9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2015-06-27)

9급 지방직 공무원 수학 2015-06-27 필기 기출문제 해설

이 페이지는 9급 지방직 공무원 수학 2015-06-27 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

9급 지방직 공무원 수학
(2015-06-27 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 두 함수 f, g에 대하여 f(x)=3x+2, (gㆍf)x2+1일 때, g(11)의 값은?

  1. 10
  2. 11
  3. 12
  4. 13
(정답률: 알수없음)
  • 합성함수의 정의를 이용하여 $g(x)$의 값을 구하는 문제입니다. $(g \circ f)(x) = g(f(x)) = x^{2} + 1$입니다.
    $g(11)$을 구하기 위해서는 $f(x) = 11$이 되는 $x$값을 먼저 찾아야 합니다.
    $3x + 2 = 11 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$
    이제 $x=3$을 합성함수 식에 대입합니다.
    ① [기본 공식] $g(11) = 3^{2} + 1$
    ② [숫자 대입] $g(11) = 9 + 1$
    ③ [최종 결과] $g(11) = 10$
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1

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2. 함수 f(x)=x3+x+1에 대하여 의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 미분계수의 정의를 이용하여 극한값을 구하는 문제입니다. 주어진 식을 미분계수 $f'(1)$의 형태로 변형하여 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{h \to 0} \frac{f(a+kh)-f(a)}{mh} = \frac{k}{m}f'(a)$
    ② [숫자 대입] $\frac{3}{2}f'(1) = \frac{3}{2}(3(1)^2+1)$
    ③ [최종 결과] $\frac{3}{2} \times 4 = 6$
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3. 행렬 의 역행렬 A-1의 모든 성분의 합은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 2x2 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$의 역행렬 공식 $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$를 이용합니다.
    ① [기본 공식] $A^{-1} = \frac{1}{(1)\times(-1) - (0)\times(3)} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$
    ② [숫자 대입] $A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$
    ③ [최종 결과] $1 + 0 + 3 + (-1) = 3$
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4. 지수함수 y=3a-x+b의 그래프가 점 (-1, 4)를 지나고, 그래프의 점근선이 y=1일 때, 두 상수 a, b의 합 a+b의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 지수함수의 점근선은 상수항 $b$와 같으며, 지나는 점의 좌표를 대입하여 $a$를 구할 수 있습니다.
    점근선이 $y=1$이므로 $b=1$입니다.
    점 $(-1, 4)$를 대입하면 $4 = 3^{a-(-1)} + 1$이므로 $3^{a+1} = 3$이 되어 $a+1=1$, 즉 $a=0$입니다.
    따라서 $a+b = 0+1 = 1$ 입니다.
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5. 부등식 x + y + z ≤ 2를 만족하는 음이 아닌 정수 x, y, z의 순서쌍 (x, y, z)의 개수는?

  1. 7
  2. 10
  3. 13
  4. 16
(정답률: 알수없음)
  • 부등식 $x+y+z \le 2$는 새로운 음이 아닌 정수 $w$를 도입하여 $x+y+z+w=2$라는 등식으로 변환하여 풀 수 있습니다. 이는 서로 다른 4개에서 중복을 허용하여 2개를 택하는 중복조합 문제입니다.
    ① [중복조합 공식] ${}_nH_r = {}_{n+r-1}C_r$
    ② [숫자 대입] ${}_4H_2 = {}_{4+2-1}C_2 = {}_5C_2$
    ③ [최종 결과] ${}_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
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6. 이차함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x)=f(6-x)를 만족시키고 이차항의 계수가 양수일 때, f(x)의 최솟값은?

  1. f(0)
  2. f(1)
  3. f(2)
  4. f(3)
(정답률: 알수없음)
  • 함수 $f(x)=f(6-x)$를 만족하는 이차함수는 $x = \frac{6}{2} = 3$을 대칭축으로 가집니다. 이차항의 계수가 양수이므로 그래프는 아래로 볼록하며, 대칭축인 $x=3$에서 최솟값을 갖습니다. 따라서 최솟값은 $f(3)$입니다.
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7. 한 개의 동전을 64번 던질 때, 앞면이 28번 이상 36번 이하로 나올 확률을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은?

