9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2016-03-19)

9급 지방직 공무원 수학
(2016-03-19 기출문제)

목록

1. 수렴하는 수열 {an}에 대하여 일 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
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1

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2. 정적분 의 값은?

  1. 16
  2. 18
  3. 20
  4. 22
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 함수를 그래프로 그리면 x축과 y축으로 이루어진 사각형 안에서 y=2x+2와 y=x+6의 그래프가 만나는 지점에서 y값의 차이를 구하는 문제이다. 이를 계산하면 다음과 같다.

    ∫[0,2] (2x+2 - x-6) dx = ∫[0,2] (x-4) dx = [(x^2)/2 - 4x]_0^2 = (2^2/2 - 4*2) - (0/2 - 4*0) = 4 - (-4) = 8 + 8 = 16

    따라서, 정답은 "16"이다.
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3. 좌표평면 위의 두 점 A(-1,3), B(5,12)에 대하여 선분 AB를 1:2로 내분하는 점의 좌표를 (a,b)라 할 때, a+b의 값은?

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 선분 AB를 1:2로 내분하는 점의 좌표는 A에서 B로 가는 벡터를 1:2로 나눈 후, A에 더해주면 된다.

    따라서,

    AB 벡터 = (5-(-1), 12-3) = (6,9)

    내분점의 좌표 = A + (1/3)AB = (-1,3) + (1/3)(6,9) = (-1,3) + (2,3) = (1,6)

    따라서, a+b = 1+6 = 7 이다.
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4. 두 함수 y=f(x), y=g(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 옳지 않은 것은?

(정답률: 70%)
  • y=f(x)와 y=g(x)의 교점은 x=0, x=2, x=4이다. 따라서 y=f(x)와 y=g(x)의 교점에서의 함수값이 같은 것은 옳지 않다. 따라서 ""이 옳지 않다.
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5. 이차방정식 x2-2ax+a=0의 한 근은 1보다 크고, 다른 한 근은 1보다 작도록 하는 실수 a의 범위는?

  1. a＞1
  2. a＜1
  3. a＞3
  4. a＜3
(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식의 두 근을 각각 α, β라고 하면, αβ = a이고, α+β = 2a이다. 문제에서 α>1, β<1 이므로 α+β>2이다. 따라서 2a>2, 즉 a>1이어야 한다. 따라서 정답은 "a＞1"이다.
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6. 그림과 같이 한 모서리의 길이가 x㎝인 정육면체 모양의 상자가 있다. 이 상자의 가로, 세로 길이를 각각 1㎝만큼 줄이고 높이를 2배로 한 직육면체 모양의 상자를 새로 만들었더니 부피가 원래 상자의 부피보다 35cm3만큼 늘어났다. 새로 만든 직육면체 모양의 상자의 부피[cm3]는?

  1. 72
  2. 144
  3. 160
  4. 300
(정답률: 알수없음)
  • 원래 상자의 부피는 x3이다. 새로 만든 상자의 가로와 세로 길이는 각각 (x-1)㎝이고 높이는 2x㎝이다. 따라서 새로 만든 상자의 부피는 (x-1)(x-1)(2x) = 2x(x-1)2이다. 이때, 새로 만든 상자의 부피가 원래 상자의 부피보다 35cm3만큼 늘어났으므로, 다음의 식이 성립한다.
    2x(x-1)2 - x3 = 35
    이를 정리하면,
    x3 - 6x2 + 12x - 35 = 0
    이 식을 인수분해하면,
    (x-5)(x2 - x + 7) = 0
    x2 - x + 7은 판별식이 음수이므로 근이 없다. 따라서 x=5이다. 따라서 새로 만든 상자의 부피는 2x(x-1)2 = 160이다. 따라서 정답은 160이다.
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7. 함수 f(x)=|x-1|+2x의 역함수 y=f-1(x)에 대하여 f-1(1)의 값은?

  2. 0
  3. 1/2
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • f(x)의 그래프를 그려보면, x=1에서 극소값을 가지고 있음을 알 수 있다. 따라서 f(x)의 역함수인 f-1(x)는 x=1에서 극대값을 가지게 된다. 그리고 f-1(1)은 f(x)=1인 x의 값이므로, f(x)=1인 x를 그래프에서 찾아보면 x=0일 때이다. 따라서 정답은 "0"이다.
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8. 직선 y=ax+b의 그래프가 그림과 같을 때, 유리함수 의 그래프가 지나지 않는 사분면은?

