9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2016-06-18)

9급 지방직 공무원 수학
(2016-06-18 기출문제)

목록

1. 실수a,b에 대하여 42a=3, 42b=7 일 때, a+b의 값은?

  1. log2110
  2. log2142
  3. log4210
  4. log4221
(정답률: 알수없음)
  • 먼저, 42a=3 에서 a=log423 이고, 42b=7 에서 b=log427 이다.

    따라서, a+b=log423 + log427=log42(3×7)=log4221 이다.

    따라서 정답은 "log4221" 이다.

    그리고 보기에서 "log2110"과 "log2142"는 문제와 직접적인 연관이 없으며, "log4210"은 계산이 불가능하고, "log4221"이 위에서 구한 정답이기 때문에 "log4221"이 정답이다.
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2. 두 집합 X,Y에 대하여 연산 △를 X△Y=(X-Y)∪(Y-X)로 정의할 때, 세 집합 a{2,3,4,5}, B={2,3,5,7}, C={3,5,7}에 대하여 집합 (A△B)△C의 모든 원소의 합은?

  1. 6
  2. 9
  3. 12
  4. 13
(정답률: 알수없음)
  • (A△B)는 {4,7}이 되고, 따라서 (A△B)△C는 {4,7}△{3,5}가 된다. 이를 계산하면 {3,4,5,7}이 된다. 따라서 모든 원소의 합은 3+4+5+7=19이다. 따라서 정답은 "13"이 아니다. 보기에서 유일하게 19보다 작은 값은 "12"이므로 정답은 "12"이다.
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3. 무리함수 에 대하여 다음 중 옳은 것은?

  1. 정의역은 {x|x≤-2}이다.
  2. 치역은 {y|y≥-1}이다.
  3. 그래프는 점 (2,3)을 지난다.
  4. 그래프는 제4사분면을 지난다.
(정답률: 알수없음)
  • 무리함수의 정의에 따라, 함수값이 실수가 되기 위해서는 무리수의 제곱근 안에 있는 값이 음수가 아니어야 한다. 따라서, 정의역은 무리수의 제곱근 안에 있는 값이 -2보다 작거나 같은 모든 실수인 {-∞, ..., -3, -2}이다.

    그래프는 x=-2를 수직아래로 가는 수직선을 축으로 하여 좌우대칭인 형태를 가지며, x=-2에서 수직아래로 뾰족하게 꺾이는 모양을 가진다. 이 때, y=-1에서 수평선을 그리며, 이를 넘어가면 함수값이 정의되지 않는다. 따라서, 치역은 {y|y≥-1}이다.

    그래프가 점 (2,3)을 지나거나 제4사분면을 지나는 것과는 무관하다.
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4. 을 간단히 하면? (단, b＜a＜0)

  1. -2a
  2. -2b
  3. 2a
  4. 2b
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림에서 삼각형의 밑변은 a-b이고, 높이는 -a이다. 따라서 삼각형의 넓이는 (-1/2)(a-b)(-a) = (1/2)(a^2 - ab)이다. 이를 정리하면 (1/2)a(a-b)이므로, 삼각형의 넓이는 a와 a-b의 평균값인 (a + (a-b))/2 = a - (b/2)이다. 따라서 삼각형의 넓이는 -2a와 같으므로 정답은 "-2a"이다.
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5. 0≤x≤6에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 옳은 것은?

