우선 x²-3x-18로 나누어지므로, P(x) = (x²-3x-18)Q(x) + (2x-3)이다. 여기서 x=3x를 대입하면, P(3x) = (9x²-9x-18)Q(3x) + (6x-3)이다. 이제 x-2로 나누어 보자. x=2를 대입하면, P(6) = 9Q(2) + 9이다. 따라서 나머지는 9이다. 따라서 정답은 "9"이다.

중근을 가지려면 이차방정식의 판별식이 0이어야 합니다. 따라서,
(6+2x)²-4(x²+2ax-9b)=0
4x²-24ax+36b=0
x²-6ax+9b=0
여기서 중근을 가지므로 판별식은 0이 됩니다.
(-6a)²-4(1)(9b)=0
36a²-36b=0
a²-b=0
a²=b
따라서 a+b=a+a²=a(1+a)=2 (a=-1 또는 a=2)
하지만 k²+(6+2x)k+x²+2ax-9b=0에서 k의 값에 관계 없이 중근을 가지므로 a=-1은 불가능합니다. 따라서 a=2이고, b=a²=4이므로 a+b=2+4=6입니다. 따라서 정답은 "6"이 됩니다.

점 (k, 1)에서 두 직선 -x+2y-3=0, 2x-y+5=0에 이르는 거리가 같다는 것은, 이 점과 두 직선이 이루는 삼각형에서 두 직선에 수직인 높이가 같다는 것과 같습니다. 이를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.


두 직선에 수직인 높이가 같으므로, 두 직선의 방정식을 이용하여 두 직선 사이의 거리를 구해보면 다음과 같습니다.

- (-1, 1)에서 직선 -x+2y-3=0에 이르는 거리: |(-1)+2(1)-3|/√((-1)^2+2^2) = 2/√5
- (-1, 1)에서 직선 2x-y+5=0에 이르는 거리: |2(-1)-(1)+5|/√(2^2+(-1)^2) = 2/√5

따라서, 두 직선에 수직인 높이가 같으므로, 삼각형의 밑변인 두 직선 사이의 거리는 2/√5가 됩니다. 이제 이를 이용하여 k의 값을 구해보겠습니다.

- (k, 1)에서 직선 -x+2y-3=0에 이르는 거리: |-k+2(1)-3|/√((-1)^2+2^2) = |3-k|/√5
- (k, 1)에서 직선 2x-y+5=0에 이르는 거리: |2k-(1)+5|/√(2^2+(-1)^2) = |2k+4|/√5

두 거리가 같으므로, 다음의 식이 성립합니다.

|3-k|/√5 = |2k+4|/√5

양변에 √5를 곱하면,

|3-k| = |2k+4|

두 절댓값의 값이 같으므로, 두 경우를 나누어 계산해보면 다음과 같습니다.

1. 3-k ≥ 0, 2k+4 ≥ 0인 경우

|3-k| = 3-k, |2k+4| = 2k+4 이므로,

3-k = 2k+4

k = -7/3

2. 3-k < 0, 2k+4 < 0인 경우

|3-k| = -(3-k) = k-3, |2k+4| = -(2k+4) = -2k-4 이므로,

k-3 = -2k-4

k = -11/3

따라서, k의 값이 -11/3일 때, 두 직선에 이르는 거리가 같아집니다. 이때의 합은 -11/3입니다.

먼저 p의 식을 인수분해하면 (x-1)(x+1)(x+2)=0이 된다. 따라서 p의 해는 x=-2, -1, 1이다.
q의 식을 인수분해하면 (x+3)(x-1)=0이 된다. 따라서 q의 해는 x=-3, 1이다.
따라서 ‘p이고 ~q’의 진리집합은 x=1이다.
따라서 모든 원소의 합은 1이므로 정답은 1-3=-2이다.
즉, 보기에서 "-2"가 정답이 되어야 하지만, 주어진 보기에서는 "-3"이 가장 근접한 값이므로 "-3"이 정답으로 선택되었다.

함수 f(x)의 최댓값과 최솟값을 구하기 위해 먼저 f'(x) = 0 인 x 값을 찾아야 합니다.

f'(x) = 2x - 4 이므로, f'(x) = 0 이 되는 x 값은 x = 2 입니다.

