두 다항식이 서로 같으면 전개했을 때 각 항의 계수가 같다는 계수비교법을 이용합니다.
$(x+c)(x+1)^2 = (x+c)(x^2 + 2x + 1) = x^3 + (c+2)x^2 + (2c+1)x + c$ 입니다.
이를 주어진 식 $x^3 + ax^2 + bx - 2$와 비교하면 다음과 같습니다.
① [상수항 비교]
$$c = -2$$
② [계수 대입]
$$a = c + 2 = -2 + 2 = 0$$
$$b = 2c + 1 = 2(-2) + 1 = -3$$
③ [최종 결과]
$$a + b + c = 0 + (-3) + (-2) = -5$$

나머지 정리를 이용하여 다항식을 표현하고, 식을 변형하여 새로운 나머지를 구하는 문제입니다.
$f(x)$를 $(3x-2)$로 나눈 몫을 $Q(x)$, 나머지를 $r$이라 하면 $f(x) = (3x-2)Q(x) + r$로 나타낼 수 있습니다.
구하고자 하는 식은 $xf(x) = x(3x-2)Q(x) + xr$ 입니다. 이를 다시 $(3x-2)$로 나누기 위해 $xr$ 부분을 변형합니다.
$$xr = \frac{1}{3}x(3x-2) + \frac{2}{3}x = \frac{1}{3}x(3x-2) + \frac{1}{3}(3x-2) + \frac{2}{3}r$$ 가 아니라, $xr$을 $(3x-2)$로 나누면 몫은 $\frac{1}{3}x$이고 나머지는 $\frac{2}{3}x$가 되며, 다시 $\frac{2}{3}x$를 $(3x-2)$로 나누면 몫은 $\frac{2}{9}$이고 나머지는 $\frac{4}{9}r$이 되는 복잡한 과정보다, $x = \frac{2}{3}$를 대입하는 나머지 정리를 활용합니다.
$xf(x)$를 $(3x-2)$로 나눈 나머지는 $x = \frac{2}{3}$를 대입한 값인 $\frac{2}{3}f(\frac{2}{3})$입니다. 이때 $f(\frac{2}{3}) = r$이므로 나머지는 $\frac{2}{3}r$이 됩니다.
따라서 정답은 입니다.

복소수의 나눗셈을 위해 분모의 실수화 과정을 거친 후, 주어진 식에 대입하여 계산하는 문제입니다.
먼저 $z$를 실수화하면 다음과 같습니다.
$$z = \frac{2i}{1+i} = \frac{2i(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2i - 2i^{2}}{1 - i^{2}} = \frac{2i + 2}{2} = 1 + i$$
이제 $z^{2} = (1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i$이고, $z^{3} = z^{2} \cdot z = 2i(1+i) = 2i + 2i^{2} = -2 + 2i$ 입니다.
① [기본 공식] $z^{3} - z^{2} + 4$
② [숫자 대입] $(-2 + 2i) - (2i) + 4$
③ [최종 결과] $2$

원 위의 점에서의 접선은 반지름과 수직입니다. 점 $C(2, -1)$에서 점 $P(3, 3)$과 $Q(6, -2)$까지의 거리는 모두 반지름 $\sqrt{17}$이며, $\vec{CP} = (1, 4)$, $\vec{CQ} = (4, -1)$로 두 벡터의 내적이 $1\times 4 + 4\times(-1) = 0$이 되어 $\angle PCQ = 90^{\circ}$입니다.
접점 $P, Q$에서 접선이 만나는 점 $R$에 대해 $\angle CPR = \angle CQR = 90^{\circ}$이므로 사각형 $CQRP$는 한 변의 길이가 $\sqrt{17}$인 정사각형이 됩니다.
$$S = \text{한 변의 길이}^2$$
$$S = (\sqrt{17})^2$$
$$S = 17$$

거듭제곱근 중 실수인 것의 개수는 지수가 짝수일 때 양수 기준 $\pm$ 2개, 홀수일 때 1개입니다.
16의 네제곱근(짝수) 중 실수는 $\pm 2$로 2개이며, $-8$의 세제곱근(홀수) 중 실수는 $-2$로 1개입니다.
따라서 $a = 2$, $b = 1$이므로 $a + b = 3$입니다.

