9급 지방직 공무원 서울시 수학 필기 기출문제복원 (2018-06-23)

9급 지방직 공무원 서울시 수학 2018-06-23 필기 기출문제 해설

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9급 지방직 공무원 서울시 수학
(2018-06-23 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 의 값은?

  1. √2
  2. 2
  3. 2√2
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 거듭제곱근의 성질을 이용하여 지수 형태로 변환하여 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = a^{\frac{1}{nm}}$
    ② [숫자 대입] $(16^{\frac{1}{4} \times \frac{1}{3}}) \times (16^{\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}) = 16^{\frac{1}{12}} \times 16^{\frac{1}{6}} = 16^{\frac{1}{12} + \frac{2}{12}} = 16^{\frac{3}{12}} = 16^{\frac{1}{4}}$
    ③ [최종 결과] $16^{\frac{1}{4}} = 2$
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2. 두 다항식 A=3x2+2xy+6y2, B=x2-xy+5y2에 대하여 X-3(A+2B)=2A를 만족하는 다항식 X를 ax2+bxy+cy2이라 할 때, a+b+c의 값은? (단, a, b, c는 상수이다.)

  1. 85
  2. 86
  3. 87
  4. 88
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 식 $X-3(A+2B)=2A$를 $X$에 대해 정리하면 $X = 5A + 6B$가 됩니다. 각 다항식을 대입하여 $X$의 계수를 구합니다.
    $$X = 5(3x^{2}+2xy+6y^{2}) + 6(x^{2}-xy+5y^{2})$$
    $$X = (15+6)x^{2} + (10-6)xy + (30+30)y^{2}$$
    $$X = 21x^{2} + 4xy + 60y^{2}$$
    따라서 $a=21, b=4, c=60$이며, 구하는 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $a+b+c$
    ② [숫자 대입] $21+4+60$
    ③ [최종 결과] $85$
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3. 삼차방정식 x3-x2-6x+2=0 의 세 근을 α, β, ϒ라 할 때, (α-1)(β-1)(ϒ-1) 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 삼차방정식의 근과 계수의 관계 또는 다항식의 함숫값을 이용합니다.
    방정식 $P(x) = x^3 - x^2 - 6x + 2 = 0$의 세 근이 $\alpha, \beta, \gamma$일 때, $P(x) = (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$로 나타낼 수 있습니다.
    구하고자 하는 값 $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)$은 $-(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)$와 같으며, 이는 $-P(1)$의 값과 같습니다.
    $$P(1) = 1^3 - 1^2 - 6(1) + 2 = 1 - 1 - 6 + 2 = -4$$
    따라서 $(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1) = -(-4) = 4$입니다.
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4. 수열 {an}에 대하여 일 때, 의 값은?

  1. 9
  2. 12
  3. 15
  4. 18
(정답률: 알수없음)
  • 급수가 수렴하면 일반항의 극한값은 $0$이어야 한다는 성질을 이용합니다.
    주어진 급수 $\sum_{n=1}^{\infty} (a_n - \frac{3n+5}{n+1}) = 1$이 수렴하므로, $\lim_{n \to \infty} (a_n - \frac{3n+5}{n+1}) = 0$입니다.
    따라서 $\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{3n+5}{n+1} = 3$입니다.
    구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
    $$\lim_{n \to \infty} (a_n^2 + 2a_n) = 3^2 + 2(3) = 9 + 6 = 15$$
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5. 일대일대응인 두 함수 f, g에 대하여 f(x+3)=2g(x)이고 f-1(6)=4일 때, g-1(3)의 값은?

  1. 1
  2. 3
  3. 4
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 역함수의 정의와 주어진 함수 관계식을 이용하여 값을 도출합니다.
    먼저 $f^{-1}(6)=4$이므로 $f(4)=6$입니다.
    주어진 식 $f(x+3)=2g(x)$에 $x=1$을 대입하면 $f(4)=2g(1)$이 됩니다.
    따라서 $6=2g(1)$에서 $g(1)=3$이 성립합니다.
    역함수의 정의에 의해 $g(1)=3$이면 $g^{-1}(3)=1$입니다.
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6. 라 할 때, 7A의 값은?

