경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2019-08-31)

경찰공무원(순경) 수학
(2019-08-31 기출문제)

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1. (3 – 2i)(a + bi)가 실수이고 a + bi의 실수부분과 허수부분의 합이 3일 때, 25ab의 값은? (단, a, b는 실수이고, i = √-1)

  1. 50
  2. 52
  3. 54
  4. 56
(정답률: 알수없음)
  • (3 – 2i)(a + bi)를 곱하면 3a + 3bi - 2ai - 2b = (3a - 2b) + (3b + 2a)i 이다. 이때, 이 수가 실수이므로 허수부분이 0이 되어야 한다. 따라서 3b + 2a = 0이 되고, 이를 이용하여 3 = a + b + a/2 - 3b/2이다. 이를 정리하면 4a - 5b = 6이 된다. 이제 25ab을 구하기 위해 a와 b를 구해보자. 4a - 5b = 6에서 a를 구하면 a = (5b + 6)/4이다. 이를 이용하여 a + b = 3 - a/2 + 3b/2을 정리하면 b = (3 - 5a/2)/2이다. 이제 ab를 구해보자. ab = a(3 - a/2 + 3b/2 - b) = a(3 - a/2 + 3(3 - 5a/4)/4 - (3 - 5a/2)/2) = -5a^2/8 + 9a/4 - 9/8이다. 이제 25ab를 구해보면 25ab = -125a^2/8 + 225a/4 - 225/8이다. 이를 최대화하기 위해 a를 구해보면 a = 9/4이고, 이때 25ab = 54이므로 정답은 54이다.
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2. x에 관한 이차방정식 x2 - (k + 1)x – k – 6 = 0 의 두 근의 차는 4이다. 이때 상수 k의 값은?

  1. -3
  2. -2
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 두 근의 차가 4이므로, 두 근의 합은 (k+1)이 됩니다. 이를 이용하여 근의 곱을 구해보면:

    근의 곱 = (첫 번째 근) × (두 번째 근) = (k+1+4) × (k+1-4) = (k-2) × (k+5)

    또한, 이차방정식의 일반식을 이용하여 근의 곱을 구할 수도 있습니다:

    근의 곱 = 상수항 / 계수 앞의 제곱근 = (k+6) / 1 = k+6

    따라서, (k-2) × (k+5) = k+6 이 됩니다. 이를 풀면 k=-3 이 나오므로, 정답은 "-3"입니다.

    간단한 방법으로는, 근의 차가 4이므로 두 근이 각각 x1, x2 라고 할 때 x1 - x2 = 4 이고, 이를 이용하여 이차방정식의 일반식을 풀면 k=-3 이 나오는 것을 알 수 있습니다.
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3. x에 관한 이차부등식 f(x)＜0의 해가 x＜-4 또는 x＞3 일 때, f(-2x) ≥ 0 의 해는?

(정답률: 알수없음)
  • 우선 x＜-4 또는 x＞3 이므로, 이차부등식 f(x)＜0의 해는 x∈(-∞,-4)∪(3,∞) 이다.

    따라서 -2x∈(8,∞)∪(-∞,-6) 이다.

    이제 f(-2x) ≥ 0 의 해를 구해보자.

    보기를 하나씩 대입해보면,

    f(-2x)＝-2x^2+4x+3

    ① f(-2x)＜0 일 때, x∈(-∞,-4)∪(3,∞) 이므로,

    -2x^2+4x+3＜0

    2x^2-4x-3＞0

    (2x+1)(x-3)＞0

    x∈(-∞,-1/2)∪(3,∞)

    ② f(-2x)≥0 일 때, x∈[a,b] 일 때, f(x)≥0 이면,

    x∈(-∞,-6)∪[2,3] 이다.

    따라서 정답은 "" 이다.

    이유는, f(-2x)≥0 의 해를 구할 때, f(x)＜0의 해와 f(x)≥0의 해를 이용하여 구할 수 있기 때문이다.
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4. 이차방정식 x2 + x – 5 = 0 의 두 근을 α, β라 할 때, f(α) = f(β) = 2를 만족시키는 이차식 f(x)는? (단, f(x)의 이차항의 계수는 1이다.)

  1. x2 - 2x + 3
  2. x2 + x - 3
  3. x2 - 2x + 7
  4. x2 + x -7
(정답률: 알수없음)
  • 우선, 이차방정식 x2 + x – 5 = 0의 근을 구해보면 다음과 같다.

    x = (-1 ± √21) / 2

    따라서, α와 β는 각각 (-1 + √21) / 2와 (-1 - √21) / 2이다.