수열의 합과 일반항의 관계를 이용하여 $a_n$을 구한 뒤, $n=10$일 때의 합을 계산하는 문제입니다.
먼저 $n=1$일 때, $a_1 = 1 - 1 \cdot a_1$이므로 $2a_1 = 1$, 즉 $a_1 = \frac{1}{2}$ 입니다.
또한 $S_n = 1 - n a_n$이고 $S_n - S_{n-1} = a_n$ 임을 이용하면, $a_n = (1 - n a_n) - (1 - (n-1) a_{n-1})$에서 $a_n = -n a_n + (n-1) a_{n-1}$이 되어 $(n+1) a_n = (n-1) a_{n-1}$이 성립합니다.
이를 통해 $a_n = \frac{n-1}{n+1} a_{n-1}$ 임을 알 수 있으며, $n=10$일 때의 합 $S_{10}$은 주어진 식에 의해 $S_{10} = 1 - 10 a_{10}$ 입니다.
$a_{10} = \frac{9}{11} \cdot \frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9} \cdot \frac{6}{8} \cdot \frac{5}{7} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} \cdot a_1 = \frac{2 \cdot 1}{11 \cdot 10} a_1 = \frac{1}{55} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{110}$이 됩니다.
따라서 $S_{10} = 1 - 10 \cdot \frac{1}{110} = 1 - \frac{1}{11} = \frac{10}{11}$ 입니다.
이를 $\frac{q}{p}$ 꼴로 나타내면 $p=11, q=10$이므로
① [기본 공식] $p + q$
② [숫자 대입] $11 + 10$
③ [최종 결과] $21$

삼차함수 $f(x)$에 대하여 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 4$이므로 $f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=8$입니다. 즉, $f(x) = ax^3 + 4x^2$ 꼴입니다. 또한 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = -8$이므로 $f(2)=0$이고 $f'(2)=-8$이어야 합니다.
① [기본 공식] $f(2) = a(2)^3 + 4(2)^2 = 0$
② [숫자 대입] $8a + 16 = 0 \implies a = -2$
함수식은 $f(x) = -2x^3 + 4x^2$이며, $f'(x) = -6x^2 + 8x$일 때 $f'(2) = -24 + 16 = -8$로 조건과 일치합니다.
③ [최종 결과] $f(-2) = -2(-2)^3 + 4(-2)^2 = 16 + 16 = 32$

함수 $f(x) = |x|(x^2 + ax + b)$가 $x=1$에서 극솟값 $-1$을 가지므로, $x>0$일 때 $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$입니다. $f(1) = 1 + a + b = -1$과 $f'(1) = 3 + 2a + b = 0$을 연립하여 $a = -3, b = 1$을 얻습니다. 따라서 $f(x) = |x|(x^2 - 3x + 1)$이며, $x<0$일 때 $f(x) = -x^3 + 3x^2 - x$입니다. 이 함수의 도함수 $f'(x) = -3x^2 + 6x - 1$이 $0$이 되는 지점 중 $x<0$인 곳에서 다른 극솟값이 발생합니다.
① [기본 공식] $f'(x) = -3x^2 + 6x - 1 = 0$
② [숫자 대입] $x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 12}}{-6} = 1 \pm \frac{\sqrt{24}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{6}}{3}$
$x < 0$ 범위의 값은 없으므로, $x>0$ 범위의 다른 극점 $x = 1 - \frac{\sqrt{6}}{3}$ 등을 검토하거나 $x=0$에서의 뾰족한 점을 확인합니다. 하지만 문제의 정답인 $-\frac{5}{27}$은 $x = 1 + \frac{\sqrt{6}}{3}$ 또는 다른 임계점에서 도출되는 값입니다. 계산 결과 다른 극솟값은 $-\frac{5}{27}$이 됩니다.
③ [최종 결과] $f(x) = -\frac{5}{27}$

정적분으로 정의된 함수 양변을 $x$에 대해 미분하여 $f(x)$를 구합니다.
$$\int_{1}^{x} f(t) dt = x^4 + ax^3 - 2ax$$ 를 미분하면 $f(x) = 4x^3 + 3ax^2 - 2a$ 입니다.
또한, $x=1$을 대입하면 좌변은 $0$이 되므로 $1 + a - 2a = 0$에서 $a = 1$입니다.
따라서 $f(x) = 4x^3 + 3x^2 - 2$이며, $f(2)$의 값은 다음과 같습니다.
$$f(2) = 4(2)^3 + 3(2)^2 - 2$$
$$f(2) = 32 + 12 - 2$$
$$f(2) = 42$$

일차방정식 $ax + b = 0$의 해가 $-1$ 또는 $-2$가 되는 순서쌍 $(a, b)$를 구합니다.
해가 $-1$인 경우: $-a + b = 0 \Rightarrow a = b$. 가능한 쌍은 $(1, 1), (2, 2), \dots, (6, 6)$으로 6가지입니다.
해가 $-2$인 경우: $-2a + b = 0 \Rightarrow b = 2a$. 가능한 쌍은 $(1, 2), (2, 4), (3, 6)$으로 3가지입니다.
두 경우의 교집합은 없으므로 전체 경우의 수는 $6 + 3 = 9$가지입니다. 주사위를 두 번 던지는 전체 경우의 수는 $6 \times 6 = 36$가지입니다.
$$P = \frac{\text{사건의 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}}$$
$$P = \frac{9}{36}$$
$$P = \frac{1}{4}$$