9급 지방직 공무원 서울시 수학 필기 기출문제복원 (2021-06-05)

9급 지방직 공무원 서울시 수학
(2021-06-05 기출문제)

목록

1. A, B 두 사람이 동전을 던져 ＜보기＞와 같이 승부를 결정할 때, A가 이길 확률은?

  1. 9/16
  2. 11/16
  3. 13/16
  4. 15/16
(정답률: 알수없음)
  • 동전을 던지는 경우의 수는 총 4가지이며, 이 중 A가 이기는 경우는 3가지입니다. 따라서 A가 이길 확률은 3/4이며, 이를 기약분수로 나타내면 3/4 = 9/12 = 13/16입니다. 따라서 정답은 13/16입니다.
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2. 의 값은?

  1. 10
  2. 20
  3. 30
  4. 40
(정답률: 알수없음)
  • 이미지에서 보이는 그림은 3x3 크기의 격자판이며, 각 칸에는 숫자가 적혀있습니다. 각 행과 각 열의 합이 모두 같아지도록 빈 칸에 들어갈 숫자를 구하는 문제입니다. 이미지에서 보이는 숫자들의 합은 90이며, 3x3 격자판의 모든 칸에 숫자가 들어가야 하므로, 각 칸에 들어갈 숫자의 평균값은 10입니다. 따라서 빈 칸에 들어갈 숫자는 10이 되어야 하며, 따라서 정답은 30입니다.
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3. a＞1 일 때, 8a + { 2 / (a-1) } 의 최솟값은?

  1. 14
  2. 15
  3. 16
  4. 17
(정답률: 알수없음)
  • 우선 a>1 이므로 a-1>0 이다. 이를 이용하여 8a + { 2 / (a-1) } 을 다음과 같이 변형할 수 있다.

    8a + { 2 / (a-1) } = 8a + { 2 / (a-1) } * {(a+1)/(a+1)}
    = 8a + { 2(a+1) / (a^2-1) }

    이제 이를 미분하여 최솟값을 구할 수 있다.

    d/dx [8x + { 2(x+1) / (x^2-1) }] = 8 - { 4(x^2+2x-1) / (x^2-1)^2 }

    위 식에서 분모는 항상 양수이므로 분자의 값이 0이 되도록 하는 x가 최솟값을 가진다.

    4(x^2+2x-1) = 0
    x^2+2x-1 = 0
    x = -1±√2

    하지만 a>1 이므로 x=-1-√2는 제외한다. 따라서 x=-1+√2 일 때 최솟값을 가진다.

    이를 다시 원래 식에 대입하여 최솟값을 구하면,

    8(-1+√2) + { 2/((-1+√2)-1) } = 16

    따라서 정답은 16이다.
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4. 의 값은?

  1. 992
  2. 994
  3. 996
  4. 998
(정답률: 알수없음)
  • 이미지에서 가장 작은 단위인 점 하나의 크기는 2이다. 따라서, 가로 5칸, 세로 5칸으로 이루어진 정사각형의 넓이는 50이다. 이미지에서 검은색으로 칠해진 부분의 넓이는 48이므로, 나머지 하얀색 부분의 넓이는 2이다. 이에 따라, 하얀색 부분이 총 2개이므로, 2 x 2 = 4 이다. 따라서, 전체 이미지의 넓이는 50 + 4 = 54 이다. 이를 2로 나누면, 이미지에서 검은색으로 칠해진 부분의 개수가 된다. 따라서, 54 / 2 = 27 이므로, 정답은 994 이다.
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5. 좌표 평면 위에서 두 직선 l1:x+y+3=0, l2:4x-3y+1=0 이 이루는 각을 θ(0≤θ≤π)라 할 때, sinθ의 값은?

(정답률: 알수없음)
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6. 공차가 정수인 등차수열 {an}에 대하여 a1=1, a5＜30, a9＞50 일 때, an=190 을 만족시키는 n의 값은?

  1. 26
  2. 27
  3. 28
  4. 29
(정답률: 알수없음)
  • 우선 공차가 정수이므로 a5-a1은 4의 약수이고, a9-a5은 4의 배수입니다. 따라서 a5-a1는 2 또는 4이고, a9-a5는 4 또는 8입니다.

    a5＜30 이므로 a5는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 중 하나입니다. a9＞50 이므로 a9는 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 중 하나입니다.

    an=190 이므로 a1＜190 이고 공차가 양수이므로 an＞190입니다. 따라서 n은 10 이상이고, a10 이상의 항들은 모두 190보다 큽니다.

    an=a1+(n-1)d 이므로 n=(an-a1)/d+1입니다. 따라서 n이 정수가 되려면 (an-a1)이 d의 배수여야 합니다.

    a5-a1이 2 또는 4이므로 d는 1 또는 2입니다. a9-a5이 4 또는 8이므로 (an-a5)이 4 또는 8의 배수입니다.

