9급 지방직 공무원 서울시 수학 필기 기출문제복원 (2017-06-24)

9급 지방직 공무원 서울시 수학 2017-06-24 필기 기출문제 해설

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9급 지방직 공무원 서울시 수학
(2017-06-24 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 두 함수 f(x)=ax+2, g(x)=2x에 대하여 (f∘g)(4)=(g∘f)(3)일 때, 상수 a의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 합성함수의 정의를 이용하여 좌변과 우변의 값을 각각 구한 뒤, 상수 $a$에 대한 방정식을 풉니다.
    ① [기본 공식] $(f \circ g)(4) = (g \circ f)(3)$
    ② [숫자 대입] $f(g(4)) = g(f(3)) \implies f(8) = g(3a+2) \implies 8a+2 = 2(3a+2)$
    ③ [최종 결과] $8a+2 = 6a+4 \implies 2a = 2 \implies a = 1$
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1

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2. 역함수가 존재하는 함수 f가 f(3x-1)=9x-5를 만족시킬 때, f(1)+f-1(1)의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 함수 식에 적절한 값을 대입하여 $f(1)$을 구하고, 역함수의 성질 $f(a)=b \iff f^{-1}(b)=a$를 이용하여 $f^{-1}(1)$을 구합니다.
    $3x-1=1$일 때 $x=\frac{2}{3}$이므로, $f(1) = 9(\frac{2}{3}) - 5 = 1$입니다.
    또한 $f(1)=1$이므로 역함수의 정의에 의해 $f^{-1}(1)=1$입니다.
    따라서 $f(1) + f^{-1}(1) = 1 + 1 = 2$입니다.
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3. 100 이하의 자연수 중에서 3으로 나누었을 때, 나머지가 2인 모든 수의 합은?

  1. 1644
  2. 1646
  3. 1648
  4. 1650
(정답률: 알수없음)
  • 첫째항이 2이고 공차가 3인 등차수열의 합 공식을 이용합니다. 100 이하에서 마지막 항은 $3 \times 32 + 2 = 98$이므로 항의 개수 $n$은 33개입니다.
    ① [기본 공식] $S_n = \frac{n(a + l)}{2}$
    ② [숫자 대입] $S_{33} = \frac{33(2 + 98)}{2}$
    ③ [최종 결과] $S_{33} = 1650$
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4. 어느 학교 80명의 학생이 영어, 수학 두 과목의 특기적성 중 적어도 한 과목을 신청하였다. 영어를 신청한 학생이 54명, 수학을 신청한 학생이 47명일 때, 수학만 신청한 학생의 수는?

  1. 23명
  2. 26명
  3. 29명
  4. 32명
(정답률: 알수없음)
  • 두 집합의 합집합 원소 수 공식을 이용하여 교집합(두 과목 모두 신청) 인원을 먼저 구한 뒤, 수학 신청자에서 교집합 인원을 제외하여 수학만 신청한 학생 수를 구합니다.
    ① [기본 공식] $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
    ② [숫자 대입] $80 = 54 + 47 - n(A \cap B)$
    ③ [최종 결과] $n(A \cap B) = 21$
    따라서 수학만 신청한 학생 수는 $47 - 21 = 26$명입니다.
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5. x=41/6 + 4-1/6 일 때, 2x3-6x의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구합니다.
    $x = 4^{1/6} + 4^{-1/6}$일 때, 양변을 세제곱하여 $x^3$의 값을 먼저 찾습니다.
    ① [기본 공식]
    $$x^3 = (a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$$
    ② [숫자 대입]
    $$x^3 = (4^{1/6})^3 + (4^{-1/6})^3 + 3(4^{1/6} \times 4^{-1/6})(4^{1/6} + 4^{-1/6}) = 4^{1/2} + 4^{-1/2} + 3x = 2 + \frac{1}{2} + 3x$$
    ③ [최종 결과]
    $$2x^3 - 6x = 2(2.5 + 3x) - 6x = 5 + 6x - 6x = 5$$
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6. 1이 아닌 양수 a, b에 대하여, 등식 가 성립할 때, a의 값은?

