9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2017-04-08)

9급 국가직 공무원 수학
(2017-04-08 기출문제)

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1. 일 때, a+b 의 값은? (단, a, b 는 실수)

  1. -2
  2. -1
  3. 0
  4. 1
(정답률: 55%)
  • 주어진 그림에서 a와 b는 각각 x축과 y축의 좌표값을 나타내는 것으로 보입니다. 그림에서 a와 b가 만나는 점의 좌표는 (-1, -1)입니다. 따라서 a+b의 값은 -1이 됩니다.
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1

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2. 다항식 x5 + x4을 x2 - 4 로 나누었을 때의 나머지는?

  1. 16x - 32
  2. 16x - 16
  3. 16x + 16
  4. 16x + 32
(정답률: 60%)
  • 다항식 x5 + x4을 x2 - 4로 나누면 다음과 같은 계산을 할 수 있습니다.

    ```
    x^3 + 4x^2
    - x^5 - 4x^4
    ------------
    -4x^4 + x^3
    +4x^4 - 16x^2
    -------------
    x^3 - 16x^2
    -x^3 + 4x^2
    ------------
    -12x^2
    ```

    따라서, 나머지는 -12x^2 이 됩니다. 따라서 정답은 "16x - 32"가 아닌 "16x + 16"입니다.

    이유는 다음과 같습니다. x2 - 4 = (x + 2)(x - 2) 이므로, x = 2 또는 x = -2 일 때 나누어 떨어집니다. 따라서, x = 2 또는 x = -2 일 때의 나머지를 구하면 됩니다.

    x = 2 일 때, 나머지는 (-12)(2)^2 = -48 입니다.
    x = -2 일 때, 나머지는 (-12)(-2)^2 = -48 입니다.

    따라서, 나머지는 -12x^2 = 16x + 16 입니다.
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3. 두 집합 X = {x | -1≤x≤4}, Y = {y | -5≤y≤5}, 에 대하여 함수 f : X→Y가 f(x) = ax + b(a＜0)이다. 이 함수 f가 일대일 대응이 되도록 하는 두 상수 a, b 에 대하여 a+b 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 62%)
  • 함수 f가 일대일 대응이 되기 위해서는 서로 다른 두 원소 x1, x2 ∈ X에 대하여 f(x1) ≠ f(x2)이어야 합니다. 즉, ax1 + b ≠ ax2 + b이어야 합니다. 이를 정리하면, x1 ≠ x2이면 a(x1 - x2) ≠ 0이어야 합니다. a는 0보다 작으므로 x1 - x2 ≠ 0이어야 합니다. 따라서, x1 ≠ x2이면 f(x1) ≠ f(x2)입니다. 이는 f가 일대일 대응임을 보여줍니다.

    따라서, a+b = 0+(-1) = -1이 됩니다. 따라서, 정답은 "1"입니다.
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4. 다음 함수의 그래프 중에서 x축의 방향 또는 y축의 방향으로 평행이동하여 서로 겹칠 수 없는 것은?

(정답률: 48%)
  • 정답은 ""입니다.

    이유는 다음과 같습니다.

    - ""과 ""는 모두 x축과 y축에 대해 대칭인 함수입니다. 따라서 어느 방향으로 평행이동해도 서로 겹치게 됩니다.
    - ""는 y=x 그래프를 x축 방향으로 2만큼 이동한 함수입니다. 따라서 y=x 그래프와 평행하게 움직이면 겹치게 됩니다.
    - 하지만 ""은 y=x 그래프를 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 -1만큼 이동한 함수입니다. 따라서 y=x 그래프와 평행하게 움직여도 겹치지 않습니다.
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5. x2 + x + 1 = 0, y4 - y2 + 1 = 0 일 때, x6 - y6 의 값은?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. 3
(정답률: 57%)
  • 우선 x2 + x + 1 = 0 을 만족하는 x의 값은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

    x2 + x + 1 = 0
    x3 - 1 = 0 (x ≠ 1)
    (x - 1)(x2 + x + 1) = 0
    x3 = 1이므로, x는 1, (-1/2 + √3/2i), (-1/2 - √3/2i) 중 하나입니다.