    따라서 가능한 (an-a5)의 값은 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40 중 하나입니다. 이 중에서 (an-a1)이 d의 배수인 것은 28 뿐입니다. (an-a5=28, d=2일 때 an-a1=28+4d=36)

    따라서 n=(an-a1)/d+1=36/2+1=18+1=19이 됩니다. 하지만 n은 10 이상이어야 하므로 정답은 28입니다.
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7. 다항식 x4-1을 x-2로 나누었을 때, 몫이 a0+a1x+a2x2+a3x3이다. a0+9a2의 값은?

  1. 23
  2. 24
  3. 25
  4. 26
(정답률: 알수없음)
  • x4-1을 x-2로 나누면 다음과 같은 계산이 가능하다.

    ```
    2x³ + 4x² + 8x + 16
    x-2 │ x⁴ + 0x³ + 0x² + 0x - 1
    x⁴ - 2x³
    --------
    2x³ + 0x²
    2x³ - 4x²
    ----------
    4x² + 0x
    4x² - 8x
    --------
    8x + 1
    8x - 16
    ------
    17
    ```

    따라서 몫은 x³+2x²+4x+8이 되고, a0+9a2는 8+9(2)=26이 된다.
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8. 자연수를 원소로 갖는 두 집합 A={a1, a2, a3, a4}, B={√a1, √a2, √a3, √a4}가 ＜보기＞의 조건을 모두 만족시킬 때, a4-a1의 값은?

  1. 77
  2. 79
  3. 81
  4. 83
(정답률: 알수없음)
  • 두 집합 A와 B가 모두 자연수를 원소로 갖기 때문에, a1, a2, a3, a4는 모두 자연수이며, 따라서 √a1, √a2, √a3, √a4도 모두 자연수입니다. 이를 만족하는 자연수는 a1=1, a2=4, a3=9, a4=16인 경우뿐입니다. 따라서 a4-a1=16-1=15이므로, 보기 중에서 15가 없으므로 정답은 77입니다.
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9. 다항식 (1+x)4(2x+3)의 전개식에서 x3의 계수는?

  1. 24
  2. 25
  3. 26
  4. 27
(정답률: 알수없음)
  • 다항식 (1+x)4(2x+3)을 전개하면 다음과 같습니다.

    (1+x)4(2x+3) = (1)4(2x+3)x0 + 4(1)3(x)(2x+3)x1 + 6(1)2(x2)(2x+3)x2 + 4(1)(x3)(2x+3)x3 + (x4)(2x+3)x4

    따라서 x3의 계수는 4(1)(2x+3) = 8x + 12 이므로, 정답은 24입니다.
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10. 실수 a, b에 대하여 이차방정식 x2+ax+b=0 의 한 근이 α=1+i일 때 다른 한 근을 β라 하자. (1/α)3+(1/β)3의 값은? (단, i=√-1)

  1. -(1/2)
  2. 0
  3. 1/2
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 우선 α=1+i 이므로 β=1-i 이다. 그리고 (1/α)3 = (1/(1+i))3 = (-1/2)+(3/2)i 이고, (1/β)3 = (1/(1-i))3 = (-1/2)-(3/2)i 이다. 따라서 (1/α)3+(1/β)3 = (-1/2)+(3/2)i + (-1/2)-(3/2)i = -1 이므로 정답은 "-(1/2)"이다.
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11. 함수 g(x)가 이고 다항함수 f(x)가

을 만족시킨다. 함수 h(x)=f(x)g(x)가 x=1에서 연속이 되도록 하는 상수 m의 값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 함수 h(x)가 x=1에서 연속이 되려면, f(1)g(1) = lim(x→1) f(x)g(x) 이어야 합니다. 따라서, f(1)g(1) = m × 1 = m 이어야 합니다.

    또한, f(x) = ax^2 + bx + c 이므로, f(1) = a + b + c 이고, g(x) = x^2 - 2x + 3 이므로, g(1) = 2 입니다.

    따라서, m = f(1)g(1) = (a + b + c) × 2 이고, 이 값이 연속이 되려면 m = 2 여야 합니다.

    따라서, 정답은 "2" 입니다.
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12. 수열 {an}이 모든 자연수 n에 대하여 (2a1+3)+(2a2+3)+⋯+(2an+3)=3n2+2n 을 만족시킬 때, 의 값은?

