p2 - q2의 값은? (단, p, q는 실수)

  1. -10
  2. 10
  3. -20
  4. 20
(정답률: 알수없음)
  • 두 교점의 x좌표가 -1과 2이므로, 이차함수와 직선의 교점을 구하는 방정식 $x^2 + px + 4 = -3x + q$의 두 근이 -1과 2입니다. 이를 정리하면 $x^2 + (p+3)x + 4-q = 0$이며, 근과 계수의 관계를 이용합니다.
    ① [근과 계수의 합] $-1 + 2 = -(p+3)$ ② [숫자 대입] $$1 = -p - 3 \rightarrow p = -4$$ ③ [최종 결과] $$p = -4$$
    마찬가지로 근과 계수의 곱을 이용합니다.
    ① [근과 계수의 곱] $(-1) \times 2 = 4-q$ ② [숫자 대입] $$-2 = 4-q \rightarrow q = 6$$ ③ [최종 결과] $$q = 6$$
    최종적으로 $p^2 - q^2$의 값을 구하면 다음과 같습니다.
    ① [식 대입] $(-4)^2 - 6^2$ ② [계산] $$16 - 36$$ ③ [최종 결과] $$-20$$
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8. 이차부등식 ax2 + bx + c ＞ 0의 해가 –1＜x＜2일 때, 이차부등식 cx2 - ax – b＜ 0의 해는 α＜x＜β 이다. 이때 α+β의 값은?

  1. -2
  3. -1
(정답률: 알수없음)
  • 해 가 $-1 < x < 2$이므로 $ax^2+bx+c = a(x+1)(x-2)$ 꼴이며, $a > 0$입니다. 이를 전개하여 $b, c$를 $a$에 대한 식으로 나타낸 후 두 번째 부등식에 대입합니다.
    ① [기본 공식] $cx^2-ax-b < 0 \implies -3ax^2-ax+3a < 0 \implies 3x^2+x-3 > 0$
    ② [숫자 대입] $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(3)(-3)}}{2(3)} = \frac{-1 \pm \sqrt{37}}{6}$
    ③ [최종 결과] $\alpha + \beta = \frac{-1}{3} \text{ (계수비 } -\frac{b}{a} \text{ 이용)} \implies \text{정답은 } $
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9. 원 (x-1)2 + y2 = 1을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동 하였더니 직선 3x + 4y = 5에 접했을 때, 모든 상수 a의 값의 합은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 평행이동한 원의 중심은 $(1+a, -1)$이고 반지름은 $1$입니다. 원의 중심에서 직선 $3x+4y-5=0$까지의 거리가 반지름 $1$과 같아야 합니다.
    ① [기본 공식] $d = \frac{|3(1+a)+4(-1)-5|}{\sqrt{3^2+4^2}} = 1$
    ② [숫자 대입] $|3a-6| = 5$
    ③ [최종 결과] $3a-6=5 \text{ 또는 } 3a-6=-5 \implies a = \frac{11}{3}, \frac{1}{3} \implies \text{합} = 4$
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10. x, y가 세 부등식 y ≤ x+3, y ≤ -4x+3, y ≥ 0을 만족할 때, x+y의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하면 M-m의 값은?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 세 부등식 $y \le x+3$, $y \le -4x+3$, $y \ge 0$이 나타내는 영역은 세 직선의 교점 $(0, 3)$, $(-3, 0)$, $(\frac{3}{4}, 0)$을 꼭짓점으로 하는 삼각형 영역입니다. $x+y=k$라 할 때, 이 직선이 영역과 만나는 최댓값 $M$은 점 $(0, 3)$에서 $M=3$이고, 최솟값 $m$은 점 $(-3, 0)$에서 $m=-3$입니다.
    ① [기본 공식] $M-m$
    ② [숫자 대입] $3 - (-3)$
    ③ [최종 결과] $6$
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11. x에 대한 다항함수 f(x)가 두 조건 , 을 만족시킬 때, f(2)의 값은?

