정적분의 정의를 이용한 급수의 극한 문제입니다. 주어진 식을 정적분 형태로 변환합니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} \sum_{k=1}^{n} ( \frac{2k}{n} + 1 )^3 = 3 \int_{0}^{1} (2x + 1)^3 dx$$
치환적분을 이용하거나 전개하여 계산하면
① [기본 공식] $3 \times [ \frac{1}{2 \times 4} (2x + 1)^4 ]_{0}^{1}$
② [숫자 대입] $3 \times \frac{1}{8} (3^4 - 1^4) = \frac{3}{8} (81 - 1)$
③ [최종 결과] $ \frac{3}{8} \times 80 = 30$

식의 구조를 파악하여 치환을 통해 단순화하는 문제입니다.
$x = 996$으로 치환하면 식은 $\frac{x^{3} - 3x - 2}{x(x+2) + 1} = \frac{x^{3} - 3x - 2}{x^{2} + 2x + 1}$이 됩니다.
분자를 인수분해하면 $(x-2)(x+1)^{2}$이고, 분모는 $(x+1)^{2}$ 입니다.
① [기본 공식] $\frac{(x-2)(x+1)^{2}}{(x+1)^{2}} = x-2$
② [숫자 대입] $996 - 2$
③ [최종 결과] $994$

등차수열의 일반항 공식을 이용하여 공차 $d$의 범위를 구하는 문제입니다.
일반항 $a_{n} = 1 + (n-1)d$를 이용합니다.
① [기본 공식] $a_{5} = 1 + 4d < 30 \text{ 이고 } a_{9} = 1 + 8d > 50$
② [숫자 대입] $4d < 29 \rightarrow d < 7.25 \text{ 이고 } 8d > 49 \rightarrow d > 6.125$
③ [최종 결과] $d = 7$ (정수 조건)
이제 $a_{n} = 1 + (n-1)7 = 190$을 만족하는 $n$을 구합니다.
① [기본 공식] $(n-1)7 = 189$
② [숫자 대입] $n-1 = 27$
③ [최종 결과] $n = 28$

주어진 조건 $\text{(가) } a_1 < a_2 < a_3 < a_4 \text{ 이고 } a_1 + a_2 = 13$, $\text{(나) } A \cap B = \{a_1, a_2\}$를 분석합니다.
1. $A \cap B = \{a_1, a_2\}$라는 것은 $a_1, a_2$가 각각 어떤 자연수의 제곱수여야 함을 의미합니다. 합이 13인 제곱수 쌍은 $4$와 $9$뿐이므로 $a_1 = 4, a_2 = 9$입니다.
2. $B = \{\sqrt{a_1}, \sqrt{a_2}, \sqrt{a_3}, \sqrt{a_4}\} = \{2, 3, \sqrt{a_3}, \sqrt{a_4}\}$입니다.
3. $A \cap B = \{4, 9\}$가 되려면 $\sqrt{a_3}$ 또는 $\sqrt{a_4}$ 중 하나가 $4$ 또는 $9$여야 합니다. $a_3 > a_2=9$이므로 $\sqrt{a_3}$ 또는 $\sqrt{a_4}$가 $4$ 또는 $9$여야 하는데, $\sqrt{a_3} > 3$입니다. 만약 $\sqrt{a_3}=4$라면 $a_3=16$이고, $\sqrt{a_4}=9$라면 $a_4=81$이 됩니다. (이때 $A=\{4, 9, 16, 81\}, B=\{2, 3, 4, 9\}$가 되어 교집합 조건과 크기 조건을 모두 만족합니다.)
4. $a_4 - a_1$의 값을 계산합니다.
$$\text{결과} = a_4 - a_1$$
$$\text{결과} = 81 - 4$$
$$\text{결과} = 77$$

실계수 이차방정식에서 한 근이 $\alpha=1+i$이면 다른 한 근은 켤레복소수인 $\beta=1-i$입니다.
근과 계수의 관계에 의해 $\alpha+\beta=2$, $\alpha\beta=(1+i)(1-i)=2$입니다.
구하고자 하는 값은 $\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} = \frac{\alpha^3+\beta^3}{(\alpha\beta)^3} = \frac{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{(\alpha\beta)^3}$ 입니다.
① [기본 공식] $\frac{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{(\alpha\beta)^3}$
② [숫자 대입] $\frac{2^3-3(2)(2)}{2^3}$
③ [최종 결과] $\frac{8-12}{8} = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$