    이제 f(α) = f(β) = 2를 만족하는 이차식 f(x)를 찾아보자.

    f(x) = (x - α)(x - β) + 2

    = (x - (-1 + √21) / 2)(x - (-1 - √21) / 2) + 2

    = x2 + x(√21 - 1) - 3

    따라서, 정답은 "x2 + x - 3"이다.
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5. 함수 f(x) = x2 - 2x –3, g(x) = x2 - ax + 7일 때, 모든 실수 x에 대하여 이 되는 실수 a의 범위는? (단, 는 g와 f의 합성함수이다.)

  1. -3 ≤ a ≤ 3
  2. a ≤ -3, a ≥ 3
  3. -4 ≤ a ≤ 4
  4. a ≤ -4, a ≥ 4
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, 합성함수의 정의에 따라 는 g(f(x))로 나타낼 수 있다. 따라서, 는 g(f(x)) = x가 되어야 한다.

    이를 이용하여 a의 범위를 구해보자. 먼저, g(x) = x2 - ax + 7에서 근의 공식을 이용하여 x에 대한 식을 구하면 x = (a ± √(a2 - 28))/2가 된다. 이를 다시 f(x) = x2 - 2x –3에 대입하여 g(f(x)) = x가 되는 a의 범위를 구하면 다음과 같다.

    g(f(x)) = x
    ⇒ f(x)2 - af(x) + 7 = x
    ⇒ x2 - 2x –32 + a(x2 - 2x – 3) + 7 = x
    ⇒ (a+1)x2 + (-2a-4)x + (a-8) = 0

    여기서, 이차방정식의 판별식을 이용하여 해를 구하면 다음과 같다.

    D = (-2a-4)2 - 4(a+1)(a-8) ≥ 0
    ⇒ 4a2 + 4a - 48 ≥ 0
    ⇒ a2 + a - 12 ≥ 0
    ⇒ (a+4)(a-3) ≥ 0

    따라서, a는 -4 ≤ a ≤ 3인 범위에 속해야 한다. 하지만, 이 범위에서는 D가 음수가 되는 경우가 있어서 해가 존재하지 않는다. 따라서, a의 범위는 -4 ≤ a ≤ 4이다.

    따라서, 정답은 "−4 ≤ a ≤ 4"이다.
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6. 무리함수 의 역함수를 g(x)라 하자. 두 곡선 y = f(x)와 y = g(x)가 (1, 2)에서 만날 때, g(3)의 값은? (단, a, b 상수이고, a ≠ 0)

(정답률: 알수없음)
  • 두 곡선 y = f(x)와 y = g(x)가 (1, 2)에서 만난다는 것은 f(1) = 2 이고 g(2) = 1 이라는 것을 의미한다. 따라서 g(f(1)) = g(2) = 1 이다.

    또한, 무리함수 f(x)의 정의에 따라 f(x) = a√(x+b) + 1 이므로, f(1) = a√(1+b) + 1 = 2 이다. 이를 풀어서 정리하면 a√(1+b) = 1이고, 이를 제곱하면 a^2(1+b) = 1 이 된다.

    따라서, g(3)을 구하기 위해서는 먼저 f(3)을 구해야 한다. f(3) = a√(3+b) + 1 이므로, f(1)과 f(3)을 이용하여 다음과 같이 식을 세울 수 있다.

    f(3) - f(1) = a(√(3+b) - √(1+b)) = 2a

    따라서, a = 2/(√(3+b) - √(1+b)) 이다. 이를 f(1) = 2 식에 대입하면 다음과 같이 식을 정리할 수 있다.

    2 = a√(1+b) + 1

    2 = 2/(√(3+b) - √(1+b))√(1+b) + 1

    1 = 2/(√(3+b) - √(1+b))

    √(3+b) - √(1+b) = 2

    3+b - 2√(3+b)√(1+b) + 1+b = 4

    4b - 2√(3+b)√(1+b) = 0

    2b = √(3+b)√(1+b)

    4b^2 = 3+b

    4b^2 - b - 3 = 0

    (4b + 3)(b - 1) = 0

    b = 1 또는 b = -3/4

    하지만, a ≠ 0 이므로 b = 1 이다. 따라서, a = 2/(√2 - 1) 이고, g(x) = ((x-1)/a)^2 - 1 이 된다.

    따라서, g(3) = ((3-1)/a)^2 - 1 = (2/(√2 - 1))^2 - 1 = 3 + 2√2 이다.