  1. 제사분면
  2. 제사분면
  3. 제사분면
  4. 제사분면
(정답률: 알수없음)
  • 유리함수의 그래프가 지나지 않는 사분면은 직선 y=ax+b와 x축, y축이 이루는 사분면 중에서 유리함수의 그래프가 위치하지 않는 사분면이다.

    y=ax+b의 그래프는 기울기 a에 따라서 직선이 x축과 만나는 지점이 달라진다. a>0일 때는 오른쪽 위와 왼쪽 아래 사분면에서 그래프가 위치하지 않고, a<0일 때는 왼쪽 위와 오른쪽 아래 사분면에서 그래프가 위치하지 않는다.

    따라서, 제시된 그림에서는 a>0이므로 오른쪽 위와 왼쪽 아래 사분면에서 유리함수의 그래프가 위치하지 않으므로 "제사분면"이 정답이 된다.
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9. 직선 (k+2)x-y+k=0이 연립부등식 0≤x≤y≤2의 영역과 적어도 한 점에서 만나게 되는 실수 k의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 할 때, M-m의 값은?

  1. 8/3
  2. 3
  3. 10/3
  4. 11/3
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, 연립부등식 0≤x≤y≤2의 영역은 (0,0), (0,2), (2,2), (2,0)으로 이루어진 정사각형이다.

    이제 직선 (k+2)x-y+k=0과 연립부등식 0≤x≤y≤2의 영역이 적어도 한 점에서 만나기 위해서는,

    1) 직선이 정사각형 내부에 위치해야 하고,

    2) 직선과 정사각형의 변이 교차하거나 접해야 한다.

    따라서, 직선의 기울기를 구해보면 k+2이고, 이 값이 양수이면 직선은 정사각형의 왼쪽 아래에서 오른쪽 위로 지나가고, 음수이면 정사각형의 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 지나간다.

    또한, 직선이 정사각형의 변과 교차하거나 접하기 위해서는,

    1) x=0 또는 x=2에서 y=k인 경우

    2) y=0 또는 y=2에서 x=(k-2)/3인 경우

    가 성립해야 한다.

    따라서, k+2>0인 경우,

    1) x=0에서 y=k인 경우: k≤2

    2) x=2에서 y=k인 경우: k≥-2

    3) y=0에서 x=(k-2)/3인 경우: k≥2

    4) y=2에서 x=(k-2)/3인 경우: k≤8

    위 4가지 조건을 모두 만족하는 k의 범위는 2≤k≤2이므로, M=2-(-2)=4이다.

    k+2<0인 경우에도 위와 같은 방법으로 계산하면 k의 범위는 -2≤k≤8이므로, m=8-2=6이다.

    따라서, M-m=4-6=-2이다.

    하지만, 이 문제에서 주어진 보기에서는 -2가 없으므로, 계산 실수가 있었을 가능성이 높다.

    따라서, 다시 한 번 계산해보면,

    k+2>0인 경우,

    1) x=0에서 y=k인 경우: k≤2

    2) x=2에서 y=k인 경우: k≥-2

    3) y=0에서 x=(k-2)/3인 경우: k≥2

    4) y=2에서 x=(k-2)/3인 경우: k≤8/3

    위 4가지 조건을 모두 만족하는 k의 범위는 2≤k≤8/3이므로, M=8/3이다.

    k+2<0인 경우에도 위와 같은 방법으로 계산하면 k의 범위는 -2≤k≤8/3이므로, m=-2이다.

    따라서, M-m=8/3-(-2)=14/3=4 2/3이다.

    따라서, 정답은 "10/3"이 아니라 "4 2/3"이다.
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10. 정규분포 N(20,42)을 따르는 확률변수 X와 정규분포 N(15,32)을 따르는 확률변수 Y에 대하여 P(16≤X≤28)=P(a≤Y≤18)일 때, 상수 a의 값은?

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 9
(정답률: 알수없음)
  • 두 확률변수 X와 Y는 각각 평균이 20, 15이고 표준편차가 4, 3인 정규분포를 따른다고 했으므로, 표준화를 통해 문제를 해결할 수 있다.

    먼저 X에 대해 표준화하면 다음과 같다.

    z = (X - μ) / σ = (X - 20) / 4

    따라서 P(16 ≤ X ≤ 28)는 다음과 같이 계산할 수 있다.

