9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2017-04-08)

9급 지방직 공무원 수학 2017-04-08 필기 기출문제 해설

이 페이지는 9급 지방직 공무원 수학 2017-04-08 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

9급 지방직 공무원 수학
(2017-04-08 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 일 때, a+b의 값은? (단, a, b는 실수)

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 공비 $r = \frac{1-i}{1+i}$를 단순화하면 $\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)} = \frac{-2i}{2} = -i$ 입니다. 이는 첫째항이 $-i$이고 공비가 $-i$인 등비수열의 합으로, 항의 개수는 $2017$개입니다. 등비수열의 합 공식을 적용합니다.
    ① [기본 공식] $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$
    ② [숫자 대입] $S_{2017} = \frac{-i(1-(-i)^{2017})}{1-(-i)} = \frac{-i(1-i)}{1+i} = \frac{-i-i^2}{1+i} = \frac{1-i}{1+i} = -i$
    ③ [최종 결과] $a+bi = 0-1i$
    따라서 $a=0, b=-1$이므로 $a+b = -1$ 입니다.
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2. 다항식 x5+x4을 x2-4로 나누었을 때의 나머지는?

  1. 16-x32
  2. 16x-16
  3. 16x+16
  4. 16x+32
(정답률: 알수없음)
  • 나머지 정리에 의해 다항식을 $x^2-4$로 나누었을 때의 나머지는 일차식 $ax+b$ 형태가 됩니다. 나누는 식 $x^2-4=0$의 해인 $x=2, -2$를 대입하여 연립방정식을 풉니다.
    ① [기본 공식] $f(x) = (x^2-4)Q(x) + ax+b$
    ② [숫자 대입] $2^5+2^4 = 2a+b \Rightarrow 48 = 2a+b$ $$(-2)^5+(-2)^4 = -2a+b \Rightarrow -16 = -2a+b$$
    ③ [최종 결과] $a=32, b=-48 \text{ 이 아니며, 다시 계산하면 } 4a=64 \Rightarrow a=16, b=16 \text{ 이므로 } 16x+16$
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3. 두 집합 X={x|-1≤x≤4}, Y={y|-5≤y≤5}에 대하여 함수 f:X→Y가 (f(x)=ax+b(a＜0)이다. 이 함수 f가 일대일 대응이 되도록 하는 두 상수 a, b에 대하여 a+b의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 일대일 대응이 되려면 정의역의 양 끝값이 공역의 양 끝값과 일치해야 합니다. $a < 0$이므로 감소함수이며, $f(-1) = 5$이고 $f(4) = -5$여야 합니다.
    ① [기본 공식] $f(-1) = -a + b = 5, f(4) = 4a + b = -5$
    ② [숫자 대입] $(4a + b) - (-a + b) = -5 - 5 \implies 5a = -10 \implies a = -2, b = 3$
    ③ [최종 결과] $a + b = -2 + 3 = 1$
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4. 다음 함수의 그래프 중에서 x축의 방향 또는 y축의 방향으로 평행이동하여 서로 겹칠 수 없는 것은?

(정답률: 알수없음)
  • 평행이동하여 겹칠 수 있으려면 함수의 기본 형태(모양)가 동일해야 합니다.
    그래프는 $y = \frac{2x+1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$ 형태의 유리함수로, 다른 보기들의 기본형인 $y = \frac{1}{x}$ 또는 $y = -\frac{1}{x}$와는 기울기(계수)가 달라 평행이동만으로는 겹칠 수 없습니다.
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5. x2+x+1=0, y4-y2+1=01일 때, x6-y6의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식을 변형하여 $x^{6}$과 $y^{6}$의 값을 각각 구합니다.
    $x^{2} + x + 1 = 0$의 양변에 $(x-1)$을 곱하면 $x^{3} - 1 = 0$이 되어 $x^{3} = 1$이므로 $x^{6} = 1$입니다.
    $y^{4} - y^{2} + 1 = 0$의 양변에 $(y^{2} + 1)$을 곱하면 $y^{6} + 1 = 0$이 되어 $y^{6} = -1$입니다.
    따라서 $x^{6} - y^{6} = 1 - (-1) = 2$입니다.
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6. 이차함수 y=x2-3x의 그래프와 직선 y=x+k가 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 k의 값의 범위는?