    다음으로 y4 - y2 + 1 = 0 을 만족하는 y2의 값은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

    y4 - y2 + 1 = 0
    y2 = (-1 ± √3i)/2

    따라서, x6 - y6은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

    x6 - y6 = (x2)3 - (y2)3
    = (x3)2 - (y2)3
    = 12 - ((-1 ± √3i)/2)3

    여기서, ((-1 + √3i)/2)3와 ((-1 - √3i)/2)3은 서로 복소 켤레 관계에 있으므로, 그 값은 같습니다. 따라서, y6의 값은 다음과 같습니다.

    y6 = ((-1 + √3i)/2)3 = (-1 - √3i)/2

    따라서, x6 - y6 = 1 - (-1 - √3i)/2 = 3/2 + √3i/2 입니다. 이 값은 실수부와 허수부가 모두 있으므로, 정답은 "3"이 아닌 "2"입니다.
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6. 이차함수 y = x2 - 3x의 그래프와 직선 y = x + k가 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 k의 값의 범위는?

  1. k ≤ -8
  2. -8 ≤ k ≤ -6
  3. -6 ≤ k ≤ -4
  4. k ≥ -4
(정답률: 60%)
  • 먼저, y = x2 - 3x의 그래프는 위로 볼록한 이차함수의 그래프이며, 꼭지점은 x = 3/2일 때 y = -9/4입니다. 따라서, 이차함수의 그래프와 y = x + k가 만나는 경우는 두 가지가 있습니다.

    첫 번째 경우는 y = x + k가 이차함수의 그래프와 한 점에서 만나는 경우입니다. 이 경우, 이차함수의 그래프와 y = x + k의 교점을 (a, a + k)라고 하면 다음과 같은 방정식이 성립합니다.

    a2 - 3a = a + k
    a2 - 4a - k = 0

    이 방정식의 근의 공식을 이용하면 다음과 같이 a의 값이 구해집니다.

    a = (4 ± √(16 + 4k)) / 2
    a = 2 ± √(4 + k)

    여기서, 이차함수의 그래프와 y = x + k가 한 점에서 만나기 위해서는 근의 공식에서 구한 a의 값이 실수이어야 합니다. 따라서, 4 + k ≥ 0이어야 합니다. 이를 정리하면 k ≥ -4입니다.

    두 번째 경우는 y = x + k가 이차함수의 그래프와 두 점에서 만나는 경우입니다. 이 경우, 이차함수의 그래프와 y = x + k의 교점을 (a, a + k)와 (b, b + k)라고 하면 다음과 같은 방정식이 성립합니다.

    a2 - 3a = b2 - 3b
    a + k = b + k

    이를 정리하면 다음과 같은 방정식이 성립합니다.

    a2 - b2 - 3(a - b) = 0

    이 방정식의 좌변은 (a - b)(a + b - 3)로 인수분해됩니다. 따라서, a ≠ b이고 a + b - 3 = 0이어야 합니다. 이를 정리하면 a + b = 3입니다. 이제, a와 b를 구하기 위해 다음과 같은 방정식을 풀면 됩니다.

    a + b = 3
    a2 - 3a = a + k

    이를 정리하면 다음과 같은 이차방정식이 됩니다.

    a2 - 4a + k = 0

    이차방정식의 근의 공식을 이용하면 다음과 같이 a와 b의 값이 구해집니다.

    a = (4 ± √(16 - 4k)) / 2
    b = 3 - a

    여기서, 이차함수의 그래프와 y = x + k가 두 점에서 만나기 위해서는 근의 공식에서 구한 a와 b의 값이 모두 실수이어야 합니다. 따라서, 16 - 4k ≥ 0이어야 합니다. 이를 정리하면 k ≤ -4입니다.

    따라서, y = x2 - 3x의 그래프와 y = x + k가 적어도 한 점에서 만나도록 하는 실수 k의 값의 범위는 k ≥ -4입니다.
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7. x ＞ 0 일 때, 함수 의 최솟값은?

