먼저 공비 $r = \frac{1-i}{1+i}$를 단순화하면 $\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)} = \frac{-2i}{2} = -i$입니다. 이는 첫째항이 $-i$이고 공비가 $-i$인 등비수열의 합입니다.
$$\sum_{k=1}^{2017} (-i)^k = \frac{-i((-i)^{2017} - 1)}{-i - 1}$$
여기서 $(-i)^{2017} = (-i)^{2016} \times (-i) = ((-i)^4)^{504} \times (-i) = 1^{504} \times (-i) = -i$입니다.
$$\frac{-i(-i - 1)}{-i - 1} = -i$$
따라서 $a + bi = 0 - 1i$이므로 $a = 0, b = -1$이며, $a + b = -1$입니다.

함수 $f(x) = ax + b$가 일대일 대응이 되려면 공역 $Y$와 치역이 일치해야 합니다. $a < 0$이므로 감소함수이며, $x = -1$일 때 최댓값 $5$, $x = 4$일 때 최솟값 $-5$를 가져야 합니다.
1) $f(-1) = -a + b = 5$
2) $f(4) = 4a + b = -5$
두 식을 연립하여 풀면 $5a = -10$에서 $a = -2$이고, 이를 대입하면 $b = 3$입니다.
① [기본 공식] $a + b$
② [숫자 대입] $-2 + 3$
③ [최종 결과] $1$

주어진 식의 양변에 $(x-1)$을 곱하여 $x^3$의 값을 구하고, $y$에 대해서도 동일한 원리를 적용하여 $y^6$의 값을 도출합니다.
먼저 $x^2 + x + 1 = 0$의 양변에 $(x-1)$을 곱하면 $x^3 - 1 = 0$이 되어 $x^3 = 1$입니다. 따라서 $x^6 = (x^3)^2 = 1^2 = 1$입니다.
다음으로 $y^4 - y^2 + 1 = 0$의 양변에 $(y^2 + 1)$을 곱하면 $y^6 + 1 = 0$이 되어 $y^6 = -1$입니다.
최종적으로 $x^6 - y^6$의 값은 다음과 같습니다.
① [기본 공식] $x^6 - y^6$
② [숫자 대입] $1 - (-1)$
③ [최종 결과] $2$

산술-기하 평균 부등식을 이용하여 함수의 최솟값을 구하는 문제입니다.
$x > 0$ 일 때, $t = x + \frac{1}{x}$로 치환하면 산술-기하 평균에 의해 $t \ge 2$가 됩니다.
함수는 $y = t^{2} - 2t - 6$으로 표현되며, 이는 $y = (t-1)^{2} - 7$ 입니다.
① [기본 공식] $y = (t-1)^{2} - 7$
② [숫자 대입] $t \ge 2 \text{ 이므로 } y \ge (2-1)^{2} - 7$
③ [최종 결과] $y \ge -6$

함수 $f(x)$의 극한값을 구하기 위해 $x$의 범위에 따라 식을 단순화합니다.
1. $x \to 1^{-}$ 일 때: $|x| < 1$이므로 $x^{2n} \to 0$ 입니다. 따라서 $f(x) = \frac{0-1+2x+3}{0+1} = 2x+2$가 되며, $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) = 2(1)+2 = 4$ 입니다.
2. $x \to 2^{+}$ 일 때: $|x| > 1$이므로 분자 분모를 $x^{2n}$으로 나누면 $f(x) = \frac{1 + \frac{2x}{x^{2n}} + \frac{3}{x^{2n}}}{1 + \frac{1}{x^{2n}}} \to 1$이 됩니다. 따라서 $\lim_{x \to 2^{+}} f(x) = 1$이 아니라, 주어진 식 $\lim_{n \to \infty} \frac{x^{2n-1}+2x+3}{x^{2n}+1}$에서 $x=2$를 대입하면 분모 분자의 최고차항 계수비에 의해 $f(2) = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{2n-1}}{2^{2n}} = \frac{1}{2}$이 됩니다.
최종 계산: $\lim_{x \to 1^{-}} f(x) + \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = 4 + \frac{1}{2} = \frac{11}{2}$

주어진 조건 $\text{}$는 $A \cap B = A$를 의미하며, 이는 $A \subset B$와 동치입니다.
집합 $A$가 $B$의 부분집합일 때, 여집합의 성질에 의해 포함 관계가 반대로 바뀝니다.
따라서 $A \subset B$이면 $B^c \subset A^c$가 항상 성립합니다.
정답은 $\text{}$ 입니다.

