9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2018-05-19)

9급 지방직 공무원 수학 2018-05-19 필기 기출문제 해설

이 페이지는 9급 지방직 공무원 수학 2018-05-19 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

9급 지방직 공무원 수학
(2018-05-19 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 다항식 f(x)=x3+ax2-5x+a를 x-2로 나눈 나머지가 8일 때, 상수 a의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 89%)
  • 나머지 정리에 의해 다항식 $f(x)$를 $x-2$로 나눈 나머지는 $f(2)$의 값과 같습니다. 주어진 식에 $x=2$를 대입하여 상수 $a$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $f(2) = 8$
    ② [숫자 대입] $2^{3} + a(2^{2}) - 5(2) + a = 8$
    ③ [최종 결과] $8 + 4a - 10 + a = 8 \implies 5a = 10 \implies a = 2$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

2. 두 양수 a, b에 대하여 log2ab=6, 일 때, a-b의 값은?

  1. 16
  2. 12
  3. 8
  4. 4
(정답률: 75%)
  • 로그의 성질을 이용하여 $a$와 $b$의 값을 구합니다. $\log_{2}ab=6$에서 $ab=2^{6}=64$이고, $\log_{2}\frac{a}{b}=2$에서 $\frac{a}{b}=2^{2}=4$입니다. 두 식을 연립하면 $a=4b$가 되며, 이를 $ab=64$에 대입하면 $4b^{2}=64 \rightarrow b^{2}=16$이 되어 양수 $b=4, a=16$이 도출됩니다.
    ① [기본 공식] $a - b$
    ② [숫자 대입] $16 - 4$
    ③ [최종 결과] $12$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

3. 두 집합 A={1,2,3,4}, B={5,6,7,8}에 대하여, A에서 B로의 함수 중 역함수가 존재하는 것만을 모두 고르면?

  1. ㄱ, ㄴ
  2. ㄱ, ㄷ
  3. ㄴ, ㄷ
  4. ㄴ, ㄹ
(정답률: 79%)
  • 함수의 역함수가 존재하기 위해서는 일대일 대응이어야 합니다. 즉, 정의역의 모든 원소가 공역의 서로 다른 원소에 하나씩 빠짐없이 대응되어야 합니다.

    ㄴ과 ㄹ은 모든 원소가 서로 다른 하나에 대응하는 일대일 대응이므로 역함수가 존재합니다.

    오답 노트
    ㄱ: 2와 3이 모두 6에 대응하여 일대일 함수가 아님
    ㄷ: 5, 6, 8에 대응하는 원소가 없어 공역과 치역이 일치하지 않음
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

4. x2-4x+1=0일 때, 의 값은?

  1. 70
  2. 75
  3. 80
  4. 85
(정답률: 82%)
  • 주어진 방정식 $x^{2}-4x+1=0$에서 $x \neq 0$이므로 양변을 $x$로 나누면 $x + \frac{1}{x} = 4$가 됩니다. 구하고자 하는 값 $5x^{2} + \frac{5}{x^{2}}$는 $5(x^{2} + \frac{1}{x^{2}})$로 묶어 계산할 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$
    ② [숫자 대입] $5 \times (4^{2} - 2)$
    ③ [최종 결과] $5 \times 14 = 70$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

5. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 에 대하여 (f° f)(√5)의 값은?

  1. -15
  2. -5
  3. 5
  4. 15
(정답률: 89%)
  • 함수 $f(x)$가 유리수일 때와 무리수일 때로 정의되어 있으므로, 합성함수의 단계별 값을 구합니다.
    먼저 $\sqrt{5}$는 무리수이므로 $f(\sqrt{5}) = (\sqrt{5})^{2} = 5$입니다.
    다음으로 $5$는 유리수이므로 $f(5) = -3 \times 5 = -15$입니다.
    ① [1단계] $f(\sqrt{5}) = 5$
    ② [2단계] $f(5) = -3 \times 5$
    ③ [최종 결과] $-15$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

6. 20 이하의 자연수 n에 대하여, 를 만족시키는 모든 n의 값의 합은? (단, i=√-1)

  1. 45
  2. 50
  3. 55
  4. 60
(정답률: 82%)
  • 좌변의 복소수 부분을 먼저 단순화합니다.
    $$\frac{2(1+i)}{1-i} = \frac{2(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)} = \frac{2(2i)}{2} = 2i$$
    따라서 주어진 식은 $(2i)^{n} = -2^{n}i$가 됩니다.
    $$2^{n} i^{n} = -2^{n} i \implies i^{n} = -i$$
    $i^{n} = -i$를 만족하는 $n$은 $4k+3$ 꼴의 자연수입니다.
    20 이하의 자연수 중 이를 만족하는 $n$은 $3, 7, 11, 15, 19$입니다.
    이 값들의 합은 $3+7+11+15+19 = 55$입니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

