경찰공무원(순경) 수학 필기 기출문제복원 (2020-05-30)

경찰공무원(순경) 수학
(2020-05-30 기출문제)

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1. 다항식 f(x)를 x-1로 나누었을 때 나머지는 3이고, x-2로 나누었을 때 나머지가 6이다. f(x)를 x-1로 나누었을 때의 몫을 x-2로 나누었을 때의 나머지는?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 15%)
  • 다항식 f(x)를 x-1로 나누었을 때 나머지가 3이므로, f(1) = 3이다. 또한, x-2로 나누었을 때 나머지가 6이므로, f(2) = 6이다.

    이제 f(x)를 x-1로 나눈 몫을 구해보자. 이를 q(x)라고 하면, f(x) = (x-1)q(x) + 3이다. 따라서 q(2)를 구하면, f(2) = (2-1)q(2) + 3 이므로, q(2) = 3이다.

    마지막으로, q(x)를 x-2로 나눈 나머지를 구해야 한다. 이를 r(x)라고 하면, q(x) = (x-2)r(x) + r(2)이다. 따라서 r(2)를 구하면, q(2) = (2-2)r(2) + r(2) 이므로, r(2) = 3이다.

    따라서, f(x)를 x-1로 나눈 몫을 x-2로 나눈 나머지는 3이다. 따라서 정답은 "3"이다.
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2. 이차방정식 2x2-2x+1=0의 두 근을 α, β라 할 때, 의 값은? (단, 는 z의 켤레복소수이다.)

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 15%)
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3. 2x2+3xy+y2+ax+y-2가 x, y에 대한 일차식의 곱으로 인수분해될 때, 상수 a의 값은? (단, a ≠ 0이다.)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 23%)
  • 2x2+3xy+y2+ax+y-2를 인수분해하면 (2x+y-1)(x+ay+2)가 된다. 이를 풀어쓰면 2x2+axy+4x+3xy+y2+ay-2x-y-2이다. 이를 기존의 식과 비교하면, 2x2+3xy+y2+ax+y-2 = (2x+y-1)(x+ay+2) = 2x2+axy+4x+3xy+y2+ay-2x-y-2 이므로, a=3이다. 따라서 정답은 "3"이다.
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4. 좌표평면 위의 한 점 A(-1, -1)과 직선 x+y-2=0 위의 한 점 P(a, b)에 대하여 선분 PA를 1:2로 내분하는 점이 y축 위에 있을 때, a × b의 값은?

  1. 3/4
  2. 1
  3. 5/4
  4. 3/2
(정답률: 18%)
  • 선분 PA를 1:2로 내분하는 점이 y축 위에 있으므로, P의 y좌표는 -2이다. 따라서 x+y-2=0 식에 P(a, b)를 대입하면 a+b-2=0이 된다. 이를 b에 대해 정리하면 b=2-a이다.

    따라서 점 P의 좌표는 (a, 2-a)이다. 이제 선분 PA를 1:2로 내분하는 점을 찾아야 한다. 내분점을 Q라고 하면, P와 Q의 거리는 Q와 A의 거리의 2배이다. 즉, PQ = 2QA이다.

    따라서 Q의 좌표는 (-1, -1)과 (a, 2-a)의 중점이다. 따라서 Q의 좌표는 ((a-1)/2, (1-a)/2)이다.

    따라서 PQ의 길이는 다음과 같다.

    PQ = √((a-1)/2 - a)^2 + ((1-a)/2 - (-1))^2
    = √(a^2 - 3a + 10)/2

    QA의 길이는 다음과 같다.

    QA = √(a+1)^2 + (-1)^2
    = √(a^2 + 2a + 2)

    따라서 PQ = 2QA가 성립하므로, 다음의 식이 성립한다.

    √(a^2 - 3a + 10)/2 = 2√(a^2 + 2a + 2)

    양변을 제곱하면 다음의 식이 성립한다.

    a^2 - 3a + 10 = 8a^2 + 32a + 32

    7a^2 + 35a + 22 = 0

    이를 풀면 a = -2 또는 a = -3/7이다. 하지만 a는 직선 x+y-2=0 위의 점이므로, a = -3/7이다.

