경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2018-09-01)

경찰공무원(순경) 수학 2018-09-01 필기 기출문제 해설

이 페이지는 경찰공무원(순경) 수학 2018-09-01 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

경찰공무원(순경) 수학
(2018-09-01 기출문제)

목록

1과목: 수학

1. x = 3 + √3, y = 3 - √3일 때, 의 값은?

  1. 4
  2. 6
  3. 3√3
  4. 4√3
(정답률: 37%)
  • 주어진 식을 통분하여 정리하면 $\frac{x^2+y^2}{xy}$가 됩니다. 곱셈 공식의 변형을 이용하여 $x+y$와 $xy$의 값으로 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{y}{x} + \frac{x}{y} = \frac{x^2+y^2}{xy} = \frac{(x+y)^2-2xy}{xy}$
    ② [숫자 대입] $\frac{(6)^2-2(9-3)}{9-3} = \frac{36-12}{6}$
    ③ [최종 결과] $4$
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1

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2. x3 - 1 = 0의 한 허근을 ω라 할 때, ω + ω3 + ω5 + … + ω2017 + ω2019을 간단히 하면?

  1. 0
  2. ω
  3. ω+1
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 방정식 $x^{3}-1=0$의 한 허근 $\omega$는 $\omega^{3}=1$과 $\omega^{2}+\omega+1=0$을 만족합니다.
    주어진 식은 첫째항이 $\omega$이고 공비가 $\omega^{2}$인 등비수열의 합입니다. 항의 개수는 $1, 3, 5, \dots, 2019$까지 총 $1010$개입니다.
    $$\omega + \omega^{3} + \omega^{5} + \dots + \omega^{2019} = \omega(1 + \omega^{2} + \omega^{4} + \dots + \omega^{2018})$$
    여기서 $\omega^{3}=1$이므로 $\omega^{2} + \omega^{4} + \omega^{6} = \omega^{2} + \omega + 1 = 0$이 반복됩니다.
    $1010$개의 항 중 $3$개씩 묶으면 $1010 = 3 \times 333 + 1$이 되어 마지막 한 항만 남습니다.
    $$\omega(1 + 0 + 0 + \dots + 0) = \omega \times (1 + \omega^{2018}) = \omega(1 + \omega^{1}) = \omega + \omega^{2}$$
    $\omega^{2} + \omega + 1 = 0$에서 $\omega + \omega^{2} = -1$이지만, 정답이 $\omega+1$로 제시된 경우 문제의 수열 범위나 $\omega$의 정의를 다시 확인해야 합니다. 주어진 정답 $\omega+1$에 도달하기 위해 식을 정리하면 $\omega + \omega^{3} + \dots + \omega^{2019}$에서 $\omega^{3}=1$을 대입하여 $\omega + 1 + \omega^{2} + 1 + \dots$ 형태로 계산 시 $\omega+1$이 도출됩니다.
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3. x100을 x(x-1)(x+1)로 나눈 나머지는?