  1. 6
  2. 8
  3. 10
  4. 12
(정답률: 알수없음)
  • 거듭제곱의 합의 극한 공식에 따라 $n$차 거듭제곱의 합의 최고차항 계수는 $\frac{1}{n+1}$입니다. 분자와 분모의 최고차항 계수만을 비교하여 극한값을 구할 수 있습니다.
    ① [기본 공식] $A = \frac{\frac{1}{6+1}}{\frac{1}{2+1} \times \frac{1}{3+1}}$
    ② [숫자 대입] $A = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}}$
    ③ [최종 결과] $A = \frac{1}{7} \times 12 = \frac{12}{7}$
    따라서 $7A$의 값은 다음과 같습니다.
    $$7A = 7 \times \frac{12}{7} = 12$$
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7. 실수 x에 대하여 두 조건 p, q를 각각 라 할 때, p는 q이기 위한 필요조건이 되도록 하는 자연수 a의 최댓값은?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • p가 q이기 위한 필요조건이 되려면 $p \Rightarrow q$가 성립해야 하므로, $p$의 진리집합이 $q$의 진리집합의 부분집합이어야 합니다.
    조건 $p: (x-3)(x+2) \ge 0$의 해는 $x \le -2$ 또는 $x \ge 3$입니다.
    조건 $q: |x-8| < a$의 해는 $8-a < x < 8+a$입니다.
    p의 모든 원소가 q에 포함되려면, p의 범위가 q의 범위 안에 완전히 들어가야 하는데, p는 무한한 범위를 가지므로 일반적인 상황에서는 불가능합니다. 하지만 문제의 의도는 p의 특정 영역이 q에 포함되는 것이 아니라, $p \Rightarrow q$가 성립하기 위한 $a$의 범위를 묻는 것입니다. (실제로는 $q \Rightarrow p$가 성립해야 $p$가 필요조건이 됩니다.)
    즉, $8-a < x < 8+a$ 범위의 모든 $x$가 $x \le -2$ 또는 $x \ge 3$을 만족해야 합니다.
    따라서 $8-a \ge 3$이어야 합니다.
    $$a \le 5$$
    이를 만족하는 자연수 $a$의 최댓값은 $5$입니다.
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8. logx=-3/2 일 때, x3은 소수점 아래 a째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나고, x5은 소수점 아래 b째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다. a+b의 값은?

  1. 11
  2. 12
  3. 13
  4. 14
(정답률: 알수없음)
  • 상용로그의 지표(정수 부분)가 $-n$일 때, 소수점 아래 $n$번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타납니다.
    먼저 $\log x = -1.5$이므로 $x^3$과 $x^5$의 로그값을 구합니다.
    $$\log x^3 = 3 \times (-1.5) = -4.5 = -5 + 0.5$$
    $$\log x^5 = 5 \times (-1.5) = -7.5 = -8 + 0.5$$
    따라서 $x^3$은 소수점 아래 5번째 자리에서, $x^5$는 소수점 아래 8번째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타나므로 $a=5, b=8$입니다.
    $$\text{결과: } a + b = 5 + 8 = 13$$
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9. 점 (3, 1)에서 원 x2+y2-2x-8y+16=0 에 그은 두 접선의 기울기를 각각 m1, m2라고 할 때, m1+m2의 값은?

  1. -4
  2. -8/3
  3. 8/3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 원 $x^2+y^2-2x-8y+16=0$을 표준형으로 고치면 $(x-1)^2+(y-4)^2=1$입니다. 점 $(3, 1)$을 지나는 접선의 기울기를 $m$이라 하면 직선의 방정식은 $y-1=m(x-3)$입니다.
    ① [기본 공식] 원의 중심 $(1, 4)$에서 직선 $mx-y-3m+1=0$까지의 거리가 반지름 $1$과 같아야 함
    ② [숫자 대입] $\frac{|m(1)-4-3m+1|}{\sqrt{m^2+1}} = 1 \implies |-2m-3| = \sqrt{m^2+1} \implies 4m^2+12m+9 = m^2+1$
    ③ [최종 결과] $3m^2+12m+8=0 \implies m_1+m_2 = -\frac{12}{3} = -4$
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10. 유리함수 y=1/x(x＞0) 의 그래프 위의 점 P(a, b)와 직선 y=-x사이의 거리가 3일 때, a2+b2 의 값은?

  1. 1
  2. 4
  3. 9
  4. 16
(정답률: 알수없음)
  • 점 $P(a, b)$가 $y=1/x$ 위에 있으므로 $b=1/a$이며, 점과 직선 $x+y=0$ 사이의 거리 공식을 이용합니다.
    $$\frac{|a+b|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} = 3$$ 에서 $|a+1/a| = 3\sqrt{2}$입니다. 양변을 제곱하면 $a^{2}+2+1/a^{2} = 18$, 즉 $a^{2}+1/a^{2} = 16$입니다.
    구하는 값은 $a^{2}+b^{2} = a^{2}+(1/a)^{2}$이므로 $16$이 됩니다.
    ① [기본 공식] $a^{2}+b^{2} = a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$
    ② [숫자 대입] $18-2$
    ③ [최종 결과] $16$
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11. 연립방정식 을 만족하는 실수 x, y에 대하여 xy의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 첫 번째 식을 인수분해하여 $x$와 $y$의 관계를 찾은 뒤 두 번째 식에 대입합니다.
    $$2x^{2}+xy-y^{2} = (2x-y)(x+y) = 0$$ 이므로 $y=2x$ 또는 $y=-x$입니다.
    $y=2x$를 $x^{2}-y^{2}=-3$에 대입하면 $x^{2}-4x^{2}=-3$, 즉 $3x^{2}=3$에서 $x^{2}=1$입니다. 이때 $xy = x(2x) = 2x^{2} = 2$가 됩니다.
    ① [기본 공식] $xy = x(2x)$
    ② [숫자 대입] $2(1)$
    ③ [최종 결과] $2$
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12. 함수 가 모든 실수 x에서 연속일 때, k+f(1)+f(2)의 값은?

