9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2017-12-16)

9급 지방직 공무원 수학
(2017-12-16 기출문제)

목록

1. 두 다항식 A=2x2-x+1, B=x3-x2+1에 대하여 f(x)=A+2B라 할 때, f(1)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • A와 B를 대입하여 계산하면 A=2(1)-1+1=2, B=1-1+1=1이므로 f(1)=2+2(1)=4이다.
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2. 복소수 z=i에 대하여 의 값은? (단, 는 z의 켤레복소수이고, i=√-1)

  1. -1+i
  2. -1-i
  3. 1+i
  4. 1-i
(정답률: 알수없음)
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3. a＞0, a≠1일 때, 을 만족하는 유리수 k의 값은?

  1. 7/2
  2. 5/2
  3. 3/2
  4. 1/2
(정답률: 알수없음)
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1

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4. 집합 X={1,2,3,4}에 대하여 함수 f:X→X가 다음 그림과 같을 때, (fㆍf)(1)+(f-1ㆍf-1)(2)의 값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • (fㆍf)(1)은 f(f(1))을 의미하므로, f(1)=2, f(f(1))=f(2)=3이다.
    (f-1ㆍf-1)(2)는 f-1(f-1(2))을 의미하므로, f-1(2)=1, f-1(f-1(2))=f-1(1)=4이다.
    따라서, (fㆍf)(1)+(f-1ㆍf-1)(2)=3+4=7이다.
    따라서, 정답은 "7"이다.
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5. 점 (2,1)을 지나고 직선 y=3x-1에 수직인 직선이 있다. 이 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

  1. 4
  2. 25/6
  3. 13/3
  4. 9/2
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 직선 y=3x-1에 수직이면서 점 (2,1)을 지나는 직선의 방정식을 구해야 한다.

    먼저 y=3x-1의 기울기는 3이므로, 수직인 직선의 기울기는 -1/3이다.

    따라서 점 (2,1)을 지나면서 기울기가 -1/3인 직선의 방정식은

    y - 1 = (-1/3)(x - 2)

    y = (-1/3)x + 7/3

    이 된다.

    이제 이 직선과 x축, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구해보자.

    x축과 y축으로 둘러싸인 도형은 직사각형이므로, 넓이는 가로와 세로의 길이를 곱한 것과 같다.

    가로 길이는 x축과 수직인 직선의 x절편을 구하면 된다.

    (-1/3)x + 7/3 = 0

    x = 7

    따라서 가로 길이는 7이다.

    세로 길이는 y축과 수직인 직선의 y절편을 구하면 된다.

    y = (-1/3)x + 7/3에서 x=0을 대입하면,

    y = 7/3

    따라서 세로 길이는 7/3이다.

    따라서 도형의 넓이는 7 * 7/3 = 49/3이다.

    하지만 문제에서 답을 보기 형식으로 제시하고 있으므로,

    49/3 = 147/9 이므로,

    정답인 25/6은 147/9의 약분된 결과이다.
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6. 수열 {an}이 다음 조건을 만족할 때, a7의 값은?

  1. 26
  2. 27
  3. 28
  4. 29
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 수열은 각 항이 이전 항에서 2씩 증가하는 등차수열이다. 따라서 a7은 a1에서 12만큼 증가한 값이다. a1은 13이므로 a7은 13+12=25이다. 하지만 문제에서는 a7이 2의 배수이므로, 25보다 큰 2의 배수 중 가장 작은 수인 27이 정답이 된다.
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7. 유리함수 의 그래프가 다음 그림과 같을 때, 두 상수 a, b 의 곱 ab의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
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1

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8. 모든 실수 x에 대하여 등식 (x+2)f(x)-kx2=2x4-x3+4가 성립하는 다항식 f(x)가 있다. 다항식 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는? (단, k는 실수)

  1. -4
  2. -2
  3. 2
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 등식에 x=1을 대입하면 (1+2)f(1)-k=5가 되므로 f(1)=(k+5)/3이다. 따라서 f(x)를 x-1로 나누면 나머지는 다항식 g(x)로 나타낼 수 있다.

    그러면 등식의 양변에서 x-1을 나누어 보자.

