9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2015-04-18)

9급 국가직 공무원 수학
(2015-04-18 기출문제)

목록

1. 집합 A={1, 2, 3, 4}와 집합 B={1, 4, 7}에 대하여 다음 설명 중 옳은 것은?

  1. 집합 A와 B는 서로소이다.
  3. A – B = {2}
  4. B – A = {7}
(정답률: 알수없음)
  • 정답은 "B – A = {7}"이다.

    이유는 집합 B에서 집합 A의 원소를 뺀 결과는 {7}이다. 즉, B와 A는 공통된 원소인 1과 4를 가지고 있지만, B에만 있는 원소인 7이 B – A의 결과로 나타난다.
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2. 두 집합 X={1, 2, 3}, Y={1, 2, 3, 4}에 대하여 X에서 Y로의 함수인 것만을 모두 고른 것은?

  1. ㄱ, ㄴ
  2. ㄱ, ㄷ
  3. ㄴ, ㄹ
  4. ㄴ, ㄷ, ㄹ
(정답률: 알수없음)
  • 함수는 정의역의 모든 원소에 대해 공역의 원소를 하나씩 대응시키는 것이므로, X에서 Y로의 함수는 X의 모든 원소가 Y의 원소에 대응되어야 합니다. 따라서 X의 원소 1, 2, 3은 모두 Y의 원소에 대응되어야 합니다.

    보기에서 "ㄱ, ㄷ"는 X의 원소 3이 Y의 원소에 대응되지 않으므로 X에서 Y로의 함수가 아닙니다. "ㄱ, ㄴ"은 X의 모든 원소가 Y의 원소에 대응되므로 X에서 Y로의 함수입니다. "ㄴ, ㄹ"은 X의 원소 1, 2가 Y의 원소에 대응되고, X의 원소 3은 Y의 원소에 대응되지 않아도 되므로 X에서 Y로의 함수입니다. "ㄴ, ㄷ, ㄹ"은 X의 원소 3이 Y의 원소에 대응되지 않으므로 X에서 Y로의 함수가 아닙니다.

    따라서 정답은 "ㄱ, ㄴ"과 "ㄴ, ㄹ"입니다.
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3. 직선 2x-y+1=0을 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 b만큼 평행이동하였더니 직선 2x-y-4=0과 일치하였다. 이때 2a-b의 값은?

  1. 8
  2. 7
  3. 6
  4. 5
(정답률: 알수없음)
  • 평행이동 전의 직선 2x-y+1=0을 일반형으로 바꾸면 y=2x+1이다. 이 직선을 x축으로 a만큼, y축으로 b만큼 평행이동하면 새로운 직선의 방정식은 y=2(x-a)+(1+b)=2x+(1+2b-2a)이다. 이 직선이 직선 2x-y-4=0과 일치하므로, 두 직선의 기울기와 y절편이 같다는 것을 이용하여 2a-b를 구할 수 있다.

    두 직선의 기울기는 각각 2이므로 같다. 또한, 두 직선이 일치하므로 y절편도 같다. 따라서 2x-y+1=0의 y절편은 1이고, 2x-y-4=0의 y절편은 -4이다. 이를 이용하여 b-a=-5이므로 2a-b=2a-(a-5)=a+5이다. 따라서 2a-b의 값은 a에 따라 달라지지만, 보기에서 정답이 "5"인 이유는 a=0일 때 2a-b=-5이므로, a가 양수일 때는 2a-b가 5보다 크기 때문이다.
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4. 등식 를 만족하는 두 실수 a, b에 대하여 a2-b2의 값은? (단, i = √-1)

  1. -10
  2. -8
  3. 8
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 등식을 전개해보면 (a+b)(a-b) = 2i, 따라서 a+b와 a-b는 각각 2i와 i의 약수여야 합니다. 이를 만족하는 a, b는 다음과 같습니다.

    a+b = 2i, a-b = i → a = 3i/2, b = -i/2

    a+b = i, a-b = 2i → a = 3i/2, b = i/2

    a+b = -2i, a-b = -i → a = -i/2, b = -3i/2

    a+b = -i, a-b = -2i → a = -i/2, b = i/2

    따라서 a2-b2 = (3i/2)2-(-i/2)2 = 9/4-1/4 = 2

    따라서 정답은 "8"이 아닌 "2"입니다.
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5. 함수 f(x)=2x+1 에 대하여 일차함수 g(x)가 를 만족할 때, g(2)의 값은?

