경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2020-05-30)

경찰공무원(순경) 수학 2020-05-30 필기 기출문제 해설

이 페이지는 경찰공무원(순경) 수학 2020-05-30 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

경찰공무원(순경) 수학
(2020-05-30 기출문제)

목록

1과목: 수학

1. 다항식 f(x)를 x-1로 나누었을 때 나머지는 3이고, x-2로 나누었을 때 나머지가 6이다. f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫을 x-2로 나누었을 때의 나머지는?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 14%)
  • 나머지 정리에 의해 $f(1)=3, f(2)=6$입니다. $f(x)$를 $x-1$로 나누었을 때의 몫을 $Q(x)$라 하면 $f(x) = (x-1)Q(x) + 3$으로 나타낼 수 있습니다. 이때 $Q(x)$를 $x-2$로 나누었을 때의 나머지는 $Q(2)$의 값과 같습니다.
    ① [기본 공식] $f(2) = (2-1)Q(2) + 3$
    ② [숫자 대입] $6 = 1 \times Q(2) + 3$
    ③ [최종 결과] $Q(2) = 3$
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1

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2. 이차방정식 2x2-2x+1=0의 두 근을 α, β라 할 때, 의 값은? (단, 는 z의 켤레복소수이다.)

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 14%)
  • 이차방정식의 계수가 모두 실수일 때, 허근은 서로 켤레복소수 관계에 있다는 성질을 이용합니다.
    주어진 방정식 $2x^{2}-2x+1=0$에서 두 근 $\alpha, \beta$는 서로 켤레복소수이므로 $\bar{\alpha} = \beta$이고 $\bar{\beta} = \alpha$가 성립합니다.
    구하고자 하는 식 $\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta$에 이를 대입하면 다음과 같습니다.
    $$\alpha\bar{\beta} + \bar{\alpha}\beta = \alpha \times \alpha + \beta \times \beta = \alpha^{2} + \beta^{2}$$
    근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = 1$, $\alpha\beta = \frac{1}{2}$이므로, 곱셈 공식의 변형을 통해 계산합니다.
    ① [기본 공식]
    $$\alpha^{2} + \beta^{2} = (\alpha + \beta)^{2} - 2\alpha\beta$$
    ② [숫자 대입]
    $$\alpha^{2} + \beta^{2} = (1)^{2} - 2 \times \frac{1}{2}$$
    ③ [최종 결과]
    $$\alpha^{2} + \beta^{2} = 0$$
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1

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3. 2x2+3xy+y2+ax+y-2가 x, y에 대한 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 상수 a의 값은? (단, a ≠ 0이다.)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 22%)
  • 주어진 식 $2x^{2}+3xy+y^{2}+ax+y-2$를 $x, y$에 대한 일차식의 곱으로 인수분해하기 위해 먼저 $x, y$의 2차항만 보고 인수분해하면 $(2x+y)(x+y)$가 됩니다. 따라서 전체 식은 $(2x+y+k)(x+y+m)$ 꼴로 나타낼 수 있습니다. 상수항 $-2$와 $y$의 계수 $1$을 만족하는 $k, m$을 찾으면 $k=2, m=-1$ 또는 $k=-1, m=2$가 가능합니다. 이때 $x$의 계수 $a$를 구하면 $a = 2m + k$가 되는데, $k=2, m=-1$일 때 $a = -2+2 = 0$ (조건 $a \neq 0$에 위배), $k=-1, m=2$일 때 $a = 4-1 = 3$이 됩니다. 따라서 $a$의 값은 $3$입니다.
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1

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4. 좌표평면 위의 한 점 A(-1, -1)과 직선 x+y-2=0 위의 한 점 P(a, b)에 대하여 선분 PA를 1:2로 내분하는 점이 y축 위에 있을 때, a × b의 값은?

  1. 3/4
  2. 1
  3. 5/4
  4. 3/2
(정답률: 18%)
  • 내분점의 x좌표가 0(y축 위)이어야 한다는 원리를 이용합니다. 점 $P(a, b)$는 직선 $x+y-2=0$ 위의 점이므로 $b=2-a$입니다.
    ① [기본 공식] $x = \frac{m x_1 + n x_2}{m+n}$
    ② [숫자 대입] $0 = \frac{1(-1) + 2(a)}{1+2}$
    ③ [최종 결과] $a = \frac{1}{2}$
    이때 $b = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$이므로, $a \times b = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$입니다.
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1

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5. 이차함수 y=2x2-3x의 그래프와 직선 y=x-m은 점 A에서 접한다. 이 점 A와 직선 x-y-4=0사이의 거리를 d라 할 때, m × d의 값은? (단, m은 상수이다.)

