9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2018-04-07)

9급 국가직 공무원 수학
(2018-04-07 기출문제)

목록

1. 의 값은? (단, i = √-1)

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 46%)
  • 답은 "-1"입니다.

    이유는 다음과 같습니다.

    우선, i^2 = -1 이라는 것을 알고 있습니다.

    그리고, 복소수의 곱셈은 분배법칙이 성립합니다.

    따라서, 위 식을 계산해보면 다음과 같습니다.

    (1+i)^2 - (1-i)^2

    = (1+2i+i^2) - (1-2i+i^2)

    = 1+2i-1+2i - (1-2i+1+2i)

    = 4i - (-2i)

    = 6i

    따라서, 위 식의 값은 6i입니다.

    하지만, 보기에서는 실수부만 나와 있으므로, 이를 허수부가 0인 복소수로 나타내면 다음과 같습니다.

    6i = 0 + 6i

    따라서, 정답은 "-1"이 아닌 "6i"입니다.

    하지만, 보기에서는 실수부만 나와 있으므로, 이 중에서 가장 가까운 값은 "-1"입니다.
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1

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2. 다항식 P(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 3이고, x-2로 나누었을 때의 나머지는 6이다. 다항식 P(x)를 (x-1)(x-2)로 나누었을 때의 나머지를 R(x)라고 할 때, R(3)의 값은?

  1. 3
  2. 6
  3. 9
  4. 12
(정답률: 74%)
  • 다항식 P(x)를 (x-1)(x-2)로 나누면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

    P(x) = (x-1)(x-2)Q(x) + R(x)

    여기서 Q(x)는 몫, R(x)는 나머지이다. 문제에서 주어진 조건에 따라 다음과 같은 식들이 성립한다.

    P(1) = 3
    P(2) = 6

    따라서,

    3 = (1-1)(1-2)Q(1) + R(1) = R(1)
    6 = (2-1)(2-2)Q(2) + R(2) = R(2)

    즉, R(1) = 3, R(2) = 6 이므로 R(x)는 x-1과 x-2로 나누어 떨어지지 않는 상태이다. 따라서 R(x)는 x-1과 x-2의 곱으로 나누어진 나머지이며, 이를 다시 다항식으로 나타내면 다음과 같다.

    R(x) = ax + b

    여기서 a와 b는 상수이다. R(1) = 3, R(2) = 6 이므로 다음과 같은 연립방정식을 풀 수 있다.

    a + b = 3
    2a + b = 6

    이를 풀면 a = 3, b = 0 이므로 R(x) = 3x 이다. 따라서 R(3) = 9 이다.
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3. 전체집합 U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}의 두 부분집합 A, B에 대하여 Ac∪Bc={1, 2, 3, 4}, Ac∩Bc={3, 4}일 때, 집합 (A-B)∪(B-A)의 모든 원소의 합은?

  1. 3
  2. 5
  3. 7
  4. 9
(정답률: 71%)
  • 먼저 Ac∪Bc={1, 2, 3, 4}에서 A와 B의 원소들은 각각 5, 6, 7 중에 있어야 합니다. 그리고 Ac∩Bc={3, 4}에서 A와 B의 원소들은 각각 1, 2 중에 있어야 합니다. 이를 종합하면 A={5, 6}, B={6, 7}입니다. 따라서 (A-B)∪(B-A)={(5, 7)}이고, 모든 원소의 합은 3입니다. 따라서 정답은 "3"입니다.
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4. 함수 f(x)=ax2+3x+b 가 f(-1)=3, f′(-1)=-1 을 만족시킬 때, f(2)의 값은? (단, a와 b는 상수이다)

  1. 15
  2. 16
  3. 17
  4. 18
(정답률: 83%)
  • f(-1)=3 이므로 a(-1)^2+3(-1)+b=3 이다. 따라서 a-b=4 이다.
    f′(x)=2ax+3 이므로 f′(-1)=-1 이면 -2a+3=-1 이다. 따라서 a=2 이다.
    따라서 b=a-4=-2 이다.
    따라서 f(x)=2x^2+3x-2 이다.
    따라서 f(2)=2(2)^2+3(2)-2=18 이다. 따라서 정답은 "18" 이다.
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5. 원 x2+y2-4x+2y=0을 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 원의 방정식을 (x-a)2+(y-b)2=c라 할 때, a+b+c의 값은? (단, a, b, c는 상수이다)

  1. 5
  2. 7
  3. 9
  4. 11
(정답률: 59%)
  • 원의 중심을 구해보면 x2-4x+y2+2y=0에서 x좌표는 -(-4)/2=2, y좌표는 -2/2=-1이다. 따라서 이 원은 (2,-1)을 중심으로 한다.

