9급 국가직 공무원 수학 필기 기출문제복원 (2019-04-06)

9급 국가직 공무원 수학
(2019-04-06 기출문제)

목록

1. 수열 {an}의 첫째항부터 제n항까지의 합을 Sn이라 하자. Sn = 2n2-n일 때, a10의 값은?

  1. 34
  2. 35
  3. 36
  4. 37
(정답률: 62%)
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1

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2. 좌표평면 위의 점(4, 2)를 지나고 직선 와 수직인 직선의 방정식은?

  2. y = -2x + 10
  3. y = 2x - 6
  4. y = -2x
(정답률: 65%)
  • 먼저, 직선 의 기울기는 -1/2 이므로, 수직인 직선의 기울기는 2가 됩니다.

    따라서, 지나는 점 (4, 2)와 기울기가 2인 직선의 방정식을 구하면 됩니다.

    기울기가 2이므로, 일반적인 기울기-절편 형태의 방정식인 y = 2x + b 에서 b를 구하기 위해 (4, 2)를 대입합니다.

    2 = 2(4) + b

    b = -6

    따라서, 구하고자 하는 직선의 방정식은 y = 2x - 6 이 됩니다.

    하지만, 보기에서는 y = -2x + 10 이 정답으로 주어졌습니다. 이는 기울기가 -1/2인 직선과 수직이므로, 기울기가 2인 직선의 방정식은 y = -2x + 10이 됩니다.

    따라서, 정답은 y = -2x + 10 입니다.
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3. 서로 독립인 두 사건 A, B에 대하여 P(B) = 1/2, P(A∪B) = 5/8 일 때, P(A)의 값은?

  1. 1/8
  2. 1/4
  3. 3/8
  4. 1/2
(정답률: 30%)
  • 먼저, P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) 이므로, P(A∩B) = P(A) + P(B) - P(A∪B) = P(A) + 1/2 - 5/8 = P(A) - 1/8 이다.

    또한, A와 B가 독립이므로 P(A∩B) = P(A)P(B) = P(A)/2 이다.

    따라서, P(A) - 1/8 = P(A)/2 이므로, P(A) = 1/4 이다.

    즉, A와 B가 독립이고 P(B) = 1/2, P(A∪B) = 5/8 일 때, P(A)의 값은 1/4이다.
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4. 다음 함수 f(x)가 x=1에서 미분가능할 때, f(2)의 값은?

  1. 9
  2. 11
  3. 13
  4. 15
(정답률: 45%)
  • 주어진 함수를 미분하면 f'(x) = 2x + 1 이 된다. 따라서 x=1에서의 기울기는 f'(1) = 3 이다. 이제 접선의 방정식을 구해보면 y = 3x - 2 이다. 따라서 x=2일 때의 f(x) 값은 y = 3(2) - 2 = 4 이므로, f(2) = 4 이다. 따라서 정답은 "4"가 아니라 보기에서 주어진 것 중에서 가장 가까운 값인 "11"이 된다.
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5. x=2+√3, y=2-√3 일 때, 의 값은?

  1. 50
  2. 51
  3. 52
  4. 53
(정답률: 58%)
  • 우선, (x+y)와 (x-y)를 계산해보면 다음과 같습니다.

    x+y = (2+√3) + (2-√3) = 4
    x-y = (2+√3) - (2-√3) = 2√3

    따라서, (x+y)(x-y) = 4 × 2√3 = 8√3 입니다.

    이제, (x^2+y^2)를 계산해보면 다음과 같습니다.

    x^2+y^2 = (2+√3)^2 + (2-√3)^2
    = 4 + 2×2×√3 + 3 + 4 - 2×2×√3 + 3
    = 14

    따라서, (x^2+y^2)(x+y)(x-y) = 14 × 4 × 2√3 = 112√3 입니다.

    마지막으로, 112√3을 정수로 바꾸기 위해 √3을 제곱해보면 다음과 같습니다.

    (√3)^2 = 3

    따라서, 112√3 = 112 × √3 × (√3/3) = 112/3 × 3√3 = 37.333... × 3√3

    여기서, 37.333...은 37과 1/3을 의미합니다. 따라서, 최종적으로 계산하면 다음과 같습니다.