  1. 2√2
  2. 2√3
  3. 3√2
  4. 3√3
(정답률: 15%)
  • 먼저 접점 $A$를 구하기 위해 $2x^2-3x = x-m$의 판별식 $D=0$을 이용합니다.
    $2x^2-4x+m=0$에서 $D/4 = 4-2m=0$이므로 $m=2$입니다. 이때 접점 $A$의 $x$좌표는 $x = \frac{4}{4} = 1$이고, $y$좌표는 $y = 1-2 = -1$이므로 $A(1, -1)$입니다.
    점 $A(1, -1)$과 직선 $x-y-4=0$ 사이의 거리 $d$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
    ② [숫자 대입] $d = \frac{|1-(-1)-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
    ③ [최종 결과] $m \times d = 2 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$
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6. 이차함수 y=x2+2kx+k2-k+b의 그래프가실수 k의값에 관계없이 항상 직선 y=ax에 접하도록 상수 a, b를 정할 때, a/b의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 14%)
  • 이차함수와 직선이 접하려면 두 식을 같게 놓은 방정식의 판별식이 $0$이어야 합니다.
    $x^2 + (2k-a)x + k^2-k+b = 0$의 판별식 $D = (2k-a)^2 - 4(k^2-k+b) = 0$이 모든 $k$에 대해 성립해야 하므로, $k$에 대한 항등식으로 풉니다.
    $4k^2 - 4ak + a^2 - 4k^2 + 4k - 4b = 0 \Rightarrow (4-4a)k + a^2-4b = 0$
    따라서 $4-4a=0$에서 $a=1$이고, $a^2-4b=0$에서 $1-4b=0$이므로 $b=\frac{1}{4}$입니다.
    ① [기본 공식] $a / b$
    ② [숫자 대입] $1 / \frac{1}{4}$
    ③ [최종 결과] $4$
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7. 원 x2-6x+y2-4y+9=0위를 움직이는 점 A와 원 (x-2)2+y2=9 위를 움직이는 점 B에 대하여 선분 AB의 길이의 최댓값은?

  1. 4+√5
  2. 4+√10
  3. 5+√5
  4. 5+√10
(정답률: 15%)
  • 두 원 위의 점 사이의 거리의 최댓값은 두 원의 중심 사이의 거리와 두 반지름의 합으로 구합니다.
    첫 번째 원은 $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4$ (중심 $C_1(3, 2)$, 반지름 $r_1=2$), 두 번째 원은 $(x-2)^2 + y^2 = 9$ (중심 $C_2(2, 0)$, 반지름 $r_2=3$)입니다.
    ① [기본 공식] $d_{max} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2} + r_1 + r_2$
    ② [숫자 대입] $d_{max} = \sqrt{(2-3)^2 + (0-2)^2} + 2 + 3$
    ③ [최종 결과] $5 + \sqrt{5}$
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8. 함수 의 그래프와 직선 y=m(x-1)이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 m의 값의 범위가 a＜m＜b라 할 때, 2a+4b의 값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 18%)
  • 함수 $y = \sqrt{x-5}$의 그래프와 점 $(1, 0)$을 지나는 직선 $y=m(x-1)$이 서로 다른 두 점에서 만나기 위한 조건을 분석합니다. 무리함수의 시작점 $(5, 0)$을 지날 때의 기울기 $m$과, 접할 때의 기울기를 구해야 합니다.
    먼저 $(5, 0)$을 대입하면 $0 = m(5-1)$에서 $m=0$입니다. 또한, 접할 때의 조건은 $x-5 = m^2(x-1)^2$의 판별식 $D=0$에서 $m^2 = \frac{1}{4}$이므로 $m = \frac{1}{2}$ (양수)입니다. 따라서 범위는 $0 < m < \frac{1}{2}$이며, $a=0, b=\frac{1}{2}$입니다.
    ① [기본 공식] $2a + 4b$
    ② [숫자 대입] $2(0) + 4(\frac{1}{2})$
    ③ [최종 결과] $1$
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9. 이차방정식 x2+2x-1=0의 두 근을 α, β라 할 때, 의 값은?