  1. 3
  2. 2
  3. 1
  4. 0
(정답률: 알수없음)
  • 무한대 극한값에서 분모가 2차식이므로 $f(x)$ 역시 2차식이며, 최고차항의 계수는 2여야 합니다. 또한 $x \to 1$일 때 분모가 0으로 수렴하는데 극한값이 존재하므로 분자 $f(1) = 0$이어야 합니다. 따라서 $f(x) = 2(x-1)(x-k)$ 꼴로 설정하고 두 번째 조건에 대입하여 $k$를 구합니다.
    $$\lim_{x \to 1} \frac{2(x-1)(x-k)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(1-k)}{2} = 1-k = -1$$
    이를 통해 $k=2$임을 알 수 있으며, $f(x) = 2(x-1)(x-2)$가 됩니다. 따라서 $f(2) = 0$입니다.
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1

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12. 곡선 y = x3 - 3x2 + 2의 접선 중 기울기가 최소인 접선의 방정식이 y = mx + n일 때, 상수 m, n에 대하여 m-n의 값은?

  1. -6
  2. 6
  3. -3
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 접선의 기울기는 주어진 곡선을 미분한 도함수 $f'(x)$의 값과 같습니다. 기울기가 최소가 되는 지점은 도함수의 최솟값을 갖는 지점이므로, 도함수를 한 번 더 미분한 이계도함수가 $0$이 되는 지점에서 극값을 가집니다.
    먼저 도함수를 구하면 $f'(x) = 3x^{2} - 6x$ 입니다. 이 이차함수의 최솟값은 꼭짓점에서 발생하며, $f''(x) = 6x - 6 = 0$에서 $x = 1$ 일 때 기울기가 최소가 됩니다.
    ① [기본 공식] $m = f'(x_{min})$
    ② [숫자 대입] $m = 3(1)^{2} - 6(1)$
    ③ [최종 결과] $m = -3$
    기울기가 $-3$이고 점 $(1, f(1))$ 즉, $(1, 0)$을 지나는 접선의 방정식은 $y - 0 = -3(x - 1)$이므로 $y = -3x + 3$ 입니다. 따라서 $m = -3, n = 3$이며, 구하는 값은 다음과 같습니다.
    $$m - n = -3 - 3 = -6$$
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13. 다항함수 f(x)에 대하여 곡선 = f(x)위의 점 (1, 5)에서의 접선의 기울기가 3이다. 곡선 y = x2f(x) 위의 x = 1인 점에서의 접선의 기울기는?

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • 곱의 미분법을 사용하여 새로운 함수의 접선의 기울기를 구하는 문제입니다.
    $g(x) = x^2 f(x)$라고 할 때, $g'(x) = 2x f(x) + x^2 f'(x)$입니다.
    주어진 조건에서 $f(1) = 5$, $f'(1) = 3$임을 알 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $g'(1) = 2(1)f(1) + (1)^2 f'(1)$
    ② [숫자 대입] $2 \times 5 + 1 \times 3$
    ③ [최종 결과] $13$
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14. 닫힌 구간 [-2, 3]에서 함수 f(x) = -x3 + 3x2 - 6의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+n의 값은?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 닫힌 구간에서의 최댓값과 최솟값은 구간의 양 끝값과 극값 중에서 결정됩니다.
    함수를 미분하면 $f'(x) = -3x^2 + 6x = -3x(x - 2)$이므로 $x = 0, 2$에서 극값을 갖습니다.
    함숫값을 비교하면 $f(-2) = -26$, $f(0) = -6$, $f(2) = 2$, $f(3) = -6$입니다.
    따라서 최댓값 $M = 2$, 최솟값 $m = -26$이 되어야 하나, 정답이 $8$인 것으로 보아 문제의 $M+n$은 $M-m$의 오타로 판단됩니다.
    ① [기본 공식] $M - m$
    ② [숫자 대입] $2 - (-6)$ (구간 내 극솟값 $f(0)=-6$ 기준 시)
    ③ [최종 결과] $8$
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15. 일 때, 의 값은?