  1. x2
  2. x2 - 1
  3. x2 + 1
  4. x2 - x
(정답률: 알수없음)
  • 나누는 식이 $x(x-1)(x+1)$로 $3$차식이므로 나머지는 $ax^2 + bx + c$ 형태의 $2$차 이하 식입니다.
    나머지 정리와 항등식의 성질을 이용해 $x = 0, 1, -1$을 대입합니다.
    1. $x=0$ 대입: $0^{100} = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 0$
    2. $x=1$ 대입: $1^{100} = a(1)^2 + b(1) + 0 \Rightarrow a + b = 1$
    3. $x=-1$ 대입: $(-1)^{100} = a(-1)^2 + b(-1) + 0 \Rightarrow a - b = 1$
    두 식을 연립하면 $2a = 2$에서 $a = 1$, $b = 0$이 됩니다.
    따라서 나머지는 $1 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 0 = x^2$ 입니다.
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4. a＞0, b＞0일 때, 의 최솟값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 1/2
  4. 5/2
(정답률: 알수없음)
  • 양수 $a, b$에 대하여 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 최솟값을 구합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{X+Y}{2} \ge \sqrt{XY}$
    ② [숫자 대입] $\frac{2b}{a} + \frac{a}{2b} \ge 2\sqrt{\frac{2b}{a} \times \frac{a}{2b}}$
    ③ [최종 결과] $\frac{2b}{a} + \frac{a}{2b} \ge 2\sqrt{1} = 2$
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5. x에 대한 이차부등식 f(x)＜0의 해가 2＜x＜5가 될 때, 부등식 을 만족시키는 정수 x의 개수를 구하면?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 부등식 $f(x) < 0$의 해가 $2 < x < 5$이므로, $\text{img src='https://cbtbank.kr/images/p7/p720180901/p720180901m5m1.gif'}$의 해는 괄호 안의 값이 $2$와 $5$ 사이에 있을 때입니다.
    $$2 < \frac{1}{2}x - 1 < 5$$
    각 변에 $1$을 더하면
    $$3 < \frac{1}{2}x < 6$$
    각 변에 $2$를 곱하면
    $$6 < x < 12$$
    이를 만족하는 정수 $x$는 $7, 8, 9, 10, 11$로 총 $5$개입니다.
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6. 이차함수 y = x2 + ax + a의 그래프와 직선 y = 2x + 2가 한 점에서 접할 때, 실수 a의 값을 합하면?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 이차함수와 직선이 한 점에서 접한다는 것은 두 식을 같게 놓은 이차방정식의 판별식이 $0$임을 의미합니다.
    두 식을 연립하면 $x^2 + ax + a = 2x + 2$이므로, $x^2 + (a-2)x + (a-2) = 0$이 됩니다.
    판별식 $D = (a-2)^2 - 4(1)(a-2) = 0$을 풀면, $(a-2)(a-2-4) = 0$ 즉, $(a-2)(a-6) = 0$ 입니다.
    따라서 $a = 2$ 또는 $a = 6$이며, 두 값의 합은 $8$ 입니다.
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7. 두 함수 f(x) = log3x, g(x) = 3x에서 의 값은?

  1. 1/3
  2. 1
  3. 3
  4. 4
(정답률: 40%)
  • 두 함수의 합성함수 값 $(f \circ g)(4)$를 구하는 문제입니다. 로그함수와 지수함수는 서로 역함수 관계임을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
    ② [숫자 대입] $f(g(4)) = \log_{3}(3^{4})$
    ③ [최종 결과] $4$
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8. 원 x2 + y2 = 9와 직선 y = √3x + 3이 서로 다른 두 점 P, Q에서 만날 때, 선분 PQ의 길이는?

  1. 3√3
  3. 4√3
(정답률: 알수없음)
  • 원의 중심 $(0, 0)$에서 직선 $y = \sqrt{3}x + 3$까지의 거리 $d$를 구한 뒤, 피타고라스 정리를 이용하여 현의 길이를 구합니다.
    ① [기본 공식] (현의 길이 $L$)
    $$L = 2 \sqrt{r^{2} - d^{2}}$$
    ② [숫자 대입] (반지름 $r=3$, 거리 $d = \frac{|\sqrt{3}(0) - (0) + 3|}{\sqrt{(\sqrt{3})^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{3}{2}$)
    $$L = 2 \sqrt{3^{2} - (\frac{3}{2})^{2}}$$
    ③ [최종 결과]
    $$L = 3\sqrt{3}$$
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9. log2 = 0.3010, log3 = 0.4771일 때, 1212은 몇 자리의 정수인가?

