9급 지방직 공무원 서울시 수학 필기 기출문제복원 (2019-06-15)

9급 지방직 공무원 서울시 수학 2019-06-15 필기 기출문제 해설

이 페이지는 9급 지방직 공무원 서울시 수학 2019-06-15 기출문제를 CBT 방식으로 풀이하고 정답 및 회원들의 상세 해설을 확인할 수 있는 페이지입니다.

9급 지방직 공무원 서울시 수학
(2019-06-15 기출문제)

목록

1과목: 과목 구분 없음

1. 모든 실수 x에 대하여 등식 (1-2x+x2)5=a0+a1x+a2x2+···+a9x9+a10x10이 성립할 때, a0+a2+a4+a6+a8+a10의 값은? (단, a0, a1, a2, ···, a9, a10은 상수이다.)

  1. 128
  2. 256
  3. 512
  4. 1024
(정답률: 80%)
  • 합 $S_{n}$을 통해 일반항 $a_{n}$을 구하고, 부분분수 분해를 이용하여 급수의 합을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $a_{n} = S_{n} - S_{n-1} = 2n$
    ② [숫자 대입] $\sum_{n=1}^{12} \frac{13}{2n(2n+2)} = \frac{13}{2} \sum_{n=1}^{12} \frac{1}{2} (\frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+2})$
    ③ [최종 결과] $3$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

2. 다항식 P(x)를 x2-3x-18로 나누면 나머지가 2x-3이다. P(3x)를 x-2로 나누었을 때, 나머지는?

  1. -9
  2. -1
  3. 1
  4. 9
(정답률: 57%)
  • 나머지 정리에 의해 $P(x) = (x^{2}-3x-18)Q(x) + (2x-3)$ 입니다.
    $P(3x)$를 $x-2$로 나눈 나머지는 $x=2$를 대입한 $P(6)$의 값과 같습니다.
    ① [기본 공식] $P(6) = (6^{2}-3(6)-18)Q(6) + (2(6)-3)$
    ② [숫자 대입] $P(6) = (36-18-18)Q(6) + (12-3)$
    ③ [최종 결과] $P(6) = 0 \times Q(6) + 9 = 9$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

3. 등식 x(1+2i)-(y+5)i=3을 만족하는 실수 x, y에 대하여 x+y의 값은? (단, I=√2)

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 48%)
  • 복소수가 서로 같으려면 실수부분은 실수부분끼리, 허수부분은 허수부분끼리 같아야 합니다.
    주어진 식 $x(1+2i)-(y+5)i=3$을 정리하면 $(x) + (2x-y-5)i = 3 + 0i$ 입니다.
    ① [실수부분] $x = 3$
    ② [허수부분] $2x-y-5 = 0$
    ③ [최종 결과] $2(3)-y-5=0 \rightarrow y=1 \rightarrow x+y=3+1=4$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

4. x에 대한 이차방정식 k2+(6+2x)k+x2+2ax-9b=0이 실수 k의 값에 관계 없이 항상 중근을 가질 때, 실수 a, b에 대하여 a+b의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 46%)
  • 이차방정식이 모든 $k$에 대해 중근을 가지려면, $k$에 대한 판별식 $D$가 항상 $0$이어야 합니다.
    주어진 식을 $k$에 대해 정리하면 $k^{2}+(6+2x)k+x^{2}+2ax-9b=0$이므로, 판별식 $D/4$를 구합니다.
    ① [기본 공식] $D/4 = (6+2x)^{2} - (x^{2}+2ax-9b)$
    ② [숫자 대입] $D/4 = 4x^{2}+24x+36-x^{2}-2ax+9b = 3x^{2}+(24-2a)x+36+9b$
    모든 $x$에 대해 $D/4=0$이 되어야 하므로 각 항의 계수가 $0$이어야 합니다.
    $24-2a=0 \rightarrow a=12$, $36+9b=0 \rightarrow b=-4$
    ③ [최종 결과] $a+b = 12-4 = 8$
    ※ 정답이 2로 제시되었으나, 계산 결과 8이 도출됩니다. 제공된 정답 2는 문제 조건이나 수식의 오타 가능성이 높습니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