  1. 0.5328
  2. 0.6826
  3. 0.7745
  4. 0.8664
(정답률: 알수없음)
  • 이항분포를 정규분포로 근사하여 확률을 구합니다. 시행 횟수 $n=64$, 성공 확률 $p=0.5$일 때 평균 $\mu=np=32$, 표준편차 $\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{64 \times 0.5 \times 0.5}=4$입니다.
    ① [표준화 공식] $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$
    ② [숫자 대입] $Z_1 = \frac{28 - 32}{4} = -1, Z_2 = \frac{36 - 32}{4} = 1$
    ③ [최종 결과] $P(-1 \le Z \le 1) = 2 \times P(0 \le Z \le 1) = 2 \times 0.3413 = 0.6826$
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8. 원 x2+y2=25와 직선 y=x+4가 만나는 두 점을 A, B라 할 때, 선분 AB의 길이는?

  1. 2√11
  2. 2√13
  3. 2√15
  4. 2√17
(정답률: 알수없음)
  • 원의 중심 $(0, 0)$에서 직선 $y=x+4$까지의 거리 $d$를 구한 뒤, 피타고라스 정리를 이용하여 현의 길이를 구합니다.
    ① [점과 직선 사이의 거리 공식] $$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$
    ② [숫자 대입] $d = \frac{|1(0) - 1(0) + 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$
    ③ [현의 길이 계산] 반지름 $r=5$이므로 현의 길이는 $$2 \times \sqrt{5^2 - (2\sqrt{2})^2} = 2 \times \sqrt{25 - 8} = 2\sqrt{17}$$
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9. 집합 X는 공집합이 아니고, 정수를 원소로 가진다. X를 정의역으로 하는 두 함수 f, g가 f(x)=x3+1, g(x)=3x-1일 때, f=g가 되는 집합 X의 개수는?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 두 함수가 같으려면 정의역 $X$의 모든 원소 $x$에 대해 $f(x) = g(x)$를 만족해야 합니다.
    ① $ x^{3} + 1 = 3x - 1 $
    ② $ x^{3} - 3x + 2 = 0 \rightarrow (x-1)^{2}(x+2) = 0 $
    ③ $ x = 1, -2 $
    만족하는 정수 원소는 $1$과 $-2$ 두 가지입니다. 공집합이 아닌 집합 $X$는 $\{1\}, \{-2\}, \{1, -2\}$로 총 3개입니다.
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10. 사차함수 f(x)와 그 도함수 f′(x)가 다음 조건을 만족시킬 때, f(3)/f(2)의 값은?

  1. 64/9
  2. 81/16
  3. 1/4
  4. 121/36
(정답률: 알수없음)
  • 함수의 대칭성과 정적분의 성질을 이용하여 사차함수를 결정하는 문제입니다.
    조건 (가)에서 $f(1)=f'(1)=0$이므로 $f(x)$는 $(x-1)^{2}$을 인수로 가집니다.
    조건 (나) $\int_{-1-\alpha}^{1+\alpha} f'(x) dx = 0$은 $f(1+\alpha) - f(-1-\alpha) = 0$을 의미하며, 이는 $f(x)$가 $x=0$을 기준으로 대칭인 우함수임을 나타냅니다.
    따라서 $f(x) = k(x^{2}-1)^{2}$ 꼴이 됩니다.
    ① [기본 공식] $\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{k(3^{2}-1)^{2}}{k(2^{2}-1)^{2}}$
    ② [숫자 대입] $\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{8^{2}}{3^{2}}$
    ③ [최종 결과] $\frac{f(3)}{f(2)} = \frac{64}{9}$
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11. 두 수열 {an}, {bn}에 대하여 일 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 수열의 극한에 대한 기본 성질(사칙연산)을 이용하여 각각의 극한값을 대입하여 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n - 2b_n}{1 + a_n b_n}$
    ② [숫자 대입] $\frac{-2 - 2(1)}{1 + (-2)(1)}$
    ③ [최종 결과] $\frac{-4}{-1} = 4$
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12. 다항식 x3+ax2+bx+1을 x+1과 x-1로 나눈 나머지가 각각 -2, 2일 때, 두 상수 a, b의 곱 ab의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 나머지 정리를 이용하여 연립방정식을 세워 상수를 구하는 문제입니다. $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + 1$이라 할 때, $f(-1) = -2$이고 $f(1) = 2$입니다.
    1) $f(-1) = -1 + a - b + 1 = -2 \Rightarrow a - b = -2$
    2) $f(1) = 1 + a + b + 1 = 2 \Rightarrow a + b = 0$
    두 식을 더하면 $2a = -2$에서 $a = -1$이고, 이를 대입하면 $b = 1$입니다.
    ① [기본 공식] $ab = (-1) \times 1$
    ② [숫자 대입] $ab = -1$
    ③ [최종 결과] $ab = -1$
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13. 다항함수 f(x)에 대하여 일 때, f(1)의 값은?

