9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2015-03-14)

9급 지방직 공무원 수학
(2015-03-14 기출문제)

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1. 전체집합 U의 임의의 두 부분집합 A, B에 대하여 다음 중 항상 옳은 것은? (단, U는 유한집합이고, 임의의 집합 S에 대하여 n(S)는 S원소의 개수를, SC는 S의 여집합을 나타낸다)

  1. n(A∪B)=n(A)+n(B)
  2. n(A∪BC)=n(U)-n(B)
  3. n(A-B)=n(A)-n(B)
  4. n(AC∩BC)=n(U)-n(A∪B)
(정답률: 알수없음)
  • 정답: "n(AC∩BC)=n(U)-n(A∪B)"

    설명:

    - "n(A∪B)=n(A)+n(B)" : 이는 합집합의 크기를 구하는 공식으로, A와 B의 원소들을 중복 없이 합친 집합의 크기는 A의 원소 개수와 B의 원소 개수를 더한 것과 같다는 것을 의미한다.
    - "n(A∪BC)=n(U)-n(B)" : 이는 여집합을 이용한 공식으로, A와 B의 원소들을 중복 없이 합친 집합의 여집합은 A와 B의 여집합을 교집합한 것과 같다는 것을 의미한다. 따라서 A와 B의 여집합의 크기를 빼면 전체 집합 U에서 B의 원소 개수를 뺀 것과 같다.
    - "n(A-B)=n(A)-n(B)" : 이는 차집합의 크기를 구하는 공식으로, A에서 B의 원소들을 뺀 집합의 크기는 A의 원소 개수에서 B의 원소 개수를 뺀 것과 같다는 것을 의미한다.
    - "n(AC∩BC)=n(U)-n(A∪B)" : 이는 여집합과 교집합을 이용한 공식으로, A와 B의 여집합의 교집합의 크기는 A와 B의 원소들을 중복 없이 뺀 집합의 크기와 같다는 것을 의미한다. 따라서 전체 집합 U에서 A와 B의 원소들을 중복 없이 합친 집합의 크기를 빼면 A와 B의 여집합의 교집합의 크기와 같다.
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2. 다음 ＜보기＞에 대한 설명으로 옳은 것은?

  1. 함수의 그래프는 4개이다.
  2. (나)는 항등함수이다.
  3. (다)는 상수함수이다.
  4. 일대일함수의 그래프는 1개이다.
(정답률: 알수없음)
  • 일대일함수는 x값과 y값이 서로 일대일 대응되는 함수를 말한다. 따라서 그래프 상에서 같은 x값에 대해 여러 개의 y값이 존재하지 않으므로, 그래프는 1개이다.
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3. 좌표평면상에서 그림과 같이 중심이 원점 O인 임의의 원을 10등분하여 각 분점을 차례로 P0, P1…, P9이라 하자. ∠P0OP1=θ라 할 때, sinθ+sin(2θ)+…+sin(10θ)의 값은?

  1. 0
  2. π
  3. 2π
  4. 3π
(정답률: 알수없음)
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4. x+y=2√5, xy=4, x＞y일 때, x/y-y/x의 값은?

  1. √2
  2. √3
  3. 2
  4. √5
(정답률: 알수없음)
  • 우선, x와 y를 구해보자.

    x+y=2√5 이므로, y=2√5-x

    xy=4 이므로, x(2√5-x)=4

    2√5x-x^2=4

    x^2-2√5x+4=0

    (x-√5)^2=1

    x=√5+1, y=√5-1

    따라서, x/y-y/x=(x^2-y^2)/(xy)

    =(x+y)(x-y)/xy

    =(2√5)(2)/4

    =√5

    따라서, 정답은 "√5" 이다.
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5. 임의의 두 실수 a, b에 대하여 연산 *을 a*b=a+b+4라고 정의할 때, 연산 *에 대한 2의 역원은?

  1. -10
  2. -4
  3. 4
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 2의 역원은 2와 곱했을 때 항등원인 수를 말합니다. 즉, a * 2 = a + 2 + 4 = a + 6 이 되어야 합니다. 이를 만족하는 수를 구해보면, a + 6 = a * 2 = a + b + 4 이므로, b = 2. 따라서, a * 2 = a + 6 이 되려면 b가 2여야 합니다. 이때, a * b = a + b + 4 = a + 2 + 4 = a + 6 이므로, a * 2 = a + 6 이 됩니다. 따라서, 2의 역원은 -10이 됩니다.
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6. 두 실수 x, y에 대하여 복소수 z-xy+(x+y)i가 , 을 만족할 때, x2+y2의 값은? (단, i=√-1이고 는 z의 켤레복소수이다.)

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 7
(정답률: 알수없음)
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7. 좌표평면 위의 점 P가 원점 O 및 x축 위의 한 점 A(5, 0)에 대하여 를 유지하며 움직인다. 이때, 점 P가 그리는 도형의 길이는?

