9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2016-06-18)

9급 지방직 공무원 수학 2016-06-18 필기 기출문제 해설

이 페이지는 9급 지방직 공무원 수학 2016-06-18 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

9급 지방직 공무원 수학
(2016-06-18 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 실수a,b에 대하여 42a=3, 42b=7 일 때, a+b의 값은?

  1. log2110
  2. log2142
  3. log4210
  4. log4221
(정답률: 알수없음)
  • 지수법칙과 로그의 정의를 이용하여 $a+b$의 값을 구합니다.
    $42^{a+b} = 42^a \times 42^b$ 임을 이용하여 두 값을 곱한 후 로그 형태로 변환합니다.
    ① [기본 공식] $42^{a+b} = 42^a \times 42^b$
    ② [숫자 대입] $42^{a+b} = 3 \times 7 = 21$
    ③ [최종 결과] $a+b = \log_{42} 21$
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2. 두 집합 X,Y에 대하여 연산 △를 X△Y=(X-Y)∪(Y-X)로 정의할 때, 세 집합 a{2,3,4,5}, B={2,3,5,7}, C={3,5,7}에 대하여 집합 (A△B)△C의 모든 원소의 합은?

  1. 6
  2. 9
  3. 12
  4. 13
(정답률: 알수없음)
  • 대칭차집합 연산 $\triangle$의 정의에 따라 단계적으로 집합을 구하고 원소의 합을 계산합니다.
    먼저 $A \triangle B$는 두 집합의 합집합에서 교집합을 뺀 원소들의 집합입니다.
    $$A \triangle B = \{2, 3, 4, 5\} \triangle \{2, 3, 5, 7\} = \{4, 7\}$$
    다음으로 $(A \triangle B) \triangle C$를 계산합니다.
    $$(A \triangle B) \triangle C = \{4, 7\} \triangle \{3, 5, 7\} = \{3, 4, 5\}$$
    최종적으로 구한 집합의 모든 원소의 합은 다음과 같습니다.
    $$3 + 4 + 5 = 12$$
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3. 무리함수 에 대하여 다음 중 옳은 것은?

  1. 정의역은 {x|x≤-2}이다.
  2. 치역은 {y|y≥-1}이다.
  3. 그래프는 점 (2,3)을 지난다.
  4. 그래프는 제4사분면을 지난다.
(정답률: 알수없음)
  • 무리함수 $y = \sqrt{x+2} - 1$의 성질을 분석합니다.
    정의역은 루트 안의 값이 $0$이상이어야 하므로 $x+2 \ge 0$에서 $x \ge -2$ 입니다.
    치역은 $\sqrt{x+2}$의 최솟값이 $0$이므로 $y \ge -1$이 됩니다.

    오답 노트
    정의역은 $\{x|x \le -2\}$: $x \ge -2$가 옳습니다.
    그래프는 점 (2,3)을 지난다: $x=2$ 대입 시 $y = \sqrt{4}-1 = 1$이므로 (2,1)을 지납니다.
    그래프는 제4사분면을 지난다: $x=0$ 일 때 $y = \sqrt{2}-1 > 0$이며, $x \ge -2, y \ge -1$ 범위에서 $x$가 음수일 때 $y$가 음수인 구간이 없으므로 제4사분면을 지나지 않습니다.
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4. 을 간단히 하면? (단, b＜a＜0)

  1. -2a
  2. -2b
  3. 2a
  4. 2b
(정답률: 알수없음)
  • 제곱근의 성질 $\sqrt{a^2} = |a|$와 세제곱근의 성질 $\sqrt[3]{a^3} = a$를 이용하여 식을 단순화합니다.
    ① [기본 공식] $\sqrt{(a+b)^2} - \sqrt[3]{(a-b)^3} = |a+b| - (a-b)$
    ② [숫자 대입] $b < a < 0$이므로 $a+b < 0$이 되어 $|a+b| = -(a+b)$가 됩니다.
    $$= -(a+b) - (a-b)$$
    ③ [최종 결과] $-a - b - a + b = -2a$
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5. 0≤x≤6에서 정의된 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 옳은 것은?

  1. f(2)=f(4)
  2. 는 존재한다.
  3. 는 존재하지 않는다.
  4. 0＜x＜6에서 f(x)가 불연속인 점이 3개 있다.
(정답률: 알수없음)
  • 그래프를 분석하면 $x=1, 2, 4$에서 함숫값과 극한값이 다르거나 끊어져 있어 불연속입니다. 따라서 $0 < x < 6$ 범위에서 불연속인 점은 총 3개입니다.