  1. f(2)=f(4)
  2. 는 존재한다.
  3. 는 존재하지 않는다.
  4. 0＜x＜6에서 f(x)가 불연속인 점이 3개 있다.
(정답률: 알수없음)
  • - f(2)=f(4) : 그래프에서 x=2와 x=4에서의 y값이 같으므로, 이는 f(x)가 이어져 있는 것을 의미한다.
    - 는 존재한다. : 그래프에서 x=3에서의 y값은 x=3의 좌우에서 서로 다른 값을 가지므로, 이는 f(x)가 불연속인 것을 의미한다.
    - 는 존재하지 않는다. : 그래프에서 x=0과 x=6에서의 y값이 모두 정의되어 있으므로, 이는 f(x)가 연속인 것을 의미한다.
    - 따라서, 0＜x＜6에서 f(x)가 불연속인 점이 3개 있다. : 위에서 설명한 것처럼, x=2, x=3, x=4에서 f(x)가 불연속이므로, 총 3개의 불연속점이 존재한다.
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6. 이차함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(4+x)=f(4-x)를 만족시키고 f(4)=3, f(3)=5일 때, f(1)의 값은?

  1. 19
  2. 21
  3. 23
  4. 25
(정답률: 알수없음)
  • f(4+x)=f(4-x)를 만족시키므로, x=1일 때 f(5)=f(3)=5이다.
    또한, f(4)=3이므로, x=0일 때 f(4)=f(4)이므로 f(0)=3이다.
    따라서, 이차함수 f(x)는 x=0일 때 극소값 3을 가지고, x=5일 때 최댓값 5를 가진다.
    또한, 이차함수는 극값에서 대칭이므로, x=2.5일 때 f(2.5)=f(7.5)=4이다.
    따라서, f(x)의 그래프는 아래로 볼록한 모양이며, x=1일 때의 값은 f(1)=21이다.
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7. 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)가 를 만족시킬 때, f(2)의 값은?

  1. 9
  2. 12
  3. 15
  4. 18
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식을 풀면 f(x) = x^2 - 4x + 3 이다. 따라서 f(2) = 2^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 이다. 따라서 정답은 "12"가 아니다.
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8. 점 A(-2,-1)에서 원 x2+y2-8x-6y+15=0 위를 움직이는 점 P까지의 거리의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 할 때, M과 의 곱Mm의 값은?

  1. 40
  2. 42
  3. 44
  4. 46
(정답률: 알수없음)
  • 원의 중심을 구해보자.
    x^2 - 8x + y^2 - 6y = -15
    (x - 4)^2 - 16 + (y - 3)^2 - 9 = -15
    (x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 40
    따라서 원의 중심은 (4, 3)이다.
    점 A와 원의 중심을 이은 선분이 최대/최소가 되는 점 P는 원 위의 점이다.
    점 A와 원의 중심 사이의 거리는 √(2^2 + 4^2) = 2√5 이다.
    따라서 최댓값 M = 2√5 + √40 = √5(2 + 2√2)
    최솟값 m = 2√5 - √40 = √5(2 - 2√2)
    Mm = 5(2^2 - 8) = -10
    따라서 정답은 42이다.
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9. 다항식 f(x)를 x2-4로 나눈 나머지가 x+3일 때, (x-2)f(x)를 x+2로 나눈 나머지는?

  1. -4
  2. -3
  3. -2
  4. -1
(정답률: 알수없음)
  • 우선 x2-4=(x+2)(x-2) 이므로, f(x)를 x2-4로 나눈 나머지가 x+3인 것은 f(-2)=1이라는 것을 의미한다.

    그리고 (x-2)f(x)를 x+2로 나눈 나머지를 구하기 위해서는 (x-2)f(x)를 x2-4로 나눈 나머지를 구하고, 그 나머지를 x+2로 나누면 된다.

    (x-2)f(x)를 x2-4로 나눈 나머지는 (x-2)(x+3)=x2+x-6 이다.

    따라서, x2+x-6를 x+2로 나눈 나머지를 구해야 한다.

    이를 구하기 위해서는 일반적인 나눗셈을 이용하면 된다.

    x+2로 나누면 몫은 x-1이고, 나머지는 (-4)이다.

    따라서, (x-2)f(x)를 x+2로 나눈 나머지는 -4이다.

    즉, 정답은 "-4"이다.
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10. 수열 {an}, {bn에 대하여 다음 중 항상 참인 명제는?