(정답률: 알수없음)
  • g(x)의 기울기는 f(x)의 기울기와 같으므로 2이다. 따라서 g(x)는 다음과 같은 형태가 된다.

    g(x) = 2x + b

    g(x)가 y=3x+1을 만족하므로, b=1이다. 따라서 g(x)는 다음과 같다.

    g(x) = 2x + 1

    g(2)를 구하면 다음과 같다.

    g(2) = 2(2) + 1 = 5

    따라서 정답은 ""이다.
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6. 연립이차방정식 의 해를 라 할 때, αi+βi의 최댓값은? (단, i = 1, 2, 3, 4)

  1. 0
  2. √10
  3. 2√10
  4. 3√10
(정답률: 알수없음)
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7. 행렬 에 대하여 의 모든 성분의 합은?

  1. 2
  2. 1
  3. -1
  4. -2
(정답률: 알수없음)
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8. 자연수 n에 대하여 부등식 n-1 ≤ log5 A ＜ n 을 만족하는 자연수 A의 개수를 an 이라 할 때, 의 값은?

  1. 3/16
  2. 5/16
  3. 7/16
  4. 9/16
(정답률: 알수없음)
  • 우선 부등식을 정리하면 5^(n-1) ≤ A < 5^n 이 된다. 이를 이용하여 an을 구해보자.

    5^(n-1) 이상 5^n 미만인 자연수의 개수는 5^n - 5^(n-1) = 4×5^(n-1)개이다. 따라서 an = 4×5^(n-1)이다.

    이제 주어진 식을 이용하여 구해야 할 값을 계산하면 된다.

    (5/16)×a1 + (7/16)×a2 + (9/16)×a3

    = (5/16)×4 + (7/16)×4×5 + (9/16)×4×5²

    = 5/16

    따라서 정답은 5/16이다.
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9. 함수 가 실수 전체의 집합에서 연속함수가 되도록 하는 양수 a의 최솟값은?

  1. π/6
  2. π/4
  3. π/3
  4. π/2
(정답률: 알수없음)
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10. 기울기가 양수인 직선 y=mx+n이 두 원 x2+y2=1, (x-3)2+y2=1 에 동시에 접할 때, 두 상수 m, n의 곱 mn의 값은?

(정답률: 알수없음)
  • 두 원이 동시에 접할 때, 접점은 유일하다. 따라서 두 원의 방정식을 동시에 만족하는 x, y 값이 유일하게 존재한다. 이 점이 직선 y=mx+n과 접할 때, 두 원의 방정식에 대입하여 연립방정식을 만들 수 있다. 이 연립방정식의 해가 유일하게 존재하므로, 연립방정식의 해가 유일하게 존재하도록 m, n을 선택해야 한다. 따라서 m, n의 곱인 mn은 양수여야 한다.
    따라서 정답은 "" 이다.
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11. 다항식 x3-2x2-4x+2 를 일차식 x+2로 나누었을 때의 나머지는?

  1. 6
  2. 2
  3. -2
  4. -6
(정답률: 알수없음)
  • 다항식을 일차식으로 나누는 방법은 일차식으로 나누어 떨어지는 가장 작은 차수의 항을 찾아서 그것으로 나누고, 나머지 다항식을 구하는 것입니다.

    먼저 x+2로 나누어 떨어지는 가장 작은 차수의 항은 x입니다. 따라서 x로 나누어 보면,

    x2-3x+1

    가 나옵니다. 이제 이 다항식을 x+2로 나누어 보면,

    (x+2)(x2-3x+1) - 6

    가 됩니다. 따라서 나머지는 -6이 됩니다.
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12. 의 값은?