    오답 노트
    f(2)=f(4): $f(2)=2$이고 $f(4)=3$이므로 다릅니다.
    : $x=2$에서 좌극한은 $2$, 우극한은 $3$으로 서로 달라 존재하지 않습니다.
    : $x=4$에서 좌극한은 $2$, 우극한은 $2$로 서로 같아 존재합니다.
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6. 이차함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(4+x)=f(4-x)를 만족시키고 f(4)=3, f(3)=5일 때, f(1)의 값은?

  1. 19
  2. 21
  3. 23
  4. 25
(정답률: 알수없음)
  • 조건 $f(4+x)=f(4-x)$는 이차함수의 대칭축이 $x=4$임을 의미합니다. 따라서 $f(x) = a(x-4)^2+3$으로 세울 수 있습니다. $f(3)=5$를 대입하여 $a$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $f(3) = a(3-4)^2+3 = 5$
    ② [숫자 대입] $a(1)+3 = 5 \implies a = 2$이므로, $f(x) = 2(x-4)^2+3$ 입니다.
    ③ [최종 결과] $f(1) = 2(1-4)^2+3 = 2(9)+3 = 21$
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7. 최고차항의 계수가 1인 이차함수 f(x)가 를 만족시킬 때, f(2)의 값은?

  1. 9
  2. 12
  3. 15
  4. 18
(정답률: 알수없음)
  • 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $f(x) = x^2+ax+b$로 설정합니다. 주어진 정적분 조건 두 가지를 이용해 $a, b$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $\int_{-1}^{1} (x^2+ax+b)dx = \frac{14}{3}$ 및 $\int_{-1}^{1} (x^3+ax^2+bx)dx = 2$
    ② [숫자 대입] $\int_{-1}^{1} x^2+b dx = 2(\frac{1}{3}+b) = \frac{14}{3} \implies b = 2$이고, $\int_{-1}^{1} ax^2 dx = 2(\frac{a}{3}) = 2 \implies a = 3$ 입니다. 따라서 $f(x) = x^2+3x+2$ 입니다.
    ③ [최종 결과] $f(2) = 2^2+3(2)+2 = 12$
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8. 점 A(-2,-1)에서 원 x2+y2-8x-6y+15=0 위를 움직이는 점 P까지의 거리의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라고 할 때, M과 의 곱Mm의 값은?

  1. 40
  2. 42
  3. 44
  4. 46
(정답률: 알수없음)
  • 원 $x^2+y^2-8x-6y+15=0$을 표준형으로 고치면 $(x-4)^2+(y-3)^2=10$이 되어 중심 $C(4, 3)$, 반지름 $r = \sqrt{10}$ 입니다. 점 $A(-2, -1)$에서 중심 $C$까지의 거리 $d$를 먼저 구합니다.
    ① [기본 공식] $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
    ② [숫자 대입] $d = \sqrt{(4-(-2))^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{6^2+4^2} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$
    최댓값 $M = d+r$, 최솟값 $m = d-r$이므로 $Mm = (d+r)(d-r) = d^2-r^2$ 입니다.
    ③ [최종 결과] $Mm = 52-10 = 42$
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9. 다항식 f(x)를 x2-4로 나눈 나머지가 x+3일 때, (x-2)f(x)를 x+2로 나눈 나머지는?

  1. -4
  2. -3
  3. -2
  4. -1
(정답률: 알수없음)
  • 나머지 정리에 의해 $f(x) = (x^2-4)Q(x) + (x+3)$으로 나타낼 수 있습니다. 구하고자 하는 값은 $(x-2)f(x)$를 $x+2$로 나눈 나머지이므로, $x=-2$를 대입한 값과 같습니다.
    ① [기본 공식] $R = (-2-2)f(-2)$
    ② [숫자 대입] $f(-2) = ((-2)^2-4)Q(-2) + (-2+3) = 1$이므로, $$R = -4 \times 1$$
    ③ [최종 결과] $R = -4$
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10. 수열 {an}, {bn에 대하여 다음 중 항상 참인 명제는?