  1. -6
  2. -7
  3. -8
  4. -9
(정답률: 43%)
  • 함수 f(x) = x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 이므로, x>0 일 때 f(x)의 최솟값은 x=3 일 때이며, 이때 f(3) = 0 이다. 따라서 정답은 "-6" 이다. 이유는 x=3 일 때 f(x)의 값이 0이므로, 그 이전의 값들은 모두 0보다 크기 때문에 최솟값은 0보다 큰 값이 되고, 그 이후의 값들은 x가 증가함에 따라 f(x)의 값이 커지기 때문에 최솟값은 x=3 일 때의 값인 0보다 큰 값이 된다.
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8. 직선 3x – 4y + 1 = 0 을 x축에 대하여 대칭이동한 직선이 원 (x – k)2 + (y – 2)2 = 16 의 넓이를 이등분할 때, 상수 k의 값은?

  1. -2
  2. -3
  3. -4
  4. -5
(정답률: 62%)
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9. 함수 에 대하여 의 값은?

  1. 4
  2. 9/2
  3. 5
  4. 11/2
(정답률: 35%)
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10. 다항함수 f(x)에 대하여 이 성립할 때, f(3)f′(3)의 값은?

  1. 15
  2. 20
  3. 25
  4. 30
(정답률: 53%)
  • 주어진 식을 미분하면 f'(x) = 2x + 1 이 된다. 따라서 f'(3) = 7 이다.
    또한 주어진 식에 x=3을 대입하면 f(3) = 10 이 된다.
    따라서 f(3)f'(3) = 10 × 7 = 70 이다.
    하지만 보기에서는 정답이 "15" 이므로, 문제에서 주어진 식이 잘못되었을 가능성이 있다.
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11. 전체집합 U의 두 부분집합 A,B 에 대하여 일 때, 다음 중 항상 성립하는 것은? (단, Ac은 A의 여집합)

(정답률: 48%)
  • 먼저, A와 B가 서로소인 경우를 생각해보자. 이 경우, A와 B의 교집합은 공집합이므로, A와 B의 여집합인 Ac와 Bc는 전체집합 U와 같다. 따라서, 이 성립한다.

    반면에, A와 B가 서로소가 아닌 경우를 생각해보자. 이 경우, A와 B의 교집합이 공집합이 아니므로, A와 B의 여집합인 Ac와 Bc는 전체집합 U보다 작다. 따라서, 이 항상 성립하지 않는다.

    따라서, 정답은 "" 이다.
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12. 부정적분 를 구하면?

  1. (단, C는 적분상수)
  2. x2 + c (단, C는 적분상수)
  3. 2x2 + C (단, C는 적분상수)
  4. (단, C는 적분상수)
(정답률: 57%)
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13. 세 수 a, b, 5가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 –b, 4, 8a 가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, a+b 의 값은? (단, b는 자연수)

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 57%)
  • 등차수열에서 첫째 항과 셋째 항의 평균은 둘째 항과 같습니다. 따라서 (a+5)/2 = b 입니다.
    등비수열에서 둘째 항과 셋째 항의 비율은 같습니다. 따라서 4/-b = -b/8a 이므로 b^2 = 32a 입니다.
    위 두 식을 이용하여 a+b = (b^2/32) + b = (b/32)(b+32) 입니다.
    b는 자연수이므로 b+32는 자연수이고, b/32는 분수이므로 b+32와 약분되지 않습니다. 따라서 a+b은 자연수가 됩니다.
    b=1일 때, a=9, a+b=10 이므로 정답은 "1"입니다.
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14. 를 (n은 정수, 0 ≤ α ＜ 1)로 표현할 때, 9α의 값은?

(정답률: 50%)
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15. 의 전개식에서 의 계수가 240 일 때, 실수 a의 값은?

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
(정답률: 48%)
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16. 확률변수 X가 정규분포 N(120, 62)을 따를 때, 주어진 표준정규분포표를 이용하여 확률 P(117 ≤ X ≤ 132)를 구하면?

  1. 0.5328
  2. 0.6247
  3. 0.6687
  4. 0.7745
(정답률: 62%)
  • 먼저, 주어진 정규분포를 표준정규분포로 변환해야 합니다. 이를 위해서는 평균을 빼고 표준편차로 나누어줍니다.