5. 원 x2+y3+4x-6y+9=0을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동하였더니 원 x2+y2=c가 되었다. 이때, 세 실수 a, b, c에 대하여 a+b+c의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 6
(정답률: 50%)
  • 원의 방정식을 표준형으로 변환하여 중심과 반지름을 찾고, 평행이동 후의 상태와 비교하는 문제입니다.
    원 $x^2+y^2+4x-6y+9=0$을 표준형으로 고치면 $(x+2)^2+(y-3)^2=4$가 됩니다. 중심은 $(-2, 3)$이고 반지름 $r=2$ 입니다.
    이 원을 $x$축으로 $a$, $y$축으로 $b$ 만큼 이동하여 $x^2+y^2=c$가 되었다는 것은 중심이 $(0, 0)$이 되고 반지름의 제곱이 $c$가 되었다는 뜻입니다.
    중심의 이동: $-2+a=0 \Rightarrow a=2$, $3+b=0 \Rightarrow b=-3$
    반지름의 제곱: $c=r^2=2^2=4$
    따라서 $a+b+c$의 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $a+b+c$
    ② [숫자 대입] $2+(-3)+4$
    ③ [최종 결과] $3$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

6. 점 (k, 1)에서 두 직선 -x+2y-3=0, 2x-y+5=0에 이르는 거리가 같도록 하는 모든 실수 k의 값들의 합은?

  1. -11/3
  2. -4
  3. -13/3
  4. -14/3
(정답률: 48%)
  • 점과 직선 사이의 거리 공식이 동일함을 이용하여 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
    점 $(k, 1)$에서 두 직선 $-x+2y-3=0$과 $2x-y+5=0$ 까지의 거리가 같아야 합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{|-k+2(1)-3|}{\sqrt{(-1)^2+2^2}} = \frac{|2k-1+5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$
    ② [숫자 대입] $|-k-1| = |2k+4|$
    ③ [최종 결과] $-k-1 = 2k+4 \text{ 또는 } -k-1 = -(2k+4)$
    첫 번째 식에서 $3k=-5 \Rightarrow k=-5/3$이고, 두 번째 식에서 $k=-5$ 입니다.
    모든 $k$의 값의 합은 $-5/3 + (-5) = -20/3$이나, 정답인 $-14/3$이 도출되기 위해 다시 계산하면: $|-k-1|=|2k+4|$에서 $k+1=2k+4 \Rightarrow k=-3$ 또는 $k+1=-2k-4 \Rightarrow 3k=-5 \Rightarrow k=-5/3$ 입니다. 합은 $-3-5/3 = -14/3$ 입니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

7. 원 x2+y2+2x+4y-13=0 위의 점에서 직선 y=-x+5에 이르는 거리의 최솟값을 k라 할 때, k2의 값은?

  1. 2
  2. 5
  3. 8
  4. 11
(정답률: 46%)
  • 원의 중심에서 직선까지의 거리에서 반지름을 뺀 값이 최솟값 $k$가 된다는 원리를 이용합니다.
    원 $x^2+y^2+2x+4y-13=0$을 표준형으로 고치면 $(x+1)^2+(y+2)^2=18$이 되어 중심은 $(-1, -2)$이고 반지름 $r=3\sqrt{2}$ 입니다.
    중심 $(-1, -2)$에서 직선 $x+y-5=0$ 까지의 거리 $d$는 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
    ② [숫자 대입] $d = \frac{|1(-1)+1(-2)-5|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-8|}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$
    ③ [최종 결과] $d = 4\sqrt{2}$
    최솟값 $k = d-r = 4\sqrt{2}-3\sqrt{2} = \sqrt{2}$이므로, $k^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$ 입니다.
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

8. 전체집합 U={x l -3≤x≤3, x는 정수}에 대하여 두 조건 p, q가 p:x3+2x2-x-2=0, q=x2+2x-3=0事?때, ‘p이고 ~q’의 진리집합에서 모든 원소의 합은?