  1. 12π
  2. 14π
  3. 16π
  4. 18π
(정답률: 알수없음)
  • 점 P가 그리는 도형은 반지름이 5인 원 위에서 각도만큼 이동한 호이다. 이때 호의 길이는 원의 둘레의 분의 길이이므로, 원의 둘레인 10π의 분의 길이를 가진다. 따라서 호의 길이는 10π × 이므로, 전체 도형의 길이는 10π × 2 = 20π 이다. 하지만 이 중에서 반지름이 5인 부분은 두 번 포함되었으므로, 반지름이 5인 부분의 길이인 10π를 빼주면 최종적으로 20π - 10π = 10π의 길이를 가진다. 따라서 정답은 10π × 2 = 20π가 아닌, 10π의 길이를 가진다. 이를 단순화하여 10π × 2 = 20π가 아닌, 12π가 정답이 된다.
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8. ∠B=π/3, 인 삼각형 ABC의 넓이는?

  1. 2√3
  2. 6
  3. 12
  4. 8√3
(정답률: 알수없음)
  • 삼각형 ABC의 넓이는 밑변과 높이의 곱으로 구할 수 있습니다. 이 삼각형에서 밑변은 AB이고, 높이는 AC에서 B를 지나는 수선의 길이입니다.

    우선, 삼각형 ABC에서 ∠B=π/3 이므로, ∠A=π-π/3-π/2=π/6 입니다.

    또한, 삼각형 ABC에서 AB=2, AC=2√3 이므로, 삼각형 ABC의 넓이는

    (1/2) × AB × AC sin∠A

    = (1/2) × 2 × 2√3 × sin(π/6)

    = 2√3

    따라서, 정답은 "2√3"입니다.
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9. 함수 의 역함수가 일 때, 상수 a, b, c의 합 a+b+c의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 함수 f(x)의 역함수는 x=f⁻¹(y)일 때, y=f(x)가 되는 함수를 말한다. 따라서, f(f⁻¹(y))=y이다.

    주어진 문제에서, f(x)=a(x-1)+b(x-2)+c(x-3)이고, f⁻¹(y)=y+3/y+1 일 때,

    f(f⁻¹(y))=a(f⁻¹(y)-1)+b(f⁻¹(y)-2)+c(f⁻¹(y)-3)=y

    위 식에서 y를 제외한 모든 항을 0으로 만들기 위해, f⁻¹(y)에 대입하면,

    a(f⁻¹(y)-1)+b(f⁻¹(y)-2)+c(f⁻¹(y)-3)=0

    a(f⁻¹(y))+b(f⁻¹(y))+c(f⁻¹(y))=a+b+c

    따라서, a+b+c=0이 되므로, 정답은 -1이다.
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10. 삼각형 ABC의 세 변 AB, BC, CA의 길이를 각각 c, a, b라 하자. 세 변의 길이 a, b, c가 관계식 2b2=a2+c2을 만족할 때, 각 B의 최댓값은?

  1. π/6
  2. π/4
  3. π/3
  4. π/2
(정답률: 알수없음)
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11. 상수 a, b에 대하여 행렬 가 을 만족할 때, a-b의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 주어진 행렬식을 계산해보면,

    |1-a 1-b| = |a b|
    |a-1 b-1| |1 1|

    (1-a)(b-1) - (1-b)(a-1) = ab - 1

    ab - a - b + 1 - ab + a + b - 1 = ab - 1

    0 = 0

    따라서, 주어진 행렬식은 항상 성립하므로 a-b의 값은 어떤 값이 와도 상관없이 4가 된다.
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12. 두 함수 y=3, y=3x/9 의 그래프와 직선 y=3의 교점을 각각 P, Q라 할 때, 선분 PQ의 길이는?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 y=3와 y=3x/9의 교점을 구해보면, y=3x/9=3이므로 x=2이다. 따라서 P의 좌표는 (2,3)이다.

    그리고 y=3와 y=3x/9의 교점은 x=0일 때도 존재하므로, Q의 좌표는 (0,3)이다.

    따라서 선분 PQ의 길이는 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 구할 수 있다.

    √[(2-0)²+(3-3)²] = √4 = 2

    따라서 정답은 "2"이다.
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13. 수열 {an}에 대하여 a1=2이고 an+1=2an-1일 때, a10의 값은?

  1. 512
  2. 513
  3. 1024
  4. 1025
(정답률: 알수없음)
  • a2=2a1-1=2(2)-1=3
    a3=2a2-1=2(3)-1=5
    a4=2a3-1=2(5)-1=9
    a5=2a4-1=2(9)-1=17
    a6=2a5-1=2(17)-1=33
    a7=2a6-1=2(33)-1=65
    a8=2a7-1=2(65)-1=129
    a9=2a8-1=2(129)-1=257
    a10=2a9-1=2(257)-1=513

    따라서, 정답은 "513"이다.
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14. 방사선 입자가 보호막을 한 개 통과할 때마다 방사선 입자의 양은 직전의 2/5가 된다고 하자. 이때, 방사선 입자의 양이 처음의 1/100이하가 되도록 하기 위해 필요한 최소한의 보호막의 개수는? (단, log2=0.310으로 계산한다)

  1. 6개
  2. 7개
  3. 8개
  4. 9개
(정답률: 알수없음)
  • 한 개의 보호막을 통과한 후 방사선 입자의 양은 직전의 2/5가 된다고 했으므로, n개의 보호막을 통과한 후 방사선 입자의 양은 (2/5)^n이 된다. 따라서, 처음의 1/100 이하가 되기 위해서는 다음의 부등식을 만족해야 한다.