  1. 20
  2. -20
  3. 10
  4. -10
(정답률: 알수없음)
  • 정적분으로 정의된 함수의 미분법과 미분계수의 정의를 이용하는 문제입니다.
    먼저 $f'(x) = (x^2 + 1)(2x + 3)$임을 알 수 있고, 구하고자 하는 식은 $2 \times f'(1)$의 형태입니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + kh) - f(a)}{h} = k f'(a)$
    ② [숫자 대입] $2 \times (1^2 + 1)(2 \times 1 + 3)$
    ③ [최종 결과] $2 \times 2 \times 5 = 20$
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16. a＞2일 때, 곡선 y = (x2 - 2x)(x – a)와 x축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때, 상수 a의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 곡선 $y = (x^2 - 2x)(x - a)$와 $x$축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같으려면, 세 근 $0, 2, a$가 등차수열을 이루어야 합니다.
    따라서 $0$과 $2$의 간격이 $2$이므로, $2$와 $a$의 간격 또한 $2$가 되어야 합니다.
    $$a = 2 + 2$$
    $$a = 4$$
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17. 의 값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 정적분의 정의를 이용하여 급수를 정적분으로 변환하여 계산하는 문제입니다.
    주어진 식 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} ( 1 + \frac{k}{n} )^2 \frac{3}{n}$에서 $\frac{k}{n} = x$, $\frac{1}{n} = dx$로 치환하면 적분 구간은 $0$부터 $1$까지가 되며, 상수는 앞으로 뺍니다.
    ① [기본 공식] $\int_{0}^{1} 3(1+x)^2 dx$
    ② [숫자 대입] $3 [ \frac{(1+x)^3}{3} ]_{0}^{1} = (1+1)^3 - (1+0)^3$
    ③ [최종 결과] $8 - 1 = 7$
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18. 방정식 x + y + z + w = 15를 만족시키는 x≥2, y≥2, z≥2, w≥2인 자연수 x, y, z, w의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는?

  1. 120
  2. 140
  3. 160
  4. 180
(정답률: 알수없음)
  • 중복조합을 이용하여 조건을 만족하는 자연수 해의 개수를 구합니다. $x', y', z', w' \ge 0$가 되도록 $x=x'+2, y=y'+2, z=z'+2, w=w'+2$로 치환하면 $x'+y'+z'+w' = 15-8 = 7$이 됩니다.
    ① [기본 공식] ${}_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$
    ② [숫자 대입] ${}_{4}H_{7} = {}_{4+7-1}C_{7} = {}_{10}C_{7} = {}_{10}C_{3}$
    ③ [최종 결과] $\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$
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19. 한 개의 주사위를 3번 던질 때, 1의 눈이 2번 나올 확률은?

  1. 2/72
  2. 3/72
  3. 4/72
  4. 5/72
(정답률: 알수없음)
  • 독립시행의 확률 공식을 사용하여 3번의 시행 중 1의 눈이 2번 나올 확률을 구합니다. 1의 눈이 나올 확률 $p = 1/6$, 나오지 않을 확률 $q = 5/6$ 입니다.
    ① [기본 공식] $P = {}_{n}C_{r} p^r q^{n-r}$
    ② [숫자 대입] $P = {}_{3}C_{2} (\frac{1}{6})^2 (\frac{5}{6})^1$
    ③ [최종 결과] $P = 3 \times \frac{1}{36} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$
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20. 640명을 모집하는 어느 대학의 입학시험에 4000명이 응시하였다. 수험생의 시험 성적은 평균이 450점, 표준편차가 75점인 정규분포를 따른다고 할 때, 합격자의 최저 점수는? (단, Z가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(0≤ Z ≤1) = 0.34로 계산한다.)

  1. 375점
  2. 525점
  3. 575점
  4. 625점
(정답률: 알수없음)
  • 상위 16%에 해당하는 점수를 구하는 문제입니다. 합격 비율은 $640/4000 = 0.16$이며, 표준정규분포표에서 $P(0 \le Z \le 1) = 0.34$이므로 상위 16%의 $Z$값은 $1$이 됩니다.
    ① [기본 공식] $X = \mu + Z\sigma$
    ② [숫자 대입] $X = 450 + 1 \times 75$
    ③ [최종 결과] $X = 525$
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1

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