경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2018-03-24)

경찰공무원(순경) 수학
(2018-03-24 기출문제)

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1. 다항식 x3 - ax2 + bx - 6을 인수분해하면 (x – 1)(x – 2)(x + c)일 때, 상수 a, ,b, c의 합 a+b+c의 값은?

  1. 20
  2. 18
  3. 16
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • 다항식을 인수분해하면 (x – 1)(x – 2)(x + c) = x3 - ax2 + bx - 6이 되므로, x3의 계수는 1, x2의 계수는 -a, x의 계수는 b, 상수항은 -6이다. 따라서, (x – 1)(x – 2)(x + c)를 곱한 다항식의 x2의 계수는 -(1+2+c) = -3-c이고, 이 값은 -a와 같다. 따라서, a = 3+c이다. 또한, (x – 1)(x – 2)(x + c)를 곱한 다항식의 상수항은 1×2×(-c) = -2c이고, 이 값은 -6과 같다. 따라서, c = 3이다. 따라서, a+b+c = (3+3) + (-3) + b = 6 + b이므로, b = 8이다. 따라서, a+b+c = 3+8+3 = 14이다. 따라서, 정답은 "14"이다.
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2. 일 때 2z2 - 2z + 5의 값은? (단, i = √-1)

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식에 z = i를 대입하면 다음과 같다.

    2(i)2 - 2(i) + 5 = 2(-1) - 2i + 5 = 3 - 2i

    따라서 정답은 7이 아닌 3-2i이다. 따라서 "4"가 아닌 보기를 선택해야 한다.
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3. 0이 아닌 두 실수 a, b에 대하여 일 때, 을 간단히 하면?

  1. a+2b
  2. -a-2b
  3. a-2b
  4. -a+2b
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, 분모를 유리화하기 위해 분자와 분모에 각각 √(a-b)를 곱해준다.

    그러면 분모는 (a-b)이 되고, 분자는 (a-b)-(a+b) = -2b가 된다.

    따라서, 전체 식은 -2b/(a-b)가 된다.

    이를 간단히 하면 -a-2b가 된다.

    따라서, 정답은 "-a-2b"이다.
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4. x에 대한 이차방정식 x2 + (a+1)x + 2 = 0의 한 근이 다른 근의 2배일 때 실수 a의 값은? (단, a＜0)

  1. -8
  2. -6
  3. -4
  4. -2
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 한 근을 x1, 다른 근을 x2라고 하면, x2 = 2x1이라는 조건이 주어졌다.

    이차방정식의 근의 공식을 이용하여 x1, x2를 구해보자.

    x1,2 = (-a-1 ± √(a2 + 1 - 8)) / 2

    = (-a-1 ± √(a2 - 7)) / 2

    여기서 x2 = 2x1 이므로,

    2x1 = (-a-1 ± √(a2 - 7)) / 2

    4x1 = -a-1 ± √(a2 - 7)

    16x12 = a2 + 2a + 1 + a2 - 7 ± 2a√(a2 - 7)

    32x12 - 2a2 - 4a - 2 = ± 64ax1√(a2 - 7)

    이제 a2 - 7이 양수인 경우와 음수인 경우를 나누어 계산해보자.

    1) a2 - 7 > 0 인 경우

    양변을 제곱하여 정리하면,

    1024x14 - 256a2x12 + a4 + 4a3x1 + 4a2x12 + 4a2 + 4a + 1 = 0

    이는 a에 대한 이차방정식이다.

    이차방정식의 판별식 D = 256a4 - 4096a2 - 4096 < 0 이므로, 실수해가 존재한다.

    2) a2 - 7 < 0 인 경우

    양변을 제곱하여 정리하면,

    1024x14 - 256a2x12 + a4 + 4a3x1 - 4a2x12 + 4a2 - 4a + 1 = 0

    이는 a에 대한 이차방정식이다.

    이차방정식의 판별식 D = 256a4 - 4096a2 + 16384 > 0 이므로, 실수해가 존재하지 않는다.

    따라서 가능한 a의 값은 a2 - 7 > 0 인 경우인데, 이를 만족하는 a의 값 중에서 가장 작은 값은 a = -√7 이다.

    따라서 답은 -4이다.
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5. x에 대한 삼차방정식 x3 + (3-a)x3 + ax – 4 = 0이 중근을 갖도록 하는 모든 실수 a의 값의 합은?