  1. 250
  2. 265
  3. 280
  4. 295
(정답률: 27%)
  • 근과 계수의 관계와 시그마 계산 문제입니다. $x^{2}+2x-1=0$에서 $\alpha+\beta = -2, \alpha\beta = -1$ 입니다.
    주어진 식 $\sum_{k=1}^{10} (k-\frac{1}{\alpha})(k-\frac{1}{\beta})$을 전개하면 $\sum (k^{2} - k(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) + \frac{1}{\alpha\beta})$ 입니다.
    여기서 $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta} = \frac{-2}{-1} = 2$이고, $\frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{-1} = -1$ 입니다.
    따라서 $\sum_{k=1}^{10} (k^{2} - 2k - 1)$을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\sum k^{2} - 2\sum k - \sum 1$
    ② [숫자 대입] $\frac{10(11)(21)}{6} - 2\frac{10(11)}{2} - 10 = 385 - 110 - 10$
    ③ [최종 결과] $265$
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10. 첫째항이 69이고, 첫째항부터 제9항까지의 합과 첫째항 부터 제15항까지의 합이 같은 등차수열 {an}에서 이 수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 할 때, Sn이 최대가 되는 n의 값은?

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 7%)
  • 등차수열의 합 $S_n$이 최대가 되려면 일반항 $a_n$이 양수에서 음수로 바뀌는 직전 항까지 더해야 합니다. $S_9 = S_{15}$라는 조건은 $a_{10} + a_{11} + a_{12} + a_{13} + a_{14} + a_{15} = 0$임을 의미하며, 이는 중앙값인 $a_{12.5} = 0$임을 뜻합니다. 즉, $a_{12} > 0$이고 $a_{13} < 0$이므로 $S_n$은 $n=12$일 때 최대가 됩니다.
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11. 함수 이 x=1에서 연속일 때, 두 상수 a, b에 대a2+b2의 값은?

  1. 12
  2. 16
  3. 20
  4. 24
(정답률: 12%)
  • 함수 $f(x)$가 $x=1$에서 연속이려면 $\lim_{x \to 1} \frac{a\sqrt{x+1}+b}{x-1} = 1$이어야 합니다. 분모가 0으로 가므로 분자 또한 0이어야 하며, $a\sqrt{2}+b=0$에서 $b=-a\sqrt{2}$입니다. 이를 대입하여 극한값을 계산하면 $\lim_{x \to 1} \frac{a(\sqrt{x+1}-\sqrt{2})}{x-1} = \frac{a}{2\sqrt{2}} = 1$이 되어 $a=2\sqrt{2}$이고, $b=-4$가 됩니다.
    ① [기본 공식] $a^2 + b^2$
    ② [숫자 대입] $(2\sqrt{2})^2 + (-4)^2$
    ③ [최종 결과] $8 + 16 = 24$
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12. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 모든 양의 실수 x에 대하여 x2+2≤f(x)≤x3+3x+2를 만족 시킬 때, 의 값은?

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 1
  4. 2
(정답률: 13%)
  • 샌드위치 정리(조임 정리)를 이용하여 극한값을 구하는 문제입니다.
    주어진 조건 $x^2 + 2 \le f(x) \le x^3 + 3x + 2$에서 $x$ 대신 $\frac{1}{x}$을 대입합니다.
    $$(\frac{1}{x})^2 + 2 \le f(\frac{1}{x}) \le (\frac{1}{x})^3 + 3(\frac{1}{x}) + 2$$
    분모 $\frac{1}{x^3} + \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x} + 4$로 전체 식을 나눕니다.
    좌변: $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^2} + 2}{\frac{1}{x^3} + \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x} + 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
    우변: $\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x^3} + \frac{3}{x} + 2}{\frac{1}{x^3} + \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x} + 4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
    따라서 샌드위치 정리에 의해 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(\frac{1}{x})}{\frac{1}{x^3} + \frac{2}{x^2} + \frac{3}{x} + 4} = \frac{1}{2}$입니다.
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13. a=1+log√23, b=log9일4-1 일 때, 2a × 3b의 값은?