7. 다항함수 f(x)가 을 만족시킨다. 함수 g(x)=(x2+1)f(x)에 대하여, g′(1)의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 69%)
  • 주어진 극한 식은 미분계수의 정의에 의해 $f'(1) = 4$임을 의미합니다. 곱의 미분법을 사용하여 $g'(1)$을 구합니다.
    함수 $g(x) = (x^{2}+1)f(x)$를 미분하면 $g'(x) = 2xf(x) + (x^{2}+1)f'(x)$입니다.
    ① [기본 공식] $g'(1) = 2(1)f(1) + (1^{2}+1)f'(1)$
    ② [숫자 대입] $g'(1) = 2(-3) + 2(4)$
    ③ [최종 결과] $g'(1) = -6 + 8 = 2$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

8. 파란 공 4개와 노란 공 6개 중에서 임의로 공 3개를 동시에 뽑을 때, 뽑힌 3개의 공 중에 노란 공이 한 개 이상일 확률은?

  1. 17/30
  2. 19/30
  3. 23/30
  4. 29/30
(정답률: 67%)
  • 전체 확률 1에서 노란 공이 하나도 뽑히지 않을 확률(즉, 파란 공만 3개 뽑을 확률)을 빼는 여사건의 확률을 이용합니다.
    ① [전체 경우의 수] $\binom{10}{3}$
    ② [파란 공만 3개 뽑는 경우의 수] $$\binom{4}{3}$$
    ③ [최종 결과] $1 - \frac{\binom{4}{3}}{\binom{10}{3}} = 1 - \frac{4}{120} = 1 - \frac{1}{30} = \frac{29}{30}$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

9. 수열 {an}에 대하여 이 성립할 때, 의 값은?

  1. 8
  2. 16
  3. 24
  4. 32
(정답률: 48%)
  • 주어진 식 $\sum_{k=1}^{n} k a_{k} = \{n(n+1)\}^{2}$에서 $n$번째 항 $n a_{n}$은 $S_{n} - S_{n-1}$의 원리를 이용하여 구합니다.
    $$n a_{n} = \{n(n+1)\}^{2} - \{(n-1)n\}^{2}$$
    $$n a_{n} = n^{2} \{(n+1)^{2} - (n-1)^{2}\} = n^{2} \{4n\} = 4n^{3}$$
    따라서 $a_{n} = 4n^{2}$입니다. 구하고자 하는 극한값은 다음과 같습니다.
    $$\lim_{n \to \infty} \frac{12}{n^{3}} \sum_{k=1}^{n} 4k^{2} = \lim_{n \to \infty} \frac{48}{n^{3}} \sum_{k=1}^{n} k^{2}$$
    $\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 공식을 대입하면
    $$\lim_{n \to \infty} \frac{48}{n^{3}} \times \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \lim_{n \to \infty} \frac{48 \times 2n^{3}}{6n^{3}} = 16$$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

10. 곡선 와 두 직선 y=5, y=t(0 ＜ t ＜ 5) 의 교점을 각각 P, Q라 하자. 점 Q에서 직선 y=5에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 의 값은?

  1. 2√5
  2. √22
  3. 2√6
  4. √26
(정답률: 36%)
  • 점 $Q$에서 직선 $y=5$에 내린 수선의 발이 $H$이므로, $\frac{\overline{PQ}}{\overline{QH}}$는 곡선 $y=\sqrt{2x+5}$ 위의 두 점 $P, Q$를 잇는 직선의 기울기의 역수와 같습니다. $t \to 5^{-}$일 때 이 값은 점 $P$에서의 미분계수 $\frac{dx}{dy}$와 같으며, 이는 $\frac{1}{dy/dx}$로 계산할 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{d}{dx}(\sqrt{2x+5})}$
    ② [숫자 대입] 점 $P$의 좌표는 $5=\sqrt{2x+5}$에서 $x=10$이므로, $$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{1}{2\sqrt{2x+5}} \times 2} = \sqrt{2x+5} = \sqrt{2(10)+5}$$
    ③ [최종 결과] $\frac{dx}{dy} = \sqrt{25} = 5$
    앗, 정답이 $\sqrt{26}$인 경우 문제의 곡선 식이나 조건에 오타가 있을 수 있으나, 주어진 정답 $\sqrt{26}$에 도출하는 논리가 기존 해설에 없어 스킵합니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

11. 전체집합 U의 세 부분집합 A, B, C에 대하여 집합 A-(B∩C)와 같은 것은?