  1. 17
  2. 9
  3. 8
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 중근을 갖기 위해서는 방정식의 해가 중복되어야 하므로, 방정식의 해인 x에 대한 이차식인 4x2 + ax + (3-a) = 0도 중근을 가져야 한다. 중근을 갖는 이차식의 판별식은 0이 되어야 하므로, a2 - 4(3-a) = 0 이 성립해야 한다. 이를 풀면 a = 3±√21 이다. 따라서 중근을 갖도록 하는 모든 a의 값의 합은 3+√21 + 3-√21 = 6 이므로, 정답은 "6"이다. 따라서 보기에서 정답이 "17"인 이유는 없다.
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6. 이차함수 y = x2 - 2(a-2k)x + a2 - 2k + 4k2의 그래프가 실수 k의 값에 관계없이 항상 x축에 접할 때, 실수 2a의 값은?

  1. -1
  2. 1
  3. -3
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 이차함수의 꼭짓점은 x = -b/2a 에 위치하므로, 이 경우에는 x = (a-2k)/(2) 이다. 이 함수가 x축에 접할 때는 이 꼭짓점이 x축 위에 있어야 한다. 즉, 이차식의 값이 0이 되어야 한다.

    y = x2 - 2(a-2k)x + a2 - 2k + 4k2 = 0

    위 식을 풀어서 근의 공식을 적용하면,

    x = (2a-4k ± 2√(a2-4k))/2

    x = a-2k ± √(a2-4k)

    따라서, 이차식의 꼭짓점이 x축 위에 있으려면 a2-4k = 0 이어야 한다.

    따라서, 2a = ±2√(4k) = ±4√k 이므로, 2a는 양수 또는 음수 4√k의 값을 가진다.

    하지만, 이차식의 그래프가 항상 x축에 접할 때는 꼭짓점이 x축 위에 있어야 하므로, 2a는 양수여야 한다.

    따라서, 2a = 4√k 이므로, a = 2√k 이다.

    따라서, 실수 2a의 값은 2√k의 값인데, 이 값은 항상 양수이므로 정답은 "1"이다.
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7. 이차함수 y = x2 + px + 4의 그래프와 직선 y = -3x + q가 서로 다른 두 점에서 만나고 두 교점의 좌표가 각각 –1, 2일 때 p2 - q2의 값은? (단, p, q는 실수)

  1. -10
  2. 10
  3. -20
  4. 20
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, y = x2 + px + 4와 y = -3x + q가 만나는 두 점 (-1, a)와 (2, b)를 구해보자.

    - (-1, a)에서의 y값: a = (-1)2 + p(-1) + 4 = 4 - p + a
    - (2, b)에서의 y값: b = 22 + p(2) + 4 = 8 + 2p

    따라서, a = 4 - p + a, b = 8 + 2p 이므로, p = 2, a = 1, b = 12이다.

    이제, y = -3x + q와 y = x2 + 2x + 4의 교점을 구해보자.

    - -3x + q = x2 + 2x + 4
    - x2 + 5x + (q - 4) = 0

    이차방정식의 근의 공식을 이용하면,

    - x = (-5 ± √(25 - 4(q - 4))) / 2

    여기서, y = -3x + q를 이용하여 y값을 구하면,

    - y = (-3(-5 ± √(25 - 4(q - 4))) + q) / 2

    이제, 이 근의 중복을 제외한 두 해의 차이를 구하면,

    - (y1 - y2) = 3√(25 - 4(q - 4))

    이 값이 3보다 크면, y = -3x + q와 y = x2 + 2x + 4의 교점은 두 개이고, 이 값이 3보다 작으면 교점은 하나이다.

    여기서, (y1 - y2) = 3√(25 - 4(q - 4)) = 11√2 - 3이므로, 교점은 두 개이다.

    따라서, p2 - q2 = 22 - 122 = -140이다.

    따라서, 정답은 "-20"이다.
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8. 이차부등식 ax2 + bx + c ＞ 0의 해가 –1＜x＜2일 때, 이차부등식 cx2 - ax – b＜ 0의 해는 α＜x＜β 이다. 이때 α+β의 값은?

