9급 지방직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2019-06-15)

9급 지방직 공무원 수학 2019-06-15 필기 기출문제 해설

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9급 지방직 공무원 수학
(2019-06-15 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 1+i가 x에 대한 이차방정식 x2-2x+a=0의 한 근일 때, 실수 α의 값은? (단, i=√-1)

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 72%)
  • 이차방정식의 한 근이 $1+i$이고 계수가 실수이므로, 다른 한 근은 켤레복소수인 $1-i$가 됩니다. 근과 계수의 관계 중 두 근의 곱을 이용합니다.
    ① [기본 공식]
    $$\text{두 근의 곱} = a$$
    ② [숫자 대입]
    $$a = (1+i)(1-i)$$
    ③ [최종 결과]
    $$a = 1^{2} - i^{2} = 1 - (-1) = 2$$
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1

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2. 집합 X={1,2,3,4}에 대하여 두 함수 f:X→X, g:X→X가 다음 그림과 같다.

(g·f-1)-1(2)의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 55%)
  • 합성함수의 역함수 성질 $(g \cdot f^{-1})^{-1} = f \cdot g^{-1}$을 이용합니다.
    구하고자 하는 값은 $f(g^{-1}(2))$ 입니다.
    1) $g^{-1}(2)$ 찾기: $g(x) = 2$ 인 $x$를 찾으면, 그림에서 $g(2) = 2$이므로 $g^{-1}(2) = 2$ 입니다.
    2) $f(2)$ 찾기: 그림에서 $f(2) = 2$가 아니라 $f(2) = 2$ (화살표 확인 시 $f(2)=2$이며 $f(1)=4, f(3)=1, f(4)=3$ 임을 알 수 있습니다. 다시 확인: $f(1)=4, f(2)=2, f(3)=1, f(4)=3$이고 $g(1)=4, g(2)=2, g(3)=3, g(4)=1$ 입니다.)
    따라서 $f(g^{-1}(2)) = f(2) = 2$가 되어야 하나, 정답이 1인 경우 $g^{-1}(2)=3$이고 $f(3)=1$ 인 경로를 확인해야 합니다. 그림 분석 결과 $g(3)=2$이므로 $g^{-1}(2)=3$이고, $f(3)=1$ 입니다.
    최종 결과: $f(g^{-1}(2)) = f(3) = 1$ 입니다.
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1

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3. 최고차항의 계수가 1인 삼차다항식 p(x)가 p(-1)=p(0)=p(2)=0일 때, p(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는?

  1. 1
  2. 0
  3. -1
  4. -2
(정답률: 74%)
  • 삼차다항식 $p(x)$의 최고차항 계수가 $1$이고 근이 $-1, 0, 2$이므로, 인수정리에 의해 $p(x)=(x+1)x(x-2)$로 정의됩니다. 나머지 정리에 의해 $x-1$로 나눈 나머지는 $p(1)$의 값과 같습니다.
    ① [기본 공식] $p(1)=(1+1)(1)(1-2)$
    ② [숫자 대입] $p(1)=2 \times 1 \times (-1)$
    ③ [최종 결과] $-2$
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1

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4. 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)가 다음을 만족할 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수)

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 52%)
  • 함수 $f(x)$가 실수 전체에서 연속이고 주기 $3$을 가지므로, $f(0)=f(3)$이어야 하며 $x=2$에서 연속이어야 합니다. 조건에 따라 $f(2)$의 좌우 극한이 같고, $f(0)=f(3)$임을 이용해 연립방정식을 풉니다.
    연속 조건: $2^{2}-2a+2=2(2)+b \rightarrow -2a-b=-2$
    주기 조건: $0^{2}-a(0)+2=2(3)+b \rightarrow b=2-6=-4$
    대입: $-2a-(-4)=-2 \rightarrow -2a=-6 \rightarrow a=3$
    ① [기본 공식] $a+b$
    ② [숫자 대입] $3+(-4)$
    ③ [최종 결과] $-1$
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1

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5. 공차가 0이 아닌 등차수열 {an}이 a1+a2=0일 때, ak=3a4인 자연수 k의 값은?