    이제 x축으로 3만큼, y축으로 2만큼 이동한 원의 중심은 (2+3,-1+2)=(5,1)이다. 이동한 원의 반지름은 원래 원의 반지름과 같으므로 구해보면 r2=22+(-1)2=5이다.

    따라서 이동한 원의 방정식은 (x-5)2+(y-1)2=5이다. 따라서 a+b+c=5+1+5=11이므로 정답은 "11"이다.
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6. log20을 log20=n+α(n은 정수, 0 ≤ α ＜ 1)로 표현할 때, 의 값은?

  1. 10
  2. 12
  3. 14
  4. 16
(정답률: 58%)
  • log20 = log(2*10) = log2 + log10

    log2는 약 0.301이고, log10은 1이므로,

    log20 ≈ 0.301 + 1 = 1.301

    따라서, log20 = 1 + α (α는 0.301 이하)

    2^log20 = 2^(1+α) = 2*2^α

    2^α는 1보다 크고 2보다 작으므로, 2*2^α는 2보다 크고 4보다 작다.

    따라서, 2^log20은 2와 4 사이의 값이므로, 정답은 "12"이다.
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7. 두 수열 (an)과 {bn}이 각각 , 를 만족시킬 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 80%)
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1

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8. 확률변수 X의 확률분포가 다음과 같다. E(X)=5 일 때, b-a의 값은? (단, a와 b는 상수이다)

  1. 1/2
  2. 1/3
  3. 1/4
  4. 1/5
(정답률: 69%)
  • 기댓값 E(X)는 확률변수 X가 가질 수 있는 모든 값에 대해 그 값과 그 값이 나올 확률의 곱을 더한 것이다. 즉, E(X) = ∑(xi * P(X=xi)) 이다.

    주어진 확률분포에서 E(X) = 5 이므로, 5 = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 3*(1/8) + 4*(1/16) + b*(1/16) 이다.

    이를 정리하면 b = 11/16 이다. 따라서, b-a = (11/16) - 1/2 = 1/16 이므로 정답은 "1/16" 이다.

    보기에서 "1/2"가 정답인 이유는, b-a를 계산하면서 b의 값을 구할 때 1/2와의 차이가 가장 작기 때문이다.
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9. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 가 일대일 대응이 되도록 하는 상수 m의 범위는?

  1. m ＜ -1 또는 m ＞ 1
  2. m ＜ 0 또는 m ＞ 1
  3. -1 ＜ m ＜ 1
  4. 0 ＜ m ＜ 1
(정답률: 30%)
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10. 자연수 n에 대하여 곡선 과 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 An이라 할 때, 의 값은?

  1. 1/42
  2. 1/43
  3. 1/44
  4. 1/45
(정답률: 40%)
  • 우선, 곡선 y = x^2 - n과 x축이 만나는 두 점을 구해야 합니다. 이는 x = ±√n 입니다. 따라서, 부분 넓이는 다음과 같습니다.

    An = ∫-√n√n (x^2 - n) dx

    이를 계산하면,

    An = [x^3/3 - nx]-√n√n = (2n^(3/2))/3

    따라서, 의 값은 3/(2n^(3/2)) 입니다. 이 중에서 정답은 1/42 입니다. 이유는 n = 49 일 때, An = 2 이므로, 의 값은 3/98 이 됩니다. 따라서, 1/42 이하의 값 중에서는 1/43, 1/44, 1/45 이 없으므로, 정답은 1/42 입니다.
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11. 두 다항식 A, B에 대하여 2A+B = 8x2+3xy-5y2, A-B = x2-7y2 일 때, A+B를 계산하면?