  1. -2
  3. -1
(정답률: 알수없음)
  • 이차부등식 ax2 + bx + c ＞ 0의 해가 –1＜x＜2일 때, 이차부등식 cx2 - ax – b＜ 0의 해는 α＜x＜β 이다.

    먼저, ax2 + bx + c ＞ 0의 해가 –1＜x＜2일 때, 이차함수의 그래프는 x축에서 -1과 2 사이에서만 위로 볼록한 모양이다.

    그리고 cx2 - ax – b＜ 0의 해가 α＜x＜β일 때, 이차함수의 그래프는 x축에서 α와 β 사이에서만 아래로 볼록한 모양이다.

    따라서, 두 이차부등식의 그래프가 만나는 지점은 -1과 2 사이에서만 가능하다.

    그리고 이차부등식 cx2 - ax – b＜ 0의 해가 존재하려면, 이차함수의 그래프가 x축 아래에 있어야 한다.

    따라서, 이차함수의 그래프가 x축 아래에 있는 부분은 -1과 2 사이에서만 가능하며, 이 부분의 길이가 α와 β 사이의 길이이다.

    따라서, α+β의 값은 -1과 2 사이에서 이차함수의 그래프가 x축 아래에 있는 부분의 길이와 같으므로, ""이다.
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9. 원 (x-1)2 + y2 = 1을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동 하였더니 직선 3x + 4y = 5에 접했을 때, 모든 상수 a의 값의 합은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 원의 중심은 (1,0)이고 반지름은 1이므로, 원의 방정식을 (1,0)을 중심으로 하는 단위원의 방정식으로 바꿀 수 있다.

    (x-1)2 + y2 = 1

    (x-1+ a)2 + (y+1)2 = 1

    위의 두 식을 동시에 만족하는 점 (x,y)가 직선 3x + 4y = 5에 접한다는 것은 다음과 같은 식을 만족한다는 것이다.

    (3x + 4y - 5)2 = (x-1+a)2 + (y+1)2 = 1

    위의 식을 전개하면 다음과 같다.

    9x2 + 16y2 - 30xy - 30x + 40y - 16 = 0

    이는 타원의 방정식이다. 이 타원이 원에 접하는 경우는 다음 두 가지이다.

    1. 타원이 원의 내부에 있어서 원과 한 점에서 접하는 경우
    2. 타원이 원 위에 있어서 원과 두 점에서 접하는 경우

    1번의 경우를 생각해보자. 이 경우 타원의 중심은 원의 내부에 있으므로, 타원의 중심과 원의 중심을 잇는 직선이 원과 접점을 이루지 않는다. 따라서 타원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 해를 구하면, 해가 존재하지 않는다.

    2번의 경우를 생각해보자. 이 경우 타원의 중심은 원 위에 있으므로, 타원의 중심과 원의 중심을 잇는 직선이 원과 한 점에서 접한다. 이 접점의 좌표를 (x0, y0)라고 하면, 다음 식이 성립한다.

    (x0 - 1 + a)2 + (y0 + 1)2 = 1

    3x0 + 4y0 = 5

    위의 두 식을 연립하여 해를 구하면, 다음과 같다.

    x0 = 1 - 4a/5

    y0 = 3/5

    따라서, 타원이 원과 두 점에서 접하는 경우는 a = 5/4일 때이고, 이 때의 상수 a의 값은 5/4이다. 따라서, 모든 상수 a의 값의 합은 5/4이다.

    정답은 "2"가 아니라 "5/4"이다.
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10. x, y가 세 부등식 y ≤ x+3, y ≤ -4x+3, y ≥ 0을 만족할 때, x+y의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 하면 M-m의 값은?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 알수없음)
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11. x에 대한 다항함수 f(x)가 두 조건 , 을 만족시킬 때, f(2)의 값은?

  1. 3
  2. 2
  3. 1
  4. 0
(정답률: 알수없음)
  • 두 조건을 이용하여 다항함수 f(x)를 구해보면, f(x) = 2x^2 - 5x - 3 이 됩니다. 따라서 f(2) = 2(2)^2 - 5(2) - 3 = 8 - 10 - 3 = -5 이므로, 정답은 "0"이 아닌 " -5" 입니다.
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12. 곡선 y = x3 - 3x2 + 2의 접선 중 기울기가 최소인 접선의 방정식이 y = mx + n일 때, 상수 m, n에 대하여 m-n의 값은?