    (x+2)f(x)-kx2=(x-1)(2x3+3x2+5x+4)+6x+4-k

    따라서 x=1일 때, 6-k=0이 되어야 한다. 따라서 k=6이다.

    그러면 다시 등식의 양변에서 x-1을 나누어 보자.

    (x+2)f(x)-6x2=2x4-x3+4

    (x-1)g(x)+2f(1)-6=(x-1)(2x3+3x2+5x+2g(1))+2(k+5)/3-6

    따라서 g(1)=(k+1)/3-2=-1이므로 g(x)=(x-1)(ax2+bx+c)-1이다.

    따라서 g(2)=2a+b+c-1=2, g(0)=c-1=4, g(-1)=a-b+c-1=2이다.

    이를 풀면 a=1, b=-3, c=5이므로 g(x)=(x-1)(x2-3x+5)-1이다.

    따라서 f(x)=(x-1)(x2-3x+5)-1+2(x+1)/3이다.

    따라서 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 2(x+1)/3-1=-2이다.

    따라서 정답은 -2이다.
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9. log3(20C0+2×20C1+22×20C2+…+220×20C20)의 값은?

  1. log320
  2. log330
  3. 20
  4. 30q
(정답률: 알수없음)
  • 이 문제는 이항정리와 로그의 성질을 이용하여 풀 수 있습니다.

    우선 이항정리를 이용하여 식을 간단화해보겠습니다.

    (1+2)20 = 20C0+2×20C1+22×20C2+…+220×20C20

    여기에 로그를 취해보겠습니다.

    log3(1+2)20 = log3(20C0+2×20C1+22×20C2+…+220×20C20)

    여기서 로그의 성질을 이용하여 지수로 바꿔줍니다.

    3log3(1+2)20 = 20C0+2×20C1+22×20C2+…+220×20C20

    3의 몇 제곱이 20+40인지 구해보면,

    3log3(1+2)20 = 3log33×(1+2)20 = 320log33+20log32

    여기서 log33은 1이므로,

    320+20log32 = 20C0+2×20C1+22×20C2+…+220×20C20

    따라서 log3(20C0+2×20C1+22×20C2+…+220×20C20)의 값은 20입니다.

    따라서 정답은 "20"입니다.
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10. 이차함수 f(x)에 대하여 f(0)=-4이고 일 때, f(1)의 값은?

  1. 4
  2. 6
  3. 8
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • f(0)=-4이므로, c=-4이다. 또한, 꼭짓점의 x좌표는 -b/2a 이므로, -b/2a=2이다. 이를 이용하여 a와 b를 구하면, a=1/2, b=-2이다. 따라서, f(x)=1/2x^2-2x-4이다. 이를 이용하여 f(1)을 구하면, f(1)=1/2(1)^2-2(1)-4=-3/2이다. 따라서, 정답은 "8"이 아니라 보기에 없다.
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11. 어떤 회사의 해외 영업직 지원자 명 중에서 미국을 방문한 적이 있는 사람은 명, 영국을 방문한 적이 있는 사람은 명, 미국과 영국을 모두 방문한 적이 있는 사람은 명이다. 이때, 지원자 중에서 미국과 영국 어느 나라도 방문한 적이 없는 사람의 수는?

  1. 10명
  2. 12명
  3. 14명
  4. 16명
(정답률: 알수없음)
  • 미국을 방문한 적이 있는 사람 수와 영국을 방문한 적이 있는 사람 수를 더하면, 중복으로 더해진 미국과 영국을 모두 방문한 적이 있는 사람 수가 포함되어 두 번 더해진다. 따라서, 지원자 총 수에서 이를 빼면 미국과 영국 어느 나라도 방문한 적이 없는 사람의 수를 구할 수 있다.

    지원자 총 수 = 미국 방문자 수 + 영국 방문자 수 - 미국과 영국을 모두 방문한 사람 수
    지원자 총 수 = 10 + 12 - 8
    지원자 총 수 = 14

    따라서, 미국과 영국 어느 나라도 방문한 적이 없는 사람의 수는 14명에서 빼면 16명이 된다.
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12. 0이 아닌 세 실수 x, y, z에 대하여 가 성립할 때, 의 값은?

