함수가 되기 위해서는 정의역 $X$의 모든 원소가 공역 $Y$의 원소에 '오직 하나씩' 대응되어야 합니다.
ㄴ은 $1 \to 2, 2 \to 2, 3 \to 4$로 모든 원소가 하나씩 대응되어 함수입니다.
ㄹ은 $f(x) = x + 1$이므로 $1 \to 2, 2 \to 3, 3 \to 4$로 모든 원소가 하나씩 대응되어 함수입니다.

오답 노트
ㄱ: 원소 2가 2와 3 두 곳으로 대응되어 함수가 아님
ㄷ: $f(3) = 6$이지만 공역 $Y$에 6이 없으므로 함수가 아님

복소수의 덧셈과 실수부분, 허수부분의 상등을 이용합니다.
좌변의 분수를 유리화하여 정리합니다.
$$\frac{a}{1+i} + \frac{b}{1-i} = \frac{a(1-i)}{2} + \frac{b(1+i)}{2} = \frac{(a+b) + (b-a)i}{2} = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}i$$
이 값이 $2-i$와 같아야 하므로:
실수부분: $\frac{a+b}{2} = 2 \implies a+b = 4$
허수부분: $\frac{b-a}{2} = -1 \implies b-a = -2$
두 식을 연립하면 $a=3, b=1$ 입니다.
① [기본 공식] $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$
② [숫자 대입] $a^2 - b^2 = (4)(3-1)$
③ [최종 결과] $a^2 - b^2 = 8$

첫 번째 식을 인수분해하여 $x$와 $y$의 관계를 찾고, 이를 두 번째 원의 방정식에 대입하여 해를 구합니다.
첫 번째 식: $x^2 - xy - 2y^2 = (x - 2y)(x + y) = 0$이므로 $x = 2y$ 또는 $x = -y$ 입니다.
1) $x = 2y$ 일 때: $$(2y)^2 + y^2 = 50 \rightarrow 5y^2 = 50 \rightarrow y^2 = 10 \rightarrow y = \pm\sqrt{10}$$ $y = \sqrt{10}$이면 $x = 2\sqrt{10}$이므로 $x + y = 3\sqrt{10}$, $y = -\sqrt{10}$이면 $x = -2\sqrt{10}$이므로 $x + y = -3\sqrt{10}$ 입니다.
2) $x = -y$ 일 때: $(-y)^2 + y^2 = 50 \rightarrow 2y^2 = 50 \rightarrow y^2 = 25 \rightarrow y = \pm 5$$ $y = 5$ 이면 $x = -5$ 이므로 $x + y = 0$, $y = -5$ 이면 $x = 5$ 이므로 $x + y = 0$ 입니다. 따라서 $\alpha_i + \beta_i$의 최댓값은 $3\sqrt{10}$ 입니다.

부등식 $n-1 \le \log_{5} A < n$을 지수 형태로 바꾸면 $5^{n-1} \le A < 5^n$ 입니다.
이 범위를 만족하는 자연수 $A$의 개수 $a_n$은 $5^n - 5^{n-1} = 5^{n-1}(5-1) = 4 \cdot 5^{n-1}$ 입니다.
구하고자 하는 값은 무한등비급수의 합입니다.
① [기본 공식] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} = \frac{\text{첫째항}}{1 - \text{공비}}$
② [숫자 대입] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4 \cdot 5^{n-1}} = \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{5}}$
③ [최종 결과] $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n} = \frac{5}{16}$

원과 직선의 거리(점과 직선 사이의 거리 공식)가 반지름과 같음을 이용하여 접선의 방정식을 구하는 문제입니다.
두 원의 반지름이 모두 $1$이고 중심이 $(0, 0)$과 $(3, 0)$이므로, 직선 $mx - y + n = 0$과의 거리가 $1$이어야 합니다.
$\frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}} = 1$과 $\frac{|3m+n|}{\sqrt{m^2+1}} = 1$이 성립해야 하며, 그림에서 $n < 0$이고 $m > 0$이므로 $n = -\sqrt{m^2+1}$이고 $3m+n = \sqrt{m^2+1}$ 입니다.
두 식을 더하면 $3m + 2n = 0$이 되어 $n = -\frac{3}{2}m$ 입니다.
이를 $\frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}} = 1$에 대입하면 $\frac{3}{2}m = \sqrt{m^2+1} \rightarrow \frac{9}{4}m^2 = m^2 + 1 \rightarrow \frac{5}{4}m^2 = 1 \rightarrow m = \frac{2}{\sqrt{5}}$ 입니다.
따라서 $n = -\frac{3}{2} \times \frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{3}{\sqrt{5}}$ 입니다.
① [기본 공식] $mn = m \times n$
② [숫자 대입] $mn = \frac{2}{\sqrt{5}} \times (-\frac{3}{\sqrt{5}})$
③ [최종 결과] $mn = -\frac{6}{5}$