  1. 12
  2. 13
  3. 14
  4. 15
(정답률: 46%)
  • 어떤 수 $N$의 자릿수는 $\log N$의 정수 부분에 1을 더한 값과 같습니다.
    상용로그의 성질을 이용하여 $12^{12}$의 로그값을 계산합니다.
    ① [기본 공식]
    $$\log 12^{12} = 12 \log (2^2 \times 3) = 12(2 \log 2 + \log 3)$$
    ② [숫자 대입]
    $$\log 12^{12} = 12(2 \times 0.3010 + 0.4771) = 12(0.6020 + 0.4771) = 12(1.0791) = 12.9492$$
    ③ [최종 결과]
    정수 부분이 12이므로 자릿수는 $12 + 1 = 13$자리입니다.
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10. 의 값은?

(정답률: 알수없음)
  • 각 항의 분모는 등차수열의 합 공식 $\frac{n(n+1)}{2}$ 꼴입니다. 이를 역수로 취하면 $\frac{2}{n(n+1)} = 2(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$로 부분분수 분해가 가능하여 항들이 서로 소거되는 형태입니다.
    ① [기본 공식] $\sum_{n=1}^{2018} \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} = 2 \sum_{n=1}^{2018} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$
    ② [숫자 대입] $2(1 - \frac{1}{2019})$
    ③ [최종 결과]
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11. 다항함수 f(x)에 대하여 일 때, f(2)의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 극한값이 존재하고 분모가 0으로 수렴하므로 분자 또한 0으로 수렴해야 합니다. 분자를 인수분해하여 약분한 후 극한값을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to \sqrt{2}} \frac{8(x^2-2)(x^2+2)}{(x^2-2)f(x^2)} = 4$
    ② [숫자 대입] $\frac{8(2+2)}{f(2)} = 4$
    ③ [최종 결과] $f(2) = 8$
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12. 함수 f(x)가 양의 실수 x에 대하여 2x2-1＜f(x)＜2x2+x+1을 만족할 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 샌드위치 정리(조임 정리)를 이용하는 문제입니다. 주어진 부등식의 양변을 $x^2-1$로 나누어 극한값을 구합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2-1+x}{x^2-1} \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+x}{x^2-1} \le \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x+1+x}{x^2-1}$
    ② [숫자 대입] $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+x-1}{x^2-1} \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+x}{x^2-1} \le \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2+2x+1}{x^2-1}$
    ③ [최종 결과] $2 \le \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)+x}{x^2-1} \le 2$
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13. x≥-1인 임의의 실수 x에서 연속인 함수 f(x)가 , f(3) = 2를 만족시킬 때, 두 상수 a, b의 합 a+b의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 함수 $f(x)$가 $x=-1$에서 연속이려면, $(a\sqrt{x+1}-b)f(x) = x-3$ 식의 좌변이 $x \to -1$일 때 $0$으로 수렴해야 합니다. 우변이 $-1-3=-4$가 되므로, $f(x)$가 연속함수일 때 좌변의 계수 부분이 $0$이 되면 모순이 발생합니다. 따라서 $x=3$일 때의 조건 $f(3)=2$를 대입하여 $a, b$의 관계식을 찾고, $x \to -1$에서의 극한값을 분석합니다.
    먼저 $x=3$을 대입하면 $(a\sqrt{4}-b)f(3) = 3-3$이므로 $(2a-b) \times 2 = 0$에서 $b=2a$입니다.
    식에 대입하면 $(a\sqrt{x+1}-2a)f(x) = x-3$이고, $x \to -1$일 때 좌변은 $-2af(-1)$이 되며 우변은 $-4$가 됩니다. 즉, $-2af(-1) = -4$에서 $af(-1) = 2$입니다.
    문제에서 요구하는 $a+b$의 값은 $a+2a=3a$입니다. 주어진 조건과 연속성을 만족하는 $a=2, b=4$일 때 $a+b=6$이 성립합니다.
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14. 수열 {an}에 대하여 일 때, 의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 급수가 수렴하기 위해서는 일반항의 극한값이 0이어야 한다는 성질을 이용합니다.
    주어진 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{\sqrt{n+6} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} + a_{n}) = 2018$이 수렴하므로, $\lim_{n \to \infty} (\frac{\sqrt{n+6} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} + a_{n}) = 0$이어야 합니다.
    먼저 앞의 분수식의 극한을 구하면:
    $$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n+6} + \sqrt{n}}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{6}{n}} + 1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \frac{1+1}{1+1} = 1$$
    따라서 $1 + \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$이 되어야 합니다.
    최종 결과: $\lim_{n \to \infty} a_{n} = -1$
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15. 공차가 양수인 두 등차수열 {an}, {bn}이 있다. 수열 {an}, {bn}의 첫째항부터 제 n항까지의 합을 각각 Sn, Tn이라고 할 때, 이다. 의 값은?

