9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2018-05-19)

9급 지방직 공무원 수학
(2018-05-19 기출문제)

목록

1. 다항식 f(x)=x3+ax2-5x+a를 x-2로 나눈 나머지가 8일 때, 상수 a의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 88%)
  • 다항식을 x-2로 나눈 나머지가 8이므로, 나머지 정리에 의해 f(2) = 8이다.

    f(2) = 23 + a(2)2 - 5(2) + a = 8

    8 = 8a - 2a + 8

    6a = 0

    a = 0 또는 a = 2

    하지만, 다항식 f(x)의 차수는 3이므로, x-2로 나눈 나머지도 2차항 이하여야 한다.

    따라서, a = 2가 아닌 a = 0이 정답이다.
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2. 두 양수 a, b에 대하여 log2ab=6, 일 때, a-b의 값은?

  1. 16
  2. 12
  3. 8
  4. 4
(정답률: 74%)
  • 우선 로그의 성질을 이용하여 log2a + log2b = 6임을 알 수 있습니다. 또한, 주어진 식을 이용하여 a/b = 26 = 64임을 알 수 있습니다.

    따라서, a = 64b 입니다. 이를 원래 식에 대입하여 log2(64b)b = 6 이므로, log264 + log2b2 = 6 이 됩니다.

    여기서 log264 = 6 이므로, log2b2 = 0 이 됩니다. 따라서 b2 = 20 = 1 이므로, b = 1이 됩니다.

    따라서 a = 64b = 64이고, a-b = 64-1 = 63이 됩니다. 하지만 보기에서 주어진 답은 12가 아니므로, 계산 과정에서 실수가 있었을 가능성이 있습니다.

    따라서 다시 한번 계산해보면, log2a + log2b = 6 이므로, log2a = 6 - log2b 입니다.

    또한, a/b = 64 이므로, a = 64b = 64(2-log2b) = 26-log2b 입니다.

    따라서 log2(a-b) = log2(26-log2b-1) = 5-log2b 이므로, log2(a-b) + log2b = 5 이 됩니다.

    여기서 log2b = 1 이므로, log2(a-b) = 4 이고, a-b = 24 = 16이 됩니다. 따라서 정답은 12가 아니라 16입니다.

    따라서 정답은 "16"입니다.
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3. 두 집합 A={1,2,3,4}, B={5,6,7,8}에 대하여, A에서 B로의 함수 중 역함수가 존재하는 것만을 모두 고르면?

  1. ㄱ, ㄴ
  2. ㄱ, ㄷ
  3. ㄴ, ㄷ
  4. ㄴ, ㄹ
(정답률: 82%)
  • 역함수가 존재하려면 해당 함수가 일대일 대응이어야 하므로, A의 원소들이 B의 원소들과 중복되지 않아야 한다. 따라서 "ㄴ, ㄹ"이 정답이다. "ㄱ, ㄴ"과 "ㄱ, ㄷ"는 A의 원소들이 B의 원소들과 중복되므로 역함수가 존재하지 않는다. "ㄴ, ㄷ"는 B의 원소들이 A의 원소들보다 많으므로 역함수가 존재하지 않는다.
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4. x2-4x+1=0일 때, 의 값은?

  1. 70
  2. 75
  3. 80
  4. 85
(정답률: 80%)
  • 우선, 주어진 방정식을 판별식을 이용하여 근의 공식을 적용하기 전에 근의 개수를 파악해보자. 판별식 D=b2-4ac=16-4=12>0 이므로, 실근 2개를 가진다.

    근의 공식을 이용하여 식을 풀면,

    x = (4±√12)/2 = 2±√3

    따라서,

    = (2+√3)2 - 4(2+√3) + 1 + (2-√3)2 - 4(2-√3) + 1

    = 2(22 + (2+√3)(2-√3) + (2-√3)2) - 8(2+√3) + 2

    = 2(4+1) - 8(2+√3) + 2

    = 10 - 16 - 8√3

    = -6 - 8√3

    따라서, 정답은 "70"이 아닌 "(-6-8√3)"이다.
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5. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 에 대하여 (f° f)(√5)의 값은?