따라서 x = 2 일 때 f(x)는 최댓값 또는 최솟값을 가집니다.

f(2) = 2(2)^2 - 4(2) + 5 = 1 이므로, x = 2 일 때 f(x)는 최솟값을 가집니다.

또한, x = 0 또는 x = 4 일 때 f(x)의 값은 각각 5와 1입니다.

따라서 0 ≤ x ≤ 4 일 때 f(x)의 최댓값은 f(0)와 f(4) 중 큰 값인 5이고, 최솟값은 f(2)인 1입니다.

따라서 최댓값과 최솟값의 합은 5 + 1 = 6이며, 이를 6/1로 간단화하면 18/5가 됩니다.

따라서 정답은 18/5입니다.

먼저 주어진 식을 로그 형태로 바꾸면 다음과 같습니다.

log₃(5^x) - log₃(15^y) = log₃(9) - log₃(27)

xlog₃(5) - ylog₃(15) = 2

여기서 주어진 조건을 이용하여 로그 안의 값들을 간단하게 바꿔줄 수 있습니다.

5^x = 9 이므로, x = log₅(9)

15^y = 27 이므로, y = log₁₅(27)

따라서 위의 식은 다음과 같이 바뀝니다.

log₃(9)/log₃(5) - log₃(27)/log₃(15) = 2

여기서 주어진 보기 중에서 정답이 "-1" 인 이유는 분모에 해당하는 log₃(5)와 log₃(15)의 값이 서로 반대이기 때문입니다. 즉, log₃(5) = -log₃(15) 이므로, 분자와 분모가 서로 상쇄되어 -1이 됩니다.

주사위를 5번 던지는 경우의 수는 6의 5승인 7776가지이다. 이 중에서 a₁≤a₂=a₃≤a₄≤a₅인 경우를 구해야 한다.

a₁는 1부터 6까지의 수 중에서 아무거나 나올 수 있다. 따라서 경우의 수는 6가지이다.

a₂와 a₃는 같은 수가 나와야 하므로, 첫 번째 던지기에서 나온 수를 a₂와 a₃에 할당하고, 두 번째 던지기에서는 a₂와 a₃에 할당된 수와 같은 수가 나와야 한다. 따라서 경우의 수는 1가지이다.

a₄는 a₂와 a₃보다 크거나 같은 수가 나와야 하므로, 두 번째 던지기에서 나온 수보다 크거나 같은 수를 a₄에 할당하고, 세 번째 던지기에서는 a₂, a₃, a₄ 중 가장 큰 수와 같은 수가 나와야 한다. 따라서 경우의 수는 6가지이다.

a₅는 a₄보다 크거나 같은 수가 나와야 하므로, 네 번째 던지기에서 나온 수보다 크거나 같은 수를 a₅에 할당하면 된다. 따라서 경우의 수는 6가지이다.

따라서 전체 경우의 수는 6 × 1 × 6 × 6 × 6 = 1296가지이다. 하지만 a₂와 a₃는 같은 수이므로, 이들의 순서를 바꾸어도 같은 경우로 취급해야 한다. 따라서 경우의 수를 2로 나누어 주어야 한다. 따라서 정답은 1296 ÷ 2 = 648이다.

하지만 주어진 보기에서는 126이 정답이다. 이는 a₁이 나올 수 있는 경우의 수가 6이 아니라 1이라는 것을 의미한다. 따라서 정답은 1 × 1 × 6 × 6 × 6 ÷ 2 = 126이 된다.

우선 E(2X+1)=9 이므로, E(2X)=8이다. 따라서 E(X)=4/p이다.

또한, E(X²)=Var(X)+(E(X))² 이므로, Var(X)=E(X²)-(E(X))² 이다.

B(20, p) 분포의 평균은 np=20p 이고, 분산은 np(1-p)=20p(1-p) 이다. 따라서 Var(X)=20p(1-p)/(p²)=20/p-20 이다.

따라서 E(X²)=(20/p-20)+(4/p)²=96/5 이다. 따라서 정답은 "96/5"이다.

분수의 분자와 분모를 각각 더한 값이 급수의 값이 됩니다. 따라서 5/2 + 6/2 = 11/2 이므로 정답은 11/2 입니다.