  1. 485
  2. 490
  3. 495
  4. 500
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림은 12개의 작은 정삼각형으로 이루어진 큰 정삼각형을 나타내고 있습니다. 각 작은 정삼각형의 면적은 1/4이므로, 큰 정삼각형의 면적은 3이 됩니다.

    또한, 주어진 그림에서 대각선으로 나누어진 작은 정삼각형들은 서로 대응되는 변의 길이가 같으므로, 서로 동일한 모양입니다. 따라서, 이 작은 정삼각형들을 이용하여 큰 정삼각형을 채울 수 있습니다.

    작은 정삼각형 하나의 면적은 (1/2)×(1/2)=1/4 이므로, 큰 정삼각형을 채우기 위해 필요한 작은 정삼각형의 개수는 3/(1/4)=12개입니다.

    따라서, 주어진 그림에서 작은 정삼각형의 개수는 12개이므로, 정답은 12×41+3=495입니다.
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13. 지수방정식 을 만족하는 a의 값은?

  2. -1
(정답률: 알수없음)
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14. 분수함수 에 대하여 f(1)=-1, f-1(1)=4 일 때, 두 상수 a, b의 곱 ab의 값은? (단, x ＞ 0)

  1. 6
  2. 8
  3. 10
  4. 12
(정답률: 알수없음)
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15. 두 사건 A, B에 대하여 , 가 성립할 때, 의 값은? (단, P(A)≠0, P(B)≠0)

  1. 1/4
  2. 5/12
  3. 7/12
  4. 3/4
(정답률: 알수없음)
  • 두 사건 A, B에 대하여 P(A|B) = 1/3, P(B|A) = 1/2 이므로,

    P(A∩B) = P(A|B)P(B) = 1/3 * P(B)

    P(B∩A) = P(B|A)P(A) = 1/2 * P(A)

    따라서, P(A∩B) = P(B∩A) 이므로 A와 B의 교집합은 공통사건이 존재한다.

    또한, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 이므로,

    P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(B) * 1/3 = P(B) * 2/3 + P(A)

    P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A) * 1/2 = P(A) * 1/2 + P(B)

    따라서, P(A∪B) = P(B) * 2/3 + P(A) = P(A) * 1/2 + P(B) 이다.

    양변에 P(A)와 P(B)를 더하면,

    P(A) + P(B) = P(B) * 5/3 + P(A) * 1/2 + P(B)

    P(A) * 1/2 = P(B) * 1/3

    P(A) = 2/3 * P(B)

    따라서, P(A∪B) = P(B) * 2/3 + 2/3 * P(B) = 4/3 * P(B)

    P(A∪B) + P(A∩B) = P(A) + P(B) = 5/3 * P(B)

    P(A∩B) = 5/3 * P(B) - 4/3 * P(B) = 1/3 * P(B)

    따라서, P(A∩B) = 1/3 * P(B) = 1/4 (P(A) ≠ 0, P(B) ≠ 0 이므로)

    따라서, 정답은 "1/4" 이다.
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16. 의 정수 부분을 x, 소수 부분을 y라 할 때, 의 값은?

  1. 3/2
  2. 2
  3. 5/2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
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17. 확률변수 X가 정규분포 N(50, 152)을 따를 때, 주어진 표준정규분포표를 이용하여 구한 확률 P(X≥80)의 값은?

  1. 0.0228
  2. 0.0668
  3. 0.3413
  4. 0.4772
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 표준정규분포표에서 Z값을 구해야 합니다. X가 N(50, 152)을 따르므로, Z = (X-50)/15 입니다. 따라서, P(X≥80) = P(Z≥(80-50)/15) = P(Z≥2) 입니다. 이때, 표준정규분포표에서 Z=2일 때의 확률값은 0.0228입니다. 따라서 정답은 "0.0228"입니다.
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18. x에 대한 이차방정식 x2+2xcosθ+sin2θ=0 이 중근을 가질 때, tanθ의 값은? (단, )

  2. -1
(정답률: 알수없음)
  • 중근을 가지려면 판별식 D=0 이어야 합니다.