  1. k≤-8
  2. -8≤k≤-6
  3. -6≤k≤-4
  4. k≤-4
(정답률: 알수없음)
  • 이차함수와 직선이 적어도 한 점에서 만나려면, 두 식을 같게 놓은 이차방정식의 판별식이 0보다 크거나 같아야 합니다.
    ① [기본 공식] $D = b^{2} - 4ac \ge 0$
    ② [숫자 대입] $x^{2} - 3x = x + k \implies x^{2} - 4x - k = 0 \implies (-4)^{2} - 4(1)(-k) \ge 0$
    ③ [최종 결과] $16 + 4k \ge 0 \implies k \ge -4$
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7. x＞0일 때, 함수 의 최솟값은?

  1. -6
  2. -7
  3. -8
  4. -9
(정답률: 알수없음)
  • 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 $x + \frac{1}{x}$의 범위를 먼저 구한 뒤 이차함수의 최솟값을 찾는 문제입니다.
    $x > 0$일 때, $x + \frac{1}{x} \ge 2 \sqrt{x \times \frac{1}{x}} = 2$입니다.
    $t = x + \frac{1}{x}$로 치환하면 $y = t^2 - 2t - 6$ ($t \ge 2$)가 됩니다.
    이차함수 $y = (t-1)^2 - 7$은 $t=1$에서 최솟값을 가지나, 범위가 $t \ge 2$이므로 $t=2$일 때 최솟값을 갖습니다.
    $$y = 2^2 - 2(2) - 6$$
    $$y = 4 - 4 - 6$$
    $$y = -6$$
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8. 직선 3x-4y+1=0을 x축에 대하여 대칭이동한 직선이 원 (x-k)2+(y-2)2=16의 넓이를 이등분할 때, 상수 k의 값은?

  1. -2
  2. -3
  3. -4
  4. -5
(정답률: 알수없음)
  • 원 넓이를 이등분하는 직선은 반드시 원의 중심 $(k, 2)$를 지나야 합니다.
    직선 $3x-4y+1=0$을 $x$축에 대칭이동하면 $y$ 대신 $-y$를 대입하여 $3x+4y+1=0$이 됩니다.
    이 직선이 중심 $(k, 2)$를 지나야 하므로 대입하면 다음과 같습니다.
    $$3k + 4(2) + 1 = 0$$
    $$3k + 9 = 0$$
    $$k = -3$$
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9. 함수 에 대하여 의 값은?

  1. 4
  2. 9/2
  3. 5
  4. 11/2
(정답률: 알수없음)
  • 함수 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1} + 2x + 3}{x^{2n} + 1}$의 극한값을 구하는 문제입니다.
    1) $x \to 1^-$일 때, $x^{2n} \to 0$이므로 $f(x) \to \frac{0 + 2(1) + 3}{0 + 1} = 5$입니다.
    2) $x \to 2^+$일 때, $x^{2n}$이 지배적이므로 $f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1}}{x^{2n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x} = \frac{1}{2}$입니다.
    따라서 구하는 값은 다음과 같습니다.
    $$S = 5 + \frac{1}{2}$$
    $$S = \frac{11}{2}$$
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10. 다항함수 f(x)에 대하여 이 성립할 때, f(3)f′(3)의 값은?

  1. 15
  2. 20
  3. 25
  4. 30
(정답률: 알수없음)
  • 극한값이 존재하고 분모가 0으로 수렴하므로 분자 또한 0으로 수렴해야 합니다. 따라서 $f(3)=5$이며, 로피탈의 정리 또는 미분계수의 정의를 이용하여 극한값을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to 3} \frac{f(x)-5}{x^3-27} = \frac{f'(3)}{3 \times 3^2}$
    ② [숫자 대입] $\frac{1}{9} = \frac{f'(3)}{27}$
    ③ [최종 결과] $f'(3)=3$
    따라서 $f(3)f'(3) = 5 \times 3 = 15$입니다.
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11. 전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 A⊂B일 때, 다음 중 항상 성립하는 것은? (단, Ac은 A의 여집합)

  1. Ac∪B=ø
  2. A∩Bc=U
  3. A∩B=B
  4. Bc⊃Ac
(정답률: 알수없음)
  • 집합의 포함 관계와 여집합의 성질을 묻는 문제입니다. $A \subset B$이면 $B$의 여집합은 $A$의 여집합에 포함됩니다.
    핵심 원리: $A \subset B \iff B^{c} \subset A^{c}$ (또는 $A^{c} \supset B^{c}$) 이므로 $B^{c} \supset A^{c}$는 항상 성립합니다.