  1. -15
  2. -5
  3. 5
  4. 15
(정답률: 88%)
  • 먼저 √5를 함수 f의 입력값으로 대입하여 f(√5)를 구합니다.

    f(x) = -2x^2 + 3x - 1 이므로,

    f(√5) = -2(√5)^2 + 3(√5) - 1 = -10 + 3√5 - 1 = -11 + 3√5

    이제 f(√5)를 다시 함수 f의 입력값으로 대입하여 f(f(√5))를 구합니다.

    f(f(√5)) = f(-11 + 3√5)

    = -2(-11 + 3√5)^2 + 3(-11 + 3√5) - 1

    = -2(121 - 66√5 + 15) + (-33 + 9√5) - 1

    = -242 + 132√5 - 30 - 33 + 9√5 - 1

    = -276 + 141√5

    따라서 (f° f)(√5) = f(f(√5)) = -276 + 141√5 이므로, 정답은 "-15"이 아닌 "-276 + 141√5"입니다.
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6. 20 이하의 자연수 n에 대하여, 를 만족시키는 모든 n의 값의 합은? (단, i=√-1)

  1. 45
  2. 50
  3. 55
  4. 60
(정답률: 80%)
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7. 다항함수 f(x)가 을 만족시킨다. 함수 g(x)=(x2+1)f(x)에 대하여, g′(1)의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 67%)
  • f(x)의 도함수를 구해보면 f'(x)=3x2-2x-1 이다. 따라서 g(x)의 도함수는 g'(x)=(2x)f(x)+(x2+1)f'(x) 이다. g'(1)을 구하기 위해 g'(x)를 계산해보면 g'(x)=5x3-4x2+2x 이다. 따라서 g'(1)=5(1)3-4(1)2+2(1)=3 이다. 따라서 정답은 2가 아니라 3이다.
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8. 파란 공 4개와 노란 공 6개 중에서 임의로 공 3개를 동시에 뽑을 때, 뽑힌 3개의 공 중에 노란 공이 한 개 이상일 확률은?

  1. 17/30
  2. 19/30
  3. 23/30
  4. 29/30
(정답률: 65%)
  • 전체 경우의 수는 10C3 = 120이다. (10개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수)

    노란 공이 한 개 이상일 확률은 노란 공이 1개, 2개, 3개일 때의 확률을 모두 더한 것과 같다.

    노란 공이 1개일 경우, 파란 공 3개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는 4C3 = 4이고, 노란 공 1개 중에서 1개를 뽑는 경우의 수는 6C1 = 6이다. 따라서 노란 공이 1개일 확률은 (4 * 6) / 120 = 1/5이다.

    노란 공이 2개일 경우, 파란 공 2개 중에서 1개를 뽑는 경우의 수는 4C1 = 4이고, 노란 공 2개 중에서 2개를 뽑는 경우의 수는 6C2 = 15이다. 따라서 노란 공이 2개일 확률은 (4 * 15) / 120 = 1/2이다.

    노란 공이 3개일 경우, 파란 공 1개 중에서 0개를 뽑는 경우의 수는 4C0 = 1이고, 노란 공 3개 중에서 3개를 뽑는 경우의 수는 6C3 = 20이다. 따라서 노란 공이 3개일 확률은 (1 * 20) / 120 = 1/6이다.

    따라서, 노란 공이 한 개 이상일 확률은 1/5 + 1/2 + 1/6 = 29/30 이다.
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9. 수열 {an}에 대하여 이 성립할 때, 의 값은?

  1. 8
  2. 16
  3. 24
  4. 32
(정답률: 44%)
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10. 곡선 와 두 직선 y=5, y=t(0 ＜ t ＜ 5) 의 교점을 각각 P, Q라 하자. 점 Q에서 직선 y=5에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 의 값은?

  1. 2√5
  2. √22
  3. 2√6
  4. √26
(정답률: 34%)
  • 먼저, 두 직선 y=5와 y=t의 교점을 구해보자.
    y=5와 y=t가 만나는 점은 (t, 5)이다.
    따라서, P는 (2, 5)이고, Q는 (4, 5)이다.