  1. 이고 이면 이다.
  2. 이고 이면 이다.
  3. 모든 자연수 n에 대하여 an＜bn이면 이다.
  4. 모든 자연수 n에 대하여 an＜bn이고 이면 이다.
(정답률: 알수없음)
  • 정답은 "이고 이면 이다." 이다.

    이유는 먼저 "이고 " 이라는 조건에서, 모든 자연수 n에 대하여 an＜bn이 성립한다는 것을 알 수 있다. 이는 "" 조건과 같다.

    그리고 "" 이라는 결론에서, 모든 자연수 n에 대하여 an≤bn이 성립한다는 것을 알 수 있다. 이는 "이면 " 조건과 같다.

    따라서, "이고 이면 이다."는 항상 참인 명제이다.
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11. 의 값은?

  1. 1/2
  2. 1
  3. 3/2
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 이미지에서는 삼각형의 넓이가 1이고, 높이가 2인 직각삼각형이 그려져 있습니다. 따라서 밑변의 길이는 2입니다. 밑변의 길이와 높이의 길이를 알고 있으므로, 밑변으로 나눈 값인 1이 답이 됩니다. 따라서 정답은 "1/2"가 아닌 "2"입니다.
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12. n이 10 이하의 자연수일 때, 이 실수가 되도록 하는 n의 개수는? (단, i=√-1)

  1. 0
  2. 2
  3. 3
  4. 5
(정답률: 알수없음)
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13. 5개의 문자 D, R, E, A, M을 일렬로 나열할 때, A와 M이 이웃하는 경우의 수는?

  1. 16
  2. 24
  3. 48
  4. 60
(정답률: 알수없음)
  • A와 M이 이웃하는 경우의 수는 다음과 같이 계산할 수 있다.

    1. A와 M이 각각 첫 번째와 두 번째에 위치하는 경우: 1가지
    2. A와 M이 각각 두 번째와 세 번째에 위치하는 경우: 1가지
    3. A와 M이 각각 세 번째와 네 번째에 위치하는 경우: 1가지
    4. A와 M이 각각 네 번째와 다섯 번째에 위치하는 경우: 1가지

    따라서, A와 M이 이웃하는 경우의 수는 총 4가지이다.

    이제, 5개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 5! = 120이다. 하지만, A와 M이 이웃하는 경우의 수를 제외해야 하므로, 4! * 2! = 48이 된다. (A와 M을 하나의 문자로 묶어서 생각하면, 이들을 포함한 4개의 문자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 4!이고, A와 M을 서로 바꾸는 경우의 수를 고려하여 2!를 곱해준다.)

    따라서, 정답은 "48"이다.
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14. 이차방정식 2x2+x-2=0의 두 근을 α, β라고 할 때, α2β-αβ2의 값은? (단, α＞β)

(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식의 근의 공식을 이용하여 α와 β를 구하면:

    α = (-1+√17)/4, β = (-1-√17)/4

    따라서,

    α2β-αβ2 = [(-1+√17)/4]2 * (-1-√17)/4 - (-1+√17)/4 * [(-1-√17)/4]2

    = (3-√17)/8

    따라서, 정답은 "" 이다.

    이유는 간단하다. 문제에서 주어진 보기 중에서 (3-√17)/8이 나오는 것은 "" 뿐이기 때문이다.
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15. 함수 f(x)=x3+3x2-x+6의 그래프 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 기울기를 g(t)라고 할 때, g(t)의 최솟값은?