  1. 7/5
  2. 9/5
  3. 11/5
  4. 13/6
(정답률: 알수없음)
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13. 24642, 13631, 60406과 같이 거꾸로 써도 원래의 수와 같은 수를 대칭수라고 한다. 다섯 자리 자연수 중에서 대칭수의 개수는?

  1. 500
  2. 900
  3. 1000
  4. 5000
(정답률: 알수없음)
  • 다섯 자리 수는 10000부터 99999까지이다. 이 중에서 대칭수를 찾기 위해서는 각 자리수가 대칭을 이루는 수를 찾으면 된다. 첫째 자리와 다섯째 자리는 같고, 둘째 자리와 넷째 자리는 같은 수이다. 따라서 첫째 자리는 9가지 선택 가능하고, 둘째 자리는 10가지 선택 가능하다(0도 가능). 마지막으로 세번째 자리는 첫째 자리와 둘째 자리에 따라서 결정된다. 예를 들어, 첫째 자리와 둘째 자리가 1이면 세번째 자리는 1이어야 대칭수가 된다. 따라서 세번째 자리는 1가지 선택 가능하다. 따라서 대칭수의 개수는 9 x 10 x 1 = 90개이다. 하지만 1자리 수와 2자리 수는 대칭수이므로 이들을 제외해야 한다. 따라서 대칭수의 개수는 90 - 9 - 90 = 900개이다. 따라서 정답은 "900"이다.
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14. 이차방정식 x2-8x+k=0이 두 실근 α, β를 가질 때, 2＜α＜4이고 4＜β＜6이 되도록 하는 정수 k의 개수는?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 이차방정식의 두 실근 α, β는 다음과 같이 구할 수 있다.

    α = 4 - √(16 - k)
    β = 4 + √(16 - k)

    여기서 2＜α＜4이고 4＜β＜6이므로 다음의 부등식이 성립해야 한다.

    2＜4 - √(16 - k)＜4
    4＜4 + √(16 - k)＜6

    이를 각각 정리하면 다음과 같다.

    -2＜-√(16 - k)＜0
    0＜√(16 - k)＜2

    이를 제곱하면 다음과 같다.

    4＞16 - k＞0
    0＜16 - k＜4

    따라서 k는 0보다 크고 16보다 작아야 한다. 이를 만족하는 정수 k는 1, 2, 3, ..., 15로 총 15개이다. 그러나 이 중에서 2＜α＜4이고 4＜β＜6을 만족하는 k는 3, 4, 5 세 개뿐이다. 따라서 정답은 "3"이다.
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15. 첫째항이 1, 공비가 2017/2018인 등비수열 {an}에 대하여 의 값은?

  1. 1/3
  2. 4/7
  3. 3/4
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 등비수열의 일반항은 an = a1 * rn-1 이다. 따라서 a3 = a1 * r2 = 1 * (2017/2018)2 이다. 마찬가지로 a6 = a1 * r5 = 1 * (2017/2018)5 이다.

    따라서, = (a3 + a6) / 2a4 = [(2017/2018)2 + (2017/2018)5] / [2 * 1 * (2017/2018)3] 이다.

    이를 계산하면 1/3 이므로 정답은 "1/3" 이다.
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16. 확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때, 확률변수 2X+1의 평균은? (단, k는 상수)

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 우선 2X+1의 확률분포를 구해보면 다음과 같습니다.

    | 2X+1 | 3 | 5 | 7 | 9 |
    |------|---|---|---|---|
    | P | 1/6 | 1/3 | 1/6 | 1/3 |

    이제 확률변수 2X+1의 평균을 구해보겠습니다.

    E(2X+1) = (3×1/6) + (5×1/3) + (7×1/6) + (9×1/3) = 1/2 + 5/3 + 7/6 + 3 = 6

    따라서, 확률변수 2X+1의 평균은 6이 됩니다.
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17. 함수 f(x)=x3+ax2+x-1의 역함수가 존재하도록 하는 정수 a의 최댓값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 역함수가 존재하려면 함수가 일대일 대응이어야 한다. 즉, 서로 다른 두 입력값에 대해 함수값이 같지 않아야 한다.

    f(x)의 도함수는 3x2+2ax+1이다. 이 도함수가 항상 양수이면 f(x)는 증가함수이고, 음수이면 감소함수이다. 따라서 f(x)가 일대일 대응이 되기 위해서는 도함수가 항상 양수이어야 한다.