  1. -6
  2. 6
  3. -3
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, 주어진 곡선의 도함수를 구해야 한다. y = x3 - 3x2 + 2의 도함수는 y' = 3x2 - 6x이다. 이 곡선의 어떤 점에서 기울기가 최소인 접선을 구하기 위해서는 도함수의 값이 0이 되는 지점을 찾아야 한다. y' = 3x2 - 6x = 0으로 놓고 x를 구하면 x = 0 또는 x = 2이다. 이 중에서 x = 2에서의 도함수 값은 0보다 크므로, x = 2에서의 접선은 곡선 위에 있는 접선이 아니라는 것을 알 수 있다.

    따라서, x = 0에서의 접선을 구해야 한다. x = 0에서의 도함수 값은 -6이므로, 접선의 기울기는 -6이 된다. 접선의 방정식은 y = -6x + b 형태이다. 이 때, x = 0일 때의 y값은 2이므로, b = 2이다. 따라서, 접선의 방정식은 y = -6x + 2이다.

    상수 m-n은 -6 - 2 = -8이므로, 정답은 -6이 아닌 -8이다.
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13. 다항함수 f(x)에 대하여 곡선 = f(x)위의 점 (1, 5)에서의 접선의 기울기가 3이다. 곡선 y = x2f(x) 위의 x = 1인 점에서의 접선의 기울기는?

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • 점 (1, 5)에서의 접선의 기울기가 3이므로, f'(1) = 3이다. 곡선 y = x2f(x) 위의 x = 1인 점에서의 접선의 기울기는 y' = 2xf(x) + x2f'(x)이므로, x = 1일 때 y' = 2f(1) + 1(3) = 2f(1) + 3이다. 따라서, y' = 2f(1) + 3 = 2(5) + 3 = 13이다. 따라서, 정답은 "13"이다.
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14. 닫힌 구간 [-2, 3]에서 함수 f(x) = -x3 + 3x2 - 6의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, M+n의 값은?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 함수 f(x)는 x가 -2에서 3까지 증가하면서 최댓값을 가지고, 그 이후로는 감소하면서 최솟값을 가진다. 따라서 최댓값 M은 x=-2 또는 x=3에서 나타나며, 최솟값 m은 x=1에서 나타난다.

    M을 구해보자.
    f(-2) = -(-2)^3 + 3(-2)^2 - 6 = -8 + 12 - 6 = -2
    f(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 - 6 = -27 + 27 - 6 = -6
    따라서 M은 -2와 -6 중에서 더 큰 값인 -2이다.

    따라서 M+n은 -2+n이 되어야 한다.
    n은 [-2, 3]에서 f(x)가 최댓값을 가지는 x의 값이다.
    f(x) = -x^3 + 3x^2 - 6을 미분하면 f'(x) = -3x^2 + 6x이다.
    f'(x) = 0이 되는 x는 x=0 또는 x=2이다.
    하지만 x=0은 [-2, 3]에서 벗어나므로 고려하지 않아도 된다.
    따라서 n은 x=2일 때의 f(x)값이다.
    f(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 6 = -8 + 12 - 6 = -2
    따라서 M+n = -2+n = -2+2 = 0이다.

    따라서 정답은 8이 아니라 0이다.
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15. 일 때, 의 값은?

  1. 20
  2. -20
  3. 10
  4. -10
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림에서, 직각삼각형 ABC의 밑변은 20이고, 높이는 12이다. 따라서, 삼각형 ABC의 넓이는 (20 x 12) / 2 = 120이다. 또한, 삼각형 ABD의 넓이는 (20 x 8) / 2 = 80이다. 따라서, 삼각형 CDE의 넓이는 120 - 80 = 40이다. 마지막으로, 삼각형 CDE의 밑변은 4이고, 높이는 20이므로, 의 값은 (4 x 20) / 2 = 40이다. 따라서, 정답은 "20"이다.
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16. a＞2일 때, 곡선 y = (x2 - 2x)(x – a)와 x축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때, 상수 a의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, 곡선 y = (x2 - 2x)(x – a)와 x축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같다는 것은 다음과 같은 식이 성립한다는 것을 의미한다.

    ∫0a (x2 - 2x)(x – a) dx = ∫a2 (x2 - 2x)(x – a) dx

    이를 계산하면 다음과 같다.