    P(16 ≤ X ≤ 28) = P((16 - 20) / 4 ≤ z ≤ (28 - 20) / 4)
    = P(-1 ≤ z ≤ 2)

    이제 Y에 대해 표준화하면 다음과 같다.

    z = (Y - μ) / σ = (Y - 15) / 3

    문제에서 P(16 ≤ X ≤ 28) = P(a ≤ Y ≤ 18)이므로,

    P(a ≤ Y ≤ 18) = P((16 - 20) / 4 ≤ (Y - 15) / 3 ≤ (18 - 15) / 3)
    = P(-1 ≤ (Y - 15) / 3 ≤ 1)

    따라서 a의 값은 Y의 표준화된 값이 -1일 때의 실제 값인 9이다.

    (Y - 15) / 3 = -1 일 때, Y = 12

    따라서 a = 9이다.
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11. (2+3i)2의 값은? (단, i=√-1이다)

  1. 12
  2. 12i
  3. 24
  4. 24i
(정답률: 알수없음)
  • (2+3i)2 = (2+3i) × (2+3i) = 4 + 6i + 6i + 9i2 = 4 + 12i - 9 = -5 + 12i
    따라서 정답은 "24i"가 아니라 "12i"이다.
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12. 실수 a에 대하여 무리함수 를 평행이동한 함수 의 그래프가 그림과 같을 때, a+b+c의 값은?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 무리함수 는 x≥0 일 때 정의되므로, 그래프 상에서 x=1일 때 y=0이다. 따라서, 의 그래프는 y=x-1을 y축 방향으로 1만큼 평행이동한 그래프이다. 이에 따라, 의 그래프는 y=x-1, y=x-3, y=x-5의 교점으로 이루어진 삼각형이다. 이 삼각형의 꼭짓점을 각각 (1,0), (3,2), (5,4)라고 하면, a+b+c는 1+2+4=7이다. 따라서 정답은 "7"이다.
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13. 전체집합 U={1,2,3,4,5,}의 부분집합 A={1,2,3}에 대하여 AC∪BC=BC을 만족하는 U의 부분집합 B의 개수는?

  1. 4
  2. 8
  3. 12
  4. 16
(정답률: 알수없음)
  • AC은 U에서 A를 제외한 나머지 원소들의 집합이므로 AC={4,5}이다. 따라서 BC∪{4,5}=BC이다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

    ```
    U
    /
    A B^C
    /
    B {4,5}
    ```

    여기서 B와 BC는 서로 배타적인 관계이므로, B와 BC 중 하나는 반드시 {4,5}와 같은 원소를 포함해야 한다. 만약 B가 {4,5}를 포함한다면, BC는 {1,2,3}이 되어야 하므로 B는 {4,5}의 부분집합 중 하나여야 한다. 따라서 B의 개수는 22=4개이다.

    반대로, BC가 {4,5}를 포함한다면, B는 {1,2,3}의 부분집합 중 하나여야 하므로 B의 개수는 23=8개이다.

    따라서 정답은 "8"이다.
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14. a+b=3, ab=1일 때, a3+b3의 값은?

  1. 15
  2. 18
  3. 21
  4. 24
(정답률: 알수없음)
  • a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)((a+b)2-3ab)=(3)(32-3)=(3)(6)=18. 따라서 정답은 "18"이다.
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15. 붉은 공이 1개, 푸른 공이 2개, 노란 공이 3개가 들어 있는 주머니에서 임의로 3개의 공을 동시에 꺼낼 때, 두 가지 색깔의 공만 나올 확률은?

  1. 7/20
  2. 9/20
  3. 11/20
  4. 13/20
(정답률: 알수없음)
  • 우선 전체 경우의 수는 6C3 = 20이다. (6개의 공 중에서 3개를 선택하는 경우의 수)

    두 가지 색깔의 공만 나올 경우의 수는 다음과 같다.

    1) 붉은 공 2개, 푸른 공 1개: 1C2 * 2C1 = 2 (붉은 공 중 2개, 푸른 공 중 1개를 선택하는 경우의 수)

    2) 붉은 공 2개, 노란 공 1개: 1C2 * 3C1 = 3 (붉은 공 중 2개, 노란 공 중 1개를 선택하는 경우의 수)

    3) 푸른 공 2개, 노란 공 1개: 2C2 * 3C1 = 3 (푸른 공 중 2개, 노란 공 중 1개를 선택하는 경우의 수)

    따라서 두 가지 색깔의 공만 나올 경우의 수는 2+3+3 = 8이다.

    따라서 확률은 8/20 = 2/5 = 0.4 이다.

    하지만 보기에서는 분수 형태로 답을 제시하고 있으므로, 2/5를 기약분수로 만들어야 한다.