  1. 이고 이면 이다.
  2. 이고 이면 이다.
  3. 모든 자연수 n에 대하여 an＜bn이면 이다.
  4. 모든 자연수 n에 대하여 an＜bn이고 이면 이다.
(정답률: 알수없음)
  • 수열의 극한 성질에 따라 두 수열이 각각 수렴할 때, 그 차의 극한값은 각 극한값의 차와 같습니다.
    $\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$이고 $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$이면, $\lim_{n \to \infty} b_n = \lim_{n \to \infty} (a_n - (a_n - b_n)) = 1 - 0 = 1$이 성립하므로 항상 참입니다.

    오답 노트
    $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$이고 $\lim_{n \to \infty} b_n = 1$이면 $\lim_{n \to \infty} (a_n - b_n) = 0$: 수렴 조건이 명시되지 않은 경우 성립하지 않을 수 있음
    모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n < b_n$이면 $\lim_{n \to \infty} a_n < \lim_{n \to \infty} b_n$: 극한값에서는 등호가 포함될 수 있음
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11. 의 값은?

  1. 1/2
  2. 1
  3. 3/2
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 무한대에서 루트가 포함된 식의 극한값은 분자를 유리화하여 계산합니다.
    $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 4n} - n)$ 식의 분자를 유리화하면 $\frac{4n}{\sqrt{n^2 + 4n} + n}$이 됩니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{n \to \infty} \frac{4n}{\sqrt{n^2 + 4n} + n}$
    ② [숫자 대입] $\lim_{n \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1 + \frac{4}{n}} + 1}$
    ③ [최종 결과] $\frac{4}{1 + 1} = 2$
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12. n이 10 이하의 자연수일 때, 이 실수가 되도록 하는 n의 개수는? (단, i=√-1)

  1. 0
  2. 2
  3. 3
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 복소수의 거듭제곱이 실수가 되는 조건을 찾는 문제입니다. 먼저 괄호 안의 복소수를 단순화합니다.
    $$\frac{1+i}{1-i} = \frac{(1+i)^2}{1^2-(-i)^2} = \frac{2i}{2} = i$$
    따라서 주어진 식은 $i^n$이 됩니다. $i^n$이 실수가 되려면 $n$이 2의 배수여야 합니다.
    10 이하의 자연수 중 2의 배수는 $2, 4, 6, 8, 10$으로 총 5개입니다.
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13. 5개의 문자 D, R, E, A, M을 일렬로 나열할 때, A와 M이 이웃하는 경우의 수는?

  1. 16
  2. 24
  3. 48
  4. 60
(정답률: 알수없음)
  • 이웃해야 하는 A와 M을 하나의 묶음으로 생각하여 나열하는 경우의 수를 구합니다.
    D, R, E, {AM} 총 4개의 덩어리를 나열하는 방법은 $4!$이며, 묶음 내부에서 A와 M이 자리를 바꾸는 방법은 $2!$입니다.
    ① [기본 공식] $n! \times k!$
    ② [숫자 대입] $4! \times 2! = 24 \times 2$
    ③ [최종 결과] $48$
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14. 이차방정식 2x2+x-2=0의 두 근을 α, β라고 할 때, α2β-αβ2의 값은? (단, α＞β)

(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식의 근과 계수의 관계와 근의 공식을 이용하여 식을 정리합니다.
    먼저 근과 계수의 관계에 의해 $\alpha + \beta = -\frac{1}{2}$, $\alpha\beta = -1$ 입니다.
    구하고자 하는 식 $\alpha^2\beta - \alpha\beta^2$를 공통인수로 묶으면 $\alpha\beta(\alpha - \beta)$가 됩니다.
    근의 공식에 의해 $\alpha = \frac{-1 + \sqrt{17}}{4}$, $\beta = \frac{-1 - \sqrt{17}}{4}$이므로 $\alpha - \beta = \frac{\sqrt{17}}{2}$ 입니다.
    ① [기본 공식] $\alpha^2\beta - \alpha\beta^2 = \alpha\beta(\alpha - \beta)$
    ② [숫자 대입] $(-1) \times \frac{\sqrt{17}}{2}$
    ③ [최종 결과] $-\frac{\sqrt{17}}{2}$
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15. 함수 f(x)=x3+3x2-x+6의 그래프 위의 점 (t, f(t))에서의 접선의 기울기를 g(t)라고 할 때, g(t)의 최솟값은?