  1. 2
  2. 5
  3. 8
  4. 11
(정답률: 알수없음)
  • 함수가 모든 실수에서 연속이려면 경계점 $k$에서 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.
    $$x^{2}+2x-1 = -\frac{3}{2}x^{2}+12x-11$$ 를 풀면 $x=2$ 또는 $x=4$가 나옵니다. $k=2$일 때 $f(1)=2, f(2)=7$이 되어 $k+f(1)+f(2) = 2+2+7 = 11$이 성립합니다. (단, $k=4$일 때는 조건 불충족)
    ① [기본 공식] $k+f(1)+f(2)$
    ② [숫자 대입] $2+2+7$
    ③ [최종 결과] $11$
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13. 부등식 을 만족하는 정수 x의 개수는?

  1. 4개
  2. 5개
  3. 6개
  4. 7개
(정답률: 알수없음)
  • 절댓값 기호를 포함한 부등식 $|2x-1| > x^2-3x-1$을 풀기 위해 범위를 나누어 분석합니다.
    1) $x \ge \frac{1}{2}$ 일 때: $2x-1 > x^2-3x-1 \Rightarrow x^2-5x < 0 \Rightarrow 0 < x < 5$. 범위 내 정수는 $1, 2, 3, 4$입니다.
    2) $x < \frac{1}{2}$ 일 때: $-(2x-1) > x^2-3x-1 \Rightarrow x^2-x-2 < 0 \Rightarrow (x-2)(x+1) < 0 \Rightarrow -1 < x < 2$. 범위 내 정수는 $0$입니다.
    따라서 만족하는 정수 $x$는 $\{-1 < x < 5\}$ 범위의 정수 중 $x=0, 1, 2, 3, 4$로 총 5개입니다.
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14. 확률변수 X의 확률분포가 다음 표와 같을 때, X의 분산은? (단, a는 상수이다.)

  1. 1
  2. 1/2
  3. 1/4
  4. 1/6
(정답률: 알수없음)
  • 확률의 총합은 1이라는 성질을 이용해 상수 $a$를 구한 뒤, 평균과 분산을 계산합니다.
    먼저 $a$를 구하면 $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 0 + a = 1$에서 $a = \frac{1}{6}$ 입니다.
    평균 $E(X)$는 다음과 같습니다.
    $$E(X) = (0 \times \frac{1}{3}) + (1 \times \frac{1}{2}) + (2 \times 0) + (3 \times \frac{1}{6}) = 1$$
    분산 $V(X)$는 '제곱의 평균 - 평균의 제곱' 공식을 사용합니다.
    ① [기본 공식]
    $$V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$$
    ② [숫자 대입]
    $$V(X) = (0^2 \times \frac{1}{3} + 1^2 \times \frac{1}{2} + 2^2 \times 0 + 3^2 \times \frac{1}{6}) - 1^2$$
    ③ [최종 결과]
    $$V(X) = (0 + \frac{1}{2} + 0 + \frac{3}{2}) - 1 = 1$$
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1

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15. 다음 ＜보기＞의 수열 {an}중에서 수렴하는 것을 모두 고른 것은?

  1. ㄱ
  2. ㄱ, ㄴ
  3. ㄴ, ㄷ
  4. ㄱ, ㄷ
(정답률: 알수없음)
  • 수열의 극한값이 일정하게 존재하면 수렴하고, 진동하거나 발산하면 발산합니다.
    ㄱ. $a_{n} = \frac{1}{n^{2}+1}$은 $n$이 커질수록 $0$에 수렴합니다.
    ㄴ. $a_{n} = \frac{1+(-1)^{n}}{2}$는 $n$이 홀수일 때 $0$, 짝수일 때 $1$이 반복되어 진동하므로 발산합니다.
    ㄷ. $a_{n} = \begin{cases} 0 & (n=1,3,5, \dots) \\ \frac{1}{2^{n}} & (n=2,4,6, \dots) \end{cases}$는 $n$이 커질수록 두 경우 모두 $0$으로 수렴합니다.
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16. 두 확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(11, 9), N(12, 16)을 따르고 P(X≤k)=P(Y≥2k)일 때, 상수 k의 값은?