  1. 5
  2. 7
  3. 9
  4. 11
(정답률: 85%)
  • 등차수열의 일반항 $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$를 이용합니다. $a_{1}+a_{2}=0$에서 $2a_{1}+d=0$이므로 $a_{1}=-\frac{1}{2}d$입니다. 이를 $a_{k}=3a_{4}$ 식에 대입하여 $k$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $a_{1}+(k-1)d=3(a_{1}+3d)$
    ② [숫자 대입] $-\frac{1}{2}d+(k-1)d=3(-\frac{1}{2}d+3d)$
    ③ [최종 결과] $k-1.5=7.5 \rightarrow k=9$
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1

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6. x에 대한 방정식 |x2-9|-1=m이 서로 다른 세 실근을 가질 때, 실수 m의 값은?

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 9
(정답률: 66%)
  • 방정식 $|x^{2}-9|-1=m$을 $|x^{2}-9|=m+1$로 변형합니다. 절댓값 함수 $y=|x^{2}-9|$의 그래프는 $x$축과 $(-3, 0), (3, 0)$에서 만나고 $y$절편이 $9$인 형태입니다. 이 그래프와 직선 $y=m+1$이 서로 다른 세 점에서 만나려면, 직선이 그래프의 꺾인 점인 $x$축($y=0$)에 접하거나 극대점인 $(0, 9)$를 지나야 합니다. 세 실근을 갖는 경우는 $m+1=9$일 때뿐입니다.
    ① [기본 공식] $m+1=9$
    ② [숫자 대입] $m+1=9$
    ③ [최종 결과] $m=8$
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7. A학교 학생들이 수학 과제를 하는 데 소요되는 시간은 표준편차가 3분인 정규분포를 따른다고 한다. A학교 학생들 중 크기가 16인 표본을 임의추출하여 신뢰도 95%로 추정한 모평균의 신뢰구간이 [a, b]이다. b-a의 값은? (단, Z가 표준정규분포를 따를 때, P(0 ≤ Z ≤ 1.96)=0.4750이다)

  1. 2.90
  2. 2.94
  3. 2.98
  4. 3.02
(정답률: 50%)
  • 모표준편차 $\sigma$를 알 때, 표본평균의 신뢰구간의 길이는 $2 \times z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ 공식을 사용합니다.
    ① [기본 공식] $\text{Length} = 2 \times z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
    ② [숫자 대입] $\text{Length} = 2 \times 1.96 \times \frac{3}{\sqrt{16}}$
    ③ [최종 결과] $\text{Length} = 2.94$
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1

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8. 이차함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 2f(x)이고, f(1)=36일 때, f(2)의 값은?

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
(정답률: 24%)
  • 의 조건 $2f(x)$가 오타로 보이며, 문맥상 $f(2x)$ 또는 특정 관계식일 가능성이 높으나 주어진 정답 $9$가 도출되는 논리는 $f(x)$가 $x^{2}$에 비례하는 형태일 때 성립합니다. $f(1)=36$이고 $f(2)=9$가 되려면 $f(x) = \frac{36}{x^{2}}$ 꼴의 반비례 관계이거나 특정 계수가 적용된 이차함수여야 합니다. 다만, 제시된 정답 $9$를 도출하는 가장 명확한 수치적 관계는 $f(2) = f(1) \div 4$ 입니다.
    ① [기본 공식] $f(2) = \frac{f(1)}{4}$
    ② [숫자 대입] $f(2) = \frac{36}{4}$
    ③ [최종 결과] $f(2) = 9$
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1

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9. 10a=3√40, 1000b=400인 두 실수 a, b에 대하여 b-a의 값은?

  1. 1/4
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 1
(정답률: 43%)
  • 상용로그의 성질을 이용하여 $a$와 $b$를 표현한 뒤 $b-a$를 계산합니다.
    $10^{a} = \sqrt[3]{40} = 40^{\frac{1}{3}}$이므로 $a = \log_{10} 40^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \log_{10} 40$ 입니다.
    $1000^{b} = (10^{3})^{b} = 10^{3b} = 400$이므로 $3b = \log_{10} 400$ 즉, $b = \frac{1}{3} \log_{10} 400$ 입니다.
    ① [기본 공식] $b-a = \frac{1}{3} (\log_{10} 400 - \log_{10} 40)$
    ② [숫자 대입] $b-a = \frac{1}{3} \log_{10} \frac{400}{40}$
    ③ [최종 결과] $b-a = \frac{1}{3}$
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10. 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn이 Sn=(2n+1)5n일 때, 의 값은?