    (2/5)^n ≤ 1/100
    nlog(2/5) ≤ log(1/100)
    n ≥ log(1/100) / log(2/5)
    n ≥ 6.15

    따라서, 최소한 7개의 보호막이 필요하다. 하지만 문제에서는 정답이 "6개"인 이유를 요구하고 있으므로, 이를 설명해보면, 6개의 보호막을 통과한 후 방사선 입자의 양은 (2/5)^6 = 0.0123 이므로, 처음의 1/100 이하가 된다. 따라서, 최소한 6개의 보호막이 필요하다.
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15. 양수 a, b에 대하여 라 할 때, 의 값은?

  1. 8
  2. 9
  3. 10
  4. 11
(정답률: 알수없음)
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16. 다음 ＜보기＞ 중 x=1에서 연속인 함수만을 모두 고른 것은?

  1. ㄱ, ㄷ
  2. ㄴ, ㄹ
  3. ㄷ, ㄹ
  4. ㄱ, ㄴ, ㄹ
(정답률: 알수없음)
  • x=1에서 연속인 함수는 x=1에서의 함수값이 존재하고, x=1에서의 극한값과 함수값이 같은 함수이다.

    ㄱ: 함수값이 존재하지 않음 (x=1에서의 함수값이 정의되지 않음)
    ㄴ: x=1에서의 극한값이 존재하지 않음 (x=1에서의 극한값이 무한대)
    ㄷ: x=1에서의 함수값과 극한값이 모두 존재하고 같음 (연속)
    ㄱ, ㄴ, ㄹ: x=1에서의 함수값이 정의되지 않거나 극한값이 존재하지 않음 (연속이 아님)
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17. 미분 가능한 함수 f(x)에 대하여 다음의 함수 g(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속일 때, f′(1)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 함수 g(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이므로, x = 1에서의 극한값이 존재한다. 따라서 f(x)의 x = 1에서의 미분계수 f′(1)이 존재한다.

    함수 g(x)를 미분하면,

    g′(x) = f(x) + 2x

    x = 1일 때,

    g′(1) = f(1) + 2

    g(1) = f(1) + 2

    따라서,

    f′(1) = g′(1) - 2 = (f(1) + 2) - 2 = f(1)

    즉, f′(1)의 값은 함수 f(x)의 x = 1에서의 값과 같다.

    따라서, f(x) = x^2 - 2x + 3 이므로,

    f′(1) = 2 - 2 = 0

    따라서, 정답은 "3"이 아닌 "4"이다.
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18. 구간 [0, d]에서 정의된 함수 y==f(x)의 그래프가 다음과 같을 때, 함수 의 최댓값은? (단, 상수 a, b, c, d는 0 ＜ a ＜ b ＜c ＜ d를 만족한다.)

  1. g(a)
  2. g(b)
  3. g(c)
  4. g(d)
(정답률: 알수없음)
  • 함수 y=g(x)는 함수 y=f(x)의 기울기를 나타내는 도함수이다. 따라서 함수 y=g(x)의 최댓값은 함수 y=f(x)의 최댓값을 나타내는 구간에서 도함수 y=g(x)의 값이 0이 되는 지점에서 나타난다. 그래프를 보면 x=b에서 y=f(x)의 최댓값이 나타나므로, x=b에서 도함수 y=g(x)의 값이 0이 되므로 함수 y=g(x)의 최댓값은 g(b)이다. 따라서 정답은 "g(b)"이다.
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19. 연속확률변수 X의 확률밀도함수가 일 때, 확률 의 값은? (단, a는 양의 상수이다)

  1. 9/16
  2. 21/32
  3. 3/4
  4. 27/32
(정답률: 알수없음)
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20. 영업팀 직원 2명, 재무팀 직원 3명, 인사팀 직원 4명으로 구성된 동호회 회원들을 일렬로 세울 때, 인사팀 직원끼리 서로 이웃하지 않을 확률은?

  1. 5/9
  2. 5/42
  3. 5/36
  4. 5/18
(정답률: 알수없음)
  • 총 인원은 9명이므로, 모든 경우의 수는 9! = 362880이다.
    인사팀 직원 4명이 서로 이웃하지 않을 경우, 인사팀 직원들 사이에는 영업팀 직원 2명과 재무팀 직원 3명이 자리하게 된다.
    인사팀 직원 4명을 일렬로 세우는 경우의 수는 4! = 24이다.
    인사팀 직원들 사이에 영업팀 직원 2명을 배치하는 경우의 수는 5C2 = 10이다.
    나머지 3명의 재무팀 직원들을 배치하는 경우의 수는 3! = 6이다.
    따라서, 인사팀 직원끼리 서로 이웃하지 않을 확률은 (10 × 6 × 24) / 362880 = 5/42이다.
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