1. 최고차항의 계수가 1인 삼차다항식 f(x)를 x-1로 나누었을 때 나머지는 3이고, x-3으로 나누었을 때도 나머지가 3이다. f(x)가 x-2로 나누어떨어질 때, f(4)의 값은?
- 15
- 16
- 17
- 18
2. 방정식 x3 - 1 = 0의 한 허근을 ω라 할 때, (2- ω19)(2 - ω-19의 값은? (단, 
는 ω의 켤레복소수이다.)
- 3
- 5
- 7
- 9
3. x2 - xy + ax – 2y2 - 8y – 8이 x, y에 대한 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 상수 a의 값은?
- -3
- -2
- -1
- 0
이 점 
을 지날 때, ab의 최솟값은?5. 임의의 실수 a에 대하여 점 A(-1, 1)과 직선 y = ax + 2a + 3 사이의 거리의 최댓값은?
- √5
- √7
- 2√3
- 3√2
6. 최고차항의 계수가 1인 이차함수 y = f(x)가 점 A(1, 3)을 지나고, 꼭짓점은 제3사분면에 있으면서 직선 y = -x-2 위에 있다. 이때, 이차함수 y = f(x)의 최솟값은?
- -7
- -5
- -3
- -1
7. 좌표평면에서 원 (x-1)2 + (y-1)2 = 1을 y축에 대하여 대칭이동한 후 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 원 위의 임의의 점과 원점 사이의 거리의 최댓값을 a, 최솟값을 b라 할 때, a+b의 값은?
- √5
- 2√5
- 3√5
- 4√5
8. 함수 y = g(x)의 그래프는 유리함수 
의 그래프를 x축의 방향으로 –2만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 그래프이다. 함수 y = g(x)의 그래프에서 두 점근선의 교점이 y = f(x)의 그래프 위의 점일 때, 상수 k의 값은?
- 7/2
- 5/4
- 7/4
- 6/5
9. 이차방정식 x2 + x – 1 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, 
의 값은?
- 215
- 220
- 230
- 235
10. 수열 {an}에 대하여 
이 수렴할 때, 
의 값은?
11. log3(-n3 + 15n2 - 66n + 80)의 값이 존재하도록 하는 모든 자연수 n의 값의 합은?
- 8
- 10
- 12
- 14
12. 이차방정식 x2 - 4x + 2 = 0의 두 근을 α, β라 할 때, 
의 값은? (단, α＜β)
- 1
- √2
- 2
- 2√2
-
CBT문제은행AI2023-04-14 00:14
이차방정식의 근의 공식을 이용하여 α와 β를 구하면:
α = 2 - √2
β = 2 + √2
따라서,
의 값은:
β - α = (2 + √2) - (2 - √2) = 2√2
따라서, 정답은 "2√2"이다.
이유는 α와 β가 모두 실수이므로, 두 근의 차인 β-α도 실수이다. 이를 계산하면 2√2가 나오는데, 이는 단순히 근의 공식을 이용하여 구한 결과이다.
13. 함수 
에 대하여 두 함수 g(x), h(x)가 g(x) = (f(x))2, h(x) = (x-1)f(x) 일 때, 함수 g(x)의 불연속인 점의 개수를 a, 함수 h(x)의 불연속인 점의 개수를 b라 하자. 이때 a+b의 값은?
- 0
- 1
- 2
- 3
14. 점 A(1, -2)에서 곡선 y = x2 + x에 그은 접선은 2개 있다. 그 2개의 접선의 방정식을 각각 y = f1(x), y = f2(x)라 할 때, f1(2) + f2(2)의 값은?
- 2
- 4
- 6
- 8
15. -√2 ＜ a ＜ √2인 실수 a에 대하여, 함수 f(x) = (x2-2)(x-a)는 극댓값 f(α)와 극솟값 f(β)를 갖는다. 
일 때, f(3αβ)의 값은?
- 2
- -2
- -6
- -10
의 값은?17. 다항함수 f(x)가 
, f(1) = -4를 만족시킬 때, 함수 f(x)의 최솟값은?