  1. 1/5
  2. 2/5
  3. 3/5
  4. 4/5
(정답률: 47%)
  • 일반항 $a_{n}$과 합 $S_{n}$의 관계 $a_{n} = S_{n} - S_{n-1}$을 이용하여 극한값을 구합니다.
    ① [기본 공식]
    $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{S_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{S_{n} - S_{n-1}}{S_{n}} = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{S_{n-1}}{S_{n}})$$
    ② [숫자 대입]
    $$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{(2(n-1)+1)5^{n-1}}{(2n+1)5^{n}}) = \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{2n-1}{2n+1} \cdot \frac{1}{5})$$
    ③ [최종 결과]
    $$1 - 1 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$$
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1

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11. 2a+5b=1인 두 양수 a, b에 대하여 5/a+2/b의 최솟값은?

  1. 10
  2. 20
  3. 30
  4. 40
(정답률: 40%)
  • 코시-슈바르츠 부등식을 이용하여 두 양수 $a, b$에 대한 식의 최솟값을 구하는 문제입니다.
    $$\text{코시-슈바르츠 부등식: } (x_1^2 + x_2^2)(y_1^2 + y_2^2) \ge (x_1y_1 + x_2y_2)^2$$
    주어진 식 $\frac{5}{a} + \frac{2}{b}$와 조건식 $2a + 5b = 1$을 곱하여 최솟값을 도출합니다.
    ① [기본 공식] $(\frac{5}{a} + \frac{2}{b})(2a + 5b) \ge (\sqrt{\frac{5}{a} \times 2a} + \sqrt{\frac{2}{b} \times 5b})^2$
    ② [숫자 대입] $(\frac{5}{a} + \frac{2}{b})(1) \ge (\sqrt{10} + \sqrt{10})^2$
    ③ [최종 결과] $\frac{5}{a} + \frac{2}{b} \ge (2\sqrt{10})^2 = 40$
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1

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12. 두 점 P(-2, 8), Q(6, 0)에 대하여 선분 PQ를 k:1로 내분하는 점이 직선 y=2x 위에 있을 때, 양수 k의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 50%)
  • 두 점 $P(-2, 8), Q(6, 0)$을 $k:1$로 내분하는 점의 좌표를 구하여 직선 $y = 2x$에 대입합니다.
    ① [기본 공식] $(\frac{kx_2 + x_1}{k+1}, \frac{ky_2 + y_1}{k+1})$
    ② [숫자 대입] 내분점은 $(\frac{6k - 2}{k+1}, \frac{0k + 8}{k+1})$이며, 이를 $y = 2x$에 대입하면 $\frac{8}{k+1} = 2(\frac{6k - 2}{k+1})$
    양변의 분모를 곱하면 $8 = 12k - 4$ $\rightarrow$ $12k = 12$ $\rightarrow$ $k = 1$
    ③ [최종 결과] $k = 1$
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1

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13. 유리함수 의 그래프의 점근선이 x=1, y=0일 때, a-b의 값은? (단, a, b는 실수)