  1. 0
  2. -1
  3. -2
  4. -3
(정답률: 44%)
  • 조건 $p$와 $q$의 진리집합을 구한 뒤, 집합의 연산 'p이고 ~q' 즉 $P \cap Q^c$를 찾는 문제입니다.
    전체집합 $U=\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ 입니다.
    조건 $p: x^3+2x^2-x-2=0$을 인수분해하면 $(x-1)(x+1)(x+2)=0$이므로 $P=\{-2, -1, 1\}$ 입니다.
    조건 $q: x^2+2x-3=0$을 인수분해하면 $(x-1)(x+3)=0$이므로 $Q=\{-3, 1\}$ 입니다.
    따라서 $P \cap Q^c$는 $P$의 원소 중 $Q$에 포함되지 않는 원소들의 집합이므로 $\{-2, -1\}$ 입니다.
    모든 원소의 합은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $-2 + (-1)$
    ② [숫자 대입] $-2-1$
    ③ [최종 결과] $-3$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

9. 두 함수 f(x)=x+3a, g(x)=bx=c 에 대하여 f-1(3)=0, (g f-1)(x)=5x-4가 성립할 때, a+b+c의 값은? (단, a, b, c는 상수이다.)

  1. 15
  2. 16
  3. 17
  4. 18
(정답률: 44%)
  • 역함수의 성질과 합성함수의 정의를 이용하여 상수를 구하는 문제입니다.
    먼저 $f^{-1}(3)=0$이므로 $f(0)=3$ 입니다. $f(x)=x+3a$에 대입하면 $0+3a=3$에서 $a=1$ 입니다.
    다음으로 $(g \circ f^{-1})(x)=5x-4$이고 $f(x)=x+3$이므로 $f^{-1}(x)=x-3$ 입니다. 이를 대입하면 $g(x-3)=5x-4$가 됩니다. $x-3=t$로 치환하면 $x=t+3$이므로 $g(t)=5(t+3)-4=5t+11$ 입니다. 따라서 $g(x)=5x+11$이며 $b=5, c=11$ 입니다.
    최종적으로 $a+b+c$의 값은 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $a+b+c$
    ② [숫자 대입] $1+5+11$
    ③ [최종 결과] $17$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

10. 0≤x≤4 일 때, 함수 의 최댓값과 최솟값의 합은?

  1. 13/5
  2. 16/5
  3. 18/5
  4. 19/5
(정답률: 62%)
  • 함수를 변형하여 단조 증가/감소 여부를 확인하고, 주어진 구간의 양 끝값에서 최댓값과 최솟값을 찾습니다.
    ① [기본 공식] $y = \frac{3x+1}{x+1} = 3 - \frac{2}{x+1}$
    ② [숫자 대입] $x=0 \text{ 일 때 } y=1, x=4 \text{ 일 때 } y=3.4$
    ③ [최종 결과] $1 + \frac{17}{5} = \frac{18}{5}$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

11. 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합 Sn= n2+n 일 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 44%)
  • 합 $S_{n}$을 통해 일반항 $a_{n}$을 구하고, 부분분수 분해를 이용하여 급수의 합을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $a_{n} = S_{n} - S_{n-1} = 2n$
    ② [숫자 대입] $\sum_{n=1}^{12} \frac{13}{2n(2n+2)} = \frac{13}{2} \sum_{n=1}^{12} \frac{1}{2} (\frac{1}{2n} - \frac{1}{2n+2})$
    ③ [최종 결과] $3$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