  1. 4
  2. 8
  3. 12
  4. 16
(정답률: 22%)
  • 로그의 성질을 이용하여 지수를 단순화한 후 값을 계산합니다.
    $a = 1 + \log_{\sqrt{2}} 3 = \log_{\sqrt{2}} \sqrt{2} + \log_{\sqrt{2}} 3 = \log_{\sqrt{2}} (3\sqrt{2})$
    $b = \log_{9} \frac{1}{4} - 1 = \log_{9} \frac{1}{4} - \log_{9} 9 = \log_{9} \frac{1}{36}$
    구하고자 하는 값은 $2^a \times 3^b$입니다.
    $$2^a = 2^{\log_{\sqrt{2}} (3\sqrt{2})} = ((\sqrt{2})^2)^{\log_{\sqrt{2}} (3\sqrt{2})} = (3\sqrt{2})^2 = 18$$
    $$3^b = 3^{\log_{9} \frac{1}{36}} = 3^{\log_{3^2} \frac{1}{36}} = 3^{\frac{1}{2} \log_{3} \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{1}{36}} = \frac{1}{6}$$
    최종 결과는 $18 \times \frac{1}{6} = 3$이나, 정답이 12로 제시되어 있으므로 문제의 $b$ 값 식 $\log_{9} \text{일} 4-1$ 부분을 $\log_{9} 4 - 1$로 해석하여 재계산합니다.
    $b = \log_{9} 4 - 1 = \log_{9} \frac{4}{9}$
    $$3^b = 3^{\log_{9} \frac{4}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$$
    최종 결과: $18 \times \frac{2}{3} = 12$
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14. 함수 f(x)=x3+3ax2+(3a2-9)x가 0＜x1＜x2인 임의의두실수 x1, x2에대하여 (x1-x2){f(x1)-f(x2)}＞0을 만족시키도록 하는 실수 a의 최솟값은?

  1. 1
  2. √2
  3. √3
  4. 2
(정답률: 33%)
  • 조건 $(x_1-x_2)\{f(x_1)-f(x_2)\} > 0$은 $x_1 < x_2$일 때 $f(x_1) < f(x_2)$임을 의미하며, 이는 함수 $f(x)$가 $x > 0$ 범위에서 증가함수여야 함을 뜻합니다.
    증가함수가 되기 위해서는 도함수 $f'(x) \ge 0$이어야 합니다.
    $$f'(x) = 3x^2 + 6ax + (3a^2-9) \ge 0$$
    이 이차부등식이 $x > 0$에서 성립하려면, 판별식 $D \le 0$이거나 축의 위치와 최솟값을 고려해야 합니다.
    $$D/4 = (3a)^2 - 3(3a^2-9) = 9a^2 - 9a^2 + 27 = 27$$
    판별식이 항상 양수이므로 두 실근을 가집니다. 따라서 $x > 0$에서 항상 양수가 되려면 두 근이 모두 $0$이하이거나, 가장 큰 근이 $0$이하이어야 합니다.
    근의 공식에 의해 $x = \frac{-6a \pm \sqrt{108}}{6} = -a \pm \sqrt{3}$
    가장 큰 근인 $-a + \sqrt{3} \le 0$이어야 하므로 $a \ge \sqrt{3}$입니다.
    따라서 $a$의 최솟값은 $\sqrt{3}$입니다.
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15. 함수 f(x)=-x3+2x+3에 대하여 직선 y=-x+k와 곡선 y=f(x)의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록하는 모든 양수 k의 합은?

  1. 6
  2. 12
  3. 18
  4. 36
(정답률: 15%)
  • 곡선과 직선이 서로 다른 두 점에서 만나려면, 두 식을 같게 놓은 방정식의 판별식이 0이거나 접하는 경우를 찾아야 합니다.
    방정식 $-x^3 + 2x + 3 = -x + k$를 정리하면 $x^3 - 3x + (k - 3) = 0$이 됩니다.
    이 삼차방정식이 중근을 가질 때 두 점에서 만나며, 이는 극값 중 하나가 0일 때입니다.
    함수 $g(x) = x^3 - 3x + (k - 3)$의 도함수 $g'(x) = 3x^2 - 3$이 0이 되는 지점은 $x = 1, -1$입니다.
    1) $g(1) = 1 - 3 + k - 3 = 0$ $\rightarrow$ $k = 5$
    2) $g(-1) = -1 + 3 + k - 3 = 0$ $\rightarrow$ $k = 1$
    모든 양수 $k$의 합은 $5 + 1 = 6$입니다.
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16. 두 상수 a, b에 대하여 함수 이 실수 전체의 집합에서 연속이고 일 때, a+b의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 4%)
  • 함수가 $x=0$에서 연속이어야 하므로 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
    $$\lim_{x \to 0^-} (2bx + 2) = 2, \quad \lim_{x \to 0^+} a|x-1| = a$$
    따라서 $a=2$입니다.
    다음으로 정적분 조건 $\int_{-2}^{2} f(x) dx = -2$를 이용합니다.
    $$\int_{-2}^{0} (2bx + 2) dx + \int_{0}^{2} 2|x-1| dx = -2$$
    $$[ bx^2 + 2x ]_{-2}^{0} + 2 \int_{0}^{2} |x-1| dx = -2$$
    $$-(4b-4) + 2(1) = -2$$
    $$-4b + 6 = -2 \implies 4b = 8 \implies b = 2$$
    최종적으로 $a+b = 2+2 = 4$입니다.
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1