  1. -4
  2. -1
  3. 3
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 접선의 기울기 $g(t)$는 함수 $f(x)$의 도함수 $f'(t)$와 같습니다. $g(t)$의 최솟값은 $g'(t)=0$인 지점에서 발생하며, 이는 $f''(t)=0$인 지점을 찾는 것과 같습니다.
    ① [기본 공식] $g(t) = f'(t) = 3t^2 + 6t - 1$
    ② [숫자 대입] $g'(t) = 6t + 6 = 0 \implies t = -1$
    ③ [최종 결과] $g(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) - 1 = -4$
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16. 두 집합 A={a, 3a}, B={b, b2}에 대하여 A=B일 때, a/b의 값은? (단, 0＜b＜1)

  1. 3
  2. 1/3
  3. 1/9
  4. 1/27
(정답률: 알수없음)
  • 두 집합이 같으므로 원소의 구성이 동일해야 합니다. $0 < b < 1$일 때 $b^2 < b$이므로, $A$의 원소 중 작은 값인 $a$가 $b^2$과 같고, 큰 값인 $3a$가 $b$와 같아야 합니다.
    ① [기본 공식] $a = b^2, 3a = b$
    ② [숫자 대입] $3b^2 = b \implies 3b = 1 \implies b = \frac{1}{3}$
    ③ [최종 결과] $a = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
    따라서 $\frac{a}{b} = \frac{1/9}{1/3} = \frac{1}{3}$입니다.
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17. 모든 실수 에 대하여 이차부등식 -x2+2ax≤2a가 성립하도록 하는 정수a 의 개수는?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 모든 실수 $x$에 대해 $-x^{2} + 2ax - 2a \le 0$이 성립해야 하므로, 이차함수의 판별식 $D \le 0$이어야 합니다.
    ① [기본 공식] $D = (2a)^{2} - 4(-1)(-2a) \le 0$
    ② [숫자 대입] $4a^{2} - 8a \le 0 \implies 4a(a - 2) \le 0$
    ③ [최종 결과] $0 \le a \le 2$
    따라서 정수 $a$는 $0, 1, 2$로 총 3개입니다.
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18. 을 만족시키는 상수 a,b의 합 a+b의 값은?

  1. -3
  2. -2
  3. -1
  4. 0
(정답률: 알수없음)
  • 극한값이 존재하고 분모가 0으로 갈 때 분자도 0으로 가야 한다는 성질과 미분계수의 정의를 이용합니다.
    분자가 0이어야 하므로 $1^{2} + a(1) + b = 0$에서 $a + b = -1$이 성립합니다.
    ① [기본 공식] $a + b = -1$
    ② [숫자 대입] $a + b = -1$
    ③ [최종 결과] $a + b = -1$
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19. 의 값은?

  1. 2009
  2. 2016
  3. 2023
  4. 2030
(정답률: 알수없음)
  • 정적분으로 정의된 함수의 미분 계수 정의를 이용하는 문제입니다. $\lim_{x \to 2} \frac{1}{x-2} \int_{2}^{x} f(t) dt = f(2)$ 임을 이용합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to a} \frac{1}{x-a} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(a)$
    ② [숫자 대입] $f(2) = 2013(2)^{2} - 2014(2) - 2015$
    ③ [최종 결과] $f(2) = 8052 - 4028 - 2015 = 2009$
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20. 두 사건 A, B가 서로 배반사건이고 P(A)=1/6, P(A｜BC)=1/4일 때, P(B｜AC)의 값은? (단, P(BC)≠0)

  1. 1/5
  2. 2/5
  3. 3/5
  4. 4/5
(정답률: 알수없음)
  • 배반사건의 성질과 조건부 확률의 정의를 이용하여 $P(B)$를 먼저 구한 뒤, 최종 확률을 계산합니다.
    두 사건이 배반사건이면 $P(A \cap B) = 0$이므로 $P(A \cap B^C) = P(A)$가 성립합니다.
    ① [기본 공식] $P(A|B^C) = \frac{P(A \cap B^C)}{P(B^C)} = \frac{P(A)}{1 - P(B)}$
    ② [숫자 대입] $\frac{1}{4} = \frac{1/6}{1 - P(B)}$에서 $1 - P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$이므로 $P(B) = \frac{1}{3}$
    ③ [최종 결과] $P(B|A^C) = \frac{P(B \cap A^C)}{P(A^C)} = \frac{P(B)}{1 - P(A)} = \frac{1/3}{1 - 1/6} = \frac{1/3}{5/6} = \frac{2}{5}$
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