(정답률: 알수없음)
  • 등차수열의 합 $S_n$은 $n^2$에 비례하며, 그 계수는 공차의 $\frac{1}{2}$배입니다. 따라서 $\lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n}$의 값은 두 수열의 공차의 비와 같습니다. 두 수열의 공차를 각각 $d_a, d_b$라 하면 $\frac{d_b}{d_a} = \frac{2}{3}$입니다. 일반항 $a_n, b_n$ 역시 $n$이 무한대로 갈 때 공차의 비를 따르므로, 주어진 식의 극한값은 공차의 비를 대입하여 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{n \to \infty} \frac{4a_n - 3b_n}{2a_n + 3b_n} = \frac{4 - 3(\frac{d_b}{d_a})}{2 + 3(\frac{d_b}{d_a})}$
    ② [숫자 대입] $\frac{4 - 3(\frac{2}{3})}{2 + 3(\frac{2}{3})}$
    ③ [최종 결과] $\frac{4 - 2}{2 + 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
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16. 함수 에 대하여 의 값은?

  1. 50
  2. 55
  3. 60
  4. 65
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 극한 식 $\text{img src='https://cbtbank.kr/images/p7/p720180901/p720180901m16m2.gif'}$의 $\lim_{h \to 0}$ 부분은 함수 $f(x)$의 $x=k$에서의 미분계수 $f'(k)$를 의미합니다.
    함수 $\text{img src='https://cbtbank.kr/images/p7/p720180901/p720180901m16m1.gif'}$를 미분하면 $f'(x) = x + 1$ 입니다.
    따라서 구하는 값은 $\sum_{k=1}^{10} f'(k) = \sum_{k=1}^{10} (k + 1)$ 입니다.
    $$S = (1+1) + (2+1) + \dots + (10+1)$$
    $$S = \frac{10(2 + 11)}{2}$$
    $$S = 65$$
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17. 연속함수 f(x)가 (단, a는 상수)일 때, 의 값은?

  1. 7/6
  2. 5/6
  3. 1/2
  4. 1/6
(정답률: 알수없음)
  • 함수 $f(x)$가 연속이므로 $x=1$에서 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
    $1(1-1) = -1^2-1+a$에서 $0 = -2+a$이므로 $a=2$ 입니다.
    구하는 값은 정적분의 정의를 이용한 $\int_{0}^{1} f(x) dx$ 입니다. $0 \le x \le 1$ 범위에서 $f(x) = -x^2-x+2$이므로 이를 적분합니다.
    ① [기본 공식] $I = \int_{0}^{1} (-x^2-x+2) dx$
    ② [숫자 대입] $I = [-\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x]_{0}^{1}$
    ③ [최종 결과] $I = -\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+2 = \frac{7}{6}$
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18. 방정식 x2 + 2y + 4z = 6를 만족시키는 음이 아닌 정수해의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 음이 아닌 정수해 $(x, y, z)$를 찾기 위해 $x^2$의 값에 따라 케이스를 분류합니다.
    1) $x=0$일 때: $2y + 4z = 6 \Rightarrow y + 2z = 3$. 가능한 해는 $(0, 3, 0), (0, 1, 1)$ 총 2개입니다.
    2) $x=1$일 때: $1 + 2y + 4z = 6 \Rightarrow 2y + 4z = 5$. 좌변은 짝수, 우변은 홀수이므로 정수해는 존재하지 않습니다.
    3) $x=2$일 때: $4 + 2y + 4z = 6 \Rightarrow 2y + 4z = 2 \Rightarrow y + 2z = 1$. 가능한 해는 $(2, 1, 0)$ 총 1개입니다.
    4) $x \ge 3$일 때: $x^2 \ge 9$가 되어 $x^2 + 2y + 4z = 6$을 만족하는 음이 아닌 정수해는 없습니다.
    따라서 총 개수는 $2 + 1 = 3$개입니다.
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19. 닫힌구간 [2, 3]에서 정의된 연속확률변수 X에 대하여 라 할 때, 평균 E(X)의 값은? (단, 2 ≤ t ≤ 3 이고 a는 상수이다.)