  1. 5
  2. 6
  3. 7
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 로그의 밑 변환 공식 $\frac{1}{\log_{x}y} = \log_{y}x$를 이용하여 주어진 식을 정리합니다.
    $$\log_{b}2 + \log_{b}4 + \log_{b}8 = 2\log_{b}a$$
    좌변을 로그의 성질로 합치면 $\log_{b}(2 \times 4 \times 8) = \log_{b}64$가 됩니다.
    $$\log_{b}64 = \log_{b}a^{2}$$
    따라서 $a^{2} = 64$이며, $a$는 양수이므로 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $a = \sqrt{64}$
    ② [숫자 대입] $a = 8$
    ③ [최종 결과] $8$
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7. 함수 f(x)에 대하여 f(x)=x2+x+1 일 때, 의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 함수의 극한과 미분계수의 정의를 이용하여 풀이합니다.
    주어진 식 $\lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x^3 - 1}$에서 $f(x) = x^2 + x + 1$이므로 $f'(x) = 2x + 1$입니다.
    ① [기본 공식]
    $$\lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x^3 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) - f(1)}{x^2 - 1} \times \frac{x^2 - 1}{x^3 - 1}$$
    ② [숫자 대입]
    $$\lim_{x \to 1} \frac{(x^2)^2 + x^2 + 1 - (1^2 + 1 + 1)}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x^4 + x^2 - 2}{(x-1)(x^2 + x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)(x^2+2)}{(x-1)(x^2 + x + 1)}$$
    ③ [최종 결과]
    $$\frac{(1+1)(1^2+2)}{1^2+1+1} = \frac{2 \times 3}{3} = 2$$
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8. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 f(x)=x2+ax에 대하여 일 때, 상수 a의 값은?

  1. -1
  2. 1
  3. 3
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 극한 식은 미분계수의 정의에 의해 $2f'(3) = 10$, 즉 $f'(3) = 5$를 의미합니다.
    함수 $f(x)=x^{2}+ax$를 미분하면 $f'(x)=2x+a$입니다. $f'(3)=6+a=5$에서 $a=-1$이 도출됩니다.
    ① [기본 공식] $f'(3) = 2(3)+a$
    ② [숫자 대입] $5 = 6+a$
    ③ [최종 결과] $a = -1$
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9. x≠1인 모든 실수 x에서 연속인 함수 f(x)가 을 만족시킬 때, f(-1)의 값은?

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. 3/4
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 함수 $f(x)$가 $x=-1$에서 연속이므로, 주어진 식의 양변에 $x \to -1$의 극한을 취하여 값을 구합니다.
    ① [기본 공식] $(x^3 + 1)f(x) = \frac{x}{x-1} - \frac{x^2}{2}$
    ② [숫자 대입] $\lim_{x \to -1} (x^3 + 1)f(x) = \lim_{x \to -1} (\frac{x}{x-1} - \frac{x^2}{2}) = \frac{-1}{-2} - \frac{1}{2} = 0$
    이 식만으로는 $f(-1)$을 바로 알 수 없으므로, 우변을 통분하여 $(x+1)$ 인수를 찾아 약분합니다.
    $$\frac{2x - x^2(x-1)}{2(x-1)} = \frac{-x^3 + x^2 + 2x}{2(x-1)} = \frac{-x(x-2)(x+1)}{2(x-1)}$$
    따라서 $f(x) = \frac{-x(x-2)(x+1)}{2(x-1)(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{-x(x-2)}{2(x-1)(x^2-x+1)}$$
    ③ [최종 결과] $$f(-1) = \frac{-(-1)(-1-2)}{2(-1-1)((-1)^2-(-1)+1)} = \frac{-3}{2(-2)(3)} = \frac{-3}{-12} = \frac{1}{4}$$
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10. 함수 f(x)가 임의의 실수 x에 대하여 를 만족시킬 때, f(3)의 값은?

  1. 14
  2. 18
  3. 22
  4. 26
(정답률: 알수없음)
  • 정적분으로 정의된 함수가 포함된 식 $f(x) = x^3 - x + \int_{0}^{2} f(t)dt$에서 정적분 값 $\int_{0}^{2} f(t)dt$를 상수 $C$로 치환합니다.
    $f(x) = x^3 - x + C$이므로, 이를 다시 적분식에 대입합니다.
    $\int_{0}^{2} (t^3 - t + C)dt = [\frac{1}{4}t^4 - \frac{1}{2}t^2 + Ct]_{0}^{2} = 4 - 2 + 2C = 2 + 2C$
    따라서 $C = 2 + 2C$가 되어 $C = -2$ 입니다.
    함수식은 $f(x) = x^3 - x - 2$가 되며, $f(3)$의 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $f(3) = 3^3 - 3 + C$
    ② [숫자 대입] $f(3) = 27 - 3 - 2$
    ③ [최종 결과] $f(3) = 22$
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11. f(x)=x4+4x-a2+4a+8 일 때, 모든 실수 x에 대하여 부등식 f(x)＞0 이 항상 성립하기 위한 모든 정수 a값의 합은?