등차수열과 등비수열의 성질을 이용하여 연립방정식을 세웁니다.
세 수 $a, b, 5$가 등차수열이므로 $2b = a + 5$ 입니다.
세 수 $-b, 4, 8a$가 등비수열이므로 $4^2 = (-b)(8a)$, 즉 $16 = -8ab$에서 $ab = -2$ 입니다.
$a = 2b - 5$를 $ab = -2$에 대입합니다.
$$b(2b - 5) = -2 \implies 2b^2 - 5b + 2 = 0$$
$$(2b - 1)(b - 2) = 0$$
$b$는 자연수이므로 $b = 2$ 입니다.
이를 $a = 2b - 5$에 대입하면 $a = 2(2) - 5 = -1$ 입니다.
따라서 $a + b = -1 + 2 = 1$ 입니다.

이항정리 일반항 공식을 이용하여 특정 항의 계수를 구하는 문제입니다.
$(ax^2 - \frac{2}{x})^5$의 일반항은 $\binom{5}{r}(ax^2)^{5-r}(-\frac{2}{x})^r$이며, $x$의 지수가 $-2$가 되는 $r$값을 찾아야 합니다.
지수 계산: $2(5-r) - r = -2 \Rightarrow 10 - 3r = -2 \Rightarrow 3r = 12 \Rightarrow r = 4$
계수 식: $\binom{5}{4}a^{5-4}(-2)^4 = 5 \times a \times 16 = 80a$
이 값이 240이 되어야 하므로:
① [기본 공식] $80a = 240$
② [숫자 대입] $a = \frac{240}{80}$
③ [최종 결과] $a = 3$

무한대 분의 무한대 꼴의 극한과 루트가 포함된 극한값을 각각 구하여 합산하는 문제입니다.
먼저 $a$는 최고차항의 계수비를 통해 구합니다.
$$a = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^{2}-n+2}{2n^{2}+3n+1}$$
$$a = \frac{3}{2}$$
다음으로 $b$는 분자를 유리화하여 구합니다.
$$b = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2}+2n-1}-n) = \lim_{n \to \infty} \frac{(n^{2}+2n-1)-n^{2}}{\sqrt{n^{2}+2n-1}+n}$$
$$b = \lim_{n \to \infty} \frac{2n-1}{\sqrt{n^{2}+2n-1}+n} = \frac{2}{1+1} = 1$$
최종적으로 $a+b$의 값을 계산합니다.
① [기본 공식] $a+b$
② [숫자 대입] $\frac{3}{2} + 1$
③ [최종 결과] $a+b = \frac{5}{2}$

주어진 정적분 방정식의 양변을 $x$에 대해 미분하여 $f(x)$와 $f'(x)$의 관계식을 도출합니다.
양변을 미분하면 다음과 같습니다.
$$xf(x) = \frac{1}{2}(2xf(x) + x^2f'(x)) + 4x^3 - 6x^2$$
정리하면 $0 = \frac{1}{2}x^2f'(x) + 4x^3 - 6x^2$가 됩니다.
여기에 $x=0$을 대입하면 $0=0$이 되어 $f(0)$을 바로 구할 수 없으므로, 식을 $f'(x)$에 대해 정리합니다.
$$\frac{1}{2}x^2f'(x) = 6x^2 - 4x^3$$
양변을 $\frac{1}{2}x^2$으로 나누면 $$f'(x) = 12 - 8x$$
이를 적분하면 $f(x) = 12x - 4x^2 + C$
문제에서 $f'(0)=12$는 이미 만족하며, 원래의 적분 방정식에 $x=2$를 대입하면 좌변은 $0$이 됩니다.
$$0 = \frac{1}{2}(2^2)f(2) + 2^4 - 2(2^3)$$
$$0 = 2f(2) + 16 - 16 \implies f(2) = 0$$
위의 $f(x)$ 식에 $x=2$를 대입하여 적분상수 $C$를 구합니다.
$$0 = 12(2) - 4(2^2) + C \implies 0 = 24 - 16 + C \implies C = -8$$
따라서 $f(0) = C = -8$ 입니다.