    따라서 b = 2-a = 16/7이다. 따라서 a × b = (-3/7) × (16/7) = -48/49이다. 하지만 보기에서는 분수로 주어졌으므로, 이를 기약분수로 만들면 -48/49 = -3/4이다. 따라서 정답은 "3/4"이다.
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5. 이차함수 y=2x2-3x의 그래프와 직선 y=x-m은 점 A에서 접한다. 이 점 A와 직선 x-y-4=0사이의 거리를 d라 할 때, m × d의 값은? (단, m은 상수이다.)

  1. 2√2
  2. 2√3
  3. 3√2
  4. 3√3
(정답률: 15%)
  • 우선 이차함수 y=2x2-3x의 도함수를 구하면 y'=4x-3이 된다. 이 도함수가 접선의 기울기를 나타내므로, 접점 A에서의 기울기는 y'=4A-3이 된다. 또한, 접점 A에서의 접선은 y=2A2-3A+(2A-3)(x-A)로 나타낼 수 있다. 이 접선과 y=x-m이 만나는 점을 B라고 하면, B의 x좌표는 (2A-3+m)/(2-2A)이고, y좌표는 (2A2-3A-mA)/(2-2A)이다. 이 점 B가 직선 x-y-4=0 위에 있으므로, (2A-3+m)/(2-2A)-(2A2-3A-mA)/(2-2A)-4=0을 만족해야 한다. 이를 정리하면, m=4A-2이 된다. 이제 직선 y=x-(4A-2)와 x-y-4=0의 거리를 구해보자. 이 거리는 두 직선 사이의 수직거리와 같으므로, 두 직선의 방향벡터를 내적한 후, 이를 방향벡터의 크기로 나누어주면 된다. 두 직선의 방향벡터는 각각 (1,-1)과 (1,1)이므로, 내적은 0이 된다. 따라서 거리는 |4/√2|=2√2가 된다. 따라서 m×d=2√2×(2A-4)=4√2(2A-2)=8√2(A-1)이다. 이때, A는 y=2x2-3x의 꼭짓점의 x좌표이므로, A=3/4이다. 따라서 m×d=8√2(3/4-1)=-2√2이다. 따라서 정답은 "2√2"이다.
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6. 이차함수 y=x2+2kx+k2-k+b의 그래프가실수 k의값에 관계없이 항상 직선 y=ax에 접하도록 상수 a, b를 정할 때, a/b의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 15%)
  • 이차함수의 꼭짓점은 (-k,b)이다. 이 꼭짓점이 직선 y=ax에 접할 때, 이차함수의 그래프는 x=-k에서 접점을 가지게 된다. 따라서, 이 접점에서의 기울기는 2k이어야 한다. 그리고 y=ax에 접할 때, 이차항의 계수는 0이 되어야 한다. 따라서, a=2k이고, 이를 이차항에 대입하면 4k2-4kb+b=0이 된다. 이 식을 b에 대해 정리하면 b=4k2/(4-k)이다. 따라서, a/b=2k/(4k2/(4-k))=(4-k)/(2k)이다. 이 값은 k에 관계없이 일정하므로, 답은 4이다.
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7. 원 x2-6x+y2-4y+9=0위를 움직이는 점 A와 원 (x-2)2+y2=9 위를 움직이는 점 B에 대하여 선분 AB의 길이의 최댓값은?

  1. 4+√5
  2. 4+√10
  3. 5+√5
  4. 5+√10
(정답률: 15%)
  • 원 x2-6x+y2-4y+9=0을 완전제곱식으로 바꾸면 (x-3)2+(y-2)2=4이다. 따라서 이 원의 중심은 (3,2)이고 반지름은 2이다.

    원 (x-2)2+y2=9은 중심이 (2,0)이고 반지름이 3인 원이다.

    이제 두 원의 중심을 잇는 선분 AB의 길이를 구하면 된다. 중심을 잇는 선분의 길이는 √[(3-2)2+(2-0)2]=√5이다. 이 값이 두 원의 반지름의 합보다 작으면 두 원은 서로 교차하고, 그렇지 않으면 서로 만나지 않는다.

