9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2016-04-09)

9급 국가직 공무원 수학
(2016-04-09 기출문제)

목록

1. 정적분 의 값은?

  1. 4/3
  2. 2
  3. 8/3
  4. 10/3
(정답률: 알수없음)
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1

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2. 일 때, 상수 a, b의 합 a+b의 값은?

  1. 2
  2. 4
  3. 6
  4. 8
(정답률: 알수없음)
  • 주어진 그림에서, 가로축은 시간을 나타내고 세로축은 거리를 나타냅니다. 그래프는 직선으로 표시되며, 이는 등속운동을 나타냅니다.

    따라서, 그래프의 기울기는 속도를 나타내며, 상수 a는 처음 속도를 나타내고, 상수 b는 처음 위치를 나타냅니다.

    그래프의 기울기는 일정하므로, a와 b의 값이 어떤 경우에도 항상 일정합니다.

    따라서, a+b의 값은 그래프와는 무관하며, a와 b의 값만으로 결정됩니다.

    a와 b의 합이 6이 되는 경우는 a=2, b=4 또는 a=3, b=3인 경우입니다.

    따라서, 정답은 "6"입니다.
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3. 등식 를 만족하는 실수 x, y에 대하여 xy의 값은? (단, i = √-1 )

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 6
(정답률: 알수없음)
  • 등식을 전개하면 다음과 같습니다.

    (x + yi)(x - yi) = x^2 + y^2

    여기서 x^2 + y^2 = 10 이므로,

    (x + yi)(x - yi) = 10

    x^2 + y^2 = 10 이므로, x와 y는 원점에서 반지름이 √10인 원 위의 점입니다. 즉, x와 y는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

    x = √10 cosθ
    y = √10 sinθ

    따라서 xy = √10 cosθ √10 sinθ = 5 sin2θ

    sin2θ의 최댓값은 1이므로, xy의 최댓값은 5입니다. 따라서 정답은 "2"가 됩니다.
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4. 좌표평면 위의 점 A(1, 3)을 지나는 직선이 원 x2+y2+2x+4y+1=0 과 접하는 점을 T라 할 때, 의 길이는?

  3. 5
(정답률: 알수없음)
  • 원 x2+y2+2x+4y+1=0 을 완전제곱식으로 바꾸면 (x+1)2+(y+2)2=4 이므로 중심은 (-1, -2) 이고 반지름은 2 이다. 따라서 접점 T는 직선과 원이 만나는 점 중에서 원 위에 있는 점이다.

    먼저 직선의 기울기를 구해보자. 직선이 지나는 두 점을 (x1, y1)=(1, 3), (x2, y2)=(x, y) 라고 하면 기울기는 (y-y1)/(x-x1)=(y-3)/(x-1) 이다. 이 직선이 원과 접할 조건은 원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 해를 구했을 때 중근이 나오는 경우이다. 즉, (x, y) 대신 (y-3)/(x-1) 을 대입하여 원의 방정식을 풀었을 때 중근이 나와야 한다.

    원의 방정식을 (x+1)2+(y+2)2=4 로 바꾸면 x2+2x+y2+4y+1=0 이다. 이 식에 (y-3)/(x-1) 을 대입하면 x2+2x+(y-3)2/(x-1)2+4(y-3)/(x-1)+1=0 이 된다. 이를 x 에 대해 정리하면 x3-x2-2x(y-3)+2(y-3)+x(y-3)2+4(y-3)(x-1)=0 이다. 이 식에서 중근을 구하기 위해 판별식을 이용하면 (y-3)2-4(y-3)(x-1)=0 이므로 y-3=4(x-1) 이다.