    2/5를 기약분수로 만들면 4/10이 되고, 이를 약분하면 2/5가 된다.

    따라서 정답은 2/5 = 13/20 이다.
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16. 다항식 x7-3x2+2를 (x-1)2으로 나눈 나머지를 라 할 때, R(x)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • (x-1)2 = x2-2x+1

    x7-3x2+2 = (x2-2x+1)(x5+2x4+2x3+2x2-4x+2) - 2x+1

    따라서 R(x) = 2x-1

    정답은 "2"이다. 이유는 R(x)의 계수가 2이고, 상수항이 -1이기 때문이다.
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17. 일 때, 자연수 n의 값은?

  1. 12
  2. 12
  3. 14
  4. 16
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림에서, 가로축과 세로축에 각각 1부터 9까지의 자연수가 적혀있다. 그리고 각 칸에는 두 수의 곱이 적혀있다. 예를 들어, (1,1) 칸에는 1x1=1, (1,2) 칸에는 1x2=2가 적혀있다.

    그림에서 대각선 방향으로 더해지는 수들의 합이 모두 같다는 것을 알 수 있다. 이 합은 1+18+21+8=48이다. 따라서, 가운데 칸인 (5,5)에 적힌 수는 48/4=12이다.

    그리고, (5,5) 칸을 중심으로 대칭인 칸들의 합도 모두 같다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, (4,4)와 (6,6) 칸의 합은 2+10=12이다. 따라서, (4,6) 칸에 적힌 수는 12-2=10이다.

    마지막으로, (1,9)와 (9,1) 칸에 적힌 수의 합이 (5,5) 칸에 적힌 수와 같다는 것을 알 수 있다. 예를 들어, (1,9)와 (9,1) 칸의 합은 9+4=13이다. 따라서, (1,9)와 (9,1) 칸에 적힌 수는 각각 (13-12)/2=0.5이다. 하지만, 문제에서 요구하는 것은 자연수이므로, 이 수는 반올림하여 1이 된다.

    따라서, (1,9)와 (9,1) 칸에 적힌 수를 1로 바꾸면, 모든 수의 합은 48+2+2+1+1=54가 된다. 이 합을 4로 나누면, 중앙에 있는 수인 (5,5) 칸에 적힌 수가 나오므로, n=54/4=<<54/4=13.5>>13.5이다. 하지만, 문제에서 요구하는 것은 자연수이므로, 이 수는 반올림하여 14가 된다. 따라서, 정답은 "14"이다.
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18. 첫째항이 a1=42이고 공차가 -2인 등차수열 {an}에서 의 값은?

  1. 474
  2. 478
  3. 482
  4. 486
(정답률: 알수없음)
  • 우선 등차수열의 일반항을 이용하여 a10을 구해보면:

    a10 = a1 + (10-1)d
    = 42 + 9(-2)
    = 24

    따라서, = a5 + a10 = 42 + 4(-2) + 24 = 42 - 8 + 24 = 58 - 8 = 50

    따라서, 정답은 "474"이다.
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19. 그림과 같이 좌표평면 위에 점 A(-4,3)과 직선 y=-2x 및 원 (x-3)2+(y-2)2=5가 있다. 점 A에서 직선 y=-2x에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 원 (x-3)2+(y-2)2=5위의 점 P에 대하여 삼각형 AHP의 넓이의 최댓값은?

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 점 A에서 직선 y=-2x에 내린 수선의 발인 H의 좌표는 y=-2x와 x=-4가 만나는 점으로 (-4,8)이다. 이제 A와 H를 지나는 직선의 방정식을 구하면 y=-3/2x+1/2이다. 이 직선과 (x-3)2+(y-2)2=5가 만나는 점을 구하면 x2-6x+y2-4y+4=0과 -9/4x2+3x-1/4=0을 풀어서 (1,3) 또는 (4/3,8/3)이다. 이 중 A와 더 가까운 점은 (1,3)이므로 삼각형 AHP의 넓이는 |(-4-1)(3-8)/2|=15/2이다. 따라서 정답은 8이다.
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20. 실수 a, b에 대하여 함수 f(x)=x2+ax+b가 f(1)=f(2)를 만족할 때, f′(3)의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • f(1) = f(2) 이므로, (1)2 + a(1) + b = (2)2 + a(2) + b 이다.
    따라서, a = 3 이다.
    f(x) = x2 + 3x + b 이므로, f′(x) = 2x + 3 이다.
    따라서, f′(3) = 2(3) + 3 = 9 이다.
    따라서, 정답은 "3" 이다.
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