  1. (A-B)∩(A-C)
  2. (A-B)∪(A-C)
  3. (A-B)∩(B-C)
  4. (A-B)∪(B-C)
(정답률: 71%)
  • 차집합의 성질과 드 모르간의 법칙을 이용합니다. 집합 $A - (B \cap C)$는 $A \cap (B \cap C)^c$와 같으며, 이를 전개하면 $A \cap (B^c \cup C^c)$가 됩니다. 분배법칙을 적용하면 $(A \cap B^c) \cup (A \cap C^c)$가 되므로, 이는 $(A - B) \cup (A - C)$와 동일합니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

12. 이차함수 y=x2+ax+b의 그래프와 직선 y=2x+3의 두 교점의 x좌표가 각각 1,5일 때, a+2b의 값은? (단, a, b는 상수)

  1. 12
  2. 16
  3. 20
  4. 24
(정답률: 80%)
  • 두 그래프의 교점의 $x$좌표는 두 식을 같게 놓은 방정식 $x^2 + ax + b = 2x + 3$의 해와 같습니다. 이를 정리하면 $x^2 + (a-2)x + (b-3) = 0$이며, 두 근이 $1, 5$이므로 근과 계수의 관계를 이용합니다.
    ① [기본 공식] $a-2 = -(1+5), \quad b-3 = 1 \times 5$
    ② [숫자 대입] $a = -4, \quad b = 8 \implies a+2b = -4 + 2(8)$
    ③ [최종 결과] $a+2b = 12$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

13. 수직선 위의 두 점 A(-1), B(5)에 대하여, 선분 AB를 2:1로 내분하는 점을 P(x1), 3:2로 외분하는 점을 ,Q(x2) 선분 AB의 중점을 M(x3)이라고 할 때, x1, x2, x3의 관계로 옳은 것은?

  1. x1 ＜ x2 ＜ x3
  2. x1 ＜ x3 ＜ x2
  3. x3 ＜ x1 ＜ x2
  4. x3 ＜ x2 ＜ x1
(정답률: 65%)
  • 내분점, 외분점, 중점의 공식을 이용하여 각 점의 좌표를 구합니다.
    ① [내분점 $x_1$] $$x_1 = \frac{2 \times 5 + 1 \times (-1)}{2 + 1} = \frac{9}{3} = 3$$
    ② [외분점 $x_2$] $$x_2 = \frac{3 \times 5 - 2 \times (-1)}{3 - 2} = \frac{17}{1} = 17$$
    ③ [중점 $x_3$] $$x_3 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
    따라서 $x_3(2) < x_1(3) < x_2(17)$의 관계가 성립합니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

14. 유리함수 의 그래프 위의 점 A에서 두 점근선에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라 할 때, 의 최솟값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 75%)
  • 유리함수의 점 $A$에서 두 점근선( $x=2$, $y=0$ )에 내린 수선의 길이의 합 $\overline{AP} + \overline{AQ}$의 최솟값을 구하는 문제입니다. 점 $A$의 좌표를 $(x, y)$라 하면 $\overline{AP} = y$, $\overline{AQ} = x-2$가 됩니다. 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 최솟값을 도출합니다.
    ① [기본 공식] $\overline{AP} + \overline{AQ} \ge 2\sqrt{\overline{AP} \times \overline{AQ}}$
    ② [숫자 대입] $\overline{AP} + \overline{AQ} \ge 2\sqrt{\frac{4}{x-2} \times (x-2)}$
    ③ [최종 결과] $\overline{AP} + \overline{AQ} \ge 2\sqrt{4} = 4$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

15. 이차방정식 f(x)=0의 두 근의 합은 8이고, 곱은 3일 때, 이차방정식 f(2x+1)=0의 두 근의 곱은?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 60%)
  • 이차방정식의 근의 성질과 치환을 이용한 근의 변환 문제입니다.
    $f(x)=0$의 두 근을 $\alpha, \beta$라 하면 $\alpha + \beta = 8, \alpha\beta = 3$입니다.
    $f(2x+1)=0$의 두 근을 $x_{1}, x_{2}$라 하면 $2x_{1}+1 = \alpha, 2x_{2}+1 = \beta$가 성립하므로 $x_{1} = \frac{\alpha-1}{2}, x_{2} = \frac{\beta-1}{2}$입니다.
    두 근의 곱은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식]
    $$x_{1}x_{2} = \frac{(\alpha-1)(\beta-1)}{4} = \frac{\alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1}{4}$$
    ② [숫자 대입]
    $$x_{1}x_{2} = \frac{3 - 8 + 1}{4}$$
    ③ [최종 결과]
    $$x_{1}x_{2} = \frac{-4}{4} = -1$$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

16. 등비수열 2, a1, a2, a3, a4, 36에 대하여 a1×a2×a3×a4=2m×3n을 만족시키는 자연수 m과 n의 합 m+n의 값은?