    오답 노트
    Ac∪B=ø: $A \subset B$일 때 $A^{c} \cup B = U$입니다.
    A∩Bc=U: $A \subset B$일 때 $A \cap B^{c} = \emptyset$입니다.
    A∩B=B: $A \subset B$일 때 $A \cap B = A$입니다.
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12. 부정적분 를 구하면?

  1. (단, C는 적분상수)
  2. x2+C(단, C는 적분상수)
  3. 2x2+C(단, C는 적분상수)
  4. (단, C는 적분상수)
(정답률: 알수없음)
  • 부정적분의 선형성과 전개식을 이용하여 적분 계산을 수행하는 문제입니다.
    ① [기본 공식] $\int (x+1)^{2} dx - \int (x-1)^{2} dx = \int \{(x+1)^{2} - (x-1)^{2}\} dx$
    ② [숫자 대입] 피적분함수를 전개하면 $$(x^{2} + 2x + 1) - (x^{2} - 2x + 1) = 4x$$ 이므로, $\int 4x dx$를 계산합니다.
    ③ [최종 결과] $\int 4x dx = 2x^{2} + C$
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13. 세 수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 -b, 4,8a 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, a+b의 값은? (단, b는 자연수)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 등차수열의 성질(중항)과 등비수열의 성질(중항)을 이용하여 연립방정식을 푸는 문제입니다.
    ① [기본 공식] 등차수열: $2b = a + c$, 등비수열: $$4^{2} = (-b) \times 8a$$
    ② [숫자 대입] 등비수열 식에서 $16 = -8ab$이므로 $ab = -2$입니다. $b$가 자연수이므로 가능한 조합은 $b=1, a=-2$ 또는 $b=2, a=-1$입니다. 이때 $a, b, c$가 등차수열을 이루어야 하므로 $c = 2b - a$가 성립합니다.
    ③ [최종 결과] $b=1, a=-2$일 때 $a+b = -1$ (오답), $b=2, a=-1$일 때 $a+b = 1$ (정답). 따라서 $$a+b = 1$$
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14. log35를 log35=n+α(n은 정수, 0≤α＜1)로 표현할 때, 9α의 값은?

  1. 5/3
  2. 25/9
(정답률: 알수없음)
  • 로그의 정의와 성질을 이용하여 소수 부분 $\alpha$를 표현하고 지수 법칙을 적용하는 문제입니다.
    ① [기본 공식] $\log_{3} 5 = n + \alpha \implies 5 = 3^{n+\alpha} = 3^{n} \times 3^{\alpha}$
    ② [숫자 대입] $3^{\alpha} = \frac{5}{3^{n}}$이므로, 구하고자 하는 $9^{\alpha}$는 $$(3^{\alpha})^{2} = (\frac{5}{3^{n}})^{2} = \frac{25}{9^{n}}$$
    ③ [최종 결과] $n$은 $\log_{3} 5$의 정수 부분이므로 $1$입니다. 따라서 $$9^{\alpha} = \frac{25}{9^{1}} = \frac{25}{9}$$
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15. 의 전개식에서 1/x2의 계수가 240일 때, 실수 a의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 이항정리를 이용하여 일반항을 구한 뒤, $x$의 지수가 $-2$가 되는 항의 계수를 찾아 $a$를 구하는 문제입니다.
    ① [기본 공식] $\binom{5}{r} (ax^{2})^{5-r} (-\frac{2}{x})^{r}$
    ② [숫자 대입] $x$의 지수가 $2(5-r) - r = -2$가 되어야 하므로 $10-3r = -2$, 즉 $r=4$입니다. 계수는 $$\binom{5}{4} a^{1} (-2)^{4} = 5 \times a \times 16 = 80a$$
    ③ [최종 결과] $80a = 240 \implies a = 3$
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16. 확률변수 X가 정규분포 (N120, 62)을 따를 때, 주어진 표준정규분포표를 이용하여 확률 P(117≤X≤132)를 구하면?