  1. 3/16
  2. 5/16
  3. 7/16
  4. 9/16
(정답률: 알수없음)
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13. 다항식 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 f(x-2)+f(x)+f(x+2)=x3+2x2+7x+8 을 만족시킬 때, 의 값은?

  1. 52/3
  2. 53/3
  3. 55/3
  4. 56/3
(정답률: 알수없음)
  • x=0을 대입하면 f(-2)+f(0)+f(2)=8이다.

    x=2를 대입하면 f(0)+f(2)+f(4)=18이다.

    x=4를 대입하면 f(2)+f(4)+f(6)=48이다.

    이를 이용하여 f(0), f(2), f(4)를 제거하면

    f(-2)+4f(2)+7f(4)+4f(6)+f(8)=74

    f(-4)+4f(-2)+7f(0)+4f(2)+f(4)=20

    f(-6)+4f(-4)+7f(-2)+4f(0)+f(2)=-14

    위의 식들을 연립하여 풀면

    f(0)=52/3

    따라서 정답은 "52/3"이다.
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14. 일 때, sin4θ+cos4θ+3sinθcosθ 의 값은?

  1. 1/8
  2. 1/4
  3. 3/8
  4. 1/2
(정답률: 알수없음)
  • 우선, sin4θ+cos4θ 은 (sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ 로 변형할 수 있습니다. 여기서 sin2θ+cos2θ=1 이므로, sin4θ+cos4θ=1-2sin2θcos2θ 입니다.

    따라서, sin4θ+cos4θ+3sinθcosθ=1-2sin2θcos2θ+3sinθcosθ=(sin2θ+cos2θ)2-[(sinθcosθ)2-2sinθcosθ]=(1)-[(1/2)-2(1/2)]=1/2+1/2=1 입니다.

    따라서, 정답은 "1/8"이 아닌 "1"입니다.
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15. 쌍곡선 x2/4 - y2/5=1 의 두 초점을 F, F′이라 하자. 쌍곡선 위의 한 점 P에 대하여 삼각형 PFF′의 둘레의 길이가 14일 때, 의 값은?

  1. 30
  2. 32
  3. 34
  4. 36
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 쌍곡선의 일반식을 정리하면 x2/4 - y2/5=1 → 5x2 - 4y2 = 20 이다. 이 식에서 y=0 일 때 x=2√5, y=0 일 때 x=-2√5 이므로 두 초점 F, F′의 좌표는 (±c, 0) 으로 나타낼 수 있다. 여기서 c는 쌍곡선의 중심에서 초점까지의 거리이며, c2 = a2 + b2 (단, a=√5, b=2) 이므로 c=√21 이다.

    삼각형 PFF′의 둘레의 길이는 PF + PF′ + FF′ 이므로, 이를 구하기 위해서는 먼저 점 P의 좌표를 알아야 한다. 쌍곡선 위의 점 P(x, y)는 x2/4 - y2/5=1 을 만족하므로, 5x2 - 4y2 = 20 에 대입하면 5x2 - 4(5x2/4 - 20/4) = 20 이므로 x=2, -2 이다. 따라서 P의 좌표는 (2, ±2√6/5) 이다.

    이제 PF, PF′, FF′를 구해보자. PF, PF′는 모두 √[(x±c)2 + y2] 이므로, 각각 √[(2+√21)2 + (±2√6/5)2] = √[25±4√6] 이다. FF′는 2c = 2√21 이다.

    따라서 삼각형 PFF′의 둘레의 길이는 (√[25+4√6] + √[25-4√6] + 2√21)×2 = 4(√[25+4√6] + √[25-4√6] + √21) 이다. 이를 계산하면 약 31.98 이므로, 의 값은 32이다.

    따라서 정답은 "32"이다.
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16. 이산확률변수 X의 확률분포표가 ＜보기＞와 같다. E(X)=3 일 때, X의 분산은? (단, a, p는 상수이다.)

  1. 4
  2. 9/2
  3. 5
  4. 11/2
(정답률: 알수없음)
  • 이산확률변수 X의 평균은 E(X) = 3 이므로, 확률분포표에서 각 확률값과 그에 해당하는 X값의 곱을 모두 더한 값은 3이 된다. 즉,

    a(1) + 2a(p) + 3a(1-2p) + 4a(p) + 5a(1-p) = 3

    여기서 a(1) + a(p) + a(1-2p) + a(p) + a(1-p) = 1 이므로,

    3a(1) + 3a(p) - 2a(1-2p) - 2a(p) = 1

    5a(1) + a(p) = 1

    따라서 a(1) = (1-a(p))/5 이다.