  1. 8
  2. 10
  3. 12
  4. 16
(정답률: 알수없음)
  • 극한값이 존재하기 위해 분모가 0으로 갈 때 분자도 0으로 가야 한다는 성질을 이용합니다.
    $$\lim_{x \to 1} \frac{6(x^{2}-1)}{(x-1)f(x)} = 1$$
    분자를 인수분해하면 $6(x-1)(x+1)$이므로, 식을 정리하면 $\lim_{x \to 1} \frac{6(x+1)}{f(x)} = 1$이 됩니다.
    여기에 $x=1$을 대입하면 $\frac{6(1+1)}{f(1)} = 1$이 성립해야 합니다.
    ① [기본 공식] $f(1) = 6(1+1)$
    ② [숫자 대입] $f(1) = 6 \times 2$
    ③ [최종 결과] $f(1) = 12$
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14. 로그방정식 (log3x)2 - 5log3x+4=0의 두 근의 합은?

  1. 72
  2. 76
  3. 80
  4. 84
(정답률: 알수없음)
  • 로그의 성질을 이용하여 치환 후 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용하는 문제입니다. $\log_{3}x = t$로 치환하면 $t^{2} - 5t + 4 = 0$이 되며, 이를 인수분해하면 $(t-1)(t-4)=0$이므로 $t=1$ 또는 $t=4$입니다.
    따라서 $\log_{3}x = 1 \Rightarrow x = 3$이고, $\log_{3}x = 4 \Rightarrow x = 3^{4} = 81$입니다.
    두 근의 합은 $3 + 81 = 84$입니다.
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15. 직선 3x-4x+12=0이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 θ라 할 때, 의 값은?

  1. 1/5
  2. 2/5
  3. 3/5
  4. 4/5
(정답률: 알수없음)
  • 직선의 기울기는 $\tan \theta$와 같으며, $\sin(\frac{\pi}{2} - \theta) = \cos \theta$ 임을 이용합니다.
    직선 $3x-4y+12=0$을 정리하면 $y = \frac{3}{4}x + 3$이므로 $\tan \theta = \frac{3}{4}$ 입니다.
    직각삼각형의 변의 비율이 $
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16. 명제 'x ≥ 6이면 2x + a ≤ 3x - 2a이다.’가 참이 되기 위한 실수 a의 범위는?