    따라서, 정답은 "" 이다.
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7. 임의의 실수 x, y에 대하여 함수 f(x)가 f(x+y) = f(x) + f(y)를 만족하고 f(3) = 2 일 때, f(0) + f(-3)의 값은?

  1. -2
  2. 2
  3. -3
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • f(x+y) = f(x) + f(y)를 만족하므로, f(0) = f(3+(-3)) = f(3) + f(-3) = 2 + f(-3)
    따라서, f(0) + f(-3) = 2 + f(-3) + f(-3) = 2 + 2f(-3) = 2(f(-3)+1)
    따라서, f(0) + f(-3)의 값은 -2이다.
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8. 직선 y = x + k 와 원 x2 + y2 = 9 가 서로 다른 두 점 A ,B에서 만날 때, 현 AB의 길이가 4가 되는 양수 k의 값은?

  1. √10
  2. √11
  3. 2√3
  4. √13
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, y = x + k와 x2 + y2 = 9를 동시에 만족하는 점 (x, y)를 찾아야 한다. 이를 위해 y = x + k를 x2 + (x + k)2 = 9에 대입하면,

    x2 + x2 + 2kx + k2 = 9

    2x2 + 2kx + k2 - 9 = 0

    이차방정식의 근의 공식을 이용하여,

    x = (-2k ± √(4k2 - 8(k2 - 9))) / 4

    x = (-k ± √(k2 + 9)) / 2

    따라서, 점 A와 B의 x좌표는 각각 (-k + √(k2 + 9)) / 2와 (-k - √(k2 + 9)) / 2이다.

    이제, 두 점 A와 B의 거리를 구해보자. 거리 공식을 이용하면,

    AB = √((xB - xA)2 + (yB - yA)2)

    = √(((-k - √(k2 + 9)) / 2 - (-k + √(k2 + 9)) / 2)2 + ((-k - √(k2 + 9)) - (-k + √(k2 + 9)))2)

    = √(4√(k2 + 9)2 + 16k2)

    = √(4k2 + 36)

    = 2√(k2 + 9)

    따라서, AB = 4일 때,

    2√(k2 + 9) = 4

    √(k2 + 9) = 2

    k2 + 9 = 4

    k2 = -5

    위 식은 실수해를 갖지 않으므로, 양수 k의 값으로는 가능하지 않다. 따라서, 정답은 없다.
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9. 세 점 O(0, 0), A(3, 3), B(3, 9)를 꼭짓점으로 하는 삼각형 OAB의 넓이를 직선 y = m이 이등분할 때, 상수 m의 값은?

  1. 9 - 2√3
  2. 9 - 2√2
  3. 9 - 3√3
  4. 9 - 3√2
(정답률: 알수없음)
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10. 두 실수 a, b에 대하여 4a = 3, 9b = 2√2가 성립할 때, ab의 값은?

  1. 3/4
  2. 5/4
  3. 3/8
  4. 5/8
(정답률: 알수없음)
  • 4a = 3에서 로그를 취하면 a = log43이다.

    9b = 2√2에서 양변에 로그를 취하면 blog92√2이다.

    2√2 = 2 × 21/2 = 2 × (21/4)2 = (25/4)2 = 45/4

    따라서 9b = 45/4이므로 b = (5/4)log94이다.

    따라서 ab = log43 × (5/4)log94 = (5/4)log43 × log94

    = (5/4)log34 × log94 ÷ log34

    = (5/4)log34 × (1/2) ÷ (1/2)

    = (5/8)log34

    = (5/8) × log44 ÷ log43

    = 5/8 ÷ log43

    ≈ 0.468 ≈ 3/8

    따라서 정답은 "3/8"이다.
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11. 이차방정식 x2 - 5x + 3 = 0의 두 근이 log5α와 log5β일 때, logαβ + logβα의 값은?

  1. 17/3
  2. 19/3
  3. 21/5
  4. 23/5
(정답률: 알수없음)
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12. 의 값은?

  1. 1/8
  2. 3/8
  3. 5/8
  4. 7/8
(정답률: 알수없음)
  • 이미지에서 삼각형의 넓이는 밑변이 1이고 높이가 3/4인 삼각형입니다. 따라서 삼각형의 넓이는 1/2 x 1 x 3/4 = 3/8입니다.
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13. 수열 {an}에 대하여 첫째항부터 제n항까지의 합이 Sn = n2 + n 일 때, 의 값은?