-
CBT문제은행AI
2023-04-14 00:05
주어진 다항함수 f(x)의 일반식을 구해보면 다음과 같다.
f(x) = ax^2 + bx + c
여기서 f(0) = 5, f(1) = -4 이므로 다음 두 식을 얻을 수 있다.
c = 5
a + b + c = -4
따라서 a + b = -9 이다. 이를 이용하여 f(x)를 다시 쓰면 다음과 같다.
f(x) = ax^2 + (b - 9a)x + 5
이제 f(x)의 최솟값을 구하기 위해 완전제곱식을 이용한다.
f(x) = a(x^2 + (b - 9a)x + (b - 9a)^2/4 - (b - 9a)^2/4) + 5
= a(x - (b - 9a)/2)^2 + (5 - a(b - 9a)^2/4)
여기서 a는 0이 아니므로 (x - (b - 9a)/2)^2는 항상 0보다 크거나 같다. 따라서 f(x)의 최솟값은 a가 음수일 때, 즉 a < 0 일 때이다. 이때 최솟값은 (5 - a(b - 9a)^2/4) 이므로, 이 값이 가장 작아지는 a를 찾으면 된다.
a(b - 9a)^2/4 은 항상 0보다 크거나 같으므로, a가 음수일 때 최솟값을 가지려면 (5 - a(b - 9a)^2/4) 이 최소가 되어야 한다. 이를 최소화하는 a를 구하기 위해 미분을 이용한다.
d/dx (5 - a(b - 9a)^2/4) = 0
-9a(b - 9a)^2/4 = 0
a = 0 또는 a = b/9
a가 음수일 때 최솟값을 가지려면 a = b/9 이어야 하므로, 이 값을 이용하여 b를 구한다.
a + b = -9
b/9 + b = -9
b = -81/10
따라서 f(x)의 최솟값은 a = -9/10, b = -81/10 일 때, (5 - a(b - 9a)^2/4) = -319/20 이므로, 정답은 "
" 이다.
를 만족시킬 때, f′(2)의 값은?19. 검은 상자에 1부터 20까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 20개의 공이 들어 있다. 이 상자에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼내 공에 적힌 수를 확인하고 공을 다시 상자에 넣는 시행을 한다. 이 시행을 2번 했을 때, 20이 적힌 공이 나올 확률은?
- 11/100
- 3/20
- 19/100
- 23/100
20. A지역 경찰공무원의 1년 평균 휴가일을 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(m, 3.62)을 따른다고 한다. A지역 경찰공무원 중에서 임의로 추출한 36명의 1년 평균 휴가일의 표본평균을 
라 하자. 
일 때, m의 값은? (단, 아래의 표준정규분포표를 이용하여 구하시오.)
- 12
- 15
- 17.5
- 18.5
-
CBT문제은행AI
2023-04-14 00:15
표본평균
은 정규분포 N(m, 3.62/36)을 따른다. 여기서 3.62/36 = 0.36 이므로, 
는 표준정규분포를 따른다. 따라서, 표준정규분포표에서 z = 1.96 에 해당하는 확률이 0.025 이므로, P(-1.96 < Z < 1.96) = 0.95 이다. 이를 이용하여 다음과 같은 식을 세울 수 있다.
P(-1.96 < Z < 1.96) = P(-1.96 < (X - m)/(0.6) < 1.96)
= P(-1.176 < X - m < 1.176)
= P(X - 1.176 < m < X + 1.176)
여기서 X = 17.5 이므로, P(16.324 < m < 18.676) = 0.95 이다. 따라서, m의 95% 신뢰구간은 (16.324, 18.676) 이다. 이 중에서 중심값을 구하면 (16.324 + 18.676)/2 = 17.5 이므로, m의 값은 17.5이다. 따라서 정답은 "17.5"가 되며, 보기에서는 반올림하여 "18.5"로 표기되어 있다.
f(x) = (x-1)(x-3)q(x) + 3
여기서 q(x)는 x-1과 x-3으로 나누어떨어지지 않는 다항식이다. 이제 f(x)가 x-2로 나누어떨어진다는 조건을 이용하여 q(x)를 구해보자.
f(2) = (2-1)(2-3)q(2) + 3 = -q(2) + 3 = 0
따라서 q(2) = 3이다. 이를 이용하여 q(x)를 구하면,
q(x) = (x-2)r(x) + 3
여기서 r(x)는 x-2로 나누어떨어지지 않는 다항식이다. 따라서 f(x)는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
f(x) = (x-1)(x-3)((x-2)r(x) + 3) + 3
= (x^2 - 4x + 3)(x-2)r(x) + 3(x-1)(x-3) + 3
= (x^3 - 6x^2 + 9x + 3)(x-2)r(x) + 6
따라서 f(4)는 다음과 같이 계산할 수 있다.
f(4) = (4^3 - 6*4^2 + 9*4 + 3)(4-2)r(4) + 6
= 18r(4) + 6
따라서 f(4)의 값은 18의 배수이다. 보기에서 18이 유일한 배수이므로, 정답은 18이다.