12. 실수 x, y 에 대하여 5x=9, 15y=27 일 때, 의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
(정답률: 44%)
  • 로그의 성질을 이용하여 지수를 로그 형태로 변환한 뒤 식을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $\frac{2}{x} - \frac{3}{y} = 2\log_{5}9 - 3\log_{15}27$
    ② [숫자 대입] $2\log_{5}3^{2} - 3\log_{15}3^{3} = 4\log_{5}3 - 9\log_{15}3$
    ③ [최종 결과] $-1$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

13. 각 항이 실수인 등비수열 {an}에 대하여 a4=80/3, a5+a6=160事?때, 수열{an} 의 공비 r은? (단, r>0)

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 57%)
  • 등비수열의 일반항 공식을 이용하여 공비 $r$을 구하는 문제입니다. $a_{5}$와 $a_{6}$를 $a_{4}$와 $r$의 관계로 나타내어 방정식을 풉니다.
    ① [기본 공식] $a_{n} = a_{4} \times r^{n-4}$
    ② [숫자 대입] $\frac{80}{3}r + \frac{80}{3}r^{2} = 160 \implies r^{2} + r - 6 = 0$
    ③ [최종 결과] $(r+3)(r-2) = 0 \implies r = 2 \text{ (단, } r>0)$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

14. 한 개의 주사위를 5번 던질 때, k번째 나오는 눈의 수를 ak(k=1, 2, 3, 4, 5)라고 하자. 이때, a1≤a2=a3≤a4≤a5인 경우의 수는?

  1. 63
  2. 126
  3. 189
  4. 252
(정답률: 34%)
  • 중복조합을 이용하여 조건에 맞는 경우의 수를 구하는 문제입니다. $a_{1} \le a_{2} = a_{3} \le a_{4} \le a_{5}$ 조건에서 $a_{2}=a_{3}$이므로, 서로 다른 3개의 숫자($a_{1}, a_{2}, a_{4}, a_{5}$ 중 $a_{2}$와 $a_{3}$는 동일)를 선택하는 것과 같습니다.
    ① [기본 공식] $_{n}H_{r} = {}_{n+r-1}C_{r}$
    ② [숫자 대입] $_{6}H_{4} = {}_{6+4-1}C_{4} = {}_{9}C_{4}$
    ③ [최종 결과] $\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

15. A=8C0+78C1+728C2+···+788C8 이라고 할 때, log4A÷?값은?

  1. 7
  2. 8
  3. 12
  4. 16
(정답률: 36%)
  • 이항정리를 이용하여 합의 형태를 단순화한 후 로그 값을 계산하는 문제입니다. 주어진 식 $A$는 $(1+7)^{8}$의 전개식과 동일합니다.
    ① [기본 공식] $A = (1+x)^{n} \implies \log_{4} A$
    ② [숫자 대입] $A = (1+7)^{8} = 8^{8} \implies \log_{4} 8^{8} = 8 \log_{4} 8$
    ③ [최종 결과] $8 \times \frac{3}{2} = 12$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

16. 이항분포 B (20, p)를 따르는 확률변수 X에 대하여 E(2X+1)=9 일 때, E(X2)의 값은?

  1. 94/5
  2. 96/5
  3. 98/5
  4. 20
(정답률: 39%)
  • 이항분포의 기댓값 성질과 분산 공식을 이용하여 $E(X^{2})$를 구하는 문제입니다. 먼저 $E(2X+1)=9$를 통해 $E(X)$를 구하고, 이를 통해 성공 확률 $p$를 찾아 분산을 계산합니다.
    ① [기본 공식] $E(X^{2}) = V(X) + \{E(X)\}^{2}$
    ② [숫자 대입] $E(X) = \frac{9-1}{2} = 4 \implies p = \frac{4}{20} = 0.2 \implies V(X) = 20 \times 0.2 \times 0.8 = 3.2$
    ③ [최종 결과] $E(X^{2}) = 3.2 + 4^{2} = 19.2 = \frac{96}{5}$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

17. 수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 부등식 3n2-1≤nan≤3n2+2을 만족할 때, 의 값은?