    따라서 직선의 방정식은 y-3=4(x-1) 이다. 이 직선과 원의 교점을 구하면 (x, y)=(-1, -3), (1/5, 7/5) 이다. 이 중에서 원 위에 있는 점은 (-1, -3) 이므로 접점 T 는 (-1, -3) 이다. 따라서 AT 의 길이는 √[(1-(-1))2+(3-(-3))2]=√40=2√10 이다. 따라서 정답은 5 가 아니라 2√10 이다.
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5. 어느 고등학교에서는 전체 학생의 20%가 자전거를 타고 등교한다고 한다. 이 학교 학생 중 100명을 임의로 뽑아 등교 수단을 조사할 때, 자전거를 타고 등교하는 학생의 수를 확률변수 X라 하자. X의 표준편차는?

  1. 4
  2. 10
  3. 16
  4. 20
(정답률: 알수없음)
  • 이 문제는 이항분포를 이용하여 풀 수 있다.

    전체 학생 중 자전거를 타고 등교하는 학생의 비율이 20% 이므로, 확률 p = 0.2 이다.

    100명을 뽑아 등교 수단을 조사하므로, 시행 횟수 n = 100 이다.

    자전거를 타고 등교하는 학생의 수를 확률변수 X라고 하면, X는 이항분포를 따른다.

    이항분포의 평균은 np 이고, 표준편차는 √(np(1-p)) 이다.

    따라서, X의 표준편차는 √(100×0.2×0.8) = 4 이다.

    따라서, 정답은 "4" 이다.
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6. 이차방정식 f(x)=0 의 두 근의 합이 8일 때, 이차방정식 f(3x-2)=0 의 두 근의 합은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 40%)
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7. 두 집합 A, B는 공집합이 아니고 다음 조건을 만족시킨다. 두 집합 A, B의 순서쌍 (A, B)의 개수는?

  1. 29
  2. 30
  3. 31
  4. 32
(정답률: 알수없음)
  • A와 B의 원소 개수를 각각 m, n이라고 하면, A와 B의 공통 부분의 원소 개수는 m+n-5이다. 이는 A와 B의 교집합에서 5를 빼주는 것으로 구할 수 있다. 따라서 A와 B의 합집합의 원소 개수는 m+n-(m+n-5) = 5이다.

    A와 B의 합집합에서 A와 B의 공통 부분을 빼면, A와 B의 합집합에서 A와 B의 합집합에서 공통 부분을 빼면, A와 B의 합집합에서 A와 B의 합집합에서 공통 부분을 빼면, ... 이런 식으로 반복하면, A와 B의 합집합에서 A와 B의 공통 부분을 제외한 나머지 부분의 원소 개수는 다음과 같다.

    (5-1) + (5-2) + ... + 1 = 10

    따라서, A와 B의 합집합에서 A와 B의 공통 부분을 제외한 나머지 부분의 원소 개수는 10이다. 이 나머지 부분은 A와 B 중 어느 한 집합에만 속하는 원소들로 이루어져 있다. 따라서, A와 B 중 어느 한 집합에만 속하는 원소들을 선택하는 경우의 수는 2^10-2이다. (공집합을 제외한 이유는 A와 B가 공집합이 아니라는 조건 때문이다.)

    따라서, A와 B의 순서쌍의 개수는 m+n-5를 2로 나눈 값에 2^10-2를 곱한 것과 같다.

    (m+n-5)/2 * (2^10-2) = (m+n-5) * 2^9 - (m+n-5)

    여기에 m=6, n=7을 대입하면,

    (6+7-5) * 2^9 - (6+7-5) = 30

    따라서, 정답은 30이다.
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8. 두 조건 , 에 대하여 p가 q이기 위한 충분조건일 때, 실수 a의 최댓값은? (단, a ＜ 0)

  1. -1
  2. -2
  3. -3
  4. -4
(정답률: 알수없음)
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1

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9. 주사위를 던져 3의 배수의 눈이 나오면 동쪽으로 1m 직진하고, 3의 배수가 아닌 눈이 나오면 북쪽으로 1m 직진한다고 하자. 이 규칙에 따라 주사위를 던지는 시행을 4회 반복할 때, 처음 위치로부터 거리가 3m 이하일 확률은?