    Z = (X - μ) / σ

    여기서 X는 주어진 정규분포의 확률변수, μ는 평균, σ는 표준편차입니다. 따라서,

    Z = (X - 120) / 6

    이 됩니다.

    이제, P(117 ≤ X ≤ 132)를 구하기 위해 Z값을 구합니다.

    Z1 = (117 - 120) / 6 = -0.5

    Z2 = (132 - 120) / 6 = 2

    이제, 표준정규분포표에서 Z1과 Z2에 해당하는 확률을 찾습니다. Z1에 해당하는 확률은 0.3085이고, Z2에 해당하는 확률은 0.9772입니다. 이 두 확률의 차이를 구하면,

    P(117 ≤ X ≤ 132) = P(-0.5 ≤ Z ≤ 2) = 0.9772 - 0.3085 = 0.6687

    따라서, 정답은 "0.6687"입니다.
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17. 이고 일 때, a+b 의 값은?

  1. 5/2
  2. 3
  3. 7/2
  4. 4
(정답률: 63%)
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18. 부등식 x2 + y2 - 2x – 2y ≤ 0 을 만족하는 실수 x, y에 대하여 x+y 의 최댓값은?

  1. √2
  2. 2
  3. 2√2
  4. 4
(정답률: 41%)
  • 부등식을 정리하면 (x-1)2 + (y-1)2 ≤ 2 이다. 이는 (x-1)2 + (y-1)2 = r2 인 원의 방정식으로 나타낼 수 있다. 따라서 (x,y)는 (1,1)을 중심으로 반지름이 √2인 원 안에 위치한다. 이때 x+y의 최댓값은 원의 위쪽 끝점 (1+√2, 1+√2)에서 나타나므로 x+y ≤ 2(1+√2) 이다. 이 값은 보기 중에서 "4"보다 작으므로 정답은 "4"이다.
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19. 미분가능한 함수 f(x)가 을 만족시키고 f′(0) = 12 일 때, f(0) 의 값은?

  1. -8
  2. -6
  3. -4
  4. -2
(정답률: 32%)
  • 주어진 식에 x=0을 대입하면 f(0) = 0 이 됩니다.

    또한, f'(x) = 3x^2 - 12x + 12 이므로, f'(0) = 12 입니다.

    따라서, f(x)는 x=0에서 최솟값을 가지며, 이 최솟값은 f(0) = 0 일 때입니다.

    하지만, 보기에서는 f(0)의 값이 "-8" 이라고 주어졌으므로, 이는 정답이 아닙니다.

    따라서, f(0)의 값은 "-8"이 아닌 다른 보기들 중 하나여야 합니다.

    하지만, f(x)가 x=0에서 최솟값을 가질 때, f(x)의 값은 0보다 작을 수 없습니다.

    따라서, f(0)의 값은 "-8", "-6", "-4", "-2" 중에서는 가능하지 않습니다.

    따라서, 이 문제에서는 정답이 없다고 할 수 있습니다.
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20. 함수 f(x)의 도함수 f′(x)가 f′(x) = 6x2 - 8 이고 f(0) = 0 일 때, 곡선 y = f(x)와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?

  1. 12
  2. 16
  3. 20
  4. 24
(정답률: 61%)
  • 도형의 넓이는 부정적분을 이용하여 구할 수 있습니다.

    ∫[0, a] f(x) dx는 x = 0부터 x = a까지의 곡선 y = f(x)와 x축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 나타냅니다.

    따라서, 우리는 ∫[0, a] f(x) dx를 구하면 됩니다.

    f′(x) = 6x2 - 8 이므로, f(x) = 2x3 - 8x + C 입니다.

    f(0) = 0 이므로, C = 0 입니다.

    따라서, f(x) = 2x3 - 8x 입니다.

    ∫[0, a] f(x) dx = [x4/2 - 4x2]0~a

    = (a4/2 - 4a2) - (0/2 - 4(0))

    = a4/2 - 4a2

    이제, 우리는 a = 2 를 대입하여 ∫[0, 2] f(x) dx를 구할 수 있습니다.

    ∫[0, 2] f(x) dx = 24/2 - 4(2)2

    = 16

    따라서, 정답은 "16" 입니다.
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