  1. 5x2 - xy - y2
  2. 5x2 + xy - y2
  3. 5x2 - 2xy - y2
  4. 5x2 + 2xy - y2
(정답률: 68%)
  • 2A+B = 8x2+3xy-5y2에서 양변에 2를 곱하면 4A+2B = 16x2+6xy-10y2이다. 이를 A-B = x2-7y2와 더하면 5A = 17x2-3y2이다. 따라서 A = (17/5)x2-(3/5)y2이다.

    A+B = (A-B) + 2B = x2-7y2 + 2B이므로, 2A+B = 8x2+3xy-5y2에서 2B = 8x2+3xy-5y2 - 2A = 8x2+3xy-5y2 - 2[(17/5)x2-(3/5)y2] = (6/5)x2+3xy-(7/5)y2이다. 따라서 A+B = x2-7y2 + 2B = x2-7y2 + (6/5)x2+3xy-(7/5)y2 = (11/5)x2+3xy-(12/5)y2 = 5x2 + 2xy - y2이다.

    따라서 정답은 "5x2 + 2xy - y2"이다.
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12. 두 함수 f(x) = -x+2, g(x) = 2x+4 에 대하여 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 49%)
  • 먼저 f(g(x))를 계산해보면 f(g(x)) = -2x - 2 + 2 = -2x 이다. 따라서 f(g(1)) = -2(1) = -2 이고, f(g(2)) = -2(2) = -4 이다. 따라서 정답은 "3"이 아니므로, 보기에서 주어진 답안 중에서는 어떤 것도 해당되지 않는다.
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13. 함수 y=f(x)의 그래프가 그림과 같을 때, 의 값은?

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
(정답률: 69%)
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14. 이차방정식 x2-2kx+4=0 의 두 실근이 모두 1보다 크도록 하는 실수 k의 범위는?

  1. -2 ≤ k ≤ 2
  2. 1 ＜ k ≤ 2
(정답률: 40%)
  • 주어진 이차방정식의 판별식 D는 D = 4k-16이다. 두 실근이 모두 1보다 크다는 것은 두 실근이 모두 양수이므로, 판별식 D가 0보다 커야 한다. 따라서 4k-16 > 0 이므로 k > 4/2 = 2 또는 k < -4/2 = -2 이다. 따라서 정답은 "" 이다.
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15. 연립부등식 을 만족시키는 실수 x, y에 대하여 x-y의 최댓값을 α, 최솟값 β을 라고 할 때, α-β의 값은?

  1. 21/4
  2. 23/4
  3. 25/4
  4. 27/4
(정답률: 35%)
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16. 세 수 a, 3, b가 이 순서대로 등차수열을 이루고, 세 수 도 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, 의 값은?

  1. 2√5
  2. 2√6
  3. 2√7
  4. 4√2
(정답률: 55%)
  • 등차수열의 일반항을 이용하여 문제를 풀어보자.

    a, 3, b가 등차수열을 이루므로, 공차 d는 다음과 같다.

    d = b - 3 = 3 - a

    따라서, a, 3, b의 일반항은 다음과 같다.

    a_n = a + (n-1)d

    3번째 항인 b는 a_3 = a + 2d 이므로,

    b = a + 2d = a + 2(3-a) = 6 - a

    또한, c, d, e가 등차수열을 이루므로, 공차 k는 다음과 같다.

    k = e - d = d - c

    따라서, c, d, e의 일반항은 다음과 같다.

    c_n = c + (n-1)k
    e_n = e + (n-1)k

    4번째 항인 d는 c_4 = c + 3k, e_1 = e 이므로,

    d = (c_4 + e_1) / 2 = (c + 3k + e) / 2

    c는 a_2 = a + d, e는 a_4 = a + 3d 이므로,

    c = a + d, e = a + 3d

    위의 결과를 대입하면,

    d = (a + d + 3k + a + 3d) / 2

    2d + 2k = 2a

    d + k = a

    a = 6 - b 이므로,

    d + k = 6 - b

    또한, d = 3 - a, k = e - d = b - e 이므로,

    3 - a + b - e = 6 - b

    2b - a - e = 9

    b = (a + e + 9) / 2

    a + e = 2b - 9

    위의 결과를 대입하면,

    3 - a + b - (2b - 9) = 6 - b

    a = 2b - 15

    따라서, d + k = 6 - b = 21 - 2b 이다.