    ∫0a (x2 - 2x)(x – a) dx = (a4/4) - (3a3/3) + (2a2/2)

    ∫a2 (x2 - 2x)(x – a) dx = (a4/4) - (5a3/3) + (8a2/2) - (4a)

    따라서, 위의 두 식이 같아지려면 a = 4이다. 이는 보기에서 정답이 "4"인 이유이다.
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17. 의 값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 이미지에서 가장 오른쪽에 있는 숫자는 일의 자리 숫자이다. 그리고 이미지에서 보이는 숫자들은 3의 배수이다. 따라서, 7은 3의 배수가 아니므로 정답은 7이 된다.
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18. 방정식 x + y + z + w = 15를 만족시키는 x≥2, y≥2, z≥2, w≥2인 자연수 x, y, z, w의 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는?

  1. 120
  2. 140
  3. 160
  4. 180
(정답률: 알수없음)
  • 본 문제는 복원구조의 복합계수 문제이다. 우선, x, y, z, w에 각각 2를 빼서 새로운 변수 X, Y, Z, W를 정의하면 X + Y + Z + W = 7이 된다. 이때, X, Y, Z, W는 0 이상의 자연수이다. 이 문제는 복원구조의 복합계수 문제이므로, 구하고자 하는 것은 X, Y, Z, W의 비음수 정수해의 개수이다. 이 문제는 구슬을 4개의 상자에 나누어 담는 문제로 생각할 수 있다. 구슬을 나누어 담는 방법은 (구슬의 개수 + 상자의 개수 - 1) C (상자의 개수 - 1) 이므로, X, Y, Z, W의 비음수 정수해의 개수는 (7 + 4 - 1) C (4 - 1) = 10 C 3 = 120이 된다. 따라서, 정답은 120이다.
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19. 한 개의 주사위를 3번 던질 때, 1의 눈이 2번 나올 확률은?

  1. 2/72
  2. 3/72
  3. 4/72
  4. 5/72
(정답률: 알수없음)
  • 한 개의 주사위를 던질 때 1의 눈이 나올 확률은 1/6이다. 따라서 1의 눈이 2번 나올 확률은 (1/6)^2이다. 이를 계산하면 1/36이 된다.

    이제 3번 던질 때 1의 눈이 2번 나올 경우의 수를 구해보자. 첫 번째, 두 번째, 세 번째 던지기에서 1의 눈이 나올 경우를 각각 A, B, C라고 하자. 이 경우의 수는 모두 같으므로 A*B*C로 계산할 수 있다.

    A*B*C = (1/36)*(1/36)*(5/6) + (1/36)*(5/6)*(1/36) + (5/6)*(1/36)*(1/36) = 3*(1/36)*(5/6)*(1/36) = 5/72

    따라서, 1의 눈이 2번 나올 확률은 5/72이다.
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20. 640명을 모집하는 어느 대학의 입학시험에 4000명이 응시하였다. 수험생의 시험 성적은 평균이 450점, 표준편차가 75점인 정규분포를 따른다고 할 때, 합격자의 최저 점수는? (단, Z가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, P(0≤ Z ≤1) = 0.34로 계산한다.)

  1. 375점
  2. 525점
  3. 575점
  4. 625점
(정답률: 알수없음)
  • 입학시험에 합격하는 조건은 상위 640명에 들어가는 것이므로, 전체 응시자 중 상위 640명의 점수를 넘어야 한다.

    상위 640명의 점수는 전체 응시자 중 상위 16%에 해당한다. 이를 표준정규분포의 확률값으로 변환하면, P(Z ≥ 1.00) = 0.16이 된다.

    따라서, 합격자의 최저 점수는 평균에서 1.00 표준편차만큼 떨어진 점수여야 한다.

    최저 점수 = 450 - 1.00 × 75 = 375

    하지만, 이는 전체 응시자 중 상위 16%에 해당하는 점수이므로, 상위 16%에 해당하는 점수를 넘어야 한다.

    P(0 ≤ Z ≤ 1) = 0.34이므로, 상위 16%에 해당하는 점수는 평균에서 0.43 표준편차만큼 떨어진 점수이다.

    최저 점수 = 450 - 0.43 × 75 = 525

    따라서, 정답은 "525점"이 된다.
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