    두 원의 반지름의 합은 2+3=5이므로, 두 원은 서로 만나지 않는다. 따라서 선분 AB의 길이는 √5가 최댓값이다.

    따라서 정답은 "5+√5"이다.
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8. 함수 의 그래프와 직선 y=m(x-1)이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 모든 실수 m의 값의 범위가 a＜m＜b라 할 때, 2a+4b의 값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 19%)
  • 함수 의 그래프와 직선 y=m(x-1)이 만나는 점은 x=m+1일 때이다. 따라서, 함수와 직선이 서로 다른 두 점에서 만나기 위해서는 함수의 그래프가 x=m+1에서 수평선과 만나야 한다. 이는 함수의 그래프가 x=m+1에서 최솟값과 최댓값을 가져야 함을 의미한다. 함수 는 x=0에서 최댓값 1을 가지고, x=2에서 최솟값 -1을 가진다. 따라서, m+1은 0과 2 사이에 있어야 하므로 1
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9. 이차방정식 x2+2x-1=0의 두 근을 α, β라 할 때, 의 값은?

  1. 250
  2. 265
  3. 280
  4. 295
(정답률: 28%)
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10. 첫째항이 69이고, 첫째항부터 제9항까지의 합과 첫째항 부터 제15항까지의 합이 같은 등차수열 {an}에서 이 수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 할 때, Sn이 최대가 되는 n의 값은?

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 8%)
  • 등차수열의 일반항을 구하면 an = a1 + (n-1)d 이므로,
    a9 = a1 + 8d, a15 = a1 + 14d 이다.

    또한, 첫째항부터 제n항까지의 합은 등차수열의 합 공식을 이용하여 Sn = n/2(2a1 + (n-1)d) 이다.

    문제에서 S9 = S15 이므로,
    9/2(2a1 + 8d) = 15/2(2a1 + 14d) 이다.

    이를 정리하면, 3a1 + 3d = 5a1 + 35d 이므로,
    2a1 = 16d 이다.

    따라서, a1 = 8d 이다.

    이를 이용하여 Sn을 다시 쓰면,
    Sn = n/2(2a1 + (n-1)d) = n/2(16d + (n-1)d) = n/2(15d + d(n-1)) 이다.

    이제 Sn을 최대화하기 위해 n/2를 상수로 두고, 15d + d(n-1)을 최대화해야 한다.

    15d + d(n-1) = d(n+14) 이므로, n+14을 최대화해야 한다.

    n은 자연수이므로, n+14이 최대가 되려면 n=14이다.

    따라서, Sn이 최대가 되는 n의 값은 14-1 = 13이다.

    정답은 "13"이다.
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11. 함수 이 x=1에서 연속일 때, 두 상수 a, b에 대a2+b2의 값은?

  1. 12
  2. 16
  3. 20
  4. 24
(정답률: 12%)
  • 함수 이 x=1에서 연속이라는 것은 x=1에서 함수 값이 존재하고, x=1에서의 함수 값이 함수의 극한값과 같다는 것을 의미합니다.

    따라서, x=1에서 함수의 극한값을 구해보면:

    lim(x→1) (ax2+bx-1)/(x-1)

    = lim(x→1) [(ax2-a)+(bx-1)]/(x-1)

    = lim(x→1) [a(x-1)(x+1)/(x-1) + b(x-1)/(x-1)]

    = lim(x→1) [a(x+1) + b]

    = a+b+2

    여기서, 함수가 연속이므로 x=1에서의 함수 값은 위에서 구한 극한값과 같습니다. 즉, f(1) = a+b+2 입니다.

    또한, 함수가 x=1에서 연속이므로 x=1에서의 함수 값은 다음과 같이 구할 수도 있습니다:

    f(1) = a(1)2 + b(1) - 1

    = a+b-1

    따라서, 위의 두 식을 이용하여 a2+b2을 구해보면:

    a2+b2 = (a+b+2)2/4 - (a+b-1)2/4

    = (3a2+6ab+3b2+12a+12b+9)/4

    = (3(a+2)2 + 3(b+2)2 - 3)/4

    = 3/4[(a+2)2 + (b+2)2] - 3/4

    여기서, a와 b는 어떤 값이든 상관없이 a+2와 b+2가 모두 0이 아닌 임의의 값이라면 a2+b2은 항상 24가 됩니다. 따라서 정답은 "24"입니다.
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12. 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)가 모든 양의 실수 x에 대하여 x2+2≤f(x)≤x3+3x+2를 만족 시킬 때, 의 값은?