수열의 합 $S_n$과 일반항 $a_n$의 관계를 이용하여 일반항을 구한 뒤, 부분분수 분해를 통해 급수의 합을 계산하는 문제입니다.
먼저 $S_n = 3n^2 + 2n$이므로, $n \ge 2$일 때 $2a_n + 3 = S_n - S_{n-1} = (3n^2 + 2n) - (3(n-1)^2 + 2(n-1)) = 6n - 1$ 입니다. 따라서 $2a_n = 6n - 4$이며 $a_n = 3n - 2$ 입니다. ($a_1 = \frac{3(1)^2 + 2(1) - 3}{2} = 1$로 일반항과 일치합니다.)
구하고자 하는 값은 $\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{a_n a_{n+1}}$이며, 이는 부분분수 공식 $\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}(\frac{1}{A} - \frac{1}{B})$를 이용합니다.
① [기본 공식] $\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{a_n a_{n+1}} = \frac{1}{a_{n+1}-a_n} \sum_{n=1}^{5} (\frac{1}{a_n} - \frac{1}{a_{n+1}})$
② [숫자 대입] $\frac{1}{3} (\frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_6}) = \frac{1}{3} (\frac{1}{1} - \frac{1}{16})$
③ [최종 결과] $\frac{1}{3} \times \frac{15}{16} = \frac{5}{16}$

주어진 조건 $\sin\theta + \cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$를 이용하여 $\sin\theta\cos\theta$의 값을 먼저 구한 뒤, 식을 변형하여 계산합니다.
먼저 양변을 제곱하면 $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}$이므로 $\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{4}$ 입니다.
구하고자 하는 식은 $\sin^4\theta + \cos^4\theta + 3\sin\theta\cos\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta + 3\sin\theta\cos\theta$로 변형됩니다.
① [기본 공식] $1^2 - 2(\sin\theta\cos\theta)^2 + 3(\sin\theta\cos\theta)$
② [숫자 대입] $1 - 2(-\frac{1}{4})^2 + 3(-\frac{1}{4})$
③ [최종 결과] $1 - \frac{1}{8} - \frac{3}{4} = \frac{1}{8}$

확률의 총합이 1임을 이용하여 $p$를 구하고, 기댓값 $E(X)=3$을 통해 $a$를 구한 뒤 분산을 계산합니다.
확률의 합: $1/2 + 1/4 + p = 1 \rightarrow p = 1/4$
기댓값: $a(1/2) + 4(1/4) + 6(1/4) = 3 \rightarrow a/2 + 2.5 = 3 \rightarrow a = 1$
분산 $V(X) = E(X^2) - \{E(X)\}^2$ 공식을 사용합니다.
① [기본 공식] $V(X) = \sum x^2 p(x) - \mu^2$
② [숫자 대입] $V(X) = (1^2 \cdot \frac{1}{2} + 4^2 \cdot \frac{1}{4} + 6^2 \cdot \frac{1}{4}) - 3^2 = (0.5 + 4 + 9) - 9$
③ [최종 결과] $V(X) = 4.5 = \frac{9}{2}$

직각삼각형에서 빗변의 길이와 한 각의 크기를 알 때, 나머지 두 변의 길이를 삼각비로 구해 넓이를 계산합니다.
① [기본 공식] $S = \frac{1}{2} \times (L \sin \theta) \times (L \cos \theta)$
② [숫자 대입] $S = \frac{1}{2} \times (2 \sin 15^{\circ}) \times (2 \cos 15^{\circ}) = \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ}$
③ [최종 결과] $S = \frac{1}{4}$
※ 정답이 1/2로 제시되었으나, 계산 결과 1/4이 도출됩니다. 하지만 지침에 따라 정답 1/2을 기준으로 하면 $\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$과정에서 오류가 있을 수 있으나 수식상 1/4이 맞습니다. (제시된 정답 1/2은 오류로 판단되나 지침 준수 위해 계산 과정만 명시)

복리 계산 공식을 이용하여 원리합계가 2배가 되는 기간을 구하는 문제입니다.
① [기본 공식] $S = P(1 + r)^a$
② [숫자 대입] $2,000,000 = 1,000,000(1 + 0.02)^a$
$$2 = 1.02^a$$
양변에 상용로그를 취하면 $\log 2 = a \log 1.02$이므로
$$a = \frac{\log 2}{\log 1.02} = \frac{0.3010}{0.0086}$$
③ [최종 결과] $a \approx 34.99 \approx 35$