  1. 10
  2. 11
  3. 12
  4. 13
(정답률: 알수없음)
  • 모든 실수 $x$에 대해 $f(x) > 0$이려면 $f(x)$의 최솟값이 0보다 커야 합니다. $f'(x) = 4x^3 + 4 = 4(x^3 + 1) = 4(x+1)(x^2-x+1)$이므로 $x = -1$에서 최솟값을 갖습니다.
    최솟값 $f(-1) = (-1)^4 + 4(-1) - a^2 + 4a + 8 = -a^2 + 4a + 5 > 0$이어야 합니다.
    이차부등식을 풀면 $a^2 - 4a - 5 < 0 \Rightarrow (a-5)(a+1) < 0$이므로 $-1 < a < 5$ 입니다.
    만족하는 정수 $a$는 $0, 1, 2, 3, 4$이며, 이들의 합은 $0+1+2+3+4 = 10$ 입니다.
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12. 좌표평면 위의 두 점 P(0, -6), Q(2, -4)와 원 x2+y2=2 위의 임의의 한 점 R을 꼭짓점으로 하는 삼각형 PQR이 있을 때, 삼각형 PQR의 넓이의 최솟값은?

  1. 4
  2. 4√2
  3. 8
  4. 8√2
(정답률: 알수없음)
  • 삼각형의 넓이가 최소가 되려면 밑변 $PQ$와 점 $R$ 사이의 거리가 최소가 되어야 합니다. 밑변 $PQ$의 길이는 $\sqrt{(2-0)^2 + (-4-(-6))^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ 입니다.
    직선 $PQ$의 방정식은 $y = x - 6$ 즉, $x - y - 6 = 0$ 입니다. 원 $x^2 + y^2 = 2$의 중심 $(0,0)$에서 직선까지의 거리 $d = \frac{|0-0-6|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ 입니다.
    점 $R$까지의 최소 거리 $h = 3\sqrt{2} - \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$ (원 반지름 $\sqrt{2}$ 제외)
    ① [기본 공식] $S = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}$
    ② [숫자 대입] $S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2\sqrt{2}$
    ③ [최종 결과] $S = 4$
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13. z=2/(1+i) 일 때, z2-2z+3 의 값은?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 복소수의 연산과 식의 대입을 통해 값을 구합니다.
    먼저 $z$를 실수화하여 간단히 정리한 후 주어진 식에 대입합니다.
    ① [기본 공식]
    $$z = \frac{2}{1+i} = \frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{2(1-i)}{2} = 1-i$$
    ② [숫자 대입]
    $$z^2 - 2z + 3 = (1-i)^2 - 2(1-i) + 3 = (1 - 2i + i^2) - 2 + 2i + 3$$
    ③ [최종 결과]
    $$1 - 2i - 1 - 2 + 2i + 3 = 1$$
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14. 삼차 이상의 다항식 f(x)를 x-1로 나눈 나머지는 5, (x-2)2 으로 나눈 나머지는 x+3이다. f(x)를 (x-1)(x-2)2으로 나눈 나머지를 R(x)라고 할 때 R(2)의 값은?

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 나머지 정리와 다항식의 나눗셈 원리를 이용합니다.
    $f(x)$를 $(x-1)(x-2)^2$으로 나눈 나머지를 $R(x)$라고 하면, $R(x)$는 최대 2차식이며 $(x-2)^2$으로 나눈 나머지가 $x+3$이어야 합니다.
    ① [기본 공식]
    $$R(x) = a(x-2)^2 + x + 3$$
    ② [숫자 대입]
    $f(1) = 5$이므로 $R(1) = a(1-2)^2 + 1 + 3 = 5$에서 $a + 4 = 5$, 즉 $a = 1$입니다.
    따라서 $R(x) = 1(x-2)^2 + x + 3$입니다.
    ③ [최종 결과]
    $$R(2) = 1(2-2)^2 + 2 + 3 = 5$$
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15. 두 곡선 y=x2-4x+3, y=-x2+8x-13 이 점 P(a, b)에 대하여 대칭일 때, a+b의 값은? (단, a, b는 상수이다.)

  1. 0
  2. 2
  3. 4
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 두 이차함수가 점 $P(a, b)$에 대해 대칭이라면, 점 $P$는 두 포물선의 꼭짓점을 잇는 선분의 중점과 같습니다.
    첫 번째 곡선의 꼭짓점은 $(2, -1)$이고, 두 번째 곡선의 꼭짓점은 $(4, 3)$ 입니다.
    중점 공식에 의해 $a$와 $b$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $a = \frac{x_1+x_2}{2}, b = \frac{y_1+y_2}{2}$
    ② [숫자 대입] $a = \frac{2+4}{2} = 3, b = \frac{-1+3}{2} = 1$
    ③ [최종 결과] $a+b = 3+1 = 4$
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1

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16. 다항식 (x2+2x)(x2+2x-2)-3 을 인수분해하면 (x+a)2(x-1)(x+b) 일 때, ab의 값은?