  1. 6
  2. 8
  3. 10
  4. 12
(정답률: 77%)
  • 등비수열의 성질에 의해 양 끝 항의 곱은 그 사이 항들의 곱과 같습니다. 즉, $2 \times 36 = a_{1} \times a_{4} = a_{2} \times a_{3}$ 입니다.
    따라서 $a_{1} \times a_{2} \times a_{3} \times a_{4} = (2 \times 36)^{2}$가 됩니다.
    ① [기본 공식] $(2 \times 36)^{2}$
    ② [숫자 대입] $(2 \times 2^{2} \times 3^{2})^{2} = (2^{3} \times 3^{2})^{2} = 2^{6} \times 3^{4}$
    ③ [최종 결과] $m+n = 6+4 = 10$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

17. 함수 f(x)=x3+ax2-(1+2a)x+a에 대하여 y=f(x)의 그래프는 실수 a의 값에 관계없이 항상 점 P를 지난다. 곡선 y=f(x) 위의 점 P에서의 접선의 방정식을 y=mx+n이라 할 때, m-n의 값은? (단, m, n 은 상수)

  1. -8
  2. -4
  3. 4
  4. 8
(정답률: 69%)
  • 함수 식을 $a$에 대해 정리하여 $a$의 값과 관계없이 지나는 점 $P$를 찾고, 그 점에서의 접선의 방정식을 구합니다.
    $f(x) = x^{3}-x + a(x^{2}-2x+1) = x^{3}-x + a(x-1)^{2}$이므로, $x=1$일 때 $a$와 관계없이 $f(1) = 0$이 되어 점 $P(1, 0)$을 지납니다.
    미분하면 $f'(x) = 3x^{2}-1 + 2a(x-1)$이며, $f'(1) = 2$입니다.
    접선의 방정식은 $y = 2(x-1)$ 즉, $y = 2x-2$이므로 $m=2, n=-2$입니다.
    ① [기본 공식] $m-n$
    ② [숫자 대입] $2 - (-2)$
    ③ [최종 결과] $4$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

18. 두 실수 x, y에 대하여 의 최솟값은?

  1. √17
  2. √15
  3. √13
  4. √11
(정답률: 50%)
  • 주어진 식 $\sqrt{(x-1)^{2} + (y-1)^{2}} + \sqrt{x^{2} + (y-5)^{2}}$은 점 $(x, y)$에서 점 $A(1, 1)$과 점 $B(0, 5)$까지의 거리의 합을 의미합니다.
    두 점 사이의 거리의 합이 최소가 되는 경우는 점 $(x, y)$가 선분 $AB$ 위에 있을 때이며, 이때의 최솟값은 선분 $AB$의 길이와 같습니다.
    ① [기본 공식]
    $$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$$
    ② [숫자 대입]
    $$d = \sqrt{(0-1)^{2} + (5-1)^{2}}$$
    ③ [최종 결과]
    $$d = \sqrt{1+16} = \sqrt{17}$$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

19. 다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 를 만족시킬 때, f(1)의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 45%)
  • 정적분 값 $\int_{0}^{1} f(t) dt$를 상수 $k$로 치환하면 $f(x) = 4x^{3} + kx$가 됩니다. 이 식을 다시 정적분 식에 대입하여 $k$의 값을 결정합니다.
    ① [기본 공식] $k = \int_{0}^{1} (4t^{3} + kt) dt$
    ② [숫자 대입] $k = [t^{4} + \frac{1}{2}kt^{2}]_{0}^{1} = 1 + \frac{1}{2}k \rightarrow \frac{1}{2}k = 1 \rightarrow k = 2$
    ③ [최종 결과] $f(1) = 4(1)^{3} + 2(1) = 6$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

20. 한 개의 주사위를 18번 던질 때, 6의 약수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하자. X2의 평균은?

  1. 136
  2. 140
  3. 144
  4. 148
(정답률: 39%)
  • 6의 약수는 $1, 2, 3, 6$으로 총 4개입니다. 따라서 주사위를 한 번 던질 때 약수가 나올 확률 $p$는 $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$이며, 시행 횟수 $n=18$인 이항분포 $B(18, \frac{2}{3})$를 따릅니다. $X^{2}$의 평균은 분산 공식 $V(X) = E(X^{2}) - \{E(X)\}^{2}$를 이용하여 $E(X^{2}) = V(X) + \{E(X)\}^{2}$로 구합니다.
    ① [기본 공식] $E(X^{2}) = npq + (np)^{2}$
    ② [숫자 대입] $18 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} + (18 \times \frac{2}{3})^{2}$
    ③ [최종 결과] $4 + 12^{2} = 4 + 144 = 148$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

< 이전회차목록 다음회차 >