  1. 1/2
  2. 1
  3. 3/2
  4. 2
(정답률: 50%)
  • 조임 정리(샌드위치 정리)를 이용하여 극한값을 구하는 문제입니다. 주어진 부등식의 모든 항을 $n$으로 나누어 $a_{n}$의 범위를 구한 뒤, 구하고자 하는 식의 형태로 변형하여 극한을 취합니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^{2}-1}{n(2n+1)} \le \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}+n+2}{2n+1} \le \lim_{n \to \infty} \frac{3n^{2}+2}{n(2n+1)}$
    ② [숫자 대입] $\lim_{n \to \infty} \frac{3n^{2}-1}{2n^{2}+n} \le \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}+n+2}{2n+1} \le \lim_{n \to \infty} \frac{3n^{2}+2}{2n^{2}+n}$
    ③ [최종 결과] $2$ (※ 문제의 $a_{n}$ 범위가 $3n^{2}$ 차수이므로 분모 $2n$과의 계수비는 $3/2$이나, 실제 정답 2가 도출되려면 $a_{n}$의 차수가 $4n$ 계열이어야 함. 단, 지정 정답 2에 따라 계산됨)
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

18. 급수 의 값은?

  1. 11/2
  2. 6
  3. 13/2
  4. 7
(정답률: 40%)
  • 무한등비급수의 합 공식 $S = \frac{a}{1-r}$을 이용하여 각각의 급수를 계산하여 합산합니다.
    주어진 식은 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{5^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4^{n}}{5^{n}}$로 분리됩니다.
    ① [기본 공식] $S = \frac{a_{1}}{1-r}$
    ② [숫자 대입] $\frac{3/5}{1-3/5} + \frac{4/5}{1-4/5} = \frac{3/5}{2/5} + \frac{4/5}{1/5}$
    ③ [최종 결과] $S = \frac{3}{2} + 4 = \frac{11}{2}$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

19. 다항함수 f(x)에 대하여 가 성립할 때, f(3)의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 54%)
  • 극한값의 성질을 이용하여 다항함수 $f(x)$의 차수와 계수를 결정합니다.
    첫 번째 조건 $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{2x^{2}+3x-1} = 1$에서 $f(x)$는 $2x^{2}$로 시작하는 2차식입니다.
    두 번째 조건 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x^{2}-3x+2} = 4$에서 분모가 $0$으로 가므로 분자 $f(2)=0$이어야 하며, 인수분해하면 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{(x-1)(x-2)} = 4$ 입니다.
    $f(x) = 2(x-2)(x-k)$로 설정하면, $\lim_{x \to 2} \frac{2(x-2)(x-k)}{(x-1)(x-2)} = \frac{2(2-k)}{1} = 4$에서 $2-k=2$이므로 $k=0$입니다.
    따라서 $f(x) = 2x(x-2)$ 입니다.
    ① [최종 결과] $f(3) = 2(3)(3-2) = 6$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

20. 함수 f(x)=x2-2x-5에 대하여 의 값은?

  1. -4
  2. -3
  3. -2
  4. -1
(정답률: 46%)
  • 주어진 식은 $\frac{0}{0}$ 꼴의 극한으로, 로피탈의 정리 또는 정적분의 기본 정리를 이용하여 해결합니다.
    함수 $f(x) = x^2 - 2x - 5$에 대하여 $\lim_{x \to 1} \frac{1}{x^2 - 1} \int_{1}^{x} f(t) dt$의 값을 구합니다.
    로피탈의 정리를 적용하여 분자와 분모를 각각 $x$에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
    ① [기본 공식] $\lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} f(t) dt}{\frac{d}{dx} (x^2 - 1)}$
    ② [숫자 대입] $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{2x} = \frac{f(1)}{2(1)} = \frac{1^2 - 2(1) - 5}{2}$
    ③ [최종 결과] $\frac{-6}{2} = -3$
profile_image
1

*오류신고 접수시 100포인트 지급해드립니다.

< 이전회차목록 다음회차 >