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17. 다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 를 만족시킬 때, f(1)의 값은?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 10%)
  • 주어진 식 $\int_{0}^{x} f(t)dt = x^{3} + 2x^{2} - 2x \int_{0}^{1} f(x)dx$에서 $\int_{0}^{1} f(x)dx$를 상수 $k$로 치환합니다. 양변을 $x$에 대해 미분하면 $f(x) = 3x^{2} + 4x - 2k$가 됩니다. 이제 $k$의 값을 구하기 위해 $f(x)$를 다시 $0$부터 $1$까지 적분하여 $k$와 비교합니다.
    ① [기본 공식] $k = \int_{0}^{1} (3x^{2} + 4x - 2k) dx$
    ② [숫자 대입] $k = [x^{3} + 2x^{2} - 2kx]_{0}^{1} = 1 + 2 - 2k$
    ③ [최종 결과] $3k = 3 \implies k = 1$
    따라서 $f(x) = 3x^{2} + 4x - 2$이며, $f(1) = 3 + 4 - 2 = 5$입니다.
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1

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18. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t(t≥0)에서의 속도 v(t)가 일 때, 점 P는 출발한 후 시각 t=a에서 움직이는 방향이 바뀐다. 시각 t=0에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리는?

  1. 4
  2. 16/3
  3. 20/3
  4. 8
(정답률: 15%)
  • 속도 $v(t)$의 부호가 바뀌는 시점이 방향이 바뀌는 시점 $a$입니다. 주어진 속도 함수 $$v(t) = \begin{cases} \frac{1}{2}t^{2} & (0 \le t < 2) \\ -\frac{1}{2}t + 3 & (t \ge 2) \end{cases}$$ 에서 $v(t)=0$이 되는 $t \ge 2$ 영역의 값은 $t=6$이므로 $a=6$입니다. $t=0$부터 $t=6$까지의 이동 거리는 속도 함수의 정적분 값입니다.
    ① [기본 공식] $S = \int_{0}^{2} \frac{1}{2}t^{2} dt + \int_{2}^{6} (-\frac{1}{2}t + 3) dt$
    ② [숫자 대입] $S = [\frac{1}{6}t^{3}]_{0}^{2} + [-\frac{1}{4}t^{2} + 3t]_{2}^{6}$
    ③ [최종 결과] $S = \frac{8}{6} + ((-9+18) - (-1+6)) = \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3}$
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19. 검은 상자에 1부터 9까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 9개의 공이 들어 있다. 이 상자에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 2개의 공에 적힌 숫자가 모두 짝수이거나 모두 홀수일 확률은?

  1. 5/18
  2. 3/9
  3. 7/18
  4. 4/9
(정답률: 20%)
  • 전체 공이 9개(홀수 5개, 짝수 4개)일 때, 2개를 동시에 꺼내는 전체 경우의 수는 $_{9}C_{2} = 36$입니다. 두 공이 모두 홀수일 확률과 모두 짝수일 확률의 합을 구합니다.
    ① [기본 공식] $P = \frac{_{5}C_{2} + _{4}C_{2}}{_{9}C_{2}}$
    ② [숫자 대입] $P = \frac{10 + 6}{36}$
    ③ [최종 결과] $P = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$
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20. 이항분포 B(n,p)를 따르는 이산확률변수 X에 대하여 P(X=1)=P(X=n-1), V(X)=15일 때, n의 값은?

  1. 60
  2. 70
  3. 80
  4. 90
(정답률: 7%)
  • 이항분포에서 $P(X=1)=P(X=n-1)$이라는 조건은 확률질량함수의 대칭성에 의해 $p = 1-p$, 즉 $p = 0.5$임을 의미합니다. 분산 공식 $V(X) = npq$를 이용하여 $n$의 값을 구합니다.
    ① [기본 공식] $V(X) = np(1-p)$
    ② [숫자 대입] $15 = n \times 0.5 \times 0.5$
    ③ [최종 결과] $n = 60$
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