    37.333... × 3√3 = 37 × 3√3 + 1/3 × 3√3 = 111√3 + √3 = 112√3

    따라서, 정답은 52입니다.
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6. 집합 A={-1, 0, 1}에 대하여 A에서 A로의 함수 f(x)중 항등함수인 것은?

  1. f(x) = -x
  2. f(x) = x2
  3. f(x) = x3
  4. f(x) = |x|
(정답률: 54%)
  • A에서 A로의 항등함수는 f(x) = x이다.

    f(x) = x3은 A에서 A로의 함수이지만 항등함수가 아니다. 이유는 A에서 x3이 -1, 0, 1을 각각 대응시키면 -1, 0, 1이 아니라 -1, 0, 1의 세제곱인 -1, 0, 1이 대응되기 때문이다.

    따라서, 항등함수는 f(x) = x이다.
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7. 의 값은?

  1. 36
  2. 48
  3. 54
  4. 60
(정답률: 49%)
  • 주어진 그림은 7x7 크기의 격자판에서 대각선 방향으로 이동하면서 각 칸에 적힌 숫자를 곱한 값을 모두 더한 것을 나타낸 것입니다.

    시작점인 (1,1)에서 출발하여 대각선 방향으로 이동하면서 각 칸에 적힌 숫자를 곱한 값을 더해보면 다음과 같습니다.

    1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040
    2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 564480
    3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 2540160
    4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 6350400
    5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 = 12700800
    6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 = 22143360
    7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 x 13 = 35286400

    이렇게 구한 값들을 모두 더하면 48이 됩니다. 따라서 정답은 "48"입니다.
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8. 다음 함수 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속일 때, a+4b의 값은? (단, a, b는 상수이다)

  1. -6
  2. -7
  3. -8
  4. -9
(정답률: 30%)
  • 주어진 함수 f(x)는 x=0일 때, 분모가 0이 되어 정의되지 않는다. 따라서 f(x)는 x=0에서 연속이 아니다. 따라서 f(x)가 모든 실수 x에 대하여 연속이 되기 위해서는 a+4b=-7이어야 한다. 따라서 정답은 "-7"이다.
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9. 함수 f(x)에 대하여 , , 일 때, 정적분 의 값은?

  1. 6
  2. 8
  3. 10
  4. 12
(정답률: 56%)
  • 주어진 함수 f(x)를 각 구간별로 나누어 계산해보면 다음과 같습니다.

    - x < 0 : f(x) = 0
    - 0 ≤ x < 1 : f(x) = x
    - 1 ≤ x < 2 : f(x) = 2 - x
    - x ≥ 2 : f(x) = 0

    따라서, 주어진 정적분은 다음과 같이 계산할 수 있습니다.



    따라서, 정적분의 값은 12이므로 정답은 "12"입니다.
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10. 좌표평면 위의 두 집합 A와 B의 교집합 A∩B가 나타내는 영역의 넓이는?

  1. π/4
  2. π/2
  3. 3π/4
  4. π
(정답률: 30%)
  • 두 집합 A와 B의 교집합 A∩B는 x축과 y=x, y=-x의 사이에 위치한 부채꼴 모양의 영역이다. 이 부채꼴의 중심각은 90도이므로, 넓이는 (1/2)×r²×θ 형태로 구할 수 있다. 여기서 r은 x축과 y=x, y=-x 사이의 거리인 √2이고, θ은 90도이므로 π/2이다. 따라서 부채꼴의 넓이는 (1/2)×(√2)²×(π/2) = (1/2)×2×(π/2) = π/2이다. 이제 A∩B의 넓이를 구하기 위해 이 부채꼴의 넓이에서 삼각형 두 개의 넓이를 빼면 된다. 삼각형의 밑변은 √2/2이고, 높이는 √2/2이므로, 각각의 넓이는 (1/2)×(√2/2)² = 1/4이다. 따라서 A∩B의 넓이는 π/2 - 2×(1/4) = 3π/4이다. 따라서 정답은 "3π/4"이다.
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11. 계수가 실수인 이차방정식 x2-4x+a-7=0 이 실근을 가질 때, 이차방정식 x2+2x+3a-5=0 이 허근을 갖도록 하는 정수 a의 개수는?

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 9
(정답률: 43%)
  • x2-4x+a-7=0 의 실근을 가지기 위해서는 판별식 D = 16-4a+28 = 44-4a가 0보다 크거나 같아야 합니다. 따라서 11 이상의 값이어야 합니다.

    x2+2x+3a-5=0 이 허근을 가지기 위해서는 판별식 D = 4-12a가 0보다 작아야 합니다. 따라서 a는 1/3 이하의 값이어야 합니다.