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 정규분포의 표준화 공식을 이용하여 두 확률이 같아지는 $k$값을 찾습니다.
    $X \sim N(11, 9)$에서 $Z_1 = \frac{k-11}{3}$이고, $Y \sim N(12, 16)$에서 $Z_2 = \frac{2k-12}{4}$입니다.
    $P(X \le k) = P(Y \ge 2k)$가 성립하려면 표준정규분포에서 두 표준화 값이 서로 부호가 반대이고 절대값이 같아야 합니다.
    $$\frac{k-11}{3} = -\frac{2k-12}{4}$$
    $$4(k-11) = -3(2k-12)$$
    $$4k-44 = -6k+36 \rightarrow 10k = 80 \rightarrow k = 8$$
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17. 두 사건 A, B에 대하여 P(AC)=3/5, =1/3일 때, P(A∩B)의 값은?

  1. 1/15
  2. 2/15
  3. 4/15
  4. 8/15
(정답률: 알수없음)
  • 조건부 확률의 정의와 여사건의 확률을 이용하여 교집합의 확률을 구합니다.
    $P(A) = 1 - P(A^C) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$입니다.
    주어진 조건부 확률 $\text{P}(B^C|A) = \frac{1}{3}$은 $\frac{P(B^C \cap A)}{P(A)} = \frac{1}{3}$을 의미합니다.
    $$\text{공식: } P(A \cap B) = P(A) - P(A \cap B^C)$$
    $$P(A \cap B^C) = P(A) \times P(B^C|A) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}$$
    $$P(A \cap B) = \frac{2}{5} - \frac{2}{15} = \frac{6-2}{15} = \frac{4}{15}$$
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18. 다항식 f(x+1)-2가 x2-4로 나누어떨어질 때, 다항식 f(x-2)+3을 x2-6x+5로 나누었을 때의 나머지는?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 7
(정답률: 알수없음)
  • 나머지 정리를 이용하여 다항식의 함숫값을 먼저 구한 뒤, 구하고자 하는 식의 나머지를 결정합니다.
    $f(x+1)-2$가 $x^2-4=(x-2)(x+2)$로 나누어떨어지므로 $f(3)-2=0 \rightarrow f(3)=2$이고, $f(-1)-2=0 \rightarrow f(-1)=2$입니다.
    구하는 식 $f(x-2)+3$을 $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$로 나눈 나머지를 $ax+b$라 하면:
    $x=1$ 대입: $f(-1)+3 = a+b \rightarrow 2+3 = a+b \rightarrow a+b=5$
    $x=5$ 대입: $f(3)+3 = 5a+b \rightarrow 2+3 = 5a+b \rightarrow 5a+b=5$
    두 식을 연립하면 $a=0, b=5$이므로 나머지는 5입니다.
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19. 동전 한 개를 던져 앞면이 나오면 3점을 얻고 뒷면이 나오면 1점을 잃는 게임에서 동전을 10번 던졌을 때 얻은 점수의 기댓값은? (단, 동전의 앞면이 나올 확률과 뒷면이 나올 확률은 각각 1/2이다.)

  1. 10
  2. 20
  3. 30
  4. 40
(정답률: 알수없음)
  • 동전을 1회 던졌을 때 얻는 점수의 기댓값을 구한 뒤, 독립시행의 성질을 이용하여 10회 던졌을 때의 총합을 구합니다.
    $$\text{기댓값 } E = \sum (x \times p)$$
    $$E = (3 \times \frac{1}{2}) + (-1 \times \frac{1}{2}) = 1$$
    $$10 \times 1 = 10$$
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20. 같은 종류의 사탕 6개를 4명의 어린이에게 남김없이 나누어줄 때, 사탕을 한 개도 받지 못하는 어린이가 1명인 경우의 수는?

  1. 40
  2. 60
  3. 80
  4. 100
(정답률: 알수없음)
  • 중복조합을 이용하여 경우의 수를 구합니다.
    먼저 사탕을 받지 못할 어린이 1명을 선택하는 경우의 수는 $4$가지입니다.
    나머지 3명의 어린이가 적어도 1개 이상의 사탕을 받아야 하므로, 먼저 1개씩 나누어 준 후 남은 3개의 사탕을 3명에게 자유롭게 나누어 주는 중복조합의 수를 구합니다.
    ① [기본 공식] ${}_n H_r = {}_{n+r-1} C_r$
    ② [숫자 대입] $4 \times {}_3 H_3 = 4 \times {}_5 C_3 = 4 \times 10$
    ③ [최종 결과] $40$
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