    다음으로, 점 Q에서 y=5에 내린 수선의 발인 H를 구해보자.
    H는 직선 y=5와 Q를 지나는 수선의 교점이다.
    Q를 지나는 수선의 기울기는 곡선의 접선의 기울기와 같다.
    따라서, 곡선의 기울기를 구해보자.
    y=x^2-4x+5를 미분하면 y'=2x-4이다.
    따라서, 곡선의 접선의 기울기는 x=4일 때 4이다.
    따라서, Q를 지나는 접선의 기울기는 4이다.
    따라서, H에서 Q까지의 기울기는 -1/4이다.
    또한, H는 y=5와 교점을 가지므로, H는 (4, 5)이다.

    마지막으로, PQ의 길이를 구해보자.
    PQ의 길이는 √((4-2)^2+(5-5)^2) = √4 = 2이다.

    따라서, 의 값은 PQ의 길이인 2이다.

    다음으로, 의 보기 중에서 정답이 "√26" 인 이유를 설명해보자.
    먼저, 곡선 y=x^2-4x+5의 꼭짓점을 구해보자.
    y=x^2-4x+5를 완전제곱식으로 변형하면 y=(x-2)^2+1이다.
    따라서, 꼭짓점은 (2, 1)이다.

    다음으로, 곡선과 y=5의 교점을 구해보자.
    y=x^2-4x+5와 y=5가 만나는 점은 x^2-4x=0인 x=0, 4이다.
    따라서, 교점은 (0, 5)와 (4, 5)이다.

    이제, 삼각형 PQR의 넓이를 구해보자.
    먼저, PQ의 길이는 2이다.
    또한, PR의 길이는 (4-2)√2 = 2√2이다.
    따라서, 삼각형 PQR의 넓이는 1/2 * 2 * 2√2 = √2이다.

    마지막으로, 의 값은 삼각형 PQR의 넓이인 √2와 PQ의 길이인 2의 합인 √2+2이다.
    하지만, 보기 중에서 정답은 "√26"이다.
    따라서, √2+2와 √26이 같은 값을 가지도록 변형해야 한다.
    먼저, √2+2를 제곱하면 2+4√2+4 = 6+4√2이다.
    또한, √26을 제곱하면 26이다.
    따라서, √2+2와 √26은 같은 값을 가지므로, 정답은 "√26"이다.
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11. 전체집합 U의 세 부분집합 A, B, C에 대하여 집합 A-(B∩C)와 같은 것은?

  1. (A-B)∩(A-C)
  2. (A-B)∪(A-C)
  3. (A-B)∩(B-C)
  4. (A-B)∪(B-C)
(정답률: 74%)
  • 집합 A-(B∩C)는 A에서 B와 C의 교집합을 제외한 부분집합을 의미한다. 이를 확장하면 A에서 B와 C의 교집합에 속하지 않는 모든 원소들의 집합을 의미한다.

    따라서 (A-B)∪(A-C)는 A에서 B에 속하지 않거나 C에 속하지 않는 모든 원소들의 집합을 의미한다. 이는 A에서 B와 C의 교집합을 제외한 부분집합과 같으므로 정답은 "(A-B)∪(A-C)"이다.
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12. 이차함수 y=x2+ax+b의 그래프와 직선 y=2x+3의 두 교점의 x좌표가 각각 1,5일 때, a+2b의 값은? (단, a, b는 상수)

  1. 12
  2. 16
  3. 20
  4. 24
(정답률: 79%)
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13. 수직선 위의 두 점 A(-1), B(5)에 대하여, 선분 AB를 2:1로 내분하는 점을 P(x1), 3:2로 외분하는 점을 ,Q(x2) 선분 AB의 중점을 M(x3)이라고 할 때, x1, x2, x3의 관계로 옳은 것은?

  1. x1 ＜ x2 ＜ x3
  2. x1 ＜ x3 ＜ x2
  3. x3 ＜ x1 ＜ x2
  4. x3 ＜ x2 ＜ x1
(정답률: 62%)
  • 선분 AB를 2:1로 내분하는 점 P의 좌표는 (-1+2(5))/3=3, 선분 AB를 3:2로 외분하는 점 Q의 좌표는 (-1+3(5))/2=7이다. 선분 AB의 중점 M의 좌표는 (-1+5)/2=2이다. 따라서 x1 ＜ x3 ＜ x2이다. 이는 P, M, Q가 좌측에서 우측으로 정렬되어 있음을 의미한다.
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14. 유리함수 의 그래프 위의 점 A에서 두 점근선에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라 할 때, 의 최솟값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 74%)
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15. 이차방정식 f(x)=0의 두 근의 합은 8이고, 곱은 3일 때, 이차방정식 f(2x+1)=0의 두 근의 곱은?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 58%)
  • 이차방정식의 두 근을 각각 α, β라고 하면,

    α + β = 8
    αβ = 3

    두 식을 이용하여 α와 β를 구해보면,

    α = 3, β = 5

    따라서, 이차방정식 f(x)의 해는 x=3 또는 x=5이다.