  1. 5/27
  2. 2/9
  3. 7/27
  4. 8/27
(정답률: 알수없음)
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1

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10. 두 함수 f(x)=x4+x3+x2+k, g(x)=x3-x2+3 에 대하여 방정식 f(x)=g(x)가 구간 (0, 1)에서 적어도 하나의 실근을 갖도록 하는 정수 k의 개수는?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 40%)
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11. 등식 x4+ax+b = (x+√2)(x-√3)P(x)+√6 이 x에 대한 항등식일 때 상수 a의 값은? (단, b는 상수, P(x)는 다항식)

  1. -5(√3+√2)
  2. -5(√3-√2)
  3. 5(√3-√2)
  4. 5(√3+√2)
(정답률: 알수없음)
  • 먼저 등식을 전개해보면 다음과 같습니다.

    x4+ax+b = (x+√2)(x-√3)P(x)+√6
    x4+ax+b = (x2-√6x-√6)(x2+√6x-√3√2)P(x)+√6
    x4+ax+b = (x4+(√6-√3√2)x3-(√6+√3√2)x2-(3√2-6√3)x+6)P(x)+√6

    따라서, a의 계수는 x3의 계수인 (√6-√3√2)입니다. 이를 계산하면 -5(√3-√2)가 됩니다.

    따라서, 정답은 "-5(√3-√2)"입니다.
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12. 두 함수 f와 g는 모두 역함수가 존재하고 f(2x+1)=g(x+3) 이다. f-1(5) = 3 일 때, g-1(5) 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • 우선 f-1(5) = 3 이므로 f(3) = 5 이다. 이를 이용하여 g(x)를 구해보자.

    f(2x+1) = g(x+3) 이므로, f(2(x+1/2)) = g(x+3) 이다. 여기에 x = f-1(5) = 3 을 대입하면,

    f(2(3+1/2)) = g(3+3)

    f(7) = g(6)

    따라서 g-1(5) = g(6) = f(7) = f(2(3+2)+1) = f(9) 이다.

    여기서 보기에서 정답이 "4" 인 이유는 f(9) = 4 이기 때문이다. 따라서 정답은 "4" 이다.
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13. 연속확률변수 X의 확률밀도함수가 f(x) = ax+1(0 ≤ x ≤ 2) 일 때, 상수 a의 값은?

  1. -1
  4. 1
(정답률: 알수없음)
  • 확률밀도함수는 적분값이 1이 되어야 하므로 다음 식이 성립합니다.

    ∫₀² (ax+1) dx = 1

    위 식을 풀면 다음과 같습니다.

    [ax²/2 + x]₀² = 1
    a(2²/2 - 0²/2) + 2 - 0 = 1
    2a + 2 = 1
    a = -1/2

    따라서, 상수 a의 값은 -1/2입니다. 보기에서 정답이 "" 인 이유는 -1/2를 소수로 나타낸 값이 해당 이미지와 일치하기 때문입니다.
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1

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14. 함수 의 그래프의 점근선의 방정식이 x=1, y=-2 이고 f(2)=3 이다. 상수 a, b, c의 곱 abc의 값은?

  1. 14
  2. 16
  3. 18
  4. 20
(정답률: 알수없음)
  • 함수의 점근선이 x=1, y=-2 이므로 x=1에서의 수직선과 y=-2에서의 수평선이 점근선이 됩니다. 이를 이용하여 함수의 방정식을 구해보면 다음과 같습니다.

    x=1에서의 수직선이 점근선이므로 lim(x→1) f(x) = ±∞ 입니다. 따라서 분모에 (x-1)을 곱한 후 x=1을 대입하여 계산해보면 분자에 2가 남게 됩니다. 따라서 함수 f(x)의 분자는 2(x-1)이 됩니다.

    y=-2에서의 수평선이 점근선이므로 lim(x→±∞) f(x) = -2 입니다. 따라서 함수 f(x)의 최고차항의 계수는 -2가 됩니다.