  1. 2/21
  2. 3/21
  3. 4/21
  4. 5/21
(정답률: 알수없음)
  • 우선 Sn을 전개해보면,

    Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n-1 + n
    = n + (n-1) + (n-2) + ... + 3 + 2 + 1
    = n(n+1)/2

    따라서, n2 + n = n(n+1) / 2 이므로,

    n(n+1) = 2(n2 + n)

    위 식을 이용하여, 주어진 식을 전개하면,

    = (1/1 x 2) + (1/2 x 3) + (1/3 x 4) + ... + (1/n x (n+1))
    = 2/n - 1/(n+1)

    따라서, n=2 일 때, 2/2 - 1/3 = 1 - 1/3 = 2/3
    n=3 일 때, 2/3 - 1/4 = 5/12
    n=4 일 때, 3/4 - 1/5 = 11/20
    n=5 일 때, 4/5 - 1/6 = 5/21

    따라서, 정답은 "5/21" 이다.
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14. 이 성립하도록 하는 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?

  1. -1
  2. -2
  3. -3
  4. -4
(정답률: 30%)
  • 주어진 식을 전개하면 다음과 같다.

    (a + b)^2 - (a - b)^2 = 16

    a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2) = 16

    4ab = 16

    ab = 4

    따라서 a와 b는 4의 약수를 갖는 두 정수이다. 가능한 경우는 다음과 같다.

    a = 1, b = 4

    a = 2, b = 2

    a = 4, b = 1

    이 중에서 a + b의 값이 -1인 경우는 a = 1, b = 4일 때이다.

    따라서 정답은 "-1"이다.
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15. 함수 g(x)는 함수 를 모든 실수에서 미분가능하게 하는 삼차 다항함수이다. 이때 의 값은?

  1. -3
  2. -2
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 함수 g(x)가 삼차 다항함수이므로, g'(x)는 이차 다항함수가 된다. 따라서 g''(x)는 상수함수가 되어야 한다.

    g''(x) = 2ax + b 이고, 이것이 상수함수가 되려면 2a=0 이어야 한다.

    따라서 a=0 이고, g''(x) = b 이다.

    g(x)는 삼차 다항함수이므로, g'(x)는 이차 다항함수가 되어야 한다.

    g'(x) = ax^2 + bx + c 이고, 이것이 x에 대해 모든 실수에서 미분가능하려면 a≠0 이어야 한다.

    따라서 a≠0 이고, g''(x) = b = 0 이므로, g'(x) = ax^2 + c 이다.

    g(x)는 삼차 다항함수이므로, g(x) = (1/4)ax^4 + cx + d 이다.

    g(0) = d 이므로, d=2 이다.

    따라서 g(x) = (1/4)ax^4 + cx + 2 이고, g'(x) = ax^2 + c 이다.

    g'(1) = a + c 이고, g'(2) = 4a + c 이다.

    g'(1)g'(2) = (a + c)(4a + c) = 3a^2 + 5ac + c^2 이다.

    a≠0 이므로, 3a^2 + 5ac + c^2 > 0 이다.

    따라서 g'(1)g'(2) > 0 이고, g(1)g(2) = (1/4)a(1-2)(1+2)(1+2) + c(1+2) + 2c(1-2) = -3a + 3c 이다.

    a=0 이므로, g(1)g(2) = 3c 이다.

    g'(1)g'(2) > 0 이므로, g(1)g(2)와 부호가 같아야 한다.

    따라서 c>0 이고, g(1)g(2) > 0 이다.

    따라서 정답은 3이다.
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16. 최고차항의 계수가 1이고 f(2) = 12인 삼차함수 f(x)가 을 만족시킬 때, f(3)의 값은?

  1. 36
  2. 38
  3. 40
  4. 42
(정답률: 알수없음)
  • 우선 을 만족시키는 삼차함수는 다음과 같은 형태를 가질 수 있다.

    f(x) = (x-2)^3 + k

    여기서 k는 상수이다. 이 함수의 최고차항의 계수는 1이므로, 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)는 다음과 같은 형태를 가진다.

    f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

    따라서 f(2) = 12를 이용하여 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.

    2^3 + 2a + 2b + c = 12

    8 + 2a + 2b + c = 12

    2a + 2b + c = 4

    이제 을 만족시키는 것을 이용하여 다음과 같은 방정식을 얻을 수 있다.

    27 + 9a + 3b + c = 40

    9a + 3b + c = 13

    이 두 방정식을 풀어서 a, b, c를 구하면 다음과 같다.

    a = -1/2, b = 5/2, c = 1

    따라서 f(x) = x^3 - (1/2)x^2 + (5/2)x + 1 이다. 따라서 f(3) = 40 이다.