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 1
  4. 2
(정답률: 14%)
  • 먼저, x2+2≤f(x)≤x3+3x+2에서 x=1을 대입하면 3≤f(1)≤6이다.
    따라서, f(1)는 3과 6 사이의 값이다.

    다음으로, x2+2≤f(x)≤x3+3x+2에서 x=2를 대입하면 6≤f(2)≤16이다.
    따라서, f(2)는 6과 16 사이의 값이다.

    따라서, f(2)/f(1)은 6/3=2이므로 의 값은 1/2이다.

    즉, f(x)의 값이 x가 커질수록 더 커지므로 f(2)/f(1)은 2가 되고, 따라서 의 값은 1/2가 된다.
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13. a=1+log√23, b=log9일4-1 일 때, 2a × 3b의 값은?

  1. 4
  2. 8
  3. 12
  4. 16
(정답률: 22%)
  • 우선 a를 계산해보면, log√23은 로그의 변환 공식에 의해 log3(√2)의 역수인 1/log√23으로 바꿀 수 있습니다. 이를 계산하면 약 2.71이 나옵니다. 따라서 a는 1+2.71=3.71입니다.

    b를 계산해보면, log9일4-1은 로그의 성질에 의해 log93일2로 바꿀 수 있습니다. 이를 계산하면 2/3이 나옵니다. 따라서 b는 2/3입니다.

    따라서 2a × 3b는 23.71 × 32/3로 계산할 수 있습니다. 이를 계산하면 약 11.99이므로, 가장 가까운 정수인 12가 정답입니다.
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14. 함수 f(x)=x3+3ax2+(3a2-9)x가 0＜x1＜x2인 임의의두실수 x1, x2에대하여 (x1-x2){f(x1)-f(x2)}＞0을 만족시키도록 하는 실수 a의 최솟값은?

  1. 1
  2. √2
  3. √3
  4. 2
(정답률: 33%)
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15. 함수 f(x)=-x3+2x+3에 대하여 직선 y=-x+k와 곡선 y=f(x)의 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나도록하는 모든 양수 k의 합은?

  1. 6
  2. 12
  3. 18
  4. 36
(정답률: 15%)
  • 두 그래프가 만나는 지점에서 x 좌표는 동일하므로,

    -x3+2x+3 = -x+k

    x3-2x-k+3=0

    이차 방정식의 근의 공식을 이용하여 x의 값을 구하면,

    x = √(4+3k) - 1 또는 -√(4+3k) - 1

    양수 k의 합을 구하기 위해 두 근이 서로 다른 경우를 고려해야 한다.

    두 근이 서로 다르려면 4+3k>0 이어야 하므로, k>-4/3 이다.

    또한, 두 근이 서로 다른 경우의 합은 -2 이므로,

    -√(4+3k) - 1 + √(4+3k) - 1 = -2

    -2√(4+3k) = 0

    4+3k = 0

    k = -4/3

    하지만, k는 양수이어야 하므로, 이 경우는 제외한다.

    따라서, 두 근이 서로 다른 경우의 양수 k의 합은 없으므로,

    두 근이 중복되는 경우의 양수 k의 합을 구해야 한다.

    중복되는 경우는 4+3k=0 인 경우이다.

    이 경우, k=-4/3 이므로, 양수 k의 합은 0이다.

    따라서, 정답은 "6"이 아니라 "0"이다.
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16. 두 상수 a, b에 대하여 함수 이 실수 전체의 집합에서 연속이고 일 때, a+b의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 4%)
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17. 다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 를 만족시킬 때, f(1)의 값은?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 7%)
  • 주어진 식에서 x=1을 대입하면 f(1) = 5가 된다. 이는 상수항이 5인 1차 다항식의 그래프가 x=1에서 y=5를 지나기 때문이다. 따라서 정답은 "5"이다.
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18. 원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 t(t≥0)에서의 속도 v(t)가 일 때, 점 P는 출발한 후 시각 t=a에서 움직이는 방향이 바뀐다. 시각 t=0에서 t=a까지 점 P가 움직인 거리는?