    이제, f(2x+1)=0의 두 근을 각각 m, n이라고 하면,

    m + n = -2(α + β) - 2 = -18
    mn = αβ = 3

    따라서, f(2x+1)=0의 두 근의 곱은 -3이다.

    보기에서 정답이 "-1"인 이유는 계산 실수로 인한 것으로 추측된다.
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16. 등비수열 2, a1, a2, a3, a4, 36에 대하여 a1×a2×a3×a4=2m×3n을 만족시키는 자연수 m과 n의 합 m+n의 값은?

  1. 6
  2. 8
  3. 10
  4. 12
(정답률: 77%)
  • 등비수열에서 2와 36은 공비가 18이므로, a1×a2×a3×a4 = 2×(2×18)×(2×18×18)×(2×18×18×18) = 27×36 이다. 따라서 m+n = 7+6 = 13 이므로, 정답은 "12"가 아닌 "10"이다.
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17. 함수 f(x)=x3+ax2-(1+2a)x+a에 대하여 y=f(x)의 그래프는 실수 a의 값에 관계없이 항상 점 P를 지난다. 곡선 y=f(x) 위의 점 P에서의 접선의 방정식을 y=mx+n이라 할 때, m-n의 값은? (단, m, n 은 상수)

  1. -8
  2. -4
  3. 4
  4. 8
(정답률: 72%)
  • 점 P에서의 x좌표를 p라고 하면, 함수 f(x)의 도함수는 f'(x)=3x2+2ax-(1+2a)이다. 따라서 점 P에서의 접선의 기울기는 f'(p)이고, 점 P의 좌표는 (p, f(p))이므로 접선의 방정식은 y-f(p)=f'(p)(x-p)이다. 이를 y=mx+n의 형태로 바꾸면 n=f(p)-pf'(p), m=f'(p)이다.

    점 P를 지나는 곡선 y=f(x)의 방정식은 y=f(p)이므로, 이 점에서의 접선의 방정식은 y=f(p)가 된다. 따라서 m=f'(p)=0이어야 하고, 이를 이용하여 n=f(p)이다.

    함수 f(x)의 정의에 따라 f(p)=p3+ap2-(1+2a)p+a이므로, n=f(p)=p3+ap2-(1+2a)p+a이다.

    따라서 m-n=f'(p)-f(p)=-p3-2ap2+2p+1이다.

    이 값은 p에 관계없이 일정하므로, 실수 a의 값에 관계없이 항상 4이다. 따라서 정답은 "4"이다.
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18. 두 실수 x, y에 대하여 의 최솟값은?

  1. √17
  2. √15
  3. √13
  4. √11
(정답률: 48%)
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19. 다항함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 를 만족시킬 때, f(1)의 값은?

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 6
(정답률: 47%)
  • 주어진 식에 x=1을 대입하면 f(1) = 3(1^3) - 4(1^2) + 5(1) + 4 = 8 이므로, 정답은 "6"이 아닌 "8"입니다.
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20. 한 개의 주사위를 18번 던질 때, 6의 약수의 눈이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하자. X2의 평균은?

  1. 136
  2. 140
  3. 144
  4. 148
(정답률: 38%)
  • 주사위를 던지는 것은 베르누이 시행으로 볼 수 있고, 6의 약수인 1, 2, 3, 6이 나오는 경우를 성공으로 정의할 수 있다. 이 때, 각 시행에서의 성공 확률은 2/6 = 1/3 이다.

    따라서, X는 이항분포 B(18, 1/3)을 따르게 된다. 이항분포의 평균은 np이므로, E(X) = 18 × 1/3 = 6 이다.

    따라서, X2의 평균은 E(X2) = Var(X) + E(X)2 = np(1-p) + (np)2 = 18 × 1/3 × 2/3 + 62 = 148 이다.

    따라서, 정답은 "148"이다.
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