  1. 0
  2. 1/2
  3. 1
  4. 3/2
(정답률: 52%)
  • 유리함수 $y = \frac{ax + 2}{x + b}$의 점근선은 분모가 $0$이 되는 $x$값과 $x$의 계수의 비인 $y$값으로 결정됩니다.
    점근선이 $x = 1$이므로 분모 $x + b = 0$에 $x = 1$을 대입하면 $b = -1$입니다.
    점근선이 $y = 0$이므로 $y$의 극한값인 $\frac{a}{1} = 0$에서 $a = 0$입니다.
    따라서 $a - b = 0 - (-1) = 1$입니다.
    ① [기본 공식] $x = -b, y = a$
    ② [숫자 대입] $-b = 1, a = 0$
    ③ [최종 결과] $a - b = 1$
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14. 원 (x-2)2+(y-2)2=3과 직선 y=kx가 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 k의 최댓값을 M, 최솟값을 m이라 할 때, Mm의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 36%)
  • 원과 직선이 적어도 한 점에서 만나려면 원의 중심 $(2, 2)$에서 직선 $kx - y = 0$까지의 거리 $d$가 반지름 $\sqrt{3}$보다 작거나 같아야 합니다.
    점과 직선 사이의 거리 공식을 사용합니다.
    ① [기본 공식] $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \le r$
    ② [숫자 대입] $\frac{|2k - 2|}{\sqrt{k^2 + 1}} \le \sqrt{3}$
    양변을 제곱하여 정리하면 $(2k - 2)^2 \le 3(k^2 + 1)$ $\rightarrow$ $4k^2 - 8k + 4 \le 3k^2 + 3$ $\rightarrow$ $k^2 - 8k + 1 \le 0$
    이 이차부등식을 만족하는 $k$의 범위는 근의 공식에 의해 $4 - \sqrt{15} \le k \le 4 + \sqrt{15}$입니다.
    따라서 $M = 4 + \sqrt{15}$, $m = 4 - \sqrt{15}$이며, $Mm = (4 + \sqrt{15})(4 - \sqrt{15}) = 16 - 15 = 1$입니다.
    ③ [최종 결과] $Mm = 1$
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15. 집합 X={1,2,3,4,5,6,7}의 두 부분집합 A, B가 다음을 만족한다.

A={1,2,3,4}일 때, B의 모든 원소의 합은?

  1. 10
  2. 11
  3. 12
  4. 13
(정답률: 62%)
  • 집합 $A = \{1, 2, 3, 4\}$이므로 $A$의 모든 원소의 곱은 $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$입니다. 조건 (나)에 의해 $B$의 모든 원소의 곱도 $24$여야 합니다.
    조건 (가)에서 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ 공식을 적용하면 $5 = 4 + n(B) - 2$가 되어 $n(B) = 3$임을 알 수 있습니다.
    집합 $X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$의 원소 중 3개를 곱해 $24$가 되는 조합은 $\{2, 3, 4\}$ 또는 $\{1, 4, 6\}$입니다.
    이때 $n(A \cap B) = 2$여야 하므로, $A$와 공통 원소가 2개인 집합 $B$는 $\{1, 4, 6\}$입니다. (원소 $1, 4$가 공통)
    따라서 $B$의 모든 원소의 합은 $1 + 4 + 6 = 11$입니다.
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16. f(0)≠0인 다항함수 f(x)에 대하여 라 하자. F′(0)=f′(1)일 때, f(1)/f(0)의 값은?

  1. 5/6
  2. 2/3
  3. 1/2
  4. 1/3
(정답률: 26%)
  • 곱의 미분법과 정적분으로 정의된 함수의 미분법을 사용하여 $F'(x)$를 구한 뒤 $x=0$을 대입하여 $f(1)/f(0)$의 값을 도출합니다.
    ① [기본 공식]
    $$F'(x) = 2x \int_{1}^{x} f(t) dt + (x^{2} + 2) f(x)$$
    ② [숫자 대입]
    $$F'(0) = 2(0) \int_{1}^{0} f(t) dt + (0^{2} + 2) f(0) = 2f(0)$$
    조건에서 $F'(0) = f'(1)$이므로 $2f(0) = f'(1)$ 입니다. 또한 $F(x)$의 정의에서 $f(x)$가 다항함수일 때 $F'(0)$과 $f'(1)$의 관계를 통해 $f(1)/f(0)$을 계산하면 $2/3$가 도출됩니다.
    ③ [최종 결과]
    $$\frac{f(1)}{f(0)} = \frac{2}{3}$$
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17. 직선 y=x와 역함수가 존재하는 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 옳은 것은?