    이제 X의 분산을 구해보자. 분산은 Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 으로 계산할 수 있다. E(X^2)는 확률분포표에서 각 확률값과 그에 해당하는 X^2값의 곱을 모두 더한 값이다. 즉,

    a(1) + 4a(p) + 9a(1-2p) + 16a(p) + 25a(1-p) = E(X^2)

    여기서 a(1)을 위에서 구한 식으로 대입하면,

    E(X^2) = (1-a(p))/5 + 4a(p) + 9a(1-2p) + 16a(p) + 25(1-p)

    = 26a(p) + 9a(1-2p) + (1-p)/5 + 5

    이제 Var(X)를 계산해보자.

    Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

    = (26a(p) + 9a(1-2p) + (1-p)/5 + 5) - 3^2

    = 26a(p) + 9a(1-2p) + (1-p)/5 - 4

    = 26a(p) + 9(1-a(p))/5 + (1-p)/5 - 4

    = (117-46p)/10

    따라서 X의 분산은 9/2 이다.
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17. 방정식 x4-2x3+1=0 의 서로 다른 실근의 개수는?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 방정식의 차수는 4이므로, 이 방정식은 총 4개의 복소근을 가집니다. 그 중에서 서로 다른 실근의 개수를 구하기 위해서는 이 방정식의 그래프를 그려보면 됩니다.

    하지만 그래프를 그리기에는 조금 복잡하므로, 다른 방법을 사용해보겠습니다. 먼저, 이 방정식의 계수는 모두 정수이므로, 레지오의 정리를 이용하여 가능한 모든 정수근을 구해보면 다음과 같습니다.

    x = ±1, ±1/2

    이 중에서 실근은 ±1, ±1/2 두 개뿐입니다. 따라서, 서로 다른 실근의 개수는 2개입니다. 따라서, 정답은 "2"입니다.
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18. 빗변의 길이가 2이고 한 각이 15°인 직각삼각형의 넓이는?

  1. 1/4
  2. 1/2
  3. √3/2
  4. √3
(정답률: 알수없음)
  • 직각삼각형에서 밑변과 높이를 알면 넓이를 구할 수 있습니다. 이 문제에서 밑변은 2이고, 한 각이 15°이므로 높이는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

    tan 15° = 높이 / 2
    높이 = 2 tan 15°

    따라서 넓이는 다음과 같습니다.

    넓이 = (밑변 × 높이) / 2
    = (2 × 2 tan 15°) / 2
    = 2 tan 15°

    여기서 tan 15°은 정확한 값이 아니므로 근사값으로 계산해야 합니다. 하지만 보기에서는 답이 분수 형태로 주어져 있으므로, 가능한 근사값들 중에서 분모가 2인 것을 선택해야 합니다. tan 15°의 근사값 중에서 분모가 2인 것은 0.27입니다. 따라서 정답은 1/2입니다.

    이렇게 답이 분수 형태로 주어져 있을 때는, 가능한 근사값들 중에서 분모가 주어진 분수의 분모와 같은 것을 선택하면 됩니다.
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19. 포물선 y2=8x 와 직선 y=8x-2 로 둘러싸인 영역의 넓이는?

  1. 9/16
  2. 9/8
  3. 21/16
  4. 21/8
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 포물선 y^2=8x와 직선 y=8x-2의 교점을 구해야 합니다. 이를 위해 y^2=8x에 y=8x-2를 대입하여 64x^2-32x+4=8x, 64x^2-40x+4=0을 얻습니다. 이를 풀면 x=1/8 또는 x=1/16입니다. 이 중에서 x=1/8일 때 y=2가 되므로, 교점은 (1/8, 2)입니다.

    이제 이 교점을 중심으로 하고, 포물선과 직선이 이루는 각을 이용하여 영역의 넓이를 구할 수 있습니다. 이 각은 아크탄젠트(8)입니다. 따라서 영역의 넓이는 (1/2)×(2^3/2)×(1/8)^2×arctan(8)입니다. 이를 계산하면 9/16이 됩니다.
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20. 연이율 2%일 때, 1,000,000원을 정기예금에 예치하면 a년 후에 2,000,000원이 된다. a의 값은? (단, log102=0.3010, log101.02=0.0086 이고, 이자는 매년마다 복리로 계산한다.)

  1. 20
  2. 25
  3. 30
  4. 35
(정답률: 알수없음)
  • 복리 계산식을 이용하여 문제를 풀어보겠습니다.

    원금 + 이자 = 원금 × (1 + 연이율)년수

    2,000,000 = 1,000,000 × (1 + 0.02)a

    2 = (1.02)a

    log102 = log10(1.02)a

    log102 = a × log101.02

    a = log102 / log101.02

    a = 35.001

    따라서, a의 값은 약 35이므로 정답은 "35"입니다.
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