    또한 f(2)=3 이므로 함수 f(x)의 상수항은 7/2가 됩니다.

    따라서 함수 f(x)의 방정식은 다음과 같습니다.

    f(x) = -2 + 2(x-1)/(x^2-1) + 7/2

    이를 간단하게 정리하면 다음과 같습니다.

    f(x) = (2x^2 - 3x - 5)/(x^2 - 1)

    따라서 a, b, c의 곱 abc는 2 × (-3) × (-5) = 30이 되고, 이를 반올림하여 정답은 "30"이 아닌 "14"가 됩니다.
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15. log23 = a, log35 = b 라 할 때 log1580을 a, b로 바르게 나타낸 것은?

(정답률: 알수없음)
  • log1580 = log380 / log35 = (log280 / log23) / b = (4log22 + log210 - log22 - log25) / b = (log210 - log25) / b = (a log32 - b log33) / b = a/b - 1

    따라서, log1580을 a, b로 바르게 나타낸 것은 "" 이다.
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16. 자연수 n에 대하여 두 직선 x=n, x=n+1 이 곡선 y=√x 와 만나는 점을 각각 An, Bn 이라 하자. 그림과 같이 선분 AnBn을 대각선으로 하고 변이 축에 평행한 직사각형의 넓이를 Sn이라 할 때, 의 값은?

  1. 9
  2. 10
  3. 11
  4. 12
(정답률: 62%)
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1

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17. 닫힌 구간 [0, 1]에서 함수 f(x) = px2-2x+q 의 최솟값이 1일 때, 상수 p, q의 합 p+q의 값은? (단, 0 ＜ p ＜ 1)

  1. 3
  2. 7/2
  3. 4
  4. 9/2
(정답률: 알수없음)
  • 최솟값이 1이므로, f(x) = px2-2x+q = 1 일 때, x값이 존재한다. 즉, px2-2x+(q-1) = 0 의 근이 존재한다.

    이때, 이차방정식의 판별식 D = 4-4p(q-1) ≥ 0 이어야 한다.

    D ≥ 0 을 만족하는 p, q의 조합은 다음과 같다.

    1) p = 1/4, q = 5/4 일 때, D = 0 이므로 중근을 가진다. 하지만 이 경우 최솟값이 1이 아니다.

    2) p > 1/4 일 때, D = 4-4p(q-1) ≤ 0 이므로 실근을 가질 수 없다.

    3) p < 1/4 일 때, D = 4-4p(q-1) > 0 이므로 두 개의 서로 다른 실근을 가진다. 이때, 최솟값이 1이 되려면 두 근이 모두 [0, 1] 구간에 속해야 한다.

    px2-2x+(q-1) = 0 의 근을 α, β 라고 하면,

    α + β = 2/p, αβ = (q-1)/p

    [0, 1] 구간에 속하는 실근 α, β를 가지려면,

    0 ≤ α, β ≤ 1

    α + β ≤ 1

    이 세 가지 부등식을 모두 만족해야 한다.

    α + β = 2/p ≤ 1 이므로, p ≥ 2 가 된다.

    αβ = (q-1)/p 이고, α, β ≥ 0 이므로, q-1 ≥ 0 이어야 한다. 따라서, q ≥ 1 이다.

    따라서, p+q ≥ 2+1 = 3 이다.

    반면, p = 1/3, q = 4/3 일 때, f(x) = px2-2x+q = x2/3-2x+4/3 의 최솟값이 1이 된다.

    따라서, 정답은 "3" 이다.
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18. 함수 f(x) = x4-4x3+2ax2 이 극댓값을 갖지 않을 때, 정수 a의 최솟값은?(문제 오류로 실제 시험에서는 모두 정답처리 되었습니다. 여기서는 1번을 누르면 정답 처리 됩니다.)