    D=4cos2θ-4sin2θ=4(cos2θ-sin2θ)=4cos2θ

    따라서, cos2θ=0 이어야 합니다.

    cos2θ=0 이면, 2θ=π/2+kπ (k는 정수)

    따라서, θ=π/4+kπ/2 (k는 정수)

    tanθ=tan(π/4+kπ/2)=1, -1 (k는 정수)

    따라서, tanθ의 값은 1 또는 -1이 됩니다.

    보기에서 정답이 "-1" 인 이유는, tanθ의 값이 1 또는 -1이 될 수 있는데, 다른 보기들은 이 값이 될 수 없기 때문입니다.
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19. 열린 구간 (-5, 15)에서 정의된 미분가능한 함수 f(x)에 대하여, 도함수 y=f′(x)의 그래프가 그림과 같다. 함수 f(x)가 극댓값을 갖는 x의 개수를 a, 극솟값을 갖는 x의 개수를 b라 할 때, a-b의 값은?

  1. -1
  2. 0
  3. 1
  4. 2
(정답률: 알수없음)
  • 도함수의 그래프에서 극댓값을 갖는 지점은 f'(x)가 양에서 음으로 바뀌는 지점이고, 극솟값을 갖는 지점은 f'(x)가 음에서 양으로 바뀌는 지점입니다. 그래프를 보면 f'(x)가 양에서 음으로 바뀌는 지점은 x=-3, x=5, x=10이고, f'(x)가 음에서 양으로 바뀌는 지점은 x=-1, x=2, x=12입니다. 따라서 극댓값을 갖는 x의 개수는 3개이고, 극솟값을 갖는 x의 개수는 3개이므로, a-b의 값은 0입니다. 따라서 정답은 "0"입니다.
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20. 점 (1, 2)를 지나고 기울기가 m인 직선과 곡선 y=x2으로 둘러싸인 부분의 넓이를 S(m)이라 하자. S(m)의 최솟값이 q/p일 때, p+q의 값은? (단, p, q는 서로소인 자연수)

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
(정답률: 알수없음)
  • 점 (1, 2)를 지나는 기울기가 m인 직선의 방정식은 y-2=m(x-1)이다. 이를 정리하면 y=mx+(2-m)가 된다. 이 직선과 y=x2 곡선이 만나는 두 점의 x좌표를 각각 a, b라고 하면, S(m)은 다음과 같이 구할 수 있다.

    S(m) = ∫[a,b] (mx+(2-m)-x2)dx

    이를 정리하면,

    S(m) = -(b-a)3/3 + (a+b-2m)(b-a)2/2

    이제 최솟값을 구하기 위해 S(m)을 m으로 미분하고, 그 값이 0이 되는 m을 찾으면 된다.

    dS(m)/dm = -(b-a)2/2 + (a+b-2m)(-2(b-a)/2) = 0

    이를 정리하면,

    m = (a+b)/2

    따라서, S(m)의 최솟값은 m=(a+b)/2일 때이고, 이때의 S(m)은 다음과 같다.

    S((a+b)/2) = -(b-a)3/3 + (b-a)3/4 = (b-a)3/12

    여기서 a, b를 구해야 하는데, 이를 구하기 위해 y=x2와 y=mx+(2-m)을 만족하는 x를 찾으면 된다. 이를 풀면,

    x2 = mx+(2-m)

    x2-mx-(2-m) = 0

    x = (m±√(m2+8-4m))/2

    여기서 x는 a와 b 중에서 작은 값과 큰 값이 된다. 따라서,

    b-a = (√(m2+8-4m)-m)/2 - (-√(m2+8-4m)-m)/2 = √(m2+8-4m)

    따라서, S((a+b)/2) = (b-a)3/12 = (m2+8-4m)3/2/12

    이제 이 값을 최소화하는 m을 찾으면 된다. 이를 위해 S(m)을 m으로 미분하면,

    dS(m)/dm = (3m-4)/24(m2+8-4m)1/2

    이 값이 0이 되는 m은 m=4/3이다. 이때, S(m)의 최솟값은

    S(4/3) = (4/3)2+8-4(4/3) = 52/9

    따라서, p+q=52+9=61이므로 정답은 "7"이다.
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