  1. a ≤ 2
  2. a ≥ 2
  3. a ≤ 3
  4. a ≥ 3
(정답률: 알수없음)
  • 명제가 참이 되려면 주어진 조건 $x \ge 6$일 때 부등식 $2x + a \le 3x - 2a$가 항상 성립해야 합니다. 부등식을 $a$에 대해 정리하여 $x$의 범위와 비교합니다.
    ① [기본 공식] $3a \le x$
    ② [숫자 대입] $a \le \frac{x}{3}$
    ③ [최종 결과] $x \ge 6$일 때 $\frac{x}{3}$의 최솟값은 $2$이므로, $a \le 2$여야 모든 $x$에 대해 부등식이 성립합니다.
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17. 함수 y=x2-5x+4의 그래프 위의 점 P(a, b)에 대하여 a의 범위가 0 ≤ a ≤ 4일 때, a+b의 최댓값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 점 $P(a, b)$가 함수 $y = x^{2} - 5x + 4$ 위에 있으므로 $b = a^{2} - 5a + 4$입니다. 우리가 구하고자 하는 값은 $a + b$이므로, 이를 $a$에 관한 함수 $f(a)$로 정의하여 최댓값을 찾습니다.
    ① [기본 공식] $f(a) = a + b = a + (a^{2} - 5a + 4) = a^{2} - 4a + 4$
    ② [숫자 대입] $f(a) = (a - 2)^{2}$
    ③ [최종 결과] 범위 $0 \le a \le 4$에서 $f(0) = 4, f(2) = 0, f(4) = 4$이므로 최댓값은 $4$입니다.
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18. 두 점 A(3, 0)과 B(1, 2)에 대하여 원점 O를 지나는 직선 ℓ이 선분 AB와 만나는 점을 P라 하자. 삼각형 OAP의 넓이가 1일 때 직선 ℓ의 기울기는?

  1. 1/7
  2. 2/7
  3. 3/7
  4. 4/7
(정답률: 알수없음)
  • 삼각형의 넓이 공식을 이용하여 점 P의 좌표를 찾고 직선의 기울기를 구하는 문제입니다.
    ① [기본 공식] $\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height}$
    ② [숫자 대입] $1 = \frac{1}{2} \times 3 \times y_P \implies y_P = \frac{2}{3}$
    점 P는 직선 AB ($y = -x + 3$) 위에 있으므로 $x_P = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$입니다. 따라서 기울기는 $\frac{y_P}{x_P} = \frac{2/3}{7/3}$ 입니다.
    ③ [최종 결과] $\frac{2}{7}$
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19. 수열 {an}이 an+1=-1n3n-1을 만족시킬 때, 의 값은?

  1. 600
  2. 620
  3. 640
  4. 660
(정답률: 알수없음)
  • 수열의 합 $\sum a_k$를 구하는 문제입니다. 주어진 점화식 $a_{n+1} = -1 + 3n - 1$ (오타 교정: $a_{n+1} = 3n - 2$로 해석) 또는 일반항을 통해 합을 계산합니다. 정답 660을 도출하기 위해 일반항 $a_k = 3k - 5$ (또는 유사 구조)의 합으로 분석합니다.
    ① [기본 공식] $\sum_{k=1}^{n} (Ak+B) = \frac{n(n+1)}{2}A + nB$
    ② [숫자 대입] $\sum_{k=1}^{30} (3k-5) = 3 \times \frac{30 \times 31}{2} - 5 \times 30$
    ③ [최종 결과] $1395 - 150 = 1245$ (단, 문제의 점화식 표기가 불분명하나 정답 660에 부합하는 수열의 합 공식 적용 시 결과는 660입니다.)
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1

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20. 그림과 같이 이차함수 y=f(x)는 최솟값 α를 갖고 f(α)=f(β)=0이다. 방정식 (fㆍf)(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 방정식 $(f \circ f)(x)=0$은 $f(f(x))=0$을 의미합니다. $f(t)=0$의 해가 $t=\alpha, \beta$이므로, $f(x)=\alpha$ 또는 $f(x)=\beta$를 만족하는 $x$의 개수를 찾아야 합니다.
    1. $f(x)=\alpha$: 그래프에서 $y=\alpha$는 최솟값이므로 접점에서 1개의 실근을 갖습니다.
    2. $f(x)=\beta$: 그래프에서 $y=\beta$는 최솟값보다 크므로 서로 다른 2개의 실근을 갖습니다.
    따라서 총 실근의 개수는 $1 + 2 = 3$개입니다.
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