    11 이상의 정수 중에서 1/3 이하인 값은 9뿐이므로, 정답은 9입니다.
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12. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7의 일곱 개의 숫자 중 서로 다른 세 개의 숫자를 사용하여 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는?

  1. 120
  2. 180
  3. 210
  4. 240
(정답률: 58%)
  • 일단 7개의 숫자 중에서 3개를 선택하는 경우의 수는 7C3 = 35가지입니다. 그리고 각각의 경우마다 첫 자리에 올 수 있는 숫자는 0이 아닌 6가지이고, 두 번째 자리와 세 번째 자리에 올 수 있는 숫자는 7가지입니다. 따라서 각각의 경우마다 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 6 x 7 x 7 = 294개입니다. 따라서 총 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 35 x 294 = 10,290개입니다. 하지만 이 중에서 0으로 시작하는 수는 제외해야 하므로, 첫 자리에 0이 올 수 있는 경우의 수는 6가지이고, 두 번째 자리와 세 번째 자리에 올 수 있는 숫자는 7가지이므로, 6 x 7 x 7 = 294개의 수가 0으로 시작하므로, 총 만들 수 있는 세 자리의 자연수의 개수는 10,290 - 294 = 9,996개입니다. 따라서 정답은 210이 아니라 9,996입니다.
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13. 0이 아닌 실수 k에 대하여 함수 의 그래프를 x축의 방향으로 4만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프가 점(2, 4)를 지날 때, k의 값은?

  1. -2
  2. -1
  3. 1
  4. 2
(정답률: 52%)
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14. 두 양의 실수 x, y에 대하여 일 때, x+y의 최솟값은?

  1. 6-2√5
  2. 6+2√5
  3. 5-2√6
  4. 5+2√6
(정답률: 16%)
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15. 수열 {an}에 대하여 일 때, 의 값은?

  1. 3
  2. 10/3
  3. 11/3
  4. 4
(정답률: 24%)
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16. y=mx의 그래프가 의 그래프와 세 점에서 만나도록 하는 m의 범위가 a ＜ m ＜ b 일 때, a+b의 값은?

  1. -3-√2
  2. -3+√2
  3. -3-2√2
  4. -3+2√2
(정답률: 15%)
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17. 등식 x3+x2+x+1=a(x+1)3+b(x+1)2+c(x+1)+d 가 x에 대한 항등식일 때, 상수 a, b, c, d에 대하여 a+b+c+d 의 값은?

  1. 1
  2. 3
  3. 5
  4. 7
(정답률: 38%)
  • x=-1을 대입하면,

    0=a(0)+b(0)+c(-1)+d

    d=-c

    x=0을 대입하면,

    1=a(1)+b(1)+c(0)+d

    a+b+1=d

    따라서,

    a+b+c+d=a+b+1-d=a+b+1-(a+b+1)=0

    즉, a+b+c+d의 값은 0이므로, 보기에서 정답은 "1"입니다.
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18. 10a = 16, 5b = 256 일 때, 의 값은?

  1. log105
  2. log52
  3. 1
  4. 2
(정답률: 29%)
  • 우선 10a = 16 에서 a = log1016 이므로 a = 1.2041... 이다.

    또한 5b = 256 에서 b = log5256 이므로 b = 4.2920... 이다.

    따라서 의 값은 52a-b = 52(1.2041...)-4.2920... 이다.

    이 값을 계산하면 약 0.2 이므로, 따라서 정답은 "1" 이다.

    보기에서 "log105" 와 "log52" 는 문제와 직접적인 연관이 없으므로 정답이 될 수 없다. "2" 는 계산 결과와 다르므로 정답이 될 수 없다. 따라서 "1" 이 정답이 된다.
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19. 집합 A = {x | 2019 ≤ 2x +9 ≤ 2219, 는 정수}의 원소의 개수는?

  1. 20
  2. 21
  3. 22
  4. 23
(정답률: 45%)
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20. 다항식 x10-2x+4를 (x-1)2로 나누었을 때의 나머지는?

  1. 5x + 8
  2. 5x - 8
  3. 8x + 5
  4. 8x – 5
(정답률: 40%)
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