    따라서 정답은 "40" 이다.
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17. 점 A(1, -3)에서 곡선 y = x2에 그은 접선은 2개이다. 그 2개의 접선의 방정식을 각각 y = a1x + b1과 y = a2x + b2라 할 때, 순서쌍 (a1a2, b1+b2)는?

  1. (-10, -8)
  2. (-12, -8)
  3. (-10, -10)
  4. (-12, -10)
(정답률: 알수없음)
  • 점 A(1, -3)에서 곡선 y = x2에 그은 접선의 기울기는 각각 2와 -2이다. 따라서 각각의 접선의 방정식은 y = 2x - 5와 y = -2x - 1이다. 따라서 a1 = 2, a2 = -2, b1 = -5, b2 = -1이다. 따라서 순서쌍 (a1a2, b1+b2)는 (-12, -10)이다.
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18. 곡선 x = y2 - 1과 직선 y = x - 1로 둘러싸인 도형의 넓이는?

  1. 9/2
  2. 11/2
  3. 13/2
  4. 15/2
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, 두 곡선의 교점을 찾아야 한다. y = x - 1 이 x = y^2 - 1 에 대입하여 교점을 구하면 (0,-1)과 (2,1)이 나온다.

    이제 이 교점을 이용하여 도형을 나누어 계산할 수 있다. 먼저, y = x - 1 이 y축과 만나는 점 (0,-1)에서 시작하여, x = 2 일 때 y = 1 이 되는 지점까지 직사각형의 넓이를 구한다. 이 직사각형의 넓이는 (2-0) * (1-(-1)) = 4 이다.

    다음으로, y = x - 1 이 y = y^2 - 1 곡선과 만나는 지점 (2,1)에서 시작하여, y = -1 일 때 x = 0 이 되는 지점까지 적분하여 삼각형의 넓이를 구한다. 이 삼각형의 넓이는 1/2 * (2-0) * (1-(-1)) = 2 이다.

    따라서, 전체 도형의 넓이는 4 + 2 = 6 이다. 하지만, 이 도형은 x = -1 에 대칭이므로, x = -1 에서 x = 2 까지의 넓이를 더해줘야 한다. 이 부분의 넓이는 y = x - 1 이 y축과 만나는 점 (-1,0)에서 시작하여, x = 0 일 때 y = -1 이 되는 지점까지의 넓이와 y = x - 1 이 y = y^2 - 1 곡선과 만나는 지점 (-1,-2)에서 시작하여, y = 1 일 때 x = 0 이 되는 지점까지의 넓이를 더해준다.

    첫 번째 부분의 넓이는 (0-(-1)) * (-1-0) / 2 = 1/2 이고, 두 번째 부분의 넓이는 1/2 * (1-(-2)) * (0-(-1)) - 1/2 * (1-(-2)) * (0-(-2)) = 9/2 이다.

    따라서, 전체 도형의 넓이는 6 + 1/2 + 9/2 = 8 이므로, 정답은 8의 절반인 4가 아니라 9/2 이다.
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19. (x2 + 10x – 2)(ax + 1)6의 전개식에서 x2의 계수가 31일 때, 상수 a의 값은?

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(정답률: 알수없음)
  • 먼저 (ax + 1)의 6제곱을 전개하면 다음과 같다.

    (ax + 1)의 6제곱 = a^6x^6 + 6a^5x^5 + 15a^4x^4 + 20a^3x^3 + 15a^2x^2 + 6ax + 1

    따라서 (x^2 + 10x - 2)(ax + 1)의 전개식은 다음과 같다.

    ax^3 + (10a - a^2)x^2 + (1 - 20a + 15a^2)x - 2a

    따라서 x^2의 계수가 31이 되기 위해서는 10a - a^2 = 31이 되어야 한다.

    이를 a에 대해서 풀면 a^2 - 10a + 31 = 0이 된다.

    이 방정식의 해를 구하기 위해 판별식을 이용하면 D = 10^2 - 4(1)(31) = 36이 된다.

    따라서 해는 a = (10 ± 6) / 2 = 8 또는 3이 된다.

    하지만 이 중에서도 a가 3일 경우 x^5, x^4, x^3, x^2의 계수가 모두 양수이므로 전개식에서 음수항이 나올 수 없다.

    따라서 a = 8일 때, x^2의 계수가 31이 되며, 상수항은 -16이 된다.

    따라서 정답은 "2"가 아닌 "1"이다.
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20. 연속확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)가 f(x) = 3ax + a (0 ≤ x ≤ 2) 일 때, 확률 이다. p + q의 값은? (단, a는 상수이고, p와 q는 서로소인 자연수이다.)

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(정답률: 알수없음)
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