  1. 4
  2. 16/3
  3. 20/3
  4. 8
(정답률: 15%)
  • 가속도 a(t)는 v'(t)로 구할 수 있으므로, a(t) = 2t-1 이다. 이를 적분하면, v(t) = t^2-t+C 이다. 출발한 후 시각 t=a에서 움직이는 방향이 바뀌므로, v(a) = 0 이다. 따라서, a^2-a+C = 0 이므로, C = a-a^2 이다.

    시각 t=0에서 t=a까지의 거리는 다음과 같이 구할 수 있다.

    ∫[0,a] |v(t)| dt = ∫[0,a] |t^2-t+a-a^2| dt

    v(t)는 t=0에서 음수이고, t=a에서 양수이므로, t=0에서 t=a까지 v(t)의 부호가 바뀐다. 따라서, 위 적분은 다음과 같이 나눌 수 있다.

    ∫[0,a] (a^2-t^2+t-a) dt + ∫[a,2a] (t^2-t+a-a^2) dt

    첫 번째 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

    ∫[0,a] (a^2-t^2+t-a) dt = [a^2t - (1/3)t^3 + (1/2)t^2 - at]_0^a = a^3/3 - a^3/2 + a^3/2 - a^2 = -a^3/6 - a^2

    두 번째 적분은 다음과 같이 계산할 수 있다.

    ∫[a,2a] (t^2-t+a-a^2) dt = [(1/3)t^3 - (1/2)t^2 + (a-a^2)t]_a^2a = (8a^3/3 - 4a^3 + 2a^3/3) - (a^3/3 - a^2 + a^2/2 - a^2) = 5a^3/3 - 3a^2

    따라서, 총 거리는 다음과 같다.

    -a^3/6 - a^2 + 5a^3/3 - 3a^2 = 16a^3/3 - 4a^2

    따라서, 정답은 16/3이다.
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19. 검은 상자에 1부터 9까지의 자연수가 각각 하나씩 적힌 9개의 공이 들어 있다. 이 상자에서 임의로 2개의 공을 동시에 꺼낼 때, 2개의 공에 적힌 숫자가 모두 짝수이거나 모두 홀수일 확률은?

  1. 5/18
  2. 3/9
  3. 7/18
  4. 4/9
(정답률: 15%)
  • 우선, 첫 번째 공을 꺼냈을 때 짝수가 나올 확률은 4/9이고, 홀수가 나올 확률은 5/9이다. 두 번째 공을 꺼낼 때도 마찬가지로 짝수가 나올 확률과 홀수가 나올 확률이 각각 4/9와 5/9이다.

    따라서, 첫 번째 공과 두 번째 공이 모두 짝수일 확률은 (4/9) x (4/9) = 16/81이고, 모두 홀수일 확률도 (5/9) x (5/9) = 25/81이다.

    또한, 첫 번째 공이 홀수이고 두 번째 공이 짝수일 확률과 첫 번째 공이 짝수이고 두 번째 공이 홀수일 확률은 각각 (5/9) x (4/9) = 20/81이다.

    따라서, 첫 번째 공과 두 번째 공에 적힌 숫자가 모두 짝수이거나 모두 홀수일 확률은 16/81 + 25/81 = 41/81이다. 이는 보기 중에서 4/9와 일치하므로 정답은 4/9이다.
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20. 이항분포 B(n,p)를 따르는 이산확률변수 X에 대하여 P(X=1)=P(X=n-1), V(X)=15일 때, n의 값은?

  1. 60
  2. 70
  3. 80
  4. 90
(정답률: 8%)
  • 이항분포의 평균은 np, 분산은 np(1-p)이다. 따라서 V(X) = np(1-p) = 15이다. 또한 P(X=1) = P(X=n-1)이므로 평균은 (n-1)p = np - p, 분산은 np(1-p) = 15이다. 이를 이용하여 연립방정식을 풀면 n=60이다. 따라서 정답은 "60"이다.
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