  1. 0.5328
  2. 0.6247
  3. 0.6687
  4. 0.4445
(정답률: 알수없음)
  • 확률변수 $X$가 $N(120, 6^2)$를 따를 때, 주어진 구간의 확률을 구하기 위해 표준화 $Z = \frac{X-120}{6}$를 수행합니다.
    ① [기본 공식] $P(z_1 \le Z \le z_2) = P(0 \le Z \le z_2) - P(0 \le Z \le z_1)$
    ② [숫자 대입] $P(\frac{117-120}{6} \le Z \le \frac{132-120}{6}) = P(-0.5 \le Z \le 2.0) = P(0 \le Z \le 0.5) + P(0 \le Z \le 2.0)$
    ③ [최종 결과] $0.1915 + 0.4772 = 0.6687$
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17. 이고 일 때, a+b의 값은?

  1. 5/2
  2. 3
  3. 7/2
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 무한대 분의 무한대 꼴의 극한과 루트가 포함된 극한값을 각각 구하여 합산하는 문제입니다.
    먼저 $a$는 최고차항의 계수비를 통해 구하고, $b$는 유리화를 통해 구합니다.
    ① [기본 공식] $a = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2}{2n^2}, \quad b = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2+2n-1}-n)$
    ② [숫자 대입] $a = \frac{3}{2}, \quad b = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+2n-1)-n^2}{\sqrt{n^2+2n-1}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{2n} = 1$
    ③ [최종 결과] $a+b = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$
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18. 부등식 x2+y2-2x2y≤0을 만족하는 실수 x, y에 대하여 x+y의 최댓값은?

  1. √2
  2. 2
  3. 2√25
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 부등식 $x^2 + y^2 - 2x - 2y \le 0$을 표준형으로 정리하면 $(x-1)^2 + (y-1)^2 \le 2$가 됩니다. 이는 중심이 $(1, 1)$이고 반지름이 $\sqrt{2}$ 인 원의 내부와 경계입니다.
    최댓값을 구하기 위해 $x+y=k$로 두고, 직선과 원이 접할 때 $k$가 최대가 됩니다.
    ① [기본 공식] $k = (x_0 + y_0) + \sqrt{2(r^2)}$
    ② [숫자 대입] $k = (1 + 1) + \sqrt{2(2)} = 2 + 2$
    ③ [최종 결과] $k = 4$
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19. 미분가능한 함수 f(x)가 을 만족시키고 f′(0)=12일 때, f(0)의 값은?

  1. -8
  2. -6
  3. -4
  4. -2
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 정적분 방정식의 양변을 $x$에 대해 미분하여 $f(x)$와 $f'(x)$의 관계식을 도출합니다.
    ① [기본 공식] $\int_{2}^{x} tf(t)dt = \frac{1}{2}x^2f(x) + x^4 - 2x^3$
    ② [숫자 대입] 양변 미분 시 $$xf(x) = xf(x) + \frac{1}{2}x^2f'(x) + 4x^3 - 6x^2$$
    정리하면 $0 = \frac{1}{2}x^2f'(x) + 4x^3 - 6x^2$
    $x=0$을 대입하면 식 성립 여부를 확인하고, $x$로 나누어 $f'(x)$를 구한 뒤 $f'(0)=12$ 조건을 활용합니다. 하지만 문제에서 요구하는 $f(0)$는 원식에 $x=2$를 대입하여 상수를 찾고 미분방정식을 푸는 과정이 필요합니다. 최종적으로 계산하면 $f(0)=-8$이 도출됩니다.
    ③ [최종 결과] $f(0) = -8$
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20. 함수 f(x)의 도함수 f′(x)가 f′(x)=6x2-8이고 f(0)=0일 때, 곡선 y=f(x)와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

  1. 12
  2. 16
  3. 20
  4. 24
(정답률: 알수없음)
  • 도함수를 적분하여 원함수를 구한 뒤, x축과 만나는 점을 찾아 정적분으로 넓이를 구합니다.
    ① [기본 공식] $f(x) = \int (6x^{2} - 8) dx = 2x^{3} - 8x + C$
    ② [숫자 대입] $f(0) = 0 \implies C = 0, f(x) = 2x(x^{2} - 4) \text{ 이므로 절편은 } x = 0, \pm 2$
    ③ [최종 결과] $2 \times \int_{0}^{2} |2x^{3} - 8x| dx = 2 \times [\frac{1}{2}x^{4} - 4x^{2}]_{2}^{0} = 2 \times |8 - 16| = 16$
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