  1. -3
  2. -1
  3. 1
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • 공통부분을 치환하여 식을 단순화한 후 인수분해를 진행합니다.
    $x^2+2x = t$로 치환하면 식은 $t(t-2)-3 = t^2-2t-3$이 됩니다.
    이를 인수분해하면 $(t-3)(t+1)$이며, 다시 $t$를 원래 식으로 되돌립니다.
    $(x^2+2x-3)(x^2+2x+1) = (x+3)(x-1)(x+1)^2$
    제시된 형태 $(x+a)^2(x-1)(x+b)$와 비교하면 $a=1, b=3$ 입니다.
    ① [기본 공식] $ab = 1 \times 3$
    ② [숫자 대입] $ab = 3$
    ③ [최종 결과] $ab = 3$
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17. x에 대한 이차부등식 x2-4x+4-k2 ≤ 0 의 정수인 해의 합이 14일 때, 자연수 k의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 이차부등식을 완전제곱식 형태로 정리하여 해의 범위를 구한 뒤, 정수 해의 합이 14가 되는 $k$ 값을 찾습니다.
    부등식을 정리하면 $(x-2)^2 \le k^2$이며, 이는 $2-k \le x \le 2+k$가 됩니다.
    정수 해는 $2-k, \dots, 2, \dots, 2+k$로 2를 중심으로 대칭인 구조입니다.
    해의 개수는 $2k+1$ 개이며, 이들의 합은 중앙값인 2에 개수를 곱한 값입니다.
    ① [기본 공식] $\text{합} = 2 \times (2k+1)$
    ② [숫자 대입] $14 = 2 \times (2k+1)$
    ③ [최종 결과] $k = 3$
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1

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18. 똑같은 사탕 8개를 똑같은 접시 4개에 나누어 담는 방법의 수는? (단, 각 접시에는 적어도 한 개의 사탕을 담는다.)

  1. 4
  2. 5
  3. 6
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 똑같은 물건을 똑같은 상자에 나누어 담는 문제는 중복조합이 아니라 '분할'의 개념으로 접근해야 합니다. 각 접시에 적어도 한 개씩 담아야 하므로, 먼저 4개의 접시에 사탕을 1개씩 배분하고 남은 4개의 사탕을 4개의 접시에 나누어 담는 경우의 수를 구합니다.
    사탕 4개를 4개의 접시에 나누어 담는 방법(자연수 분할)은 다음과 같습니다.
    1) 4 (한 접시에 몰아주기)
    2) 3+1
    3) 2+2
    4) 2+1+1
    5) 1+1+1+1
    따라서 총 경우의 수는 5가지입니다.
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19. 서로 구별되지 않는 12개의 노트를 A, B, C 세 명에게 모두 나누어 주려고 한다. A에게는 적어도 1개, B에게는 적어도 3개, C에게는 적어도 2개의 노트를 나누어 주는 방법의 수는?

  1. 21
  2. 28
  3. 35
  4. 42
(정답률: 알수없음)
  • 중복조합을 이용하여 서로 구별되지 않는 물건을 나누는 방법의 수를 구합니다.
    이미 나누어 준 개수를 제외한 나머지 노트를 배분하는 문제로 변환합니다.
    ① [기본 공식]
    $$nHr = (n+r-1)Cr$$
    ② [숫자 대입]
    전체 12개에서 A(1개), B(3개), C(2개)를 미리 주면 남은 노트는 $12 - (1+3+2) = 6$개입니다.
    $$3H6 = (3+6-1)C6 = 8C6 = 8C2$$
    ③ [최종 결과]
    $$\frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$$
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1

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20. 어느 학급은 남학생 20명, 여학생 16명으로 이루어져 있다. 이 학급의 모든 학생은 중국어와 일본어 중 한 과목만 수업을 받는다고 한다. 남학생 중에서 중국어 수업을 받는 학생은 12명이고, 여학생 중에서 일본어 수업을 받는 학생은 10명이다. 이 학급에서 선택된 한 학생이 중국어 수업을 받는다고 할 때, 이 학생이 남학생일 확률은?

  1. 1/6
  2. 1/3
  3. 1/2
  4. 2/3
(정답률: 알수없음)
  • 조건부 확률의 정의를 이용하여 중국어 수업을 받는 전체 학생 수 중 남학생이 차지하는 비율을 구합니다.
    중국어 수업 학생 수: 남학생 12명 + 여학생 ($16 - 10$)명 = 18명
    ① [기본 공식] $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)}$
    ② [숫자 대입] $P = \frac{12}{18}$
    ③ [최종 결과] $P = \frac{2}{3}$
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