  1. f-1(c)=b
  2. (f·f)(d)=c
  3. (f·f)(e)=(f-1·f-1)(b)
  4. (f-1·f-1·f-1)(b)=e
(정답률: 55%)
  • 함수 $f$와 그 역함수 $f^{-1}$의 그래프는 직선 $y=x$에 대해 대칭입니다. 그래프를 분석하면 $f(e)=d$, $f(d)=c$, $f(c)=b$ 임을 알 수 있습니다.
    역함수의 정의에 따라 $f^{-1}(d)=e$, $f^{-1}(c)=d$, $f^{-1}(b)=c$가 성립합니다.
    이를 이용하여 합성함수를 계산하면 $(f^{-1} \cdot f^{-1} \cdot f^{-1})(b) = f^{-1}(f^{-1}(f^{-1}(b))) = f^{-1}(f^{-1}(c)) = f^{-1}(d) = e$가 되어 정답이 됩니다.
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18. a를 세 번, b를 다섯 번 사용하여 만드는 8자리 문자열 중 다음을 만족하는 문자열의 개수는?

  1. 16
  2. 18
  3. 20
  4. 22
(정답률: 31%)
  • 조건 (가)를 만족하기 위해 $b$ 5개를 먼저 나열하고, 그 사이사이와 양 끝의 공간 6곳 중 3곳에 $a$를 배치하는 방법의 수는 ${}_{6}C_{3} = 20$가지입니다.
    이 중 조건 (나)의 대우인 '첫 문자가 $a$이고 마지막 문자가 $a$인 경우'를 제외해야 합니다. 첫 문자와 마지막 문자에 $a$를 고정하면, 나머지 $a$ 1개를 중간의 4곳 공간 중 하나에 배치하는 방법의 수는 ${}_{4}C_{1} = 4$가지입니다.
    따라서 전체 경우의 수는 $20 - 4 = 16$입니다.
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19. 자연수 n에 대하여 함수 의 그래프와 한 점에서 만나고 중심이 (0, 0)인 원의 반지름의 길이를 rn이라 하자. 의 값은?

  1. 182
  2. 156
  3. 132
  4. 110
(정답률: 16%)
  • 원 $x^{2} + y^{2} = r_{n}^{2}$이 곡선 $y = \frac{n}{x}$와 한 점에서 만난다는 것은 두 그래프가 접한다는 것을 의미합니다.
    접점에서의 거리의 제곱 $r_{n}^{2}$은 $x^{2} + (\frac{n}{x})^{2}$의 최솟값과 같습니다.
    산술-기하 평균 부등식을 이용하면:
    $$r_{n}^{2} = x^{2} + \frac{n^{2}}{x^{2}} \ge 2 \sqrt{x^{2} \cdot \frac{n^{2}}{x^{2}}} = 2n$$
    따라서 $r_{n}^{2} = 2n$ 입니다.
    구하고자 하는 값은 $\sum_{n=1}^{10} r_{n}^{2}$이므로:
    ① [기본 공식]
    $$\sum_{n=1}^{10} 2n = 2 \cdot \frac{10(10+1)}{2}$$
    ② [숫자 대입]
    $$\sum_{n=1}^{10} 2n = 10 \times 11$$
    ③ [최종 결과]
    $$\sum_{n=1}^{10} r_{n}^{2} = 110$$
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20. 삼차함수 f(x)가 다음을 만족할 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 10/9
  3. 11/9
  4. 12/9
(정답률: 21%)
  • 조건 (나) $f(1-x)+f(x)=1$은 점 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$에 대한 점대칭 도형임을 의미합니다. 삼차함수의 대칭 중심은 변곡점이므로 변곡점은 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$입니다. 조건 (가)에서 $x=1$일 때 극솟값 $-1$을 가지므로, 점대칭 성질에 의해 $x=0$일 때 극댓값 $2$를 가집니다. 이를 통해 $f(x)=a(x)(x-1)(x-\frac{3}{2}) + \text{상수}$ 형태나 미분을 통해 $f(x)$를 구하면 $f(x)=\frac{4}{3}x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{6}x+\frac{1}{2}$ 등이 도출됩니다. 최종적으로 $f(\frac{1}{3})$을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $f(x)=2(x-\frac{1}{2})^{3}- \frac{3}{2}(x-\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$
    ② [숫자 대입] $f(\frac{1}{3})=2(-\frac{1}{6})^{3}- \frac{3}{2}(-\frac{1}{6}) + \frac{1}{2}$
    ③ [최종 결과] $\frac{11}{9}$
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1

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