시그마의 성질과 자연수 거듭제곱의 합 공식을 이용하여 계산하는 문제입니다.
① [기본 공식] $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}, \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$
② [숫자 대입] $\frac{10 \times 11 \times 21}{6} + 2 \times \frac{10 \times 11}{2}$
③ [최종 결과] $385 + 110 = 495$

주어진 함숫값과 역함수의 성질($f^{-1}(a) = b \iff f(b) = a$)을 이용하여 연립방정식을 풉니다.
1) $f(1) = -1$ 대입: $$\frac{b(1) - 7}{a(1) + 1} = -1 \rightarrow b - 7 = -a - 1 \rightarrow a + b = 6$$
2) $f^{-1}(1) = 4$이므로 $f(4) = 1$ 대입: $$\frac{b(4) - 7}{a(4) + 1} = 1 \rightarrow 4b - 7 = 4a + 1 \rightarrow 4a - 4b = -8 \rightarrow a - b = -2$$
두 식 $a + b = 6$과 $a - b = -2$를 연립하면:
① [기본 공식] $a = \frac{(a+b) + (a-b)}{2}, b = \frac{(a+b) - (a-b)}{2}$
② [숫자 대입] $a = \frac{6 + (-2)}{2} = 2, b = \frac{6 - (-2)}{2} = 4$
③ [최종 결과] $ab = 2 \times 4 = 8$

로그의 성질을 이용하여 정수 부분 $x$와 소수 부분 $y$를 먼저 구합니다.
$$\log_2 \frac{7}{2} = \log_2 7 - \log_2 2 = \log_2 7 - 1$$
이때 $2^2 < 7 < 2^3$이므로 $2 < \log_2 7 < 3$ 입니다. 따라서 $1 < \log_2 7 - 1 < 2$가 되어 정수 부분 $x = 1$이고, 소수 부분 $y = \log_2 \frac{7}{2} - 1 = \log_2 \frac{7}{4}$ 입니다.
구하고자 하는 식에 대입하면:
① [기본 공식] $(\frac{1}{4})^x + 2^y$
② [숫자 대입] $(\frac{1}{4})^1 + 2^{\log_2 \frac{7}{4}}$
③ [최종 결과] $\frac{1}{4} + \frac{7}{4} = \frac{8}{4} = 2$

이차방정식이 중근을 가지려면 판별식 $D = 0$이어야 합니다.
① [기본 공식] $D = (2\cos\theta)^{2} - 4(1)(\sin^{2}\theta) = 0$ ② [숫자 대입] $$4\cos^{2}\theta - 4\sin^{2}\theta = 0 \implies \cos^{2}\theta = \sin^{2}\theta \implies \tan^{2}\theta = 1$$ ③ [최종 결과] $\tan\theta = \pm 1$ 인데, 조건 $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ (제2사분면)에서 $\tan\theta$는 음수이므로 $\tan\theta = -1$

직선의 방정식은 $y = m(x - 1) + 2$이며, 곡선 $y = x^{2}$와의 교점 $x_{1}, x_{2}$는 $x^{2} - mx + (m - 2) = 0$의 두 근입니다. 두 곡선으로 둘러싸인 넓이 $S(m)$은 이차함수와 직선 사이의 넓이 공식 $\frac{|a|}{6}(x_{2} - x_{1})^{3}$을 이용합니다.
① [기본 공식] $S(m) = \frac{1}{6}((m + 2)^{2} - 4(m - 2))^{3/2} = \frac{1}{6}(m^{2} + 4m + 4 - 4m + 8)^{3/2} = \frac{1}{6}(m^{2} + 12)^{3/2}$ ② [숫자 대입] $S(m)$이 최소가 되려면 $m^{2} + 12$가 최소여야 하므로 $m = 0$일 때 최솟값 $S(0) = \frac{1}{6}(12)^{3/2} = \frac{1}{6} \times 24\sqrt{3}$ (단, 문제의 조건과 정답 7을 도출하기 위해 다시 계산하면, $S(m) = \frac{1}{6}(m^{2} + 12)^{3/2}$가 아닌 교점의 차 $\Delta = \sqrt{m^{2} - 4(m-2)} = \sqrt{m^{2}-4m+8}$ 임을 확인. $S(m) = \frac{1}{6}(m^{2}-4m+8)^{3/2}$이며, $m=2$일 때 최솟값 $S(2) = \frac{1}{6}(4)^{3/2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$). ③ [최종 결과] $p = 3, q = 4$이므로 $p + q = 7$