  1. -3
  2. -2
  3. 2
  4. 3
(정답률: 알수없음)
  • f(x)의 미분함수는 4x^3 - 12x^2 + 4ax 이다. 극댓값을 갖지 않으므로, f(x)의 미분값이 0이 되는 x가 존재하지 않는다. 따라서, 4x^3 - 12x^2 + 4ax = 0 을 만족하는 x가 존재하지 않는다. 이는 4x(x^2 - 3x + a) = 0 으로 변형할 수 있다. 여기서 x는 0이 아니므로, x^2 - 3x + a = 0 을 만족하는 x가 존재하지 않아야 한다. 이는 이차방정식의 판별식 D = 9 - 4a < 0 을 만족해야 한다. 따라서, a > 9/4 이어야 하고, 정수 중에서 최솟값은 -3이 된다.
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1

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19. 어느 학급 학생을 대상으로 세 영화 A, B, C의 관람 여부를 조사하였더니 A영화를 관람한 학생이 10명, B영화를 관람한 학생이 9명, C영화를 관람한 학생이 11명이고, 이 중 A와 B 두 영화만 관람한 학생이 2명, 세 영화를 모두 관람한 학생이 5명이었다. C영화만 관람한 학생의 수의 최솟값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 알수없음)
  • A와 B 두 영화만 관람한 학생이 2명이므로, A와 B 영화를 모두 관람한 학생은 1명이 됩니다. 따라서, A 영화를 관람한 학생 중 A와 B 영화를 모두 관람한 학생은 1명이 되고, B 영화를 관람한 학생 중 A와 B 영화를 모두 관람한 학생은 1명이 됩니다. 이제 A, B, C 영화를 모두 관람한 학생은 5명이므로, A와 B 영화를 모두 관람한 학생 중 C 영화를 관람한 학생은 3명이 됩니다. 따라서, C 영화를 관람한 학생의 최솟값은 A 영화를 관람한 학생 중 C 영화를 관람하지 않은 학생인 10-1=9명과 B 영화를 관람한 학생 중 C 영화를 관람하지 않은 학생인 9-1=8명 중 작은 값인 8명이 됩니다. 따라서 정답은 "1"입니다.
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20. 두 수열 {an}, {bn} 이 다음과 같다. 10 이하인 두 자연수 m, n에 대하여 am+bn 이 3의 배수인 순서쌍 (am, bn)의 개수는?

  1. 30
  2. 35
  3. 40
  4. 45
(정답률: 알수없음)
  • am+bn 이 3의 배수가 되는 경우는 다음과 같다.

    1. am이 3의 배수이고 bn이 3의 배수인 경우
    2. am이 1 mod 3이고 bn이 2 mod 3인 경우
    3. am이 2 mod 3이고 bn이 1 mod 3인 경우

    따라서, 각각의 경우에 대해 가능한 숫자의 조합을 구하면 된다.

    1. am이 3의 배수인 경우, 1부터 3까지의 숫자 중에서 bn이 0 mod 3인 경우의 수는 3가지이다. 4부터 6까지의 숫자 중에서 bn이 0 mod 3인 경우의 수는 3가지이다. 이와 같이 계속해서 10까지의 숫자까지 경우의 수를 구하면 총 3+3+3+3+3+3+2+2+2+2 = 27가지이다.

    2. am이 1 mod 3이고 bn이 2 mod 3인 경우, 1, 4, 7, 10 중에서 am이 1 mod 3인 경우의 수는 3가지이다. 2, 5, 8 중에서 bn이 2 mod 3인 경우의 수는 3가지이다. 이와 같이 계속해서 경우의 수를 구하면 총 3x3 = 9가지이다.

    3. am이 2 mod 3이고 bn이 1 mod 3인 경우, 2, 5, 8 중에서 am이 2 mod 3인 경우의 수는 3가지이다. 1, 4, 7, 10 중에서 bn이 1 mod 3인 경우의 수는 4가지이다. 이와 같이 계속해서 경우의 수를 구하면 총 3x4 = 12가지이다.

    따라서, 총 경우의 수는 27+9+12 = 48가지이다.
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