(정답률: 알수없음)
  • 확률밀도함수 $f(t)$는 누적분포함수 $P(2 \le X \le t)$를 미분하여 구하며, 평균 $E(X)$는 $\int_{2}^{3} t f(t) dt$로 계산합니다.
    먼저 $P(2 \le X \le 2) = 0$이어야 하므로 $\frac{1}{9}(2)^3 + \frac{a}{3}(2)^2 = 0$에서 $\frac{8}{9} + \frac{4a}{3} = 0$, 즉 $a = -\frac{2}{3}$입니다.
    또한 $P(2 \le X \le 3) = 1$이어야 하므로 $\frac{1}{9}(3)^3 + \frac{a}{3}(3)^2 = 3 + 3a = 1$에서 $a = -\frac{2}{3}$임이 확인됩니다.
    따라서 $f(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{9}t^3 - \frac{2}{9}t^2) = \frac{1}{3}t^2 - \frac{4}{9}t$이며, 평균은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $E(X) = \int_{2}^{3} t(\frac{1}{3}t^2 - \frac{4}{9}t) dt = \int_{2}^{3} (\frac{1}{3}t^3 - \frac{4}{9}t^2) dt$
    ② [숫자 대입] $E(X) = [\frac{1}{12}t^4 - \frac{4}{27}t^3]_{2}^{3} = (\frac{81}{12} - \frac{108}{27}) - (\frac{16}{12} - \frac{32}{27})$
    ③ [최종 결과] $E(X) = \frac{65}{12} - \frac{76}{27} = \frac{11}{4} - \frac{4}{27}$
    따라서 정답은 입니다.
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20. 어떤 약의 질병 A에 대한 치료율이 0.9라고 한다. 이 약을 질병 A환자 1000명에게 투여했을 때, 치료되는 환자의 수가 919명 이상일 확률은? (단, 치료 유무는 약 투여에 의해서만 결정되고 3√10 = 9.5라고 하자.)

  1. 0.16
  2. 0.07
  3. 0.02
  4. 0.01
(정답률: 알수없음)
  • 이항분포 $B(1000, 0.9)$를 정규분포 $N(np, npq)$로 근사하여 풉니다.
    평균 $m = 1000 \times 0.9 = 900$, 표준편차 $\sigma = \sqrt{1000 \times 0.9 \times 0.1} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ 입니다.
    조건에서 $3\sqrt{10} = 9.5$이므로 $\sigma = 9.5$ 입니다.
    구하고자 하는 확률 $P(X \ge 919)$를 표준화하면
    $$Z = \frac{X - m}{\sigma} = \frac{919 - 900}{9.5} = \frac{19}{9.5} = 2.0$$
    따라서 $P(Z \ge 2.0) = 0.5 - P(0 \le Z \le 2.0)$ 입니다.
    표에서 $P(0 \le Z \le 2.0) = 0.48$이므로
    $$0.5 - 0.48 = 0.02$$
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1

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