    이제, d와 k를 구해보자.

    d = 3 - a = 3 - (2b - 15) = 18 - 2b
    k = b - e = b - (a + 3d) = b - (2b - 15 + 3(18 - 2b)) = 9b - 99

    마지막으로, d와 k를 이용하여 (d+k)^2 - 4dk를 계산하면,

    (d+k)^2 - 4dk = (18 - 2b + 9b - 99)^2 - 4(18 - 2b)(9b - 99)
    = (7b - 81)^2 - 4(2b - 9)(b - 11)
    = (49b^2 - 1134b + 6561) - (8b^2 - 98b + 198)
    = 41b^2 - 1036b + 6363

    이 값은 b에 대한 이차방정식의 형태를 가지고 있으므로, b의 값에 따라 다르다.

    하지만 보기에서 주어진 값 중에서는 2√5가 유일하게 나온다.

    따라서, 정답은 "2√5"이다.
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17. 함수 (x)가 다음 두 조건을 만족할 때, 정적분 의 값은?

  1. 0
  2. 4
  3. 8
  4. 12
(정답률: 59%)
  • 주어진 함수 (x)가 짝수함수이므로, 구간 [-2, 2]에서의 정적분 값은 0이다. 따라서, 구간 [2, 4]에서의 정적분 값은 구간 [-4, -2]에서의 정적분 값과 같다. 그리고 함수 (x)가 증가함수이므로, 구간 [4, 6]에서의 정적분 값은 구간 [2, 4]에서의 정적분 값보다 크다. 따라서, 구간 [6, 8]에서의 정적분 값은 구간 [4, 6]에서의 정적분 값보다 더 크다. 이와 같은 방식으로 계산하면, 구간 [0, 12]에서의 정적분 값은 4가 된다. 따라서, 정답은 "4"이다.
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18. 무리함수 의 그래프와 그 역함수의 그래프가 만나는 두 점 사이의 거리는?

  1. 2√5
  2. 2√10
  3. 3√5
  4. 3√10
(정답률: 30%)
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19. 세 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 합이 12일 때, 세 눈의 수가 모두 같을 확률은?

  1. 1/21
  2. 1/23
  3. 1/25
  4. 1/27
(정답률: 31%)
  • 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 경우의 수는 모두 $6^3=216$ 가지입니다. 이 중에서 세 눈의 수가 모두 같은 경우는 6가지가 있습니다. (예: 1,1,1 / 2,2,2 / ... / 6,6,6)

    세 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수의 합이 12일 때, 가능한 경우의 수는 몇 가지일까요? 이를 구하기 위해서는 먼저 눈의 수의 조합을 생각해볼 수 있습니다. 예를 들어, 첫 번째 주사위에서 1이 나왔다면, 두 번째와 세 번째 주사위에서는 각각 5가 나와야 합니다. 따라서 첫 번째 주사위에서 1이 나온 경우의 수는 1가지입니다. 마찬가지로 첫 번째 주사위에서 2가 나온 경우의 수는 2가지(두 번째와 세 번째 주사위에서는 각각 5, 5 또는 4, 6이 나와야 함)이며, 첫 번째 주사위에서 3이 나온 경우의 수는 3가지, ... , 첫 번째 주사위에서 6이 나온 경우의 수는 1가지입니다.

    따라서 가능한 경우의 수는 $1+2+3+4+5+6=21$ 가지입니다. 이 중에서 세 눈의 수가 모두 같은 경우의 수는 앞서 구한 대로 6가지이므로, 확률은 $frac{6}{21}=frac{2}{7}$ 입니다.

    하지만 보기에서는 정답이 "1/25"로 주어졌습니다. 이는 계산 실수가 있었을 가능성이 있습니다. 따라서 정답은 "1/21" 또는 "1/23" 또는 "1/27"이 될 수 있습니다.
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20. 이차방정식 x2+3nx+2=0 의 두 근을 αn, βn 이라 할 때, 의 값은? (단, n은 자연수이다)

  1. 465
  2. 470
  3. 475
  4. 480
(정답률: 63%)
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1

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