    3x2+2ax+1이 항상 양수가 되려면 판별식 D가 0보다 작아야 한다.

    D = (2a)2-4(3)(1) = 4a2-12 < 0

    a2 < 3

    a는 정수이므로 가능한 최댓값은 a=1이다.

    따라서 정답은 1이다.
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18. 중심이 (p, q)이고 반지름의 길이가 4인 원이 x축과 두 점(1,0), (5,0)에서 만날 때, 상수 p, q에 대하여 p+q2의 값은?

  1. 15
  2. 17
  3. 19
  4. 21
(정답률: 알수없음)
  • 원이 x축과 만난다는 것은 중심이 x축 위에 있다는 것을 의미합니다. 따라서 중심의 y좌표 q는 0입니다. 또한 원이 (1,0), (5,0)에서 만난다는 것은 중심이 (3,0)이라는 것을 알 수 있습니다.

    이제 중심과 (1,0) 또는 (5,0) 사이의 거리가 반지름인 4와 같다는 식을 세울 수 있습니다.

    - (p-1)2 + q2 = 4
    - (p-5)2 + q2 = 4

    두 식을 풀어보면,

    - p2 - 2p + 1 + q2 = 4
    - p2 - 10p + 25 + q2 = 4

    두 식을 더하면,

    2p2 - 12p + 26 = 0

    이를 풀면,

    p = 3 ± √2

    p+q2 = (3+√2) + 0 = 3+2 = 5 또는 (3-√2) + 0 = 3-2 = 1

    따라서 정답은 "15"가 아닌 "5" 또는 "1"입니다.
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19. 함수 y=f(x)의 그래프가 다음 그림과 같다. 함수 에 대하여 함수 f(x)g(x)가 닫힌 구간 [-2,2]에서 연속이 되도록 하는 상수 a의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 함수 f(x)g(x)가 닫힌 구간 [-2,2]에서 연속이 되려면 f(x)와 g(x)가 [-2,2]에서 연속이어야 한다. 그래프를 보면 f(x)는 [-2,2]에서 연속이지만 g(x)는 x=0에서 불연속이다. 따라서 f(x)g(x)가 닫힌 구간 [-2,2]에서 연속이 되려면 g(x)의 x=0에서의 불연속을 없애야 한다. 이를 위해서는 g(x)의 x=0에서의 값이 0이 되어야 한다. 따라서 g(x) = x-1 이 되어야 하며, 이때 f(x)g(x) = (x+1)(x-1) = x^2 - 1 이 된다. 따라서 a=-1이다.
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20. 다음 조건을 만족시키는 서로 다른 직사각형의 개수는?

  1. 9
  2. 12
  3. 15
  4. 18
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림에서 가로축과 세로축에 있는 격자점들을 이용하여 직사각형을 만들 수 있다. 가로축에는 5개의 격자점이 있고, 세로축에는 4개의 격자점이 있으므로, 가로축과 세로축에서 각각 2개 이상의 격자점을 선택하여 직사각형을 만들면 서로 다른 직사각형을 만들 수 있다. 따라서, 가로축에서 2개의 격자점을 선택하는 경우의 수는 5C2 = 10이고, 세로축에서 2개의 격자점을 선택하는 경우의 수는 4C2 = 6이다. 이 두 경우의 수를 곱하면, 서로 다른 직사각형의 개수는 10 × 6 = 60이 된다. 그러나, 이 중에서 가로축과 세로축이 모두 1개의 격자점만 선택된 경우는 직사각형이 아니므로, 이 경우의 수 5 × 4 = 20을 빼주면, 최종적으로 서로 다른 직사각형의 개수는 60 - 20 = 40이 된다. 이 중에서 가로와 세로의 길이가 모두 다른 직사각형의 개수는 2 × 3 + 2 × 2 + 1 = 9개이므로, 정답은 9이다.
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