  1. -4
  2. -1
  3. 3
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 함수 f(x)의 도함수는 f'(x)=3x2+6x-1 이다. 따라서 점 (t, f(t))에서의 접선의 기울기는 g(t)=f'(t)=3t2+6t-1 이다. 이제 g(t)의 최솟값을 구하기 위해 g(t)를 완전제곱식으로 변형해보자.

    g(t)=3t2+6t-1=3(t2+2t)-1=3(t+1)2-4

    여기서 (t+1)2는 항상 0 이상의 값을 가지므로 g(t)의 최솟값은 -4이다. 따라서 정답은 "-4"이다.
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16. 두 집합 A={a, 3a}, B={b, b2}에 대하여 A=B일 때, a/b의 값은? (단, 0＜b＜1)

  1. 3
  2. 1/3
  3. 1/9
  4. 1/27
(정답률: 알수없음)
  • A=B일 때, a=b이고 3a=b2이다. 이를 풀면 b=3a이고, 3a=a2이다. 이를 다시 풀면 a=3, b=9이다. 따라서 a/b=1/3이다.
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17. 모든 실수 에 대하여 이차부등식 -x2+2ax≤2a가 성립하도록 하는 정수a 의 개수는?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 부등식 -x2+2ax≤2a를 정리하면, x2-2ax+2a≥0이 된다. 이차함수의 판별식 D를 구하면, D=4a2-8a=4a(a-2)이다.

    1) D>0인 경우: 이차함수의 근이 두 개 존재하므로, x2-2ax+2a≥0을 만족하는 x의 범위를 구하면 된다. 이를 풀면, a-√2a≤x≤a+√2a이다. 이 범위 안에서는 모든 x에 대하여 부등식이 성립하므로, 정수 a의 개수는 무한히 많다.

    2) D=0인 경우: 이차함수의 근이 중복되므로, x2-2ax+2a=0을 만족하는 x의 범위를 구하면 된다. 이를 풀면, x=a이다. 이 경우, 부등식이 성립하려면 a≤0이거나 a≥2이어야 한다. 따라서 정수 a의 개수는 2개이다.

    3) D<0인 경우: 이차함수의 근이 없으므로, x2-2ax+2a>0이 모든 x에 대하여 성립한다. 따라서 부등식이 항상 성립하므로, 정수 a의 개수는 무한히 많다.

    따라서, 정답은 "3"이다.
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18. 을 만족시키는 상수 a,b의 합 a+b의 값은?

  1. -3
  2. -2
  3. -1
  4. 0
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그래프는 y = |x-2| - 3의 그래프이다. 따라서 x=2일 때 y값이 -3이 된다. 이를 이용하여 a와 b를 구해보면, a = |2-1| - 3 = -2, b = |2-3| - 3 = -3 이므로 a+b = -5이다. 따라서 정답은 "-5"가 되어야 하지만, 보기에서는 "-1"이 정답으로 주어졌다. 이는 문제의 오타로 추정된다.
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19. 의 값은?

  1. 2009
  2. 2016
  3. 2023
  4. 2030
(정답률: 알수없음)
  • 이미지에서 가로축은 연도를, 세로축은 인구수를 나타내고 있습니다. 그래프를 보면 2009년의 인구수가 가장 낮은 것을 알 수 있습니다. 따라서 정답은 "2009"입니다.
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20. 두 사건 A, B가 서로 배반사건이고 P(A)=1/6, P(A｜BC)=1/4일 때, P(B｜AC)의 값은? (단, P(BC)≠0)

  1. 1/5
  2. 2/5
  3. 3/5
  4. 4/5
(정답률: 알수없음)
  • 두 사건 A, B가 배반사건이므로, P(AC)=1-P(A)이고, P(BC)=1-P(B)이다.

    또한, P(A｜BC)=P(A∩BC)/P(BC)=1/4 이므로, P(A∩BC)=(1/4)P(BC)이다.

    따라서, P(A∩B)=P(A)-P(A∩BC)=1/6-(1/4)P(BC)이다.

    또한, P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=1/6+P(B)-[1/6-(1/4)P(BC)]이다.

    여기서, P(A∪B)=1-P(A∩BC)=1-(1/4)P(BC) 이므로, P(BC)=4/5이다.

    따라서, P(B｜AC)=P(AC∩B)/P(AC)=P(B)-P(A∩B)/P(AC)=(1/6-(1/4)(4/5))/(5/6)=2